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2.5 简单复合函数的求导法则
【学习目标】
1.了解复合函数的概念.(数学抽象)
2.理解复合函数的求导法则,并能求简单的复合函数的导数.(逻辑推理、数学运算)
3.能运用复合函数求导及导数运算法则解决综合问题.(数学抽象、数学运算)
【自主预习】
一个复杂事物的背后往往有一个简单的本质,之所以复杂,是因为我们自己主观地把简单本质包裹起来,使清晰而简单的本质变得复杂难解.就像法国著名哲学家、数学家、物理学家笛卡尔说的那样:“我只会做两件事,一件是简单的事,一件是把复杂的事情变简单.”
1.你能总结出复合函数的求导步骤吗
2.函数y=ln(2x-1)可以用基本初等函数表示吗 它的结构特点是什么
3.函数y=ln(2x-1)的导数是什么
4.对于函数y=cos 2x,其导函数是y=-sin 2x吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数y=sin(πx)是由函数y=sin u和u=πx复合而成的. (　　)
(2)若f(x)=ln(3x-1),则f'(x)=. (　　)
(3)若f(x)=x2cos 2x,则f'(x)=2xcos 2x+2x2sin 2x. (　　)
2.函数y=(2x-1)n的复合过程正确的是(　　).
A.y=un,u=2x-1 B.y=(u-1)n,u=2x
C.y=tn,t=(2x-1)n D.y=(t-1)n,t=2x-1
3.函数y=的导数是(　　).
A. B.
C. D.
4.下列对函数的求导正确的是(　　).
A.若y=(1-2x)3,则y'=3(1-2x)2
B.若y=log2(2x+1),则y'=
C.若y=cos ,则y'=sin
D.若y=22x-1,则y'=22xln 2
【合作探究】
探究1 简单复合函数的求导
问题1:你知道函数f(x)=ln 2x的复合关系吗 它的导数是什么
问题2:利用复合函数的求导法则求函数的导数,需注意什么
新知生成
1.复合函数的概念
一般地,对于两个函数y=f(u)和u=φ(x)=ax+b,给定x的一个值,就得到了u的值,进而确定了y的值,这样y可以表示成　x的函数　,我们称这个函数为函数y=f(u)和u=φ(x)的　复合函数　,记作　y=f(φ(x))　,其中u为中间变量.
2.复合函数的求导法则
复合函数y=f(φ(x))的导数和函数y=f(u),u=φ(x)的导数间的关系为yx'=　yu'·ux'　,即y对x的导数是　y对u的导数与u对x的导数的乘积　.
新知运用
例1　求下列函数的导数:
(1)y=;
(2)y=e-x+1.
方法指导　求复合函数的导数首先必须弄清函数是怎样复合而成的,然后按复合函数的求导法则求导.
求下列函数的导数.
(1)y=e2x+1;
(2)y=;
(3)y=5log2(1-x).
探究2 复合函数求导的实际应用
放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M(单位:太贝克)与时间t(单位:年)满足函数关系:M(t)=M0,其中M0为t=0时铯137的含量.已知t=30时,铯137含量的变化率是-10ln 2(太贝克/年).
问题:你能求出M(60)的值吗
新知生成
复合函数求导的关键是选择中间变量,必须正确分析复合函数是由哪些基本初等函数经过怎样的顺序复合而成的,分清其间的复合关系,要善于把一部分量或式子暂时当作一个整体,这个暂时的整体就是中间变量,求导时需要记住中间变量,注意逐层求导,不要遗漏.此外,还应特别注意求导后,要把中间变量转换成自变量的函数.
新知运用
例2　某分公司经销某种品牌产品,公司经营该产品一年的利润L(x)(万元)与每件产品的售价x(元)的函数关系式为L(x)=500(x-30-a)e40-x,求L(x)的导数.
方法指导　利用复合函数的求导法则进行求导.
某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系式s(t)=3sint+(0≤t≤24,s的单位是m,t的单位是h),求函数在t=18时的导数,并解释它的实际意义.
探究3 复合函数求导的综合应用
例3　设f(x)=ln(x+1)++ax+b(a,b∈R,a,b为常数),曲线y=f(x)与直线y=x在点(0,0)处相切.求a,b的值.
【方法总结】　　本题主要考查了复合函数求导与导数几何意义综合问题,能够正确求出复合函数的导数是解决此类问题的前提,审题时注意所给点是否是切点,挖掘题目隐含条件,求出参数,解决已知经过一定点的切线问题,寻求切点是解决问题的关键.该类问题的求解能够较好地考查学生的数学运算素养.
曲线y=f(x)=ex+1在(-1,1)处的切线与直线l平行,且与l的距离为,求直线l的方程.
