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第二章 投影原理
第一节 投影的基本知识
第二节 正投影的基本特征
第三节 点、直线、平面的投影
第四节 基本形体的投影
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第一节 投影的基本知识
一、投影的概念
在光线的照射下,人和物在地面或墙面上产生影子的现象,早已为人们所知.人们经过长期的实践,将这些现象加以抽象、分析研究和科学总结,从中找出影子和物体之间的关系,用以指导工程实践.这种光线照射形体,在预先设置的平面上投影产生影像的方法,称为投影法.如图2-1所示,光源称为投影中心;从光源发射出去的光线称为投影线;预设的平面称为投影面;形体在预设平面上的影像称为形体在投影面上的投影;投影中心和投影面以及它们所在的空间称为投影体系.在这个体系中,假设投影线可以穿透形体,使所产生的“影子”不像真实的影子那样黑色一片,如图2-1(a)所示,而能在“影子”范围内用轮廓线来显示形体的感光面的形状;
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第一节 投影的基本知识
同时,又假设形体受光面的下方还有不同形状的轮廓线,用虚线来显示,如图2-1(b)所示.另外,对投影线的方向也作出了假定,使其能够产生合适的投影.
二、投影的分类
根据投影中心的距离和投影面远近的不同,投影可分为中心投影和平行投影两类.
(一)中心投影
中心投影即在有限的距离内,由投影中心S 发射出的投影线所产生的投影,如图2-2所示.其特点是:投影线相交于一点,投影图的大小与投影中心S 距离投影面的远近有关,在投影中心S 与投影面P 距离不变的情况下,物体离投影中心S 越近,投影图越大,反之则越小.
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第一节 投影的基本知识
用中心投影法绘制物体的投影图称为透视图,如图2-3所示.其直观性很强,形象逼真,常用作建筑方案设计图和效果图.但其绘制比较烦琐,而且建筑物等的真实形状和大小不能直接在图中度量,不能作为施工图用.
(二)平行投影
如果投影中心S 距离投影面无限远,则投影线可视为相互平行的直线,由此产生的投影,则称为平行投影.其特点是:投影线互相平行,所得投影的大小与物体距离投影中心的远近无关.根据互相平行的投影线与投影是否垂直,平行投影又可分为正投影和斜投影.
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第一节 投影的基本知识
1.正投影
如投影线与投影面相互垂直,由此所作出的平行投影称为正投影,也称为直角投影,如图2-4(a)所示.采用正投影法,在3个互相垂直相交且平行于物体主要侧面的投影面上所作出的物体投影图,称为正投影图,如图2-5所示.该投影图能够较为真实地反映物体的形状和大小.其度量性好,多用于绘制工程设计图和施工图.
2.斜投影
投影线斜交投影面所作出物体的平行投影,称为斜投影,如图2-4(b)所示.用斜投影法可绘制斜轴测图,如图2-6所示.斜轴测图有一定的立体感,作图简单,但不能准确地反映物体的形状,使视觉上变形和失真,只能作为工程的辅助图样.
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第一节 投影的基本知识
三、平行投影的特性
平行投影的特性有平行性、定比性、度量性、类似性、积聚性等,如图2-7所示.
1.平行性
空间两直线平行(AB∥CD),则其在同一投影面上的投影仍然平行(ab∥cd),如图2-7(a)所示.通过两平行直线AB 和CD 的投影线所形成的平面ABba 和CDdc 平行,而两平面与同一投影面P 的交线平行,即ab∥cd.
2.定比性
点分线段为一定比例,点的投影分线段的投影为相同的比例,如图2-7(b)所示,AC∶CB=ac∶cb.
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第一节 投影的基本知识
3.度量性
线段或平面图形平行于投影面,则在该投影面上反映线段的实长或平面图形的实形,如图2-7(c)所示,AB=ab, 也就是该线段的实长或平面图形的实形,可以直接从平行投影中确定和度量.
4.类似性
线段或平面图形不平行于投影面,其投影仍是线段或平面图形,但不反映线段的实长或平面图形的实形,其形状与空间图形相似,这种性质称为类似性.如图2-7(d)所示,ab<AB,△CDE∽△cde.
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第一节 投影的基本知识
5.积聚性
当直线或平面图形平行于投影线(正投影则垂直于投影面)时,其投影积聚为一点或一条直线,如图2-7(e)所示,该投影称为积聚投影,这种特性称为积聚性.
四、工程中常用的投影图
为了清楚地表示工程中的不同对象,满足工程建设的需要,工程中常用的投影图有4种,即透视投影图、轴测投影图、正投影图和标高投影图.
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第一节 投影的基本知识
1.透视投影图
运用中心投影的原理绘制的具有逼真立体感的单面投影图称为透视投影图,简称透视图,如图2-8所示.它真实、直观、具有空间感,且符合人们的视觉习惯,但绘制较为复杂,形体的尺寸不能在投影图中度量和标注,不能作为施工的依据,仅用于建筑、室内设计等方案的比较以及美术、广告等.
2.轴测投影图
运用平行投影的原理在一个投影图上作出的具有较强立体感的单面投影图称为轴测投影图,如图2-9所示.其特点是作图较透视图简单,相互平行的线可平行画出,但其立体感稍差,常作为辅助图样.
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第一节 投影的基本知识
3.正投影图
运用正投影法使形体在相互垂直的多个投影面上得到投影,然后按规则展开在一个平面上所得到的投影图称为正投影图,如图2-10所示.其优点是作图较以上各图简单,便于度量和标注尺寸,形体的平面平行于投影面时能够反映其实形,所以,其在工程上应用最多.其缺点是无立体感,需多个正投影图结合起来分析想象,才能得出立体形象.
