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一、选择题（共10小题）
1．（2024春 兴宁区月考）如图，已知点是一次函数的图象上一点，过点作轴的垂线，是上一点在上方），在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，反比例函数的图象过点，，若的面积为16，则的面积是
A．3 B．4 C．6 D．12
2．（2024 咸丰县模拟）如图，某电信公司提供了、两种方案的移动通讯费用（元与通话时间（元之间的关系，若通话时间超过200分，则方案比方案便宜　　元．
A．10 B．11 C．12 D．13
3．（2023秋 庐阳区期末）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米与甲出发的时间（分之间的关系如图所示，下列说法正确的是　　
A．乙用16分钟追上甲
B．乙追上甲后，再走1500米才到达终点
C．甲乙两人之间的最远距离是300米
D．甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟
4．（2024 船营区一模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴的正半轴上，，两点的坐标分别为，，点在第一象限，将直线沿轴向右平移个单位．若平移后的直线与边有交点，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
5．（2024春 通榆县月考）双曲线和双曲线如图所示，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则的面积为　　
A． B． C．2 D．3
6．（2024 新荣区一模）函数，的图象如图所示，则下列结论：
①两函数图象的交点坐标为；
②当时，；
③直线分别与两函数图象交于点，，则线段的长为3；
④当逐渐增大时，的值随的增大而增大，的值随的增大而减小．
其中正确的是　　
A．①② B．①③ C．②④ D．①③④
7．（2024 常德模拟）如图，是坐标原点，点位于第一象限，轴于点，，，为的中点，连接，过点作交轴于点．若反比例函数的图象经过的中点，与线段交于点，则的长为　　
A．0.45 B． C．0.75 D．
8．（2023秋 霸州市期末）如图，点，在反比例函数的图象上，点在轴上，点在轴上，下列说法正确的是　　
A．图1、图2中阴影部分的面积分别为2，4
B．图1、图2中阴影部分的面积分别为1，2
C．图1、图2中阴影部分的面积之和为8
D．图1、图2中阴影部分的面积之和为3
9．（2024 洛阳模拟）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为　　
A． B．
C． D．
10．（2024 长安区一模）如图，直线及反比例函数的图象与两坐标轴之间的阴影部分（不位括边界）有5个整点（横、纵坐标都为整数），则的取值可能是　　
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（共10小题）
11．（2023秋 乐亭县期末）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，若的面积为7，则的值为 　　．
12．（2024春 中山市月考）如图，直线分别与轴，轴交于，两点，与双曲线交于点．点，关于轴对称，连接，将沿方向平移，使点移动到点，得到，则线段扫过的面积为 　　．
13．（2024 太白县一模）如图，在平面直角坐标系中，对角线的交点为坐标原点，点在第一象限，点、均在反比例函数的图象上，则点的坐标为 　　．
14．（2024 修水县一模）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴，，将沿所在的直线翻折后，点落在点处，且轴，反比例函数的图象经过点，则的值为 　　．
15．（2024 新北区一模）若一次函数的图象向上平移2个单位长度后经过点，则　　．
16．（2024 历城区模拟）如图是某市出租车的所付车费与乘车里程之间的关系图象，分别由线段，和射线组成．如果小明同学乘坐出租车付车费14元，那么张老师乘坐出租车里程是．他应该付的车费是 　　元．
17．（2024 西安一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在反比例函数的图象上，连接并延长交该反比例函数图象于另一点，点在轴正半轴上，连接、，，则的面积为 　　．
18．（2024春 鞍山月考）如图，点为函数与函数图象的交点，点的纵坐标为4，轴，垂足为点，点是函数图象上一动点，过点作于点，若，则点的坐标为 　　．
19．（2024 亳州一模）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．
（1）若点坐标为，则；
（2）若，则的面积为 ．
20．（2024 莱芜区模拟）小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动，如图折线和线段分别表示小泽和小帅离甲地的距离（单位：千米）与时间（单位：小时）之间函数关系的图象，则当小帅到达乙地时，小泽距甲地的距离为 　　千米．
三、解答题（共10小题）
21．（2024 咸丰县模拟）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设直线交轴于点，点是轴正半轴上一点，过点作轴交反比例函数的图象于点，连接，，若，求的值．
22．（2023秋 昌图县期末）如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点，直线与轴交于点．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）连接，求的面积；
（3）不等式的解集是 　　．
23．（2024 谷城县一模）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数第一象限的图象上，将点先向左平移5个单位长度，再向下平移个单位长度后得到点，点恰好落在反比例函数第三象限的图象上，经过，两点的直线交反比例函数第一象限的图象于点．
（1）求反比例函数和直线的表达式；
（2）连接，，求的面积．
24．（2024 济宁一模）如图1，直线经过点，交反比例函数的图象于点，点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点．
（1）求反比例函数表达式；
（2）过点作轴交直线于点，连接，，若的面积是面积的2倍，请求出点坐标．
