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2024年广东省初中学业水平考试综合模拟卷（一）
数 学
说明：
1．全卷共8页，满分120分，考试时间为120分钟．
2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号，用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑．
3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上．
4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．
5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 的绝对值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了绝对值的性质，一个正数的绝对值是它本身，据此即可作答．
【详解】解：∵
∴的绝对值是
故选：A
2. 下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选A．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
3. 人类的遗传物质是DNA，其中最短的22号染色体含 30000000个核苷酸，30000000用科学记数法表示为（ ）
A. 3×106 B. 3×107 C. 3×108 D. 0.3×108
【答案】B
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【详解】解：30000000=3×107．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
4. 一只蜘殊爬到如图所示的一面墙上，停留位置是随机的，则停留在阴影区域上的概率是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用阴影部分的面积比上总面积，即可得解．
【详解】解：由图可知：阴影部分的面积占到总面积的，
∴；
故选：C．
【点睛】本题考查概率的计算．熟练掌握概率公式，是解题的关键．
5. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行里，慢马每天行里，驽马先行天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设快马天可追上慢马，根据路程相等，列出方程即可求解．
【详解】解：设快马天可追上慢马，由题意得
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
6. 如图，矩形内接于，分别以为直径向外作半圆．若，则阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】根据阴影部分面积为2个直径分别为的半圆的面积加上矩形的面积减去直径为矩形对角线长的圆的面积即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵矩形内接于，
∴
∴阴影部分的面积是
，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
7. 一个不等式组的解集为，那么在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据数轴上的点表示的数，右边的总是大于左边的数，这个解集就是不等式和的解集的公共部分．
【详解】解：数轴上表示与2之间的部分，并且包含2，不包含，在数轴上可表示为：
故选：A
【点睛】此题考查了数轴上表示不等式的解集，解题关键是掌握用数轴上的点表示数．
8. 甲、乙、丙、丁四支花样滑冰队的人数相同，且平均身高都是，身高的方差分别是，，，，则身高比较整齐的滑冰队是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】C
【解析】
【分析】找出方差最小的游泳队即可．
【详解】解：，，，，且，
身高比较整齐的游泳队是丙游泳队，
故选：C．
【点睛】本题考查了方差的意义，解题的关键是熟练掌握方差的意义：方差越小，数据波动越小，越稳定．
9. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理求得的长，垂径定理可得，进而即可求解．
【详解】解：依题意，，
在中，
∵
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，熟练掌握勾股定理，垂径定理是解题的关键．
10. 如图，中，，，．点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为．设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图所示，则的值为（ ）
A. 54 B. 52 C. 50 D. 48
【答案】B
【解析】
【分析】根据点运动的路径长为，在图中表示出来，设，在直角三角形中，找到等量关系，求出未知数的值，得到的值．
【详解】解：当时，由题意可知，
，
在中，由勾股定理得，
设，
，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
，
，
当时，由题意可知，，
设，
，
在中，由勾股定理得，
在中由勾股定理得，
中，由勾股定理得，
即，
解得，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查勾股定理，根据勾股定理列出等式是解题的关键，运用了数形结合的思想解题．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 化简：______．
【答案】1
【解析】
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【详解】解：，
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了化简二次根式，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
12. 如图，数轴上的点分别对应实数，则__________0.(用“”“”或“”填空)
【答案】
【解析】