【随堂检测】
1.函数f(x)=(1-2x)10在点x=0处的导数是(　　).
A.0 B.1 C.20 D.-20
2.曲线y=e2x-4在横坐标为2的点处的切线方程为(　　).
A.2x-y-3=0 B.2x+y-3=0
C.ex-y-2e+1=0 D.ex+y+2e-1=0
3.已知直线y=2x-1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为　　　　　.
22.5 简单复合函数的求导法则
【学习目标】
1.了解复合函数的概念.(数学抽象)
2.理解复合函数的求导法则,并能求简单的复合函数的导数.(逻辑推理、数学运算)
3.能运用复合函数求导及导数运算法则解决综合问题.(数学抽象、数学运算)
【自主预习】
一个复杂事物的背后往往有一个简单的本质,之所以复杂,是因为我们自己主观地把简单本质包裹起来,使清晰而简单的本质变得复杂难解.就像法国著名哲学家、数学家、物理学家笛卡尔说的那样:“我只会做两件事,一件是简单的事,一件是把复杂的事情变简单.”
1.你能总结出复合函数的求导步骤吗
【答案】　
2.函数y=ln(2x-1)可以用基本初等函数表示吗 它的结构特点是什么
【答案】　可以,函数y=ln(2x-1)是由函数y=ln u和u=2x-1复合而成的复合函数.
3.函数y=ln(2x-1)的导数是什么
【答案】　y'=·(2x-1)'=.
4.对于函数y=cos 2x,其导函数是y=-sin 2x吗
【答案】　不是.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数y=sin(πx)是由函数y=sin u和u=πx复合而成的. (　　)
(2)若f(x)=ln(3x-1),则f'(x)=. (　　)
(3)若f(x)=x2cos 2x,则f'(x)=2xcos 2x+2x2sin 2x. (　　)
【答案】　(1)√　(2)×　(3)×
2.函数y=(2x-1)n的复合过程正确的是(　　).
A.y=un,u=2x-1 B.y=(u-1)n,u=2x
C.y=tn,t=(2x-1)n D.y=(t-1)n,t=2x-1
【答案】　A
3.函数y=的导数是(　　).
A. B.
C. D.
【答案】　C
【解析】　∵y=,∴y'=-2×·(3x-1)'=.
4.下列对函数的求导正确的是(　　).
A.若y=(1-2x)3,则y'=3(1-2x)2
B.若y=log2(2x+1),则y'=
C.若y=cos ,则y'=sin
D.若y=22x-1,则y'=22xln 2
【答案】　D
【解析】　对于A,y'=-6(1-2x)2,故A错误;对于B,y'=,故B错误;对于C,y'=-·sin ,故C错误;对于D,y'=22x-1ln 2×(2x-1)'=22xln 2.故D正确.
【合作探究】
探究1 简单复合函数的求导
问题1:你知道函数f(x)=ln 2x的复合关系吗 它的导数是什么
【答案】　f(x)=ln 2x可看作函数u=2x和y=ln u的复合函数,y'=(ln 2x)'=(2x)'=.
问题2:利用复合函数的求导法则求函数的导数,需注意什么
【答案】　(1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本初等函数复合而成的,选定适当的中间变量.(2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导,其中要特别注意的是中间变量的系数.如(sin 2x)'=2cos 2x,而不是错误地认为“(sin 2x)'=cos 2x”.(3)根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则,求出各函数的导数,并把中间变量换成自变量的函数.
新知生成
1.复合函数的概念
一般地,对于两个函数y=f(u)和u=φ(x)=ax+b,给定x的一个值,就得到了u的值,进而确定了y的值,这样y可以表示成　x的函数　,我们称这个函数为函数y=f(u)和u=φ(x)的　复合函数　,记作　y=f(φ(x))　,其中u为中间变量.
2.复合函数的求导法则
复合函数y=f(φ(x))的导数和函数y=f(u),u=φ(x)的导数间的关系为yx'=　yu'·ux'　,即y对x的导数是　y对u的导数与u对x的导数的乘积　.
新知运用
例1　求下列函数的导数:
(1)y=;
(2)y=e-x+1.
方法指导　求复合函数的导数首先必须弄清函数是怎样复合而成的,然后按复合函数的求导法则求导.
【解析】　(1)令y=u-4,u=1-3x,
则y'=y'u·u'x
=(u-4)'·(1-3x)'
=-4·u-5·(-3)
=12u-5=.
(2)令y=eu,u=-x+1,
则y'=y'u·u'x
=eu·(-1)
=-e-x+1.
求下列函数的导数.
(1)y=e2x+1;
(2)y=;
(3)y=5log2(1-x).