4.标高投影图
标高投影图是标有高度数值的水平正投影图,在建筑工程中常用于表示地面的起伏变化、地形、地貌.作图时,用一组上、下等距的水平剖切平面剖切地面,其交线反映在投影图上称为等高线.将不同高度的等高线自上而下投影在水平投影面上时,便可得到等高线图,称为标高投影图,如图2-11所示.
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第二节 正投影的基本特征
采用正投影法进行投影所得的图样,称为正投影图.正投影图能够在各自的投影面中,确切地反映所画形体对应面的几何形状.其主要特点是便于度量尺寸,能满足生产技术上的要求.但它缺乏立体感,需要经过一定的训练才能读懂图纸.
一、投影面的设置
如图2-12所示,H 投影面上的投影图,可以是形体Ⅰ的投影,也可以是形体Ⅱ的投影,还可能是其他几何形体的投影.因此,用一个投影面投影所绘出的投影图,一般不能反映确切的空间形体,故需要适当增加投影面.至于要增加几个投影面,则要由形体的复杂程度而定.在初学制图时,常以三投影面投影体系进行基本训练.
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第二节 正投影的基本特征
我国规定采用第一角画法,即将形体放置在观察者和相应的投影面之间进行投影.在第一角三个投影面中,正立在观察者对面的投影面称为正立投影面,简称“正面”,用字母V 标记;水平放置的投影面称为水平投影面,简称“水平面”,用字母H 标记;右侧的投影面称为侧立投影面,简称“侧面”,用字母W 标记.OX、OY、OZ 3根坐标轴互相垂直,其交点称为原点.
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第二节 正投影的基本特征
二、投影面的展开
为了把3个互相垂直的投影面的投影图表示在平面图纸上,以便于作图,需要将互相垂直的投影面按一定规律展开摊平在同一平面内.按照规定,投影面展开时,V 投影面不动,H 投影面绕投影轴OX 向下旋转90°,W 投影面绕投影轴OZ 向右旋转90°.此时,投影轴OY 假想分成两根,一根随W 投影面旋转至与OX 轴处在同一直线上,记作YW ;另一根随H 投影面旋转至与OZ 轴处在同一直线上,记作YH ,这样使得V、H 、W 投影面处于同一平面图纸上(图2-14).作图时,因理论上投影面是无限大的,故通常在工程图样上不画投影面的边线和投影轴,各投影面的名称也不标注,可由投影位置关系来识别投影面,但初学制图时,仍可保留投影轴和标注.
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第二节 正投影的基本特征
三、正投影规律及尺寸关系
如图2-14所示,V 投影图反映形体的长与高;H 投影图反映形体的长与宽;W 投影图反应形体的高与宽.因此,相邻投影图同一个方向的尺寸相等,即:V、H 投影图中的相应投影长度相等,并且对正,简称“长对正”.V、W 投影图中的相应投影高度相等,并且平齐,简称“高平齐”.
H 、W 投影图中的相应投影宽度相等,并且量取的YH 等于YW ,简称“宽相等”.应当指出,不论是什么样的形体,只要对其进行正投影,形体中的每一部分在各投影上都要符合“长对正、高平齐、宽相等”的投影规律及尺寸关系.
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第二节 正投影的基本特征
四、正投影图中的方位关系
人们对于汽车的前、后、上、下、左、右位置关系,一般都能够区分得清楚.如图2-15所示的立体图,它与投影图的方位有着相同的对应关系.V 投影面反映汽车的上下、左右、前;H 投影面反映汽车的前后、左右、上;W 投影面反映汽车的前后、上下、左.从投影图中可以看出,Y 投影面上标注的前,直接图示出形体(汽车)前面形状轮廓线的投影;H 投影面上标注的上,直接图示出形体上面形状轮廓线的投影;W 投影面上标注的左,直接图示出形体左侧面形状轮廓线的投影.
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第二节 正投影的基本特征
可以根据方位来判别形体上的点、线、面的相对位置.例如,判别汽车的反光镜在汽车前灯的什么位置时,可设反光镜为A 点,前灯为B 点,从图2-15所示投影图的分析可以看出,A 点在B 点的左、后、上方,若反过来问,则B 点在A 点的右、前、下方.
图2-16所示为木榫头的投影方位,判别CD 线在AB 线的什么位置时,从图中的分析可以看出,CD 线在AB 线的左、后、下方;反之,则AB 线在CD 线的右、前、上方.
在投影图中,一般规定空间点用大写字母表示,在三投影面上的投影用同一字母的小写字母表示,且在H 投影上只用小写字母表示,V 投影则在小写字母的右上角加一撇表示,W 投影则在小写字母的右上角加两撇表示
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第二节 正投影的基本特征
例如,图2-16中空间位置的形体上标注了交点A,该点在三投影面上的标注用同一字母的小写字母a、a′、a″表示;反之,a、a′、a″也表示了空间点A .
五、正投影的重影性与积聚性
1.重影性及其可见性
如果两个或两个以上的空间点(或线、面)不连续,但它们是位于同一投影线上的投影,则各点(或线、面)必然重影在投影面上,这种特性叫作重影性.为了剖析重影性,还需判别其可见性.对H 投影,在上的点(或线、面)可见,在下的点(或线、面)不可见(图2-17),V、W 投影的可见性判别类同.在投影图上一般规定,重影点中不可见点的投影用小写字母加括号表示.