25．（2024 怀化一模）在平面直角坐标系中，点为坐标原点．如图，一次函数为常数，与反比例函数为常数，的图象相交于点和点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，相交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，相交于点．求证：，，三点在同一条直线上．
26．（2024 杭州模拟）如图，的顶点是双曲线与直线在第二象限的交点，轴于点，．
（1）的值为 　　；点坐标为 　　．
（2）若点是图象上的一点，当时，求的取值范围．
（3）根据图象直接写出时的取值范围．
27．（2024春 靖江市月考）如图，已知直线与反比例函数的图象分别交于点和点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）如图
①求直线的解析式和反比例函数关系式；
②求点的坐标；
（2）如图2，将沿射线方向平移得到△，若点，的对应点，同时落在函数上，求的值；
28．（2024春 东台市月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点．直线经过点与轴交于点，连结．
（1）求直线的关系式；
（2）求的面积；
（3）连接、，判定四边形形状，并说明理由．
29．（2024 北京模拟）在平面直角坐标系中，已知正方形，其中，，，，，，，，、为正方形外两点，．给出如下定义：如果线段平移个单位后，两端点均落在正方形的边上，则称的最小值为线段到正方形的“平移距离”，记为．
（1）如图1，平移线段，得到两条端点在正方形边上且长度为1的线段和，则这两条线段的位置关系是 　　；在点，，，中，连接点与点 　　的线段的长度等于；
（2）若点，都在直线上，求的值；
（3）若点的坐标为，直接写出的取值范围．
30．（2024 南岗区校级开学）已知直线交轴于点，轴于点，点在轴正半轴上，．
（1）求直线解析式；
（2）如图1，点是第一象限内直线上一动点，点的横坐标为，连接，的面积为，求与的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围）
（3）如图2，在（2）的条件下，延长交轴于点，点为线段上一个动点，连接，交于点，连接，并延长交轴于点，过点作于点，直线交直线于点，，当时，求的长．
一、选择题（共10小题）
1．【答案】
【解答】解：如图，过作轴于，交于．
轴，
，
是等腰直角三角形，
，
设，则，
设，则，，
，在反比例函数的图象上，
，
解得，
，
，
，
，
．
故选：．
2．【答案】
【解答】解：当，方案的函数解析式为；
当，方案的函数解析式为，
当时，方案比方案便宜（元．
故选：．
3．【答案】
【解答】解：根据图象，甲步行4分钟走了240米，
甲步行的速度为（米分钟），
由图象可知，甲出发16分钟后乙追上甲，则乙用了（分钟）追上甲，故不符合题意；
乙的速度为（米分钟），
则乙走完全程的时间为（分钟），
乙追上甲剩下的路程为：（米，
乙追上甲后，再走1440米才到达终点，故不符合题意；
当乙到达终点时，甲步行了（米，
甲离终点还有（米，
故甲乙两人之间的最远距离是360米，故不符合题意．
乙休息的时间为（分钟），
故甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟，故符合题意．
故选：．
4．【答案】
【解答】解：将直线沿轴向右平移个单位．
平移后的直线解析式为．
四边形为平行四边形，且点、、，
，
点．
平移后的直线与边有交点，
当直线过，
，
解得：，
当直线过，
，
解得：，
．
故选：．
5．【答案】
【解答】解：设点，
轴于点，交于点，轴，
，，，，
，
故选：．
6．【答案】
【解答】解：①联立方程组，解得，，①正确；
②当时，；②错误；
③直线分别与两函数图象交于点，，则，，，③正确；
④当逐渐增大时，的值随的增大而增大，的值随的增大而减小．④正确．
故选：．
7．【答案】
【解答】解：轴于点，，，为的中点，
，，，，
点，在反比例函数图象上，
，
反比例函数解析式为，
，
为的中点，
，，
设直线的解析式为，
，解得，
直线解析式为，
联立方程组，解得或，
，，
．
故选：．
8．【答案】
【解答】解：如图1，连接，
反比例函数解析式为，且轴，
，
故图1阴影部分的面积为：2；
图2中，，
反比例函数图象是关于原点成中心对称，
，
，
故图2阴影部分的面积为：4；
故选：．
9．【答案】
【解答】解：二次函数的图象开口向下，
，
，
，
抛物线与轴相交于正半轴，
，
直线经过一、二、四象限，
由图象可知，当时，，
，
反比例函数的图象必在一、三象限，
故、、错误，正确；
故选：．
10．【答案】
【解答】解：如图，直线一定过点，，
把代入得，，此时阴影部分（不位括边界）有，，，，，5个整点
的取值可能是4，
故选：．
二、填空题（共10小题）
11．【答案】．
【解答】解：，
，即，则，
图象经过第二象限，
，
．
故答案为：．
12．【答案】4
【解答】解：连接，，，如图：
点在双曲线上，
，
，
双曲线，
点在直线上，
，
，
直线，
令，
，
，
，
点直线，
令，
，
点，
点，关于轴对称，
，
又平移后，，，
点，
，
由平移知，扫过的部分是平行四边形，
，，，
点，，在一条直线上，
同理，，也在同一条直线上，
由平移知，，则四边形是菱形，
，
，
，
线段扫过的面积等于平行四边形的面积．
13．【答案】．
【解答】解：点在反比例函数的图象上，
，
解得：，，
点在第一象限，
，
故得，
点的坐标为，
四边形为平行四边形，对角线的交点为坐标原点，点在反比例函数的图象上，
根据平行四边形和反比例函数的对称性得：点和点关于坐标原点对称，
点的坐标为．
故答案为：．
14．【答案】．
【解答】解：延长交轴于点，如图所示：
设，则，
轴，
，
，
，
由翻折的性质得：，，
在中，，，
由勾股定理得：，
点的坐标为，
点在反比例函数的图象上，
，
，
在中，，，，
由勾股定理得：，
，
解得：，或（不合题意，舍去），
．
故答案为：．
15．【答案】3．
【解答】解：将一次函数的图象向上平移2个单位长度后得，
将点代入，得，
故答案为：3．
16．【答案】27．
【解答】解：设段的函数解析式为，
把，代入得：，
解得，
段的函数解析式为，
当时，．
张老师应该付的车费是27元．
故答案为：27．
17．【答案】16．
【解答】解：作轴于，
由，
得，
设，
由点在反比例函数的图象上，
得，
故的面积的面积．
故答案为：16．
18．【答案】．
【解答】解：点纵坐标为4，
，解得，
，
．
，
，
设，则，
当点在点右侧，
点的坐标为，
，
解得：，（舍去），
当时，，
点的坐标为，
当点在点的左侧，
点的坐标为，
，
解得：，，均舍去．
综上，点的坐标为．