【解析】　(1)函数y=e2x+1可看作函数y=eu和u=2x+1的复合函数,
∴y'x=y'u·ux'=(eu)'(2x+1)'=2eu=2e2x+1.
(2)函数y=可看作函数y=u-3和u=2x-1的复合函数,
∴y'x=y'u·ux'=(u-3)'(2x-1)'=-6u-4=-6(2x-1)-4=-.
(3)函数y=5log2(1-x)可看作函数y=5log2u和u=1-x的复合函数,
∴y'x=y'u·u'x=(5log2u)'·(1-x)'==.
探究2 复合函数求导的实际应用
放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M(单位:太贝克)与时间t(单位:年)满足函数关系:M(t)=M0,其中M0为t=0时铯137的含量.已知t=30时,铯137含量的变化率是-10ln 2(太贝克/年).
问题:你能求出M(60)的值吗
【答案】　M'(t)=-ln 2×M0,
由M'(30)=-ln 2×M0=-10ln 2,
解得M0=600,所以M(t)=600×,
所以t=60时,铯137的含量M(60)=600×=600×=150(太贝克).
新知生成
复合函数求导的关键是选择中间变量,必须正确分析复合函数是由哪些基本初等函数经过怎样的顺序复合而成的,分清其间的复合关系,要善于把一部分量或式子暂时当作一个整体,这个暂时的整体就是中间变量,求导时需要记住中间变量,注意逐层求导,不要遗漏.此外,还应特别注意求导后,要把中间变量转换成自变量的函数.
新知运用
例2　某分公司经销某种品牌产品,公司经营该产品一年的利润L(x)(万元)与每件产品的售价x(元)的函数关系式为L(x)=500(x-30-a)e40-x,求L(x)的导数.
方法指导　利用复合函数的求导法则进行求导.
【解析】　L'(x)=500[e40-x-(x-30-a)e40-x]=500e40-x·(31+a-x).
某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系式s(t)=3sint+(0≤t≤24,s的单位是m,t的单位是h),求函数在t=18时的导数,并解释它的实际意义.
【解析】　设f(x)=3sin x,x=φ(t)=t+,
所以s'(t)=f'(x)φ'(t)=3cos x·
=cost+,
将t=18代入s'(t),
得s'(18)=cos =(m/h).
s'(18)表示当t=18 h时,潮水的高度上升的速度为 m/h.
探究3 复合函数求导的综合应用
例3　设f(x)=ln(x+1)++ax+b(a,b∈R,a,b为常数),曲线y=f(x)与直线y=x在点(0,0)处相切.求a,b的值.
【解析】　由曲线y=f(x)过点(0,0),可得ln 1+1+b=0,故b=-1.由f(x)=ln(x+1)++ax+b,得f'(x)=++a,则f'(0)=1++a=+a,即曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线的斜率.由题意得+a=,故a=0.
【方法总结】　　本题主要考查了复合函数求导与导数几何意义综合问题,能够正确求出复合函数的导数是解决此类问题的前提,审题时注意所给点是否是切点,挖掘题目隐含条件,求出参数,解决已知经过一定点的切线问题,寻求切点是解决问题的关键.该类问题的求解能够较好地考查学生的数学运算素养.
曲线y=f(x)=ex+1在(-1,1)处的切线与直线l平行,且与l的距离为,求直线l的方程.
【解析】　设u=x+1,
则f'(x)=(ex+1 )'=(eu)'(x+1)'=ex+1 ,
所以f'(-1)=1.
则切线方程为y-1=x+1,即x-y+2=0.
因为直线l与切线平行,所以可设直线l的方程为x-y+c=0,
则两平行线间的距离d==,解得c=4或c=0.
故直线l的方程为x-y+4=0或x-y=0.
【随堂检测】
1.函数f(x)=(1-2x)10在点x=0处的导数是(　　).
A.0 B.1 C.20 D.-20
【答案】　D
【解析】　∵f'(x)=10(1-2x)9(1-2x)'=-20(1-2x)9,
∴f'(0)=-20.
2.曲线y=e2x-4在横坐标为2的点处的切线方程为(　　).
A.2x-y-3=0 B.2x+y-3=0
C.ex-y-2e+1=0 D.ex+y+2e-1=0
【答案】　A
【解析】　∵y'=(e2x-4)'=e2x-4(2x-4)'=2e2x-4,
∴该切线的斜率k=2e2×2-4=2.
把x=2代入y=e2x-4,得y=1,
∴切点为(2,1).
∴曲线y=e2x-4在横坐标为2的点处的切线方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.
3.已知直线y=2x-1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为　　　　　.
【答案】　ln 2
【解析】　∵y=ln(x+a),∴y'=.设切点为(x0,y0),则y0=2x0-1,y0=ln(x0+a),且=2,解得a=ln2.
2

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