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第二节 正投影的基本特征
2.积聚性
垂直于投影面的直线,其正投影为一点,该直线上的任意一点的投影也落在这一点上,如图2-17(a)所示;垂直于投影面的平面,其正投影为一条线,该面上的任意一点或线或其他图形的投影也都积聚在这条线上,如图2-17(b)所示.投影中的这种特性称为积聚性.
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第三节 点、直线、平面的投影
用三面正投影表示一个物体是各种工程图中常用的表现手法.众所周知,建筑形体大多是由多个平面组成的,各平面相交于多条棱线,各条棱线又相交于多个顶点,因此,研究空间中点、线、面的投影规律是绘制建筑工程图样的基础.
一、点的投影
点虽然在任何投影面上的投影均是点,但它是绘制线、面、体投影的基础,学习物体在三面正投影体系中的投影,必须从点投影入手.
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第三节 点、直线、平面的投影
(一)点的三面投影
点A 在三面投影体系中的投影如图2-18所示.过点A 分别向H 面、V 面和W 面作投影线,投影线与投影面的交点a、a′、a″,就是点A 的三面投影图.点A 在H 面上的投影a,称为点A 的水平投影;点A 在V 面上的投影a′,称为点A 的正面投影;点A 在W 面上的投影a″,称为点A 的侧面投影.
(二)点的投影标记
根据制图规定,在三面投影图中,空间点应用大写拉丁字母,如A、B、C.表示;投影点则用同名小写字母,如a、b、c…表示.为了使各投影点号之间有所区别,在H 面的投影用相应的小写字母表示,在V 面的投影用相应的小写字母右上角加一撇表示,在W 面的投影用相应的小写字母右上角加两撇表示.如点A 的三面投影分别用a、a′、a″表示.
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第三节 点、直线、平面的投影
在制图时,点的投影用小圆圈画出(直径小于1mm);点号写在投影点的近旁,并标在所属的投影面积区域中,如图2-18所示.
(三)点的投影规律
(1)点的水平投影和正面投影的连线垂直于OX 轴,即aa′⊥OX.
(2)点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ 轴,即a′a″⊥OZ.
(3)点的水平投影到X 轴的距离等于点的侧面投影到Z 轴的距离,即aaX =a″aX .以上三条投影规律,就是被称为“长对正、高平齐、宽相等”的三等关系.它也说明,在点的三面投影图中,每两个投影都有一定的联系.只要给出点的任何两面投影,就可以求出第三面投影.
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第三节 点、直线、平面的投影
(四)点的空间位置及坐标
1.点的空间位置
点在空间中的位置大致有4种,即点悬空、点在投影面上、点在投影轴上、点在投影原点处.点处于悬空状态,如图2-18(a)所示,点处于投影面上、投影轴上、投影原点上,如图2-20所示.
2.点的坐标
研究点的坐标,也就是研究点与投影面的相对位置.在H 、V、W 投影体系中,常将H 、V、W 投影面看成坐标面,而3 条投影轴则相当于3 条坐标轴OX、OY、OZ,3轴的交点为坐标原点,如图2-18所示.
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第三节 点、直线、平面的投影
空间点到3个投影面的距离就等于它的各方向坐标值,也就是点A 到W 面、V 面和H 面的距离Aa″、Aa′和Aa 分别称为x 坐标、y 坐标和z 坐标.空间点的位置可用A(x,y,z)的形式表示,所以,A 点的水平投影a 的坐标是(x,y,0);正面投影的a′的坐标是(x,0,z);侧面投影a″的坐标是(0,y,z).
空间点的位置不仅可以用其投影确定,也可以由它的坐标确定.若已知点的三面投影,就可以量出该点的3个坐标;反之,已知点的坐标,也可以作出该点的三面投影.
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第三节 点、直线、平面的投影
二、直线的投影
直线是点沿着某一方向运动的轨迹.当已知直线2个端点的投影时,连接2个端点的投影即可得直线的投影.直线与投影面之间按相对位置的不同可分为一般位置直线、投影面平行线和投影面垂直线3种,后2种直线称为特殊位置直线.
(一)一般位置直线
3个投影面均倾斜的直线称为一般位置直线,也称为倾斜线,如图2-22所示.一般位置直线倾斜于3个投影面,对3个投影面均有倾斜角,称之为直线对投影面的倾角,分别用α、β、γ 表示.其投影特性如下:
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第三节 点、直线、平面的投影
(1)直线的3个投影都是倾斜于投影轴的斜线,但长度缩短,不反映实际长度.
(2)各个投影与投影轴的夹角不反映空间直线对投影面的倾角.
(二)投影面平行线
投影面平行线是指平行于某一个投影面,而倾斜于其他两个投影面的直线.它有水平线、正平线和侧平线3种状态.
(1)水平线是指平行于水平投影面的直线,即与H 面平行,但与V 面、W 面倾斜的直线.
(2)正平线是指平行于正立投影面的直线,即与V 面平行,但与H 面、W 面倾斜的直线.
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第三节 点、直线、平面的投影
(3)侧平线是指平行于侧立投影面的直线,即与W 面平行,但与V 面、H 面倾斜的直线.投影面平行线在它所平行的投影面上的投影反映实长,且该投影与相应投影轴的夹角,反映直线与其他两个投影面的倾角;直线在另外两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴,但不反映实长..在投影图上,如果有一个投影平行于投影轴,而另有一个投影倾斜,那么,这个空间直线一定是投影面的平行线.