故答案为：．
19．【答案】（1）；（2）3．
【解答】解：（1）点在一次函数的图象上，
，解得，
，，
，在反比例函数图象上，
．
故答案为：；
（2）若，则反比例函数解析式为，联立方程组，解得，或，
，
在一次函数中，令．则，
，
．
故答案为：3．
20．【答案】20．
【解答】解：由图象可知，点和在直线上，
设直线的解析式为：，
，
解得：，
直线的解析式为：；
当时，，
，
点，点在直线上，
直线的解析式为：，
，
解得：，
直线的解析式为：；
当时，，
小泽距甲地的距离为20千米．
故答案为：20．
三、解答题（共10小题）
21．【答案】（1）反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为；
（2）的值为．
【解答】解：（1）反比例函数图象过点，
，
反比例函数的解析式为；
把点代入得，
，
把，代入得，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）
点坐标为，
；
直线与轴交于点，
时，，
点坐标为，
，
，
解得，
的值为．
22．【答案】（1），；
（2）2；
（3）或．
【解答】解：（1）点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数解析式为，
点在反比例函数图象上，
，即点坐标为，
又、两点在一次函数图象上，
代入一次函数解析式可得，
解得．
一次函数解析式为；
（2）在中，令可得，
点坐标为，
，
又为，
到的距离为2，
；
（3）由一次函数与反比例函数的图象可知，当或时反比例函数的图象在一次函数图象的上方，
当或时，反比例函数的值大于一次函数的值，
即不等式的解集是或，
故答案为或．
23．【答案】（1）反比例函数为，直线的表达式为；（2）15．
【解答】解：（1）点在反比例函数第一象限的图象上，
，
反比例函数为，
将点先向左平移5个单位长度，再向下平移个单位长度后得到点，
，
点恰好落在反比例函数第三象限的图象上，
，
，
，
代入得，
，
直线的表达式为；
（2）作轴，交于点，则，
，
点、关于原点对称，
，
．
24．【答案】（1）；（2）点坐标为，或，．
【解答】解：（1）过点，
，
，
，
点在上，
，
，
，
．
（2）①当点在下方时，
，
，
作轴，轴，
，
，
，
，
把代入中，
，；
②当点在上方时，
，
，
为的中点，
，，
，
把代入中，
，；
综上所述：点坐标为，或，．
25．【答案】（1）反比例函数的解析式是，一次函数的解析式是；
（2）见解答．
【解答】（1）解：把点代入为常数，得：，
反比例函数的解析式是，
把代入得：，
即的坐标是，，
把、的坐标代入得：，
解得：，
即一次函数的解析式是；
（2）证明：由题意可知，，，
设直线为，
则，解得，
直线为，
直线过原点，
，，三点在同一条直线上．
26．【答案】（1）；；（2），（3）或．
【解答】解：（1），
丨丨，
反比例函数图象在第二、四象限，
，．
故答案为：；；
（2）点是图象上的一点，
，
时即，解得；
（3）由（1）可得直线解析式为：，
联立方程组得，解得，或，
，．
根据函数图象及交点坐标可知时的取值范围为：或．
27．【答案】（1）①，，②；
（2）．
【解答】解：（1）①将点代入，得，
直线的解析式为，
将点代入，得，
反比例函数的解析式为；
②当时，得，，
交点的坐标为；
（2）令中得，令得，
，，
，
，
设点向右平移个单位，再向下平移个单位，
，
，
，
解得，
．
28．【答案】（1）；（2）3；（3）平行四边形，见解析．
【解答】解：（1）设点，
将，代入，
得：，，
，，
将点和点，代入中得：，
．
（2）由题可得：，
，
．
（3）四边形为平行四边形．理由如下：
在函数中，
当时，，
，
，
，，
，
，
，
四边形为平行四边形．
29．【答案】（1）平行，；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）平移前后的对应线段平行，
，．
．
点的对应顶点分别是和，，
在点，，，中，连接点与点的线段的长度等于．
故答案为：平行，；
（2）设平移后交正方形于点、．作于点，交于点，延长交轴于点，则．
．
点，都在直线上，
，．
，．
．
由题意得：，
点在线段上．
，，，
，．
．
．
；
（3）①点平移到点处时，平移的距离最小．
点的坐标为，，．
；
②点平移到或者的中点时，平移的距离最大，以的中点为例．
点是的中点，坐标为，，
点的坐标为，．
．
．
30．【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）直线交轴于点，轴于点，
当时，，当时，，
，，
则，
．
，则，
，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为；
（2）点是第一象限内直线上一动点，点的横坐标为，
的纵坐标为，
如图所示，过点作轴交于点，
则，
，
；
（3），
，
则，
，，，
，，，
，
，
设，则，，
，
又，
，
，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
，
，
又，，，
，
，
，，
，
，
，
又，
，
是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
，
设，则，
解得：或（舍去），
，
过点作轴于点，如图2，
，
，
，
又，
，则，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
联立，
解得：，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
联立，
解得：，
，
．
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一次函数综合 一次函数的图象与性质，一次函数的解析式，一次函数图象的平移，一次函数与方程（组）、一元一次不等式的关系 ★★★
一次函数的应用 费用、利润最值问题，方案选取问题、行程问题等 ★★★★
反比例函数综合 反比例函数的图象与性质，反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数的解析式 ★★★
反比例函数的应用 行程问题、几何问题、工程类问题、压强类问题、电学类问题等 ★★★★
一次函数与反比例函数综合 反比例函数与一次函数交点问题、反比例函数与一次函数图象面积问题 ★★★★★