【分析】根据数轴可得，进而即可求解．
【详解】解：由数轴可得
∴
【点睛】本题考查了实数与数轴，有理数加法的运算法则，数形结合是解题的关键．
13. 两根木棒的长分别为和，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形．如果第三根木棒长为偶数，则第三根木棒长为___________．
【答案】##4厘米
【解析】
【分析】设第三根木棒长度为 ，根据三角形的三边关系可得，可得到的取值范围，即可求解．
【详解】解：设第三根木棒长度为 ，根据题意得：
，即，
∵第三根木棒的长为偶数，
∴，
即第三根木棒长为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
14. 关于的方程有两个相等的实数根，则的值是__________．
【答案】16
【解析】
【分析】根据方程有两个相等的实数根得到，求解即可．
【详解】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴，即，
解得，
故答案为：16．
【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，熟记根的判别式是解题的关键．
15. 代数式最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用配方法将代数式变形，再利用非负数的性质求出最小值即可．
【详解】解：
，
当，即时，代数式取得最小值，最小值为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分）
16. （1）计算：
（2）已知关于x的方程的解为负数，求m的取值范围．
【答案】（1）2（2）且
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算以及解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先化简负整数指数幂以及零次幂，绝对值，再运算加减法，即可作答．
（2）先把分式方程化整式方程，再结合“解为负数”这个条件，进行列式计算，即可作答．
详解】解：（1）
；
（2）
∵解为负数
∴，且
∴且
且
17. 如图，菱形对角线相交于点为的中点，，．求的长及的值．
【答案】，
【解析】
【分析】根据菱形的性质得出，中，勾股定理求得的长，根据正切的定义即可求解．
【详解】在菱形中，．
∵，∴．
在中，∵为中点，
∴．
∵．
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，求正切，熟练掌握以上知识是解题的关键．
18. 为了解某校学生对《最强大脑》、《朗读者》、《中国诗词大会》、《出彩中国人》四个电视节目的喜爱情况，随机抽取了名学生进行调查统计（要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目），并将调查结果绘制成统计表和统计图（不完整），请根据统计表和统计图中的信息回答下列问题：
学生最喜爱的节目人数统计表
节目 人数（名 百分比
最强大脑 5
朗读者 15
中国诗词大会
出彩中国人 10
（1）本次共调查了多少名学生？
（2）求出表中的值，并将条形统计图补充完整；
（3）扇形统计图中喜爱“朗读者”节目对应的圆心角为多少度？
（4）若该校共有学生600名，根据抽样调查结果，估计该校最喜爱《中国诗词大会》节目的学生有多少名？
【答案】（1）50名；
（2）；图见解析；
（3）；
（4）240名
【解析】
【分析】（1）根据选择最强大脑的人数和所占的百分比，即可得到答案；
（2）根据调查中最喜爱《中国诗词大会》节目的占比乘以调查的总人数，可以计算出的值，并将条形统计图补充完整即可；
（3）根据圆心角的度数百分比进行计算，即可得到答案；
（4）根据调查中最喜爱《中国诗词大会》节目的占比乘以该校的总人数即可得到答案．
【小问1详解】
解：（名，
即本次共调查了50名学生；
【小问2详解】
解：，
补充完整的条形统计图如图所示；
【小问3详解】
解：，
即扇形统计图中喜爱“朗读者”节目对应的圆心角是；
【小问4详解】
解：（名，
答：估计该校最喜爱《中国诗词大会》节目的学生有240名．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、统计表、用样本估计总体，解答的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19. 某老年活动中心欲在一房前3m高的前墙（）上安装一遮阳篷，使正午时刻房前能有2m宽的阴影处（）以供纳凉，假设此地某日正午时刻太阳光与水平地面的夹角为63.4°，遮阳篷与水平面的夹角为10°，如图为侧面示意图，请你求出此遮阳篷的长度（结果精确到0.1m）．（参考数据：，，；，，）
【答案】遮阳篷的长度约为3.4米
【解析】
【分析】过点作于点，则四边形是矩形，则，设，则，，
解直角三角形求得，进而求得，解，求得，进而求得的长，根据即可求解．
【详解】如图，过点作于点，则四边形是矩形，
设，则，，
在中，
，
，
在中，，
，
解得：，经检验，x是方程的解，且符合题意，
，
，
．
答：遮阳篷的长度约为3.4米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握三角形的三边关系是解题的关键．
20. 山地自行车越来越受中学生的喜爱；一家店经营的某型号山地自行车，今年七月份销售额为22500元，八月份每辆车售价比七月份每辆车售价提高100元，若销售的数量与上一月销售的数量相同，则销售额是25000元．
（1）求八月份每辆车售价是多少元？
（2）为了促销，九月份每辆车售价比八月份每辆车售价降低了15%销售，该店仍可获利25%，求每辆山地自行车的进价是多少元？
【答案】（1）八月份每辆车的售价是1000元
（2）每辆山地自行车的进价是680元
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用．
（1）设八月份每辆车的售价是x元，则七月份每辆车售价为元，根据数量=总价÷单价，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设每辆山地自行车的进价为y元，根据利润=售价 进价，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
【小问1详解】
解：设八月份每辆车的售价是x元，则七月份每辆车售价为元，
由题意得：
，
解得：．