(三)投影面垂直线
投影面垂直线是垂直于某一投影面,同时也平行于另外两个投影面的直线.投影面垂直线可分为铅垂线、正垂线和侧垂线.
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第三节 点、直线、平面的投影
(1)铅垂线是垂直于水平投影面的直线,即只垂直于H 面,同时平行于V 面、W 面的直线.
(2)正垂线是垂直于正立投影面的直线,即只垂直于V 面,同时平行于H 面、W 面的直线.
(3)侧垂线是垂直于侧立投影面的直线,即只垂直于W 面,同时平行于V 面、H 面的直线.
投影面垂直线在它所垂直的投影面上的投影积聚为一点;直线在另两个投影面上的投影反映实长且垂直于相应的投影轴.
在投影面上,只要有一条直线的投影积聚为一点,那么,它一定为投影面的垂直线,并且垂直于积聚投影所在的投影面.
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第三节 点、直线、平面的投影
(四)直线投影图的识读
识读直线投影图,首先要判别直线在空间中的位置.直线在空间中的位置,应根据直线在三面投影图中的特性来确定.例如,在投影图中,有一个投影平行于投影轴,而另一个投影倾斜,那么,这一空间直线一定为投影面的平行线.如判别图2-23中三面投影图里直线AB、CD、EF 的空间位置.判别方法如下:
(1)直线AB 的3个投影都倾斜,故它为投影面的一般位置线.
(2)直线CD 在H 面和W 面上的投影分别平行于OX 和OZ,而在V 面上的投影倾斜,故它为V 面的平行线(即正平线).
(3)直线EF 在H 面上的投影积聚成一点,在V 面和W 面上的投影分别垂直于OX 和OYW ,故它为H 面的垂直线(即铅垂线).
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第三节 点、直线、平面的投影
三、平面的投影
平面是直线沿某一方向运动的轨迹.要作出平面的投影,只要作出构成平面图形轮廓的若干点与线的投影,然后连成平面图形即可得到.平面与投影面之间按相对位置的不同可分为一般位置平面、投影面垂直面和投影面平行面,后两种统称为特殊位置平面.
(一)一般位置平面
与3个投影面均倾斜的平面称为一般位置平面,也称为倾斜面,如图2-24所示.从图中可以看出,一般位置平面的各个投影均为原平面图形的类似图形,且比原平面图形本身的实形小.它的任何一个投影,既不反映平面的实形,也无积聚性.
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第三节 点、直线、平面的投影
(二)投影面垂直面
投影面垂直面是垂直于某一投影面的平面,对其余两个投影面倾斜.投影面垂直面可分为铅垂面、正垂面和侧垂面.
(1)铅垂面是垂直于水平投影面的平面,即垂直于H 面,倾斜于V、W 面的平面.
(2)正垂面是垂直于正立投影面的平面,即垂直于V 面,倾斜于H 、W 面的平面.
(3)侧垂面是垂直于侧立投影面的平面,即垂直于W 面,倾斜于H 、V 面的平面.投影面垂直面在它所垂直的投影面上的投影积聚为一条斜直线,它与相应投影轴的夹角反映该平面对其他两个投影面的倾角;在另两个投影面上的投影反映该平面的类似图形且小于实形,其投影特性见表2-3.
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第三节 点、直线、平面的投影
一个平面只要有一个投影积聚为一条平行于投影轴的直线,那么该平面就平行于非积 聚投影所在的投影面,并且反映实形.
(三)投影面平行面
投影面平行面是平行于某一投影面的平面,同时也垂直于另外两个投影面.投影面平行面可分为水平面、正平面和侧平面.
(1)水平面是平行于水平投影面的平面,即平行于H 面,同时垂直于V 面、W 面的平面.
(2)正平面是平行于正立投影面的平面,即平行于V 面,同时垂直于H 面、W 面的平面.
(3)侧平面是平行于侧立投影面的平面,即平行于W 面,同时垂直于V 面、H 面的平面.
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第三节 点、直线、平面的投影
影面平行面在它所平行的投影面的投影反映实形,在其他两个投影面上的投影积聚为直线,且与相应的投影轴平行.
一个平面只要有一个投影积聚为一条平行于投影轴的直线,那么该平面就平行于非积聚投影所在的投影面,并且反映实形.
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第四节 基本形体的投影
一般建筑物或建筑构件的形状虽然复杂多样,若用形体分析法去观察这些形体,其都可以看成由长方体、棱柱、棱台、圆柱、圆锥、圆锥台、球等基本几何体(简称“基本体”)按一定方式组合而成.如图2-28所示的纪念碑,该形体可以看成由棱锥、棱台和若干棱柱所组成.因此,在识读建筑形体的投影图之前,应先掌握基本形体的投影图读法.
一、建筑形体的组成
建筑形体都是具有三维坐标的实体,任何复杂的实体都可以看成由一些简单的基本形体组合而成.因此,研究建筑形体的投影,首先要研究组成建筑形体的基本形体的投影.
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第四节 基本形体的投影
常见的基本形体中,平面体有棱柱、棱锥、棱台等,曲面体有圆柱、圆锥、圆球、圆环等.图2-29(a)所示的柱和基础是由圆柱体、四棱台和四棱柱组成的;而图2-29(b)所示的台阶是由两个四棱柱和侧面的五棱柱组成的.