1．一次函数 （1）一次函数的定义 一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数． （2）一次函数的图象和性质 对于y=kx+b（k≠0 ，b≠0）． 当k>0，b>0，y=kx+b的图象在第一、二、三象限，y随x的增大而增大； 当k>0，b<0，y=kx+b的图象在第一、三、四象限，y随x的增大而增大； 当k<0，b>0，y=kx+b的图象在第一、二、四象限，y随x的增大而减小； 当k<0，b<0，y=kx+b的图象在第二、三、四象限，y随x的增大而减小． 2．一次函数图象的平移 （1）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是过点（0，b）且和直线y=kx重合或平行的一条直线． （2）直线y=kx+b可以看作由直线y=kx向上或向下平移|b|个单位长度得到． （3）一次函数图象的平移遵照“左加右减，上加下减”的原则进行，要注意平移后k值不变，只有b发生变化． （4）由两个函数解析式中的k的值相等，可判断两个函数的图象平行，即其中一条直线是由另一条直线平移得到的． 3．待定系数法 求一次函数y=kx+b（k≠0）的解析式，关键是求出k，b的值，一般可根据条件列出关于k，b的二元一次方程组，求出k，b的值，从而求出函数的解析式．这种求函数解析式的方法叫做待定系数法． 4．一次函数与方程、不等式的关系 （1）一次函数与一元一次方程的关系：任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值． （2）①任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b>0或ax+b<0（a≠0）的形式，所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围． ②一次函数y=ax+b（a≠0）与一元一次不等式ax+b>0（或ax+b<0）的关系： ax+b>0的解集y=ax+b中，y>0时x的取值范围，即直线y=ax+b在x轴上方部分图象对应的x的取值范围． ax+b<0的解集y=ax+b中，y<0时x的取值范围，即直线y=ax+b在x轴下方部分图象对应的x的取值范围． （3）用图象法求二元一次方程组的近似解的一般方法：①先把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式：y=k1x+b1和y=k2x+b2；②建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图象；③写出这两条直线的交点的横、纵坐标，这两个数值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标为x，纵坐标为y．
【典例1】　（2024 长沙三模）如图，直线和直线相交于，则关于的不等式的解集为 　　．
【答案】．
【分析】先将点的坐标代入直线中，求出的值；再将所求的点坐标代入直线中，求出的值，即可求出于的不等式的解．
【解答】解：把代入直线中，
则：；
再将点代入直线中，
则：，
解得．
不等式为，
解得，
故答案为：．
【典例2】　（2024 锡山区一模）把一次函数的图象沿轴向下平移3个单位长度后，得到的新图象对应的函数表达式是 　　．
【答案】．
【分析】根据函数图象上下平移的规律可求得答案．
【解答】解：把一次函数的图象沿轴向下平移3个单位长度后，得到的新图象对应的函数表达式是，
故答案为：．
【典例3】　（2024 新乐市一模）如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点的直线交轴于点．
（1）求的值和直线的函数表达式．
（2）若点在线段上，点在直线上，求的最小值．
【答案】（1）直线的函数表达式为．；（2）的最小值为4．
【分析】（1）待定系数法求出直线解析式即可；
（2）将点坐标代入解析式得到，再根据一次函数性质解答即可．
【解答】解：（1）把点代入，得，
设直线的函数表达式为，把点，代入得：
，解得，
直线的函数表达式为．
（2）点在线段上，点 在直线 上，
，，
，
，
的值随的增大而减小，
当 时，的最小值为4．
【典例4】　（2024 浙江模拟）如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点的直线交轴于点．
（1）求的值和直线的函数表达式．
（2）若点在线段上，点在直线上，判断的值是否随的变化而变化，若不变，求出这个值；若变化，求出它的取值范围．
【答案】（1）的值为1，直线解析式为；
（2）的值不随的变化而变化，的值为5．
【分析】（1）把代入得：，设直线解析式为，把，代入得，解出，的值可得直线解析式为；
（2）求出，，可得，故的值不随的变化而变化，的值为5．
【解答】解：（1）把代入得：，
的值为1，，
设直线解析式为，把，代入得：
，
解得，
直线解析式为；
（2）的值不随的变化而变化，理由如下：
点在线段上，点在直线上，
，，
，
的值不随的变化而变化，的值为5．
【典例5】　（2024 南岗区校级一模）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴于点，交轴于点，．
（1）求直线的解析式；
（2）为轴正半轴上一点，于，点的横坐标为，线段的长为，求与的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，为轴负半轴上一点，，延长至点，，的延长线交轴于，为上一点，于，交于，若，，求的面积．
【答案】（1）直线的解析式为；
（2）与的函数关系式为；
（3）．
【分析】（1）由题意得，，，再运用勾股定理可得，即，即可求得答案；
（2）由题意得，，，，由，得；
（3）设交轴于点，，，在轴上取一点，使得，过点作轴交的延长线于点，过点作于点，可证得，运用勾股定理可求得，得出，，再证得是等腰直角三角形，四边形是矩形，，，再证得，进而可得，设，则，，再证得，可得，，建立方程求解即可得出，求得，，，，运用待定系数法可求得直线、的解析式，联立方程组求解即可．
【解答】解：（1）直线交轴于点，交轴于点，
，，，
，，
，，
，
解得：，
，
，
直线的解析式为；
（2）由题意得，
，，
，，，
，
，
，
，
与的函数关系式为；
（3）如图，设交轴于点，，，在轴上取一点，使得，
过点作轴交的延长线于点，过点作于点，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
在中，，
即，
整理得：，
，
（负值舍去），
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
四边形是矩形，，，
又，
，
，
，
，
又，，
，
，
又，
，
又，
，
设，则，，
在和中，
，
，
，
，
，
解得：，
，，，
，
，
，
设直线的解析式为，把，代入，
得：，
解得：，
直线的解析式为，
