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2024年山东省东营市东营区中考一模数学模拟试题（一）
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．
1. 某班期末考试数学的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，小英的成绩记作分，表示得了（　　）分．
A. 86 B. 83 C. 87 D. 80
2. 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
3. 华为Mate60Pro手机是全球首款支持卫星通话的智能手机．预计至2024年底，这款手机的出货量将达到70000000台．将70000000用科学记数法表示应为（）
A. B. C. D.
4. 如图，在中，弦，若，则的度数为（　　）
A. B. C. D.
5. 如图，长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（ ）
A. B. C. 2 D.
6. 阳阳同学在复习老师已经批阅的作业本时，发现有一道填空题破了一个洞（如图所示），■表示破损的部分，则破损部分的式子可能是（）
化简： √
A. B. C. D.
7. 如图，已知平行四边形，用尺规作图的方法在上取一点P，使得，则下列做法正确的是（）
A. B.
C. D.
8. 若，则m，n分别为（ ）
A. B. C. D.
9. 小明和小林在探索代数式（）有没有最大（小）值时，小明做了如下探索：
∵，
∴小明的结论是的最小值为，
小林做了如下探索：
∵，
小林的结论是的最小值为2；则（）
A. 小明正确 B. 小林正确
C. 小明和小林都正确 D. 小明和小林都不正确
10. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油最多可行驶的公里数，如图描述了A、B两辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．
根据图中信息，下面4个推断中，合理的是（　　）
①消耗1升汽油，A车最多可行驶5千米；
②B车以40千米/小时的速度行驶1小时，最多消耗4升汽油；
③对于A车而言，行驶速度越快越省油；
④某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市驾驶B车比驾驶A车更省油．
A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ①③④
11. 若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是（　　）
A. ﹣7 B. ﹣6 C. ﹣5 D. ﹣4
12. 如图，分别是半圆O的直径和弦，，，D是上的一个动点，连接AD．过点C作于E，连接，则的最小值是（）
A. B. C. 2 D. 3
二、填空题（每小题3分，共15分）
13. 请写出一个y随x增大而减小且过原点的一次函数_________．
14. 不等式组的解集是________．
15. 2024年4月23日是第29个世界读书日，某校为了提前迎接“世界读书日”特此举行了演讲大赛，演讲得分按“演讲内容”占、“语言表达”占、“形象风度”占、“整体效果”占进行计算，小明这四项的得分依次为，，，，则她的最后得分是________分．
16. 如图，在4×4正方形网格中，点A，B，C为网格交点，，垂足为D，则的值为__________________．
17. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，取中点，的中点．则在旋转过程中，线段的最小值________．
三．解答题（6＋6＋6＋8＋8＋9＋9＋10＋10＝72分）
18. 计算：
19. 求代数式x（2x﹣1）﹣2（x﹣2）（x+1）的值，其中x＝2016．
20解方程组
21. 如图，在中，点E是边的中点，连接并延长与的延长线交于F．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若平分，，，求的面积．
22. 每年6月6日为“全国爱眼日”．按照国家视力健康标准，学生视力状况如下表所示为了解某学校学生视力状况，随机抽查了若干名学生进行视力检测，整理样本数据，得到下列统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽查的学生中，视力状况属于A类的学生有______人，D类所在扇形的圆心角的度数是______；
（2）对于本次抽查的学生视力数据，中位数所在类别为______类；
（3）已知该校共有300名学生，请估计该校“中度视力不良（C类）”和“重度视力不良（D类）”的学生总人数．
23. 如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且∠BAC＝2∠CDE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若cosB＝，CE＝2，求DE．
24. 乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：）．测得如下数据：
水平距离 /
竖直高度 /
（1）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是；
②求满足条件的抛物线解析式；
（2）技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长为，球网高为．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度的值约为．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）．
25. 问题背景】
小明遇到这样一个问题：如图1，在中，，平分，试判断和之间的数量关系．
【初步探索】
小明发现，将沿翻折，使点A落在边上的E处，展开后连接，则得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2）
（1）写出图2中全等的三角形____________________；
（2）直接写出和之间的数量关系__________________；
【类比运用】
（3）如图3，在中，，平分，求的周长．