三平面构成的几何体称为平面几何体.在建筑工程中,多数构配件是由平面几何体构成的.根据各棱体的棱线的相互关系,平面几何体又可分为各棱线相互平等的几何体———棱柱体,如正方体、长方体、三棱体等;各棱线或其延长线交于一点的几何体———棱锥体,如三棱锥、四棱台等,如图2-30所示.
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第四节 基本形体的投影
二、平面图的投影
基本形体的表面由平面围成的形体称为平面体,也称为平面几何体.在建筑工程中,多数构配件是由平面几何体构成的.根据各棱体中棱线之间的相互关系,平面几何体可以分为棱柱体和棱锥体两种.棱柱体是体;棱锥体是各棱线或其延长线交于一点的几何体,如三棱锥、四棱台等.
(一)长方体的投影
长方体是由前、后、左、右、上、下6个平面构成的,且各平面相互垂直.只要按照投影规律画出各个表面的投影,即可得到长方体的投影图.图2-31所示为某长方体的三面投影图.根据长方体在三面投影体系中的位置,底面、顶面平行于H 面,则在H 面的投影反映实形,并且相互重合;前后面、左右面垂直于H 面,其投影积聚成为直线,构成长方形的各条边.
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第四节 基本形体的投影
(二)棱柱体的投影
棱柱体是指有两个互相平行的多边形平面,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体.这两个互相平行的平面称为棱柱的底面,其余各平面称为棱柱的侧面,侧面的公共边称为棱柱的侧棱.常见的棱柱体有三棱柱、五棱柱、六棱柱等.
(三)棱锥体的投影
棱锥与棱柱的区别是侧棱线交于一点,即锥顶.棱锥的底面是多边形,各个棱面都是有一个公共顶点的三角形.正棱锥的底面是正多边形,顶点在底面的投影为多边形的中心.棱锥体的投影仍是空间一般位置和特殊位置平面投影的集合,其投影规律和方法同平面.
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第四节 基本形体的投影
(四)棱台体的投影
用平行于棱锥底面的平面切割棱锥后,底面与截面之间剩余的部分称为棱台体.截面与原底面称为棱台的上、下底面,其余各平面称为棱台的侧面,相邻侧面的公共边称为侧棱,上、下底面之间的距离为棱台的高.棱台分别有三棱台、四棱台、五棱台等.
1.三棱台的投影
为了方便作图,应使棱台上、下底面平行于水平投影面,并使侧面两条侧棱平行于正立投影面,如图2-37所示.其作图步骤如下:
(1)作水平投影.由于上底面和下底面为水平面,水平投影反映实形,为两个相似的三角形.其余各侧面倾斜于水平投影面,水平投影不反映实形,是以上、下底面水平投影相应边为底边的3个梯形.
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第四节 基本形体的投影
(2)作正面投影.棱台上、下底面的正面投影积聚成平行于OX 轴的线段;侧面ACFD和ABED 为一般位置平面,其正面投影仍为梯形;BCFE 为侧垂面,其正面投影不反映实形,仍为梯形,并与另两个侧面的正面投影重合.
(3)作侧面投影.棱台上、下底面的侧面投影分别积聚成平行于OY 轴的线段,侧垂面BCFE 也积聚成倾斜于OZ 轴的线段,而ACFD 与ABED 重合成为一个梯形.
2.四棱台的投影
用同样的方法作四棱台的投影,如图2-38所示.在四棱台的3个投影中,其中一个投影有两个相似的四边形,且各相应顶点相连;另外两个投影仍为梯形.
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第四节 基本形体的投影
由上述三棱台、四棱台的投影可得:在棱台的三面投影中,其中一个投影中有两个相似的多边形,且各相应顶点相连构成梯形;另两个投影分别为一个或若干个梯形.反之,若一个形体的投影中有两个相似的多边形,且两个多边形的相应顶点相连构成梯形,其余两个投影也为梯形,则可以得出这个形体为棱台,从相似多边形的边数可以得知棱台的棱数.
三、曲面立体的投影
由曲面或曲面与平面围成的立体称为曲面体.圆柱、圆锥、圆球等都是工程上常见的曲面体,由它们可以组合成不同形状的建筑物.例如,上海“东方明珠”电视塔是用球体、圆柱体等几何图形经过有机的组合构成的.
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第四节 基本形体的投影
(1)回转体的形成.由于曲面体的曲表面均可看成由一根动线绕着一固定轴线旋转而成,故这类形体又称为回转体.图中的固定轴线称为回转轴,动线称为母线.
1)当母线为直母线且平行于回转轴时,形成的曲面为圆柱面.
2)当母线为直母线且与回转轴相交时,形成的曲面为圆锥面.圆锥面上的所有母线交于一点,称为锥顶.
3)由圆母线绕其直径回转而成的曲面称为圆球面.
(2)素线和轮廓素线.
1)素线.母线绕回转轴旋转到任一位置时,称为素线.
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第四节 基本形体的投影
2)轮廓素线.将物体置于投影体系中,在投影时能构成轮廓的素线,称为轮廓素线.
显然轮廓素线的确定与投影体系及物体的摆放方位有关,不同的方位将产生不同的轮廓素线.通常,在圆柱竖放时,常说的4条轮廓素线分别为:从前向后看时圆柱面上最左与最右的2条素线和从左向右看时圆柱面上最前与最后的2条素线.
(3)纬圆.由回转体的形成可知,母线上任意一点的运动轨迹为圆,该圆垂直于轴线,此即纬圆.