同理可得，直线的解析式为，
联立方程组得：，
解得：，
，
．
运用一次函数解决实际问题的步骤是求出函数解析式（如果问题中没有明确两个变量的关系是一次函数关系，就要根据题意直接写出其解析式；如果明确是一次函数关系，就可以用待定系数法求出其解析式)，然后利用其图象和性质解决实际问题． 方案选取型问题一般是费用最少问题，解题时一般先根据题目满足的关系列出不等式，若为两种方案的选取，将两种方案的函数关系式组成不等式，求解对应的自变量的取值范围；若为三种方案的选取，可画出函数图象，求出交点坐标，利用函数图象性质解答．
【典例1】　（2024 交城县一模）某文化旅游公司推出“亲近大自然野外宿营”活动，票价为360元人．周末期间有如下两种优惠方案：
方案一：以团队为单位办理会员卡（会员卡花费270元），所有人都按半价优惠；
方案二：所有人都按六五折优惠．
设小明所在的团队有人，在周末期间参加该活动，购票总花费为元．
（1）分别写出这两种方案中关于的函数关系式；
（2）这两种方案中关于的函数图象如图所示，请求出点，的坐标，并说明点所表示的实际意义；
（3）当方案一比方案二更优惠时，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）方案一：，方案二：；
（2），，点得实际意义为当小明的团队有5人时，方案一和方案二一样优惠，都需要花费1170元；
（3）．
【分析】（1）方案一：，方案二：；
（2）对于，令，求得的值，可得点坐标，方案一、二中关于的函数关系式联立方程组，解得、，即点坐标，点得实际意义为当小明的团队有人时，方案一和方案二一样优惠，都需要花费元；
（3）观察图象得，方案一比方案二更优惠，即．
【解答】解：（1）方案一：，
方案二：；
（2）对于，令，则，
，
，
解得：，，
，
点得实际意义为当小明的团队有5人时，方案一和方案二一样优惠，都需要花费1170元；
（3）观察图象得，方案一比方案二更优惠，即．
【典例2】　（2024 碑林区校级三模）如图，深的圆柱形容器，底部放入一个长方体的铁块，现在以一定的速度向容器内注水，3分钟后水面上升的速度是之前速度的．如图为容器顶部离水面的距离随时间（分钟）的变化图象．
（1）3分钟后水面上升的速度为 　　；
（2）求直线的解析式；
（3）求该容器注满水所用的时间．
【答案】（1）；（2）直线的解析式为；（3）该容器注满水所用的时间21分钟．
【分析】（1）由图象可知从3分钟到9分钟这段时间注入水，根据速度注水量时间可得；
（2）利用待定系数法即可求得；
（3）当时，即，求出的值即可得知．
【解答】解：（1）
，
故答案为：．
（2）设直线的解析式为，
将、代入，
，
解得：，
则直线的解析式为．
（3）当时，即，
解得：
答：该容器注满水所用的时间21分钟．
【典例3】　（2024 船营区一模）弟弟李明林骑自行车保持匀速从家到临江游园观看2024中国吉林市国际冬季龙舟邀请赛．在观众区观看完“200米直道竞速项目”后，以相同的速度按原路骑自行车返回家中．设李明林距离家的路程为，运动时间为，与之间的函数图象如图所示．
（1）　　．
（2）在弟弟李明林从临江游园返回家的过程中，求与之间的函数关系式．
（3）已知哥哥李明吉已在临江游园等待观看赛龙舟．在弟弟从家出发的同时，哥哥接到妈妈电话，要求他马上回家．故哥哥以的速度沿弟弟来时的路径从临江游园匀速步行回家．当兄弟二人之间的距离为时，直接写出哥哥李明吉的运动时间．
【答案】（1）14；
（2）；
（3）或或．
【分析】（1）根据题意，以相同的速度按原路骑自行车返回家中，则所用时间也相等，进而根据图象列式求解即可；
（2）设与之间的函数关系式为：，将图象中的两个点代入解析式求得、即可求解；
（3）本题需要进行分类讨论，分别以当弟弟在前往临江游园的途中，与哥哥相遇前，两人相距，以当弟弟在前往临江游园的途中，与哥哥相遇后，两人相距，当弟弟在返回家中的途中，两人相距为三种情况列式求解即可得解．
【解答】解：（1）根据题意，以相同的速度按原路骑自行车返回家中，则所用时间也相等，
，
，
故答案为：14；
（2）设与之间的函数关系式为：，
将与代入得，
解得，
与之间的函数关系式为：；
（3）根据题意，临江游园到家的距离为，哥哥回家的速度为，
设弟弟去游园时的函数解析式为，
当时，，可得，
解得，
弟弟去游园时，对应的函数解析式为：，
设哥哥去回来时的函数解析式为，
当时，，当，时，
可得，解得，
对应的函数解析式为：，
①以当弟弟在前往临江游园的途中，与哥哥相遇前，两人相距，
，解得；
②以当弟弟在前往临江游园的途中，与哥哥相遇后，两人相距，
，
解得，
③当弟弟在返回家中的途中，
，解得，
综上所述：哥哥李明吉的运动时间或或．
【典例4】　（2024 雁塔区校级四模）2023年5月30日，云南人桂海潮乘坐神舟16号飞船，成功遨游太空，圆了“飞天”梦想云官中学为了给学生们搭建一个航天梦，计划购买火箭模型和空间站模型共80个（两种模型均需购买），要求购买火箭模型的个数不多于空间站模型个数的3倍．通过市场调研，已知火箭模型每个45元，空间站模型每个60元．设购买火箭模型个，购买总费用为元．
（1）求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（2）请你用函数的相关知识说明如何采购能使总费用最低？并求出最低费用．
【答案】（1）且为整数）；
（2）购买火箭模型60个，空间站模型20个可以使总费用最低，最低费用为3900元．
【分析】（1）设购买火箭模型个，则购买空间站模型个，然后根据两种模型的费用之和即为总费用列得关系式，再结合已知条件求得自变量的取值范围即可；
（2）根据一次函数的增减性即可求得答案．
【解答】解：（1）设购买火箭模型个，则购买空间站模型个，
则，
，且为整数，
且为整数，
即且为整数）；
（2），
随的增大而减小，
当时，有最小值，最小值为：，
此时，
即购买火箭模型60个，空间站模型20个可以使总费用最低，最低费用为3900元．
【典例5】　（2024 南乐县一模）为了振兴乡村经济，某市为广大农户免费提供一种优质草莓及栽培技术，鼓励广大农户种植草莓．草莓成熟后乡企业办将这些草莓精加工成，两种饮料装箱销售．已知种草莓饮料卖了20000元，种草莓饮料卖了36000元，卖出的种草莓饮料的箱数是种草莓饮料箱数的2倍，种草莓饮料每箱的售价比种草莓饮料每箱的售价便宜5元．
（1），两种草莓饮料每箱的售价分别是多少元．
（2）某公司献爱心，计划用不超过4900元给市区的几个敬老院捐赠100箱，两种草莓饮料，其中种草莓饮料不少于40箱，该公司怎么购买所需的费用最少？最少的费用是多少元？
【答案】（1）种草莓饮料每箱的售价是50元，则种草莓饮料每箱的售价是45元；
（2）该公司购买种草莓饮料40箱，则购买种草莓饮料60箱所需的费用最少，最少的费用是4700元．