小明的思路：借鉴上述方法，将沿翻折，使点C落在边上的E处，展开后连接，这样可以将问题解决（如图4）；
请帮小明写出解答过程：
【实践拓展】
（4）如图5，在一块形状为四边形ABCD空地上，养殖场丁师傅想把这块地用栅栏围成两个小型的养殖场，即图5中的和，若平分．请你帮丁师傅算一下需要买多长的栅栏．
26. 如图，在等腰直角三角形中，，点A在x轴上，点B在y轴上，点，二次函数的图象经过点C．
（1）求二次函数的解析式，并把解析式化成的形式；
（2）把沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求线段扫过区域的面积；
（3）在抛物线上是否存在异于点C的点P，使是以为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
27. 已知ABC内接于，的平分线交于点D，连接DB，DC．
（1）如图①，当时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式：　　；
（2）如图②，当时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（3）如图③，若BC=5，BD=4，求的值．2024年山东省东营市东营区中考一模数学模拟试题（一）
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．
1. 某班期末考试数学的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，小英的成绩记作分，表示得了（　　）分．
A. 86 B. 83 C. 87 D. 80
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查正负数的概念，关键是掌握正负数表示的实际意义．由正负数的概念可计算．
【详解】解：平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，小英的成绩记作分，
则
表示得了80分，
故选：D．
2. 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．
3. 华为Mate60Pro手机是全球首款支持卫星通话的智能手机．预计至2024年底，这款手机的出货量将达到70000000台．将70000000用科学记数法表示应为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，将一个数表示为的形式，其中，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
【详解】解：，
故选：C．
4. 如图，在中，弦，若，则的度数为（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由，可得，由，可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
5. 如图，长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴上的点，掌握求法是解题的关键．由勾股定理可求，，即可求解．
【详解】解：由题意得
，，
由作法得：，
；
表示的数为；
故选：A．
6. 阳阳同学在复习老师已经批阅的作业本时，发现有一道填空题破了一个洞（如图所示），■表示破损的部分，则破损部分的式子可能是（）
化简： √
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．根据题意残损部分的式子为，再计算即可．
【详解】解：残损部分的式子为
．
故选：A．
7. 如图，已知平行四边形，用尺规作图的方法在上取一点P，使得，则下列做法正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】证明，则可知点P在线段的垂直平分线上，由此求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴点P在线段的垂直平分线上，
∴只有选项D中的作图方法符合题意，
故选D．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和线段垂直平分线的尺规作图，推出是解题的关键．
8. 若，则m，n分别为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了单项式的除法与乘法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据单项式的除法与乘法法则化简后，列出二元一次方程组求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故选C．
9. 小明和小林在探索代数式（）有没有最大（小）值时，小明做了如下探索：
∵，
∴小明的结论是的最小值为，
小林做了如下探索：
∵，
小林的结论是的最小值为2；则（）
A. 小明正确 B. 小林正确
C. 小明和小林都正确 D. 小明和小林都不正确
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了配方法的应用，根据小明和小林的探究方法，分别求出当有最小值时的值即可判断，熟练掌握完全平方公式的形式是解题的关键．
【详解】解：小明的探究：，
则当，即时，有最小值为，
而无解，
小明探究是错误的，
小林的探究：，
则当，即时，有最小值为2，
小林的探究是正确的，
故选：B．
10. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油最多可行驶的公里数，如图描述了A、B两辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．
根据图中信息，下面4个推断中，合理的是（　　）
①消耗1升汽油，A车最多可行驶5千米；
②B车以40千米/小时的速度行驶1小时，最多消耗4升汽油；
③对于A车而言，行驶速度越快越省油；
④某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市驾驶B车比驾驶A车更省油．
A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ①③④
【答案】C
【解析】
【分析】折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．