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第四节 基本形体的投影
(一)圆柱体的投影
圆柱体是由圆柱面和两个圆形底面组成的.如图2-40所示,圆柱面可看成由一条直线AA0绕与它平行的轴线OO0旋转而成.运动的直线AA0称为母线.圆柱面上与轴线平行的直线称为圆柱面的素线.母线AA0上任意一点的轨迹就是圆柱面的纬圆.如图2-41所示,当圆柱体的轴线为铅垂线时,圆柱面所有的素线都是铅垂线,在平面图上积聚为一个圆,圆柱面上所有的点和直线的水平投影都在平面图的圆上;其正立面图和侧立面图上的轮廓线为圆柱面上最左、最右、最前、最后轮廓素线的投影.圆柱体的上、下底面为水平面,水平投影为圆(反映实形),另两个投影积聚为直线.
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第四节 基本形体的投影
如图2-41(c)所示,圆柱体投影图的作图步骤如下:
(1)作圆柱体三面投影图的轴线和中心线,然后由直径画出圆柱的水平投影圆.
(2)由“长对正”和高度作正面投影矩形.
(3)由“高平齐、宽相等”作侧面投影矩形.
(二)圆锥体的投影
圆锥体是由圆锥面和一个底面组成的.圆锥面可看成由一条直线绕与它相交的轴线旋转而成.圆锥放置时,应使轴线与水平面垂直,底面平行于水平面,以便作图,如图2-42所示.
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第四节 基本形体的投影
如图2-42(a)所示,当圆锥体的轴线为铅垂线时,其正立面图和侧立面图上的轮廓线为圆锥面上最左、最右、最前、最后轮廓素线的投影.圆锥体的底面为水平面,水平投影为圆(反映实形),另两个投影积聚为直线.
与圆柱一样,圆锥的V 面、W 面的投影代表了圆锥面上不同的部位.正面投影是前半部投影与后半部投影的重合,而侧面投影是圆锥左半部投影与右半部投影的重合.如图2-42(b)所示,圆锥体的作图步骤如下:
(1)先画出圆锥体三面投影的轴线和中心线,然后由直径画出圆锥的水平投影圆.
(2)由“长对正”和高度作底面及圆锥顶点的正面投影,并连接成等腰三角形.
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第四节 基本形体的投影
(3)由“宽相等、高平齐”作侧面投影等腰三角形.
(三)圆球体的投影
圆球体是由一个圆球面组成的.如图2-43(a)所示,圆球面可看成由一条半圆曲线绕以它的直径作为轴线的OO0旋转而成.母线、素线和纬圆的意义都是一样的.如图2-43(b)所示,球体的三面投影均为与球的直径大小相等的圆,故又称为“三圆为球”.V 面、H 面和W 面投影的3个圆分别是球体的前、上、左3个半球面的投影,后、下、右3个半球面的投影分别与之重合;3个圆周代表了球体上分别平行于正面、水平面和侧面的三条素线圆的投影.由图2-43(b)还可以看出,圆球面上直径最大的、平行于水平面和侧面的圆A 与圆B 的正面投影分别积聚在过球心的水平与铅垂中心线上.
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第四节 基本形体的投影
如图2-43(c)所示,圆球体的作图步骤如下:
(1)画圆球面3个投影圆的中心线.
(2)以球的直径为直径画3个等大的圆,即各个投影面的投影圆.
(四)圆环的投影
圆环是由一个圆环面组成的,如图2-44(a)所示.圆环面可以看成由一条圆曲线绕与圆所在平面上且在圆外的直线作为轴线OO0旋转而成,圆上任意点的运动轨迹为垂直于轴线的纬圆.
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第四节 基本形体的投影
如图2-44(b)所示,圆环的正面投影是最左、最右两个素线圆和与该圆相切的直线,其素线圆是圆环面正面投影的轮廓线,其直径等于母线圆的直径;直线是母线圆最上和最下的点的纬圆的积聚投影,其投影长度等于此点纬圆的直径,也就是母线圆的直径.侧面投影和正面投影分析相同,在此不再赘述.水平面的投影为3个圆,其直径分别为圆环上、下两部分的分界线的纬圆,也就是回转体的最大直径纬圆和最小直径纬圆,用粗实线画出,另一个圆用点画线画出,是母线圆圆心的轨迹.
如图2-44(c)所示,圆环的作图步骤如下:
(1)先画出三个视图的中心线的投影(细点画线).
(2)再画出各个投影面的投影圆.
(3)作出正面投影和侧面投影的切线,并将不可见部分用虚线画出.
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四、组合体的投影
(一)组合体的组合方式
由若干个几何体(基本形体)所构成的形体称为组合体.按组合方式的不同,组合体可分为以下几种.
1.叠加式组合体
叠加式组合体的主要部分由几个基本形体叠加而成,如图2-45(a)所示.
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2.切割式组合体
切割式组合体是由一个基本形体切去某些部分而成,如图2-45(b)所示,可看成在一长方体A 的左、右面中上部各挖去一个长方体B 而形成的几何体.
3.混合式组合体
混合式组合体是兼有叠加与切割两种形式的组合体,其造型复杂,形体之间进行了有机的切割与叠加,能将许多功能不一的空间组合布置,同时又加以联系,以方便使用,如图2-45(c)所示.
(二)组合体投影图的画法
画组合体投影图,通常先对组合体进行形体分析,然后按照分析,从其基本体的作图出发,逐步完成组合体的投影.
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1.形体分析
形体分析法是认识组合体构成的基本方法,其实质为假想组合体是由一些基本形体组合而成的,通过对这些基本形体的研究,间接地完成对复杂组合体的研究.其目的可用8个字来描述,即“化繁为简,化难为易”.