【分析】（1）设种草莓饮料每箱的售价是元，则种草莓饮料每箱的售价是元，根据卖出的种草莓饮料的箱数是种草莓饮料箱数的2倍，列方程求解即可．
（2）设购买种草莓饮料箱，则购买种草莓饮料箱，根据费用用不超过4900元，种草莓饮料不少于40箱，列不等式组，求出的取值范围，再设该公司购买所需的费用共为元，列出列出关于的一次函数关系式，再根据一次函数性质求出再根据一次函数性质求出的最小值即可求解．
【解答】解：（1）设种草莓饮料每箱的售价是元，则种草莓饮料每箱的售价是元，根据题意，得：
，
解得：，
经检验，是方程的根，也符合题意，
种草莓饮料每箱的售价是50元，
种草莓饮料每箱的售价是（元，
答：种草莓饮料每箱的售价是50元，则种草莓饮料每箱的售价是45元．
（2）设购买种草莓饮料箱，则购买种草莓饮料箱，根据题意，得：
，
解得：，
设该公司购买所需的费用共为元，根据题意，得，
，
随增大而增大，
，
当时，值最小，最小值为（元，
该公司购买种草莓饮料40箱，则购买种草莓饮料60箱所需的费用最少，最少的费用是4700元．
1．反比例函数（k≠0）系数k的几何意义 从反比例函数（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．常见模型如图： 2．反比例函数图象上点的横坐标或纵坐标的大小比较： 先判断这几个点是否在同一象限内，若不在同一象限内，则通过判断函数值的正负即可进行比较；若在同一象限内，则可以根据反比例函数的增减性来进行解答． 另外，也可以代值或取特殊值比较大小．
【典例1】　（2024 肥东县校级模拟）如图，已知，在中，，其底边在轴的正半轴上，点在第一象限，将沿折叠，点落在点的位置，若反比例函数的图象经过的中点，且点的坐标为，则的值为 　　．
【答案】．
【分析】过作于，易证得是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质得出，解直角三角形求得、，从而得到，进一步求得点的坐标，代入即可求得的值．
【解答】解：过作于，
在中，，
，
点的坐标为，，
，
，
，，
，
的中点，
，
，
，，
点在反比例函数的图象上，
，
故答案为：．
【典例2】　（2024 坪山区校级一模）如图，矩形的顶点坐标分别为，，，，动点在边上（不与、重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，直线分别与轴和轴相交于点和，若，则的值为 　　．
【答案】1．
【分析】设，则，，设直线的解析式为：，则有，解得，得到直线解析，令，，，由勾股定理可得和，代入可计算出值，继而值可得．
【解答】解：设，则，，
设直线的解析式为：，则有：
，解得，
，
令，，
，
作轴，垂足为，则，，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
，
．
故答案为：1．
【典例3】　（2024 鄞州区模拟）如图，点，点分别在轴，轴上，，点为的中点，连接并延长交反比例函数的图象于点，过点作轴于点，点关于直线的对称点恰好在反比例函数图象上，则　　．
【分析】由题意可得直线的解析式为，设，由点在反比例函数的图象上，求得，求得的坐标，根据互相垂直的两条直线斜率之积为，可设直线的解析式为，则，．由点和点关于直线对称，得出，那么，再将点坐标代入，得到，解方程即可求得的坐标，然后通过三角形相似求得，根据即可求得结果．
【解答】解：点，点分别在轴，轴上，，点为的中点，
直线的解析式为，
设，
点在反比例函数的图象上，
，
，
，
，
设直线的解析式为，则，．
点和点关于直线对称，
，
，
在反比例函数的图象上，
，
解得，（舍去），
，，
，
，
，
易证，
，即，
，
．
故答案为：．
【典例4】　（2024 红花岗区一模）如图，在平面直角坐标中，反比例函数与一次函数的图象相交于点和点，一次函数图象与轴相交于点，其中点的坐标是．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若，求一次函数的解析式；
（3）在第（2）问的条件下，直接写出的解集．
【答案】（1）反比例函数解析式为：；（2）一次函数解析式为：；（3）或．
【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）待定系数法求出一次函数解析式即可；
（3）根据图像和函数的交点坐标，直接写出不等式解集即可．
【解答】解：（1）在反比例函数图象上，
，
反比例函数解析式为：；
（2），
，解得，
，
点，在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数解析式为：；
（3）联立方程组得，解得或，
，，
根据两个函数的图象和交点坐标可知，不等式的解集为：或．
【典例5】　（2024 武威一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数的图象与直线交于点，点在函数的图象上（点的横坐标大于点的横坐标），点的坐标，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，．
（1）求的值；
（2）若为中点，求四边形的面积；
（3）直接写出不等式的解集．
【答案】（1）；（2）10；（3）或．
【分析】（1）将点坐标代入反比例函数解析式求出值即可；
（2）先求出反比例函数解析式，再得到点、、坐标根据计算即可；
（3）根据函数图象写出不等式解集即可．
【解答】解：（1）点的坐标且在反比例函数的图象上，
．
（2）由（1）可知，反比例函数解析式为，
为中点，
，
，
；
（3）根据反比例函数的中心对称性质可得，
根据题意和图示，不等式的解集为：或．
1．反比例函数应用的解题方法 （1）分析实际问题中变量之间的关系； （2）建立反比例函数模型； （3）用反比例函数的有关知识解答，注意利用反比例函数两变量之积是定值的性质，算出定值． 2．应用反比例函数解决实际问题的基本步骤 （1）审清题意，找出题目的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系； （2）根据常量、变量之间的关系，设出函数关系式，待定系数用字母表示； （3）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数； （4）写出函数关系式，并注意关系式中变量的取值范围； （5）用函数关系式解决实际问题． 3．跨学科问题中常见的反比例关系 （1）压力一定时，压强与受力面积成反比例． （2）当功率一定时，力与速度成反比例． （3）当电压一定时，用电器的输出功率与电阻成反比例． （4）当电压一定时，电流强度与电阻成反比例．
【典例1】　（2024 襄城县一模）阅读与思考