检验：当时，．
所以是原方程的解，且符合题意．
答：八月份每辆车的售价是1000元；
【小问2详解】
解：设每辆山地自行车的进价是y元，由题意得：
解得：．
答：每辆山地自行车的进价是680元．
21. 如图，已知为的直径，是弦，且于点E．G是弧上任意一点（且不与A、C重合），连接、．
（1）找出图中和相等的角，并给出证明；
（2）若，，求的半径；
（3）在（2）的条件下，当G运动到与O、D三点共线时，求此时的长．
【答案】（1），证明见详解
（2）的半径为10cm
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意易得，然后问题可求证；
（2）连接，然后可设，则有，进而根据勾股定理可求解；
（3）由（2）及勾股定理可得的长，然后问题可求解．
【小问1详解】
证明：图中与相等的角为，证明如下：
∵为的直径，，
∴点A为优弧的中点，
∴，
∴；
小问2详解】
解：连接，如图所示：
∵，，为的直径，，
∴，
设，则有，
∴在中，，
解得：，
∴的半径为10cm；
【小问3详解】
解：如图所示：
由（2）可知：的半径为10cm，
∴，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查勾股定理、垂径定理及圆周角定理，熟练掌握勾股定理、垂径定理及圆周角定理是解题的关键．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
22. 【计算与比较】
用“＞”“＝”或“＜”填空．
（1）　　；
（2）　　；
（3）　　；
…
【猜想与证明】
（1）通过“计算与比较”，可得下列命题：若a＞0，b＞0，则　　．
（2）对上述命题进行证明．
【问题与解决】
利用“猜想与证明”中的结论解决问题：
如图，正方形ABCD的边长为10，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，四边形EFGH是正方形，AH＝m，AE＝n，当m，n分别为何值时，正方形EFGH的面积最小？最小值是多少？
【答案】【计算与比较】（1）＞；（2）＞；（3）＝；【猜想与证明】（1）≥；（2）见解析；【问题与解决】当m＝n＝5时，正方形EFGH的面积最小，最小值是50
【解析】
【分析】【计算与比较】（1）通过计算比较大小即可；
（2）通过计算比较大小即可；
（3）通过计算比较大小即可；
【猜想与证明】（1）由上面的计算结果做出假设；
（2）利用完全平方公式证明即可；
【问题与解决】根据正方形EFGH的面积＝正方形ABCD的面积﹣周围四个小三角形的面积，利用上面的结论得出三角形的面积最大时正方形EFGH的面积最小，求出此时的面积即可．
【详解】解：【计算与比较】
（1）∵，
∴
故答案为：＞；
（2）∵，
∴
故答案为：＞；
（3）∵，
∴
故答案为：＝；
【猜想与证明】
（1）根据上面的计算可猜测，
故答案为：≥；
（2）∵a＞0，b＞0，
∴
即
∴
∴；
【问题与解决】
由题知，四边形ABCD和四边形EFGH都为正方形，
∴EH＝HG，∠A＝∠D＝90°，∠EHG＝90°，
∵∠AEH+∠AHE＝90°，∠AHE+∠DHG＝90°，
∴∠AEH＝∠DHG，
∴△AEH≌DHA（AAS），
∴AE=DH
∴m+n＝10
同理可证：△AEH≌DHA≌△BFE≌△CGF，
∴S正方形EFGH＝S正方形ABCD﹣4S△AEH，
即当△AEH面积最大时，正方形EFGH的面积最小，
由已知得，，且m+n＝10，
∴当m＝n＝5时，有最大值，即mn有最大值，
此时，S△AEH＝mn＝，
S正方形EFGH＝S正方形ABCD﹣4S△AEH＝10×10﹣4×＝50，
∴当m＝n＝5时，正方形EFGH的面积最小，最小值是50．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，完全平方公式，解不等式，二次根式的混合运算，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
23. 在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场进行装饰．如图1所示，他在会场的两墙、之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示，已知墙与等高，且、之间的水平距离为8米．
（1）如图2，两墙，的高度是 　　米，抛物线的顶点坐标为 　　；
（2）为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点到地面的距离；
（3）为了尽量避免人的头部接触到彩带，小星现将到地面的距离提升为3米，通过适当调整的位置，使抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点距墙的距离为米，抛物线的最低点到地面的距离为米，探究与的关系式，当时，求的取值范围．
【答案】（1）3，
（2）2.25米 （3）的取值范围为：
【解析】
【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解；
（2）由待定系数法求出函数表达式，当时，，即可求解；
（3）设出抛物线的表达式为：，将点的坐标代入上式得：，得到，进而求解．
【小问1详解】
解：由题意得，抛物线的对称轴为，则，解得：；
抛物线的表达式为，则点，即（米，
当时，，即顶点坐标为，
故答案为：3，；
【小问2详解】
解：设抛物线的表达式为，
将点的坐标代入上式得，解得，
抛物线的表达式为，
当时，（米，
点到地面的距离为2.25米；
【小问3详解】
解：由题意知，点、纵坐标均为4，则右侧抛物线关于、对称，
抛物线的顶点的横坐标为，则抛物线的表达式为，
将点的坐标代入上式得，整理得；
当时，即，解得（不合题意的值已舍去）；
当时，同理可得，
故的取值范围为：．
【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法求二次函数表达式、二次函数图像与性质、将二次函数一般式化为顶点式等知识，解答此类问题的关键是明确题意，求出函数相应的解析式，根据函数的顶点式可以求得函数的最值．2024年广东省初中学业水平考试综合模拟卷（一）
数 学
说明：
1．全卷共8页，满分120分，考试时间为120分钟．
2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号，用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑．