进行形体分析时,首先要把组合体看成由若干基本形体按一定的组合方式、位置关系组合而成,然后对组合体中基本形体的组合方式、位置关系以及投影特性等进行分析,以弄清各部分的形状特征及投影表达.
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第四节 基本形体的投影
房屋模型如图2-46(a)所示.从形体分析的角度看,它是叠加式组合体.其组合方式为:屋顶是三棱柱,屋身和烟囱是长方体,烟囱一侧的小屋则由带斜面的长方体构成;其位置关系为:烟囱、小屋均位于大屋形体的左侧,其底面都处在同一水平面上.确定房屋的正面方向,如图2-46(b)所示,以便在正立投影上反映该形体的主要特征和位置关系,在侧立投影上反映形体左侧及屋顶三棱柱的特征,而水平投影则反映各组成部分前后、左右的位置关系,如图2-46(c)所示.
在有些组合体中,如某两个或几个基本形体相切或平齐时,在正投影图中,其分界处不应画线,以免与真实表面情况不符,如图2-47所示.
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2.确定组合体在投影体系中的位置
在作图前,应对组合体在投影体系中的安放位置进行选择、确定,以利于清晰、完整地反映形体.因此,应按以下原则确定:
(1)符合平稳原则.形体在投影体系中的位置,应重心平稳,使其在各投影面上的投影图形尽量反映实形,符合日常视觉习惯及构图的平稳原则.如图2-46所示,房屋体位平稳,墙面均与V、W 面平行,能较好地反映实形.
(2)符合工作位置.有些组合体类似于工程形体,例如建筑物、水塔等,在画这些形体投影图时,应使其符合正常的工作位置,以便于理解.
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第四节 基本形体的投影
(3)摆放的位置要尽可能多地显示特征轮廓,最好使其主要特征面平行于基本投影面.通常把组合体上特征最明显(或特征最多)的那个面,平行正立投影面摆放,使正立投影反映特征轮廓.例如,建筑物的正立面图一般都用于反映建筑物的主要出入口所在墙面的情况,以表达建筑物的主要造型及风格.
3.选择比例与图幅
为了作图和读图的方便,作图最好采用1∶1的比例.但工程物体有大有小,无法按实际大小作图,所以必须选择适当的比例作图.当比例选定以后,再根据投影图所需面积,选用合理的图幅.
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4.作投影图
画组合体投影图的已知条件有两种:一是给出组合体的实物或模型;二是给出组合体的直观图.不论何种已知条件,在作组合体投影图时,一般应按以下步骤进行:
(1)对组合体进行形体分析.
(2)选择合理的摆放位置,并确定作图比例与图幅.
(3)作投影图.作投影图时,应先布置投影图的位置,再根据组合体选定的比例计算每个投影图的大小,均衡、匀称地布置图位,并画出各投影图的基准线,然后按形体分析分别画出各基本形体的投影图.经校核无误后,按规定的线型、线宽描深图线.
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(三)相贯型组合体
由若干个几何体相贯组成的立体称为相贯型组合体.组合体的表面交线称为相贯线,其投影关键是求相贯线.相贯型组合体有平面立体与曲面立体相贯和两曲面立体相贯两种.两曲面立体的相贯线一般情况下为封闭的空间曲线,特殊情况下也可能是平面曲线或直线段的组合.求相贯线可以利用积聚性法和辅助平面法.
1.利用积聚性法求相贯线
当两个基本体相交,其中有一个基本体的投影有积聚性时,可采用表面取线、取点的方法,求出相贯线上的点.
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2.利用辅助平面法求相贯线
用辅助平面同时与两基本形体相截,两截交线的交点是共有点,也就是相贯线上的点.在选择辅助平面时,应使截交线的投影简单易画,为直线或圆.一般情况下,多采用投影面的平行面作为辅助平面.
五、基本形体、组合形体尺寸标注
在实际工程中,没有尺寸的投影图是不能用于施工生产和制作的.组合体投影图也只有标注了尺寸,才能明确它的大小.
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(一)平面立体的尺寸标注
平面立体的尺寸数量与立体的具体形状有关,但总体来看,这些尺寸分属于三个方向,即平面立体上的长度、宽度和高度方向.因此,标注平面立体几何尺寸时,应将这三个方向的尺寸标注齐全,且每个尺寸只需在某一个视图上标注一次.一般都是把尺寸标注在反映形体端面实形的视图上.
图2-52所示分别为长方体、四棱台和正六棱柱的尺寸标注法.其中,正六棱柱俯视图中所标的外接圆直径,既是长度尺寸也是宽度尺寸,故图2-53(c)中的宽度尺寸22应省略不标.
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(二)曲面体的尺寸标注
由回转体的形成可知,回转体的尺寸标注应分为径向尺寸标注和轴向尺寸标注.在标注尺寸时,应先标注反映回转体端面图形圆的直径,标注时须在前面加上符号“ ”,然后再标注其长度,如图2-53所示.
回转体的尺寸标注,也可采用集中标注的方法,即将其各种尺寸集中标注在某一视图上,以减少组合体的视图数目.圆球尺寸集中标注时,只需标注其径向尺寸即可,但须在直径符号前加注“ ”,如图2-54所示.
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1.组合体尺寸的组成
组合体尺寸是由定形尺寸、定位尺寸和总体尺寸三部分组成的.标注时,必须保证组合体尺寸齐全.所谓“尺寸齐全”,是指上述三种尺寸缺一不可.