下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务，今天是2023年6月8日（星期四），在下午数学活动课上，我们“腾飞”小组的同学参加了一次“探索电压一定时，输出功率与电阻函数关系的数学活动”．
第一步，我们设计了如图1所示的电路，电压为定值不变．
第二步，通过换用不同定值电阻，使电路中的总电阻成整数倍的变化．
第三步，我们根据物理知识，通过测量电路中的电流计算电功率．
第四步，计算收集数据如下：
2 4 6 8 10
18 9 6 4.5 3
第五步，数据分析，以的数值为横坐标，的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点．
数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改，实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记．
任务：
（1）上面日记中，数据分析过程，主要运用的数学思想是 　　；（单选）
．数形结合 ．类比思想 ．分类讨论 ．方程思想
（2）你认为表中哪组数据是明显错误的；并直接写出关于的函数表达式；
（3）在如图2平面直角坐标系中，画出此函数的图象；
（4）请直接写出：若大于，的取值范围为 　　．
【答案】（1）；（2）最后一组有问题，；（3）如图示；（4）．
【分析】（1）通过类比思想发现各数据之间的对应关系；
（2）根据与的积是定值发现有问题的一组数据；
（3）将描出的点用光滑的曲线连接即可；
（4）根据计算出的取值范围．
【解答】解：（1）通过类比思想发现数据之间的关系正确与否．故选：．
（2）通过前四组数据发现：与的积都是36定值，发现最后一组有问题；
与关系式是：，
（3）图象如图：
（4）当时，即，解得．
【典例2】　（2024 广州一模）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验，测得成人服药后血液中药物浓度（微克毫升）与服药时间之间的函数关系如图所示（当时，与成反比例）．
（1）根据图象求出血液中药物浓度下降阶段关于的函数表达式；
（2）问：血液中药物浓度不低于5微克毫升的持续时间为多少小时？
【答案】（1）血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为，下降阶段的函数关系式为；
（2）血液中药物浓度不低于2微克毫升的持续时间6小时．
【分析】（1）分别利用正比例函数以及反比例函数解析式求法得出即可；
（2）利用分别得出的值，进而得出答案．
【解答】解：（1）当时，设直线解析式为：，
将代入得：，
解得：，
故直线解析式为：，
当时，设反比例函数解析式为：，
将代入得：，
解得：，
故反比例函数解析式为：；
因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为，
下降阶段的函数关系式为．
（2）当，则，
解得：，
当，则，
解得：，
（小时），
血液中药物浓度不低于2微克毫升的持续时间6小时．
【典例3】　（2024 中山市一模）在某一电路中，电源电压保持不变，电流，电压，与电阻之间满足关系，电流（A）与电阻之间的函数关系如图．
（1）写出与的函数解析式：　　；
（2）结合图象回答：当电路中的电流不超过时，电路中电阻的取值范围是什么？
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据图象可知与之间的关系，然后列出函数关系式，保持不变，再把图象所经过的点代入函数式，求出的值等于36；
（2）当时，，所以求出的取值范围是大于且等于3．
【解答】解：（1）设，将，代入得，
与的函数关系式是．
故答案为：；
（2）电路中的电流不得超过，
，
，
电路中电阻的取值范围是．
【典例4】　（2023 雁峰区校级模拟）为预防新冠病毒，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量与时间成正比例；药物释放完毕后，与成反比例，如图所示，根据图象信息，解决以下问题：
（1）写出从药物释放开始，与之间的两个函数解析式；
（2）当空气中每立方米含药量不低于6毫克且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由．
【答案】（1）；
（2）此次消毒有效，理由见解析．
【分析】（1）待定系数法先求出反比例函数解析式，进而求出点的坐标，再利用待定系数法，求出正比例函数的解析式即可；
（2）求出时对应的两个自变量的值，进而求出含药量不低于6毫克的时间，进行判断即可．
【解答】解：（1）设药物释放完毕后，与的解析式为：，
由图可知：，解得：，
，
当时，，
，
设药物释放过程中，与的解析式为：，
则：，
解得：，
；
综上：；
（2）有效，理由如下：
当时，，
解得：；
，
解得：，
空气中每立方米含药量不低于6毫克的时间为：；
，
此次消毒有效．
【典例5】　（2023 前郭县二模）某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其日销售量与上市的天数之间成正比例函数，当广告停止后，日销售量与上市的天数之间成反比例函数（如图所示），现已知上市20天时，当日销售量为100件．
（1）写出该商品上市以后日销售量件与上市的天数天之间的表达式；
（2）广告合同约定，当日销售量不低于80件，并且持续天数不少于10天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”，并说明理由？
【答案】（1）；
（2）设计师可以拿到“特殊贡献奖”．
【分析】（1）将已知点的坐标分别代入到正比例函数和反比例函数中，利用待定系数法确定其解析式即可；
（2）分别求得销量不低于80件的天数，相加后大于等于10天即可拿到特殊贡献奖，否则不能．
【解答】解：（1）当时，设，把代入得，
；
当时，设，把代入得，
；
（2）当时，又得，，即，有5天；
当时，由，
解得：，即，有5天，
共有（天，
因此设计师可以拿到“特殊贡献奖”．
1．反比例函数背景下的线段问题 函数背景下的线段问题归根结底是点坐标之间的关系． 核心要点：与x轴平行的直线上的点的纵坐标相等；与y轴平行的直线上的点的纵坐标相等． 2．求三角形的面积： （1）当有一条边在坐标轴上或平行于坐标轴时，通常将坐标轴上的边或与坐标轴平行的边作为底边，再利用点的坐标求得底边上的高，最后利用面积公式求解； （2）当三边均不在坐标轴上且 不平行于坐标轴时，一般可采用割补法将其转化为一边在坐标轴上（或平行于坐标轴）的三角形面积的和或差来求解此外，求面积时要充分利用“数形结合”的思想，即用“坐标”求“线段长”，用“线段长”求“坐标”． 3．求四边形的面积： 通过分割法或补形法将四边形面积转化为几个三角形或三角形与特殊四边形面积之间的和或差．