【详解】解：①由图象可知，当A车速度超过40km时，燃油效率大于5km/L，所以当速度超过40km时，消耗1升汽油，A车行驶距离大于5千米，故此项错误；
②B车以40千米/小时的速度行驶1小时，路程为40km，40km÷10km/L＝4L，最多消耗4升汽油，此项正确；
③对于A车而言，行驶速度在0﹣80km/h时，越快越省油，故此项错误；
④某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市驾驶B车比驾驶A车燃油效率更高，所以更省油，故此项正确．
故②④合理，
故选：C．
【点睛】本题考查了折线统计图，熟练读懂折线统计图是解题思的关键．
11. 若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是（　　）
A. ﹣7 B. ﹣6 C. ﹣5 D. ﹣4
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式有意义，可得，解出关于的分式方程的解为，解为正数解，进而确定m的取值范围，注意增根时m的值除外，再根据m为整数，确定m的所有可能的整数值，求和即可．
【详解】解：去分母得，，
解得，，
∵关于x的分式方程有正数解，
∴ ，
∴，
又∵是增根，当时，
，即，
∴，
∵有意义，
∴，
∴，
因此且，
∵m为整数，
∴m可以为-4，-2，-1，0，1，2，其和为-4，
故选：D．
【点睛】考查二次根式的意义、分式方程的解法，以及分式方程产生增根的条件等知识，解题的关键是理解正数解，整数m的意义．
12. 如图，分别是半圆O的直径和弦，，，D是上的一个动点，连接AD．过点C作于E，连接，则的最小值是（）
A. B. C. 2 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】取中点M，连接，，，由勾股定理求出，，由直角三角形的性质求出的长，由，即可解决问题．
【详解】解：取中点M，连接，，，
∵是半的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值是．
故选：A．
【点睛】本题考查求线段的最小值，关键是掌握圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质．
二、填空题（每小题3分，共15分）
13. 请写出一个y随x增大而减小且过原点的一次函数_________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查函数和图象的性质，熟悉相关的知识是解题的关键；根据y随x增大而减小且过原点，若此函数为正比例函数，则，即可求解．
【详解】解：∵函数y随x增大而减小且过原点；
若此函数为正比例函数；
∴；
则此函数可以为：；
故答案为：（答案不唯一）．
14. 不等式组的解集是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．先求出每个不等式的解集，再根据口诀确定不等式组的解集即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为，
故答案为：．
15. 2024年4月23日是第29个世界读书日，某校为了提前迎接“世界读书日”特此举行了演讲大赛，演讲得分按“演讲内容”占、“语言表达”占、“形象风度”占、“整体效果”占进行计算，小明这四项的得分依次为，，，，则她的最后得分是________分．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是加权平均数的求法，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．根据加权平均数的定义列式计算可得．
【详解】解：她的最后得分是（分），
故答案为：．
16. 如图，在4×4正方形网格中，点A，B，C为网格交点，，垂足为D，则的值为__________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了锐角三角函数定义以及勾股定理，解题的关键熟记三角函数的定义并灵活运用．先求出，然后利用利用解题即可．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
17. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，取的中点，的中点．则在旋转过程中，线段的最小值________．
【答案】2.5
【解析】
【分析】本题主要考查旋转的性质，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，三角形的三边关系，解题的关键是掌握旋转的性质。
连接，根据将绕顶点顺时针旋转得到，可得，，
由为的中点，知，求出，当，，不能构成三角形，且在上时，取最小值，此时．
【详解】解：连接，如图：
将绕顶点顺时针旋转得到，
，，
为的中点，
，
，为中点，
，
在中，，
当，，不能构成三角形，且在上时，取最小值，此时，如图：
的最小值为．
故答案为：．
三．解答题（6＋6＋6＋8＋8＋9＋9＋10＋10＝72分）
18. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂及二次根式的运算法则是解题关键．
化简二次根式，负整数指数幂，绝对值，零指数幂，然后再计算．
【详解】解：
=
=．
19. 求代数式x（2x﹣1）﹣2（x﹣2）（x+1）的值，其中x＝2016．
【答案】x+4，2020
【解析】
【分析】原式利用单项式乘以多项式法则，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式＝2x2﹣x﹣2x2+2x+4＝x+4，
当x＝2016时，原式＝2016+4＝2020．
【点睛】本题主要考查整式乘除运算，熟练掌握整式的乘除运算是解题的关键．
20. 解方程组
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．用加减消元法求解即可．
【详解】解：，
，得
，
∴，
把代入①，得
，
∴．
∴．
21. 如图，在中，点E是边的中点，连接并延长与的延长线交于F．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若平分，，，求的面积．
【答案】（1）见详解；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据得到，即可得到，从而得到，即可得到，即可得到证明；