(1)定形尺寸.定形尺寸即用来确定组合体中各基本形体自身大小的尺寸,通常,其通过长、宽、高三项尺寸来反映.图2-55所示即为台阶各部分的定形尺寸.
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(2)定位尺寸.定位尺寸即用来确定组合体中各基本形体之间相互位置的尺寸.标注定位尺寸前,必须先确定定位基准.所谓“定位基准”,就是某一方向定位尺寸的起止位置.对于由平面体组成的组合体,通常选择形体上某一明显位置的平面或形体的中心线作为基准位置.通常选择平面体的左(或右)侧面作为长度方向的基准;选择前(或后)侧面作为宽度方向的基准;选择上(或下)底面作为高度方向的基准.对于土建类形体,一般选择下底面作为高度方向的基准;若形体有对称性,可选择其对称中心线作为某方向的基准.对于有回转轴的曲面体的定位尺寸,通常选择其回转轴(即中心线)作为定位基准,不能以转向轮廓线作为定位基准.
(3)总体尺寸.总体尺寸即确定组合体总长、总宽、总高的外包尺寸.
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2.组合体尺寸标注
组合体尺寸标注前,需先进行形体分析,确定要反映到投影图上的基本形体及其尺寸标注要求.除此之外,还必须掌握合理的标注方法.下面以台阶为例说明组合体尺寸标注的方法和步骤.
(1)标注总体尺寸.如图2-56所示,首先标注图中①、②和③三个尺寸,即先标出台阶的总长、总宽和总高.在建筑设计中,它们是确定台阶形状的最基本,也是最重要的尺寸,故应首先标出.
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第四节 基本形体的投影
(2)标注各部分的定形尺寸.图2-56中④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨均为边墙的定形尺寸,⑩、11、12为踏步的定形尺寸.而尺寸②、③既是台阶的总宽、总高,也是边墙的宽和高,故在此不必重复标注.由于台阶踏步的踏面宽和梯面高是均匀布置的,所以其定形尺寸也可采用踏步数×踏步宽(或踏步数×梯面高)的形式,即图中尺寸可标成3×280=840,也可标为3×150=450.
(3)标注各部分间的定位尺寸.图2-56中台阶各部分间的定位尺寸均与定形尺寸重复,如图中尺寸⑩既是边墙的长,也是踏步的定位尺寸.
(4)检查、调整.由于组合体形体通常比较复杂,且上述三种尺寸间多有重复,故此项工作尤为重要.通过检查,补其遗漏,除其重复.
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3 尺寸标注应注意的事项
尺寸标注合理、布置清晰,可以为识图和施工制作带来方便.为了便于读图,标注组合体的尺寸时还应注意以下几点:
(1)尺寸一般应布置在图样之外,以免影响图样清晰.在画组合体投影图时,应适当拉大两投影图的间距.有些小尺寸,为了避免引出的距离过远,也可标注在图内,如图2-57中的“R4”和“3”,但尺寸数字尽量不与图线相交.
(2)尺寸排列要注意大尺寸在外,小尺寸在内;在不出现尺寸重复的前提下,应尽量使尺寸构成封闭的尺寸链,如图2-57中V 面上竖向的两道尺寸,以符合建筑工程图上尺寸的标注习惯.
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第四节 基本形体的投影
(3)反映某一形体的尺寸,最好集中标注在反映这一形体特征的投影图上.如图2-57中半圆孔及长方孔的定形尺寸,除孔深尺寸外,均集中标注在了V 面投影图上.
(4)两投影图相关的尺寸,应尽量标注在两图之间,以便对照识读.
(5)为使尺寸清晰、明显,尽量不在虚线图形上标注尺寸.如图2-57中的圆孔半径R4,标注在了反映圆孔实形的V 面投影上,而不标注在H面的虚线上.
(6)斜线的尺寸,采用标注其竖直投影高和水平投影长的方法,如图2-57中W 面上的“8”和“19”,而不采用直接标注斜长的方法.
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图2-1 投影
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图2-2 中心投影
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图2-3 透视图
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图2-4 平行投影
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图2-5 正投影图
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图2-6 斜轴测图
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图2-7 平行投影的特性
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图2-8 形体的透视投影图
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图2-9 形体的轴测投影图
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图2-10 形体的正投影图
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图2-11 标高投影图
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图2-12 一个投影图一般不能表达空间形体
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图2-14 投影面的展开方法
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图2-15 形体的方位关系
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图2-16 木榫头的投影方位
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图2-17 重影性及其可见
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图2-18 点的三面投影图
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图2-20 点在投影面、投影轴和投影原点处的投影
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图2-22 一般位置直线
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图2-23 直线的空间位置
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图2-24 一般位置平面
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表2-3 投影面垂直面的投影特性
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图2-28 纪念碑
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图2-29 建筑形体
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图2-30 平面几何体
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图2-31 长方体的投影
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图2-37 三棱台的投影
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图2-38 四棱台的投影
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图2-40 圆柱体作图分析
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图2-41 圆柱体的投影作图
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图2-42 圆锥体的投影图
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图2-43 圆球体的投影图
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图2-44 圆环的投影
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图2-45 组合体的组合方式
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图2-46 房屋的形体分析及三面正投影图
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图2-47 形体表面的平齐与相切
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图2-52 平面立体的尺寸标注
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图2-53 回转体的尺寸标注
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图2-54 回转体尺寸集中标注
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图2-55 台阶的定形尺寸
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图2-56 组合体尺寸标注(一)
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图2-57 组合体尺寸标注(二)
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