【典例1】　（2024 韶关模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线交双曲线于点，，线段，都垂直于轴，．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）在第一象限内，根据图象直接写出当取何值时，；
（3）在直线上找一点，连接，，当时，求点的坐标．
【答案】（1）双曲线的解析式为，直线的解析式为；
（2）；
（3）点的坐标是或．
【分析】（1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进一步求得点的坐标，然后把、点的坐标代入即可求得直线的解析式；
（2）根据图象求得即可；
（3）设，分两种情况讨论，根据题意列出关于的方程，解方程即可求得点的坐标．
【解答】解：（1）双曲线过点，
，
双曲线的解析式为，
点，线段，都垂直于轴，，
点的横坐标为6，
把代入解得，
，
把、点的坐标代入得，
解得，
直线的解析式为；
（2）观察图象可知，在第一象限内当时，；
（3）设，
，，
，，，，
当点在的左侧时，，，
，
，解得，
此时，
当点在的右侧时，，，
，
，解得，
此时，
综上，点的坐标是或．
【典例2】　（2024 南漳县一模）如图，一个正方形的中心与平面直角坐标系的原点重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象经过正方形的顶点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）正方形的对角线所在直线的解析式为 　　；
（3）若直线为常数）与反比例函数的图象有交点，则的取值范围是 　　．
【答案】（1）反比例函数的解析式为；（2）；（3）或．
【分析】（1）采用待定系数法，将点代入反比例函数，即可求得答案；
（2）采用待定系数法，设正方形的对角线所在直线的解析式为，将点，点的坐标代入即可求得答案；
（3）根据题意可得，变形可得一元二次方程，根据根的情况即可求得答案．
【解答】解：（1）将点代入反比例函数，得，
解得，
所以反比例函数的解析式为．
（2）根据题意可知点的坐标为，点的坐标为，
设正方形的对角线所在直线的解析式为，
将点，点的坐标代入，得
，
解得：，
所以正方形的对角线所在直线的解析式为．
故答案为：．
（3）根据题意，得，
则，
根据题意可知△，
即或．
故答案为：或．
【典例3】　（2024 渠县校级模拟）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于，两点，且．
（1）求的值；
（2）请直接写出不等式的解集；
（3）若是轴上一点，轴交一次函数的图象于点，交反比例函数的图象于点，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）；
（2）或；
（3）或或或．
【分析】（1）令，得到的横坐标，令，得到的纵坐标，由可知点为的中点，设，得，，解得：，得的坐标为，代入中即可求得的值；
（2）联立两个函数解析式，整理得到一元二次方程，求解即可求出点的坐标，运用交点的横坐标，根据图像可得，时，的图象在的上方，即可求解；
（3）设，则，点，根据题意，得，解绝对值方程即可．
【解答】解：（1）令，得到，
解得，
；
令，得，
；
，则点为的中点，设，
，，
解得：，
的坐标为，
点在上，
；
（2）由（1）知，，
则，整理，得，
解得，，
当时，，
；
根据图像可得，时，的图象在的上方，
的取值范围是或；
（3）设，则，点，，
轴，
，
要使得，，，为顶点的四边形为平行四边形，则，
，
当时，整理，得，
解得，
当时，整理，得，
解得，
点的坐标为或或或．
【典例4】　（2024 义乌市模拟）如图，直线与双曲线相交于、两点，与轴相交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）点在轴上，且，在轴上是否存在一点，使得的值最小？若存在，求点的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】（1）；
（2）或；
（3）存在，点，．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小，即可求解．
【解答】解：（1）将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
则反比例函数的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
即点的坐标为：，
由点、的坐标得，直线的表达式为：；
（2）观察函数图象知，不等式的解集为：或；
（3）存在，理由：
由直线的表达式知点，
，则，
则点，
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小，
理由：为最小，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
令，则，
即点，．
【典例5】　（2024 青岛一模）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）在坐标轴上是否存在一点，使是直角三角形？直接写出点的坐标．
【答案】（1），；
（2）；
（3）、、或．
【分析】（1）先把点的坐标代入反比例函数求得的值，再把点的坐标为代入反比例函数的解析式求得，最后把，两点代入即可求解；
（2）利用一次函数的解析式求得点的坐标，利用即可求解；
（3）存在，在轴和轴上分两种情况：①若时，如图所示，利用两点间的距离公式和勾股定理即可求解；②若时，如图所示，过点作轴，垂足为点，即可求解．
【解答】解：（1）点的坐标为在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为，
又点的坐标为也在上，
，
的坐标为，的坐标为都在一次函数的图象上，代入得：
，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）直线与轴交于点，如图1，
，
，
的坐标为，的坐标为，
；
（3）当点在轴上，
设点，则，
若时，如图2所示，
的坐标为，
点的坐标为；
当时，如图3，
，，
是直角三角形，
，即，
解得，
点的坐标为；
当点在轴上时，
设点，则，
若时，如图4所示，
的坐标为，
点的坐标为；
当时，如图5，
，，
是直角三角形，
，即，
解得，
点的坐标为；
综上可得点的坐标为、、或．
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