（2）根据得到，结合即可得到，从而得到为等边三角形，即可得到答案．
【小问1详解】
证明：∵四边形平行四边形，
∴，，
∴，
在与中，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴为等边三角形，
∵四边形是平行四边形，
∴ ，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴ ，
∴的面积是：
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质，解题的关键是根据平行四边形的性质得到是等边三角形．
22. 每年6月6日为“全国爱眼日”．按照国家视力健康标准，学生视力状况如下表所示为了解某学校学生视力状况，随机抽查了若干名学生进行视力检测，整理样本数据，得到下列统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽查的学生中，视力状况属于A类的学生有______人，D类所在扇形的圆心角的度数是______；
（2）对于本次抽查的学生视力数据，中位数所在类别为______类；
（3）已知该校共有300名学生，请估计该校“中度视力不良（C类）”和“重度视力不良（D类）”的学生总人数．
【答案】（1）4；
（2）B（3）135人
【解析】
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、统计表、中位数以及用样本估计总体等知识，关键是从扇形统计图和统计表中找出相应的数据．
（1）首先利用类的人数和所占的百分比求得总人数，然后乘以类所占的百分比即可求得类学生的人数；用周角乘以类所占的百分比求出圆心角的度数即可；
（2）利用中位数的定义求解即可；
（3）用样本数据估计总体数据即可．
小问1详解】
解：观察两个统计题知：类有7人，占，
所以调查的总人数为（人，
所以视力情况属于类的学生有（人，
类所在扇形的圆心角的度数为．
故答案为：4，；
【小问2详解】
解：每类人数分别为4人，7人，8人，1人，共20人，
所以中位数为第10人和第11人的平均数，均落在了类，
所以本次抽查的学生视力数据，中位数所在类别为类．
故答案为：；
【小问3详解】
解：（人，
所以估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数为135人．
23. 如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且∠BAC＝2∠CDE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若cosB＝，CE＝2，求DE．
【答案】（1）详见解析；（2）DE＝4
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理得出∠ADC=90°，按照等腰三角形的性质和已知的2倍角关系，证明∠ODE为直角即可；
（2）通过证得△CDE∽△DAE，根据相似三角形的性质即可求得．
【详解】（1）如图，连接OD，AD，
∵AC是直径，
∴∠ADC＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴∠BAC=2∠CAD＝2∠BAD，
∵∠BAC＝2∠CDE．
∴∠CDE＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠CAD＝∠ADO，
∵∠ADO+∠ODC＝90°，
∴∠ODC+∠CDE＝90°
∴∠ODE＝90°
又∵OD是⊙O的半径∴DE是⊙O的切线；
（2）∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠ACB=∠B，
∴cos∠ACB=cosB＝
∴AC＝3DC，设DC＝x，则AC＝3x，
∴，
∵∠CDE＝∠CAD，∠DEC＝∠AED，
∴△CDE∽△DAE，
∴，即
∴DE＝4
【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线构造直角三角形或等腰三角形．
24. 乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：）．测得如下数据：
水平距离 /
竖直高度 /
（1）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是；
②求满足条件的抛物线解析式；
（2）技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长为，球网高为．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度的值约为．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）．
【答案】（1）①；；②
（2）乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数图象的平移；
（1）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当时，；
②待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为，根据题意当时，，代入进行计算即可求解．
【小问1详解】
①观察表格数据，可知当和时，函数值相等，则对称轴为直线，顶点坐标为，
又抛物线开口向下，可得最高点时，与球台之间的距离是，
当时，，
∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是；
故答案为：；．
②设抛物线解析式为，将代入得，
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
∵当时，抛物线的解析式为，
设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为，则平移距离为，
∴平移后的抛物线的解析式为，
依题意，当时，，
即，
解得：．
答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为．
25. 【问题背景】
小明遇到这样一个问题：如图1，在中，，平分，试判断和之间的数量关系．
【初步探索】