3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上．
4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．
5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 的绝对值是（ ）
A. B. C. D.
2. 下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 人类的遗传物质是DNA，其中最短的22号染色体含 30000000个核苷酸，30000000用科学记数法表示为（ ）
A. 3×106 B. 3×107 C. 3×108 D. 0.3×108
4. 一只蜘殊爬到如图所示的一面墙上，停留位置是随机的，则停留在阴影区域上的概率是（　　）
A. B. C. D.
5. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行里，慢马每天行里，驽马先行天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，矩形内接于，分别以为直径向外作半圆．若，则阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D. 20
7. 一个不等式组的解集为，那么在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 甲、乙、丙、丁四支花样滑冰队的人数相同，且平均身高都是，身高的方差分别是，，，，则身高比较整齐的滑冰队是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
9. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，中，，，．点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为．设点运动路径长为，的面积为，若与的对应关系如图所示，则的值为（ ）
A. 54 B. 52 C. 50 D. 48
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 化简：______．
12. 如图，数轴上点分别对应实数，则__________0.(用“”“”或“”填空)
13. 两根木棒长分别为和，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形．如果第三根木棒长为偶数，则第三根木棒长为___________．
14. 关于的方程有两个相等的实数根，则的值是__________．
15. 代数式的最小值为______．
三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分）
16. （1）计算：
（2）已知关于x方程的解为负数，求m的取值范围．
17. 如图，菱形的对角线相交于点为的中点，，．求的长及的值．
18. 为了解某校学生对《最强大脑》、《朗读者》、《中国诗词大会》、《出彩中国人》四个电视节目的喜爱情况，随机抽取了名学生进行调查统计（要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目），并将调查结果绘制成统计表和统计图（不完整），请根据统计表和统计图中的信息回答下列问题：
学生最喜爱的节目人数统计表
节目 人数（名 百分比
最强大脑 5
朗读者 15
中国诗词大会
出彩中国人 10
（1）本次共调查了多少名学生？
（2）求出表中的值，并将条形统计图补充完整；
（3）扇形统计图中喜爱“朗读者”节目对应的圆心角为多少度？
（4）若该校共有学生600名，根据抽样调查结果，估计该校最喜爱《中国诗词大会》节目的学生有多少名？
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19. 某老年活动中心欲在一房前3m高的前墙（）上安装一遮阳篷，使正午时刻房前能有2m宽的阴影处（）以供纳凉，假设此地某日正午时刻太阳光与水平地面的夹角为63.4°，遮阳篷与水平面的夹角为10°，如图为侧面示意图，请你求出此遮阳篷的长度（结果精确到0.1m）．（参考数据：，，；，，）
20. 山地自行车越来越受中学生的喜爱；一家店经营的某型号山地自行车，今年七月份销售额为22500元，八月份每辆车售价比七月份每辆车售价提高100元，若销售的数量与上一月销售的数量相同，则销售额是25000元．
（1）求八月份每辆车售价是多少元？
（2）为了促销，九月份每辆车售价比八月份每辆车售价降低了15%销售，该店仍可获利25%，求每辆山地自行车的进价是多少元？
21. 如图，已知为的直径，是弦，且于点E．G是弧上任意一点（且不与A、C重合），连接、．
（1）找出图中和相等的角，并给出证明；
（2）若，，求的半径；
（3）在（2）的条件下，当G运动到与O、D三点共线时，求此时的长．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
22. 【计算与比较】
用“＞”“＝”或“＜”填空．
（1）　　；
（2）　　；
（3）　　；
…
猜想与证明】
（1）通过“计算与比较”，可得下列命题：若a＞0，b＞0，则　　．
（2）对上述命题进行证明．
【问题与解决】
利用“猜想与证明”中的结论解决问题：
如图，正方形ABCD的边长为10，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，四边形EFGH是正方形，AH＝m，AE＝n，当m，n分别为何值时，正方形EFGH的面积最小？最小值是多少？
23. 在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场进行装饰．如图1所示，他在会场的两墙、之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示，已知墙与等高，且、之间的水平距离为8米．
（1）如图2，两墙，的高度是 　　米，抛物线的顶点坐标为 　　；
（2）为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点到地面的距离；
（3）为了尽量避免人的头部接触到彩带，小星现将到地面的距离提升为3米，通过适当调整的位置，使抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点距墙的距离为米，抛物线的最低点到地面的距离为米，探究与的关系式，当时，求的取值范围．

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