小明发现，将沿翻折，使点A落在边上的E处，展开后连接，则得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2）
（1）写出图2中全等的三角形____________________；
（2）直接写出和之间的数量关系__________________；
【类比运用】
（3）如图3，在中，，平分，求的周长．
小明的思路：借鉴上述方法，将沿翻折，使点C落在边上的E处，展开后连接，这样可以将问题解决（如图4）；
请帮小明写出解答过程：
【实践拓展】
（4）如图5，在一块形状为四边形ABCD的空地上，养殖场丁师傅想把这块地用栅栏围成两个小型的养殖场，即图5中的和，若平分．请你帮丁师傅算一下需要买多长的栅栏．
【答案】（1）；（2）；（3）的周长为5；（4）需要买长的栅栏
【解析】
【分析】（1）将沿翻折得到，则，即可得答案；
（2）由，得，由翻折得，，得，所以，于是；
（3）将沿翻折，使点C落在边上的点E处，展开后连接，则，，于是得，则，得，所以，即可得答案；
（4）将沿翻折，使点C落在边上的点E处，连接，作于F，设，则，可得方程，解得：，即可求得，，则，可得答案．
【详解】解：（1）如图2，
沿翻折得到
；
（2），
理由：，
，
由翻折得，，
，
，
，
，
；
（3）如图4，将沿翻折，使点C落在边上的点E处，展开后连接，
由翻折得，，
，
，
，
，
，
，
，
的周长为5；
（4）如下图5，将沿翻折，使点C落在边上的点E处，连接，作于F，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
解得：，
，
，
，
需要买长的栅栏．
【点睛】此题考查了轴对称的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的角平分线及三角形的周长，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
26. 如图，在等腰直角三角形中，，点A在x轴上，点B在y轴上，点，二次函数的图象经过点C．
（1）求二次函数的解析式，并把解析式化成的形式；
（2）把沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求线段扫过区域的面积；
（3）在抛物线上是否存在异于点C的点P，使是以为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）7（3）存在，
【解析】
【分析】(1)将点C的坐标代入抛物线的解析式，可求得b的值，从而可得到抛物线的解析式，然后利用配方法可将抛物线的解析式变形为的形式即可；
(2)过点C作轴，垂足为点K，首先证明，从而可得到，，于是可得到点A、B的坐标，然后依据勾股定理求得的长，然后求得点D的坐标，从而可求得三角形平移的距离，最后，依据线段扫过区域的面积为，求解即可；
(3)当时，过点P作轴，垂足为G，先证明，从而可得到点P的坐标，然后再判断点P的坐标是否满足抛物线的解析式即可，当，过点P作轴，垂足为点F，同理可得到点P的坐标，然后再判断点P的坐标是否满足抛物线的解析式即可．
【小问1详解】
解：∵点在二次函数的图象上，
，解得：，
∴二次函数的解析式为，
；
【小问2详解】
解：过点C作轴，垂足为K．
为等腰直角三角形，
．
又，
．
又，
．
在和中，
，
，
，．
，．
∴当点B平移到点D时，设，
则，解得（舍去）或．
∴线段扫过区域的面积为：；
【小问3详解】
解：存在；
当时，过点P作轴，垂足为G．
为等腰直角三角形，
，．
．
又，
．
在和中，
，
，
，，
．
当时，，
∴点不在抛物线上．
当，过点P作轴，垂足为F．
同理可知：，
，，
．
当时，，
∴点在抛物线上，
综上，所有符合条件的点P的坐标为．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、平移的性质、全等三角形的性质和判定，作辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．
27. 已知ABC内接于，的平分线交于点D，连接DB，DC．
（1）如图①，当时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式：　　；
（2）如图②，当时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（3）如图③，若BC=5，BD=4，求的值．
【答案】（1）AB+AC=AD；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）在AD上截取AE=AB，连接BE，由条件可知△ABE和△BCD都是等边三角形，可证明△BED≌△BAC，可得DE=AC，则AB+AC=AD；
（2）延长AB至点M，使BM=AC，连接DM，证明△MBD≌△ACD，可得MD=AD，证得AB+AC=；
（3）延长AB至点N，使BN=AC，连接DN，证明△NBD≌△ACD，可得ND=AD，∠N=∠CAD，证△NAD∽△CBD，可得，
可由AN=AB+AC，求出的值.
【详解】解：（1）如图①在AD上截取AE=AB，连接BE，
∵∠BAC=120°，∠BAC的平分线交⊙O于点D，
∴∠DBC=∠DAC=60°，∠DCB=∠BAD=60°，
∴△ABE和△BCD都是等边三角形，
∴∠DBE=∠ABC，AB=BE，BC=BD，
∴△BED≌△BAC（SAS），
∴DE=AC，
∴AD=AE+DE=AB+AC；
故答案为AB+AC=AD．
（2）AB+AC=．理由如下：
如图②，延长AB至点M，使BM=AC，连接DM，
∵四边形ABDC内接于⊙O，
∴∠MBD=∠ACD，
∵∠BAD=∠CAD=45°，
∴BD=CD，
∴△MBD≌△ACD（SAS），
∴MD=AD，∠M=∠CAD=45°，
∴MD⊥AD．
∴AM=，即AB+BM=，
∴AB+AC=；
（3）如图③，延长AB至点N，使BN=AC，连接DN，
∵四边形ABDC内接于⊙O，
∴∠NBD=∠ACD，
∵∠BAD=∠CAD，
∴BD=CD，
∴△NBD≌△ACD（SAS），
∴ND=AD，∠N=∠CAD，
∴∠N=∠NAD=∠DBC=∠DCB，
∴△NAD∽△CBD，
∴，
∴，
又AN=AB+BN=AB+AC，BC=5，BD=4，
∴．
【点睛】本题属于圆的综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线解决问题．

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