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建筑识图
任务3 点、直线、平面的投影
任务3点、线、面的投影
◆掌握点、直线、平面的投影规律及空间位置的判断方法。
◆掌握点、直线、平面投影的作图方法。
◆能够绘制空间任意点、直线、面的三面投影。

【任务目标】
任务3点、线、面的投影
2.3.1三面投影图的形成
将物体放置在投影图和观察者之间，以观察者的视线为一组相互平行且与投影面垂直的投射线，用正投影的方法在投影面上的得到物体的投影。一般情况下，物体的一个投影或者两个投影不能够完整地确定物体的形状结构。如图2-11所示，三维立体有三个不同方向的形状需要反映，因此物体的结构一般采用三面投影图来表示。
【任务目标】
图2-11 物体的一面和两面投影
任务3点、线、面的投影
1.建立三面投影体系
设立三个互相垂直相交的投影面，构成三面投影体系。三个投影面分别称为正立投影面V、水平投影面H、侧立投影面W。两个投影面的交线OX、OY、OZ称为投影轴，三个投影轴互相垂直相交于一点O，称为原点，如图2-12所示。
【任务目标】
图2-12 三面投影体系
任务3点、线、面的投影
2.三面投影的形成过程
将物体放置在三面投影体系中，使其处于观察者与投影面之间，并使物体的主要表面平行或垂直于投影面，用正投影法分别向正立面、水平面、侧立面投影，即可得到物体的三面投影，如图2-13所示，三个投影分别称为：正面投影、水平投影、侧面投影。正面投影是由前向后在正立面上所得到的投影，水平投影是由上向下在水平面上所得到的投影，侧面投影是由左向右在侧立面上所得到的投影。
【任务目标】
图2-13 三面投影的形成
任务3点、线、面的投影
3.三面投影体系的展开
为了绘图方便，需要将处于3个投影面的投影展开到一个平面图上。投影面展开的方法如图2-14所示，正面保持不动，水平面绕OX轴向下旋转90 ，侧面绕OZ轴向后旋转90 。投影面展开后Y轴被分为两部分。在水平面的Y轴称为YH，侧面的Y轴称为YW。这样就得到同一个平面上的3个投影面。
【任务目标】
图2-14 三面投影面的展开
任务3点、线、面的投影
4.三面投影图间的对应关系
（1）位置关系。
三投影图之间有严格的位置要求。即水平投影在正面投影的正下方，侧面投影在正面投影的正右方。按上述位置配置，不需要标注三个投影的名称，如图2-15所示。
【任务目标】
图2-15 物体的三面投影图
任务3点、线、面的投影
（2）投影关系。
物体有长、宽、高三个方向的尺寸。左右（X轴）方向的尺寸叫长度，上下（Z轴）方向的尺寸叫高度。前后（Y轴）方向的尺寸叫宽度。从三面投影图的形成过程可以看出：一个投影可以反映物体两个方向的尺寸。正面投影和水平投影都反映物体的长度，正面投影和侧面投影度反映物体的高度，水平投影和侧面投影都反映宽度。因此，三面投影图之间存在的投影关系为：在正面投影和水平投影中相应投影的长度尺寸相等且对正，在正面投影和侧面投影中相应投影的高度尺寸相等且平齐，在水平投影和侧面投影中相应投影的宽度尺寸相等。
【任务目标】
任务3点、线、面的投影
一般把三面投影图间的这种尺寸关系简称为长对正、高平齐、宽相等的“三等”关系。无论是整个物体还是物体的局部，三面投影图必须符合这一投影规律。一个投影中所反映的某一方向的尺寸必定在反映同方向尺寸的投影中找到对应的部分。利用这种投影关系可以检查三面投影图中是否存在遗漏的轮廓线等错误，也是绘制和识读三面投影图的依据。
【任务目标】
任务3点、线、面的投影
（3）方位关系。
物体上有上、下、左、右、前、后六个方位。从图2-16可以发现：正面投影反映物体的左、右、上、下四个方位。水平投影面反映物体的左、右、前、后四个方位。侧面投影反映物体的前、后、上、下四个方位。通过上述分析可知，物体的两个投影才能完全反映物体的六个方位关系。绘图和读图时特别注意水平投影和侧面投影之间的前、后对应关系。以正面投影为基准，在水平投影和侧面投影上，靠近正面投影的一侧是物体的后面，远离正面投影的一侧是物体的前面。
【任务目标】
任务3点、线、面的投影
（3）方位关系。
物体上有上、下、左、右、前、后六个方位。从图2-16可以发现：正面投影反映物体的左、右、上、下四个方位。水平投影面反映物体的左、右、前、后四个方位。侧面投影反映物体的前、后、上、下四个方位。通过上述分析可知，物体的两个投影才能完全反映物体的六个方位关系。绘图和读图时特别注意水平投影和侧面投影之间的前、后对应关系。以正面投影为基准，在水平投影和侧面投影上，靠近正面投影的一侧是物体的后面，远离正面投影的一侧是物体的前面。
【任务目标】
图2-16 三面投影图的投影关系和方位关系
任务3点、线、面的投影
2.3.2 点的投影
1.点的投影及规律
将物体上一点A放在三面投影体系中，点A的三面投影就是过点A分别向三个投影面作垂线所得到的垂足。一般情况下空间的点用大写字母表示，投影用小写字母表示。正面投影记作a＇，水平投影记作a，侧面投的投记作a＂，如图2-17所示。
将三面投影展开即得到点的三面投影图，如图2-18所示。点的三个投影之间的关系与物体的三面投影长对正、高平齐、宽相等的“三等”关系是一致的。点的投影规律为：点的正面投影a＇与水平投影a的连线垂直于X轴，点的正面投影a与侧面投影a＂的连线垂直于Z轴，点的水平投影a到X轴的距离等于侧面投影a＂到Z轴的距离。可将上述投影规律表示为aa＇⊥OX， a＇a＂⊥OZ，aax=a＂az。点的投影规律说明了点的任一投影与另外两个投影之间的关系，是画图和读图的重要依据。为了作图方便，一般在YH和YW之间画一条45 的斜线，便于绘制出aax=a＂az这一条件。
【任务目标】
图2-17点的三面投影形成原理 图2-18 点的三面投影图
任务3点、线、面的投影
2.点的坐标
三面投影体系相当于以投影面为坐标面，投影轴为坐标轴，O为坐标原点的直角坐标系。点的空间位置可以用x、y、z三个坐标表示，点的一个投影可以反映点的两个方向坐标，三面投影反映空间点的三个方向坐标。因此，三面投影图可以确定点的空间位置。点的一个坐标表示点到某一投影面的距离，如图2-19所示，点的x坐标表示点到侧面的距离，点的y坐标表示点到正面的距离，点的z坐标表示点到水平面的距离。点的任意两个投影都反了点的三个坐标值，因此，已知点的投影图可以确定点的坐标，反之，已知点的坐标也可以作出点的投影图。
【任务目标】
图2-19 点的投影与坐标关系
任务3点、线、面的投影
3.两点相对位置
空间两点相对位置的比较是以一点为基准点，利用两点的坐标大小来比较两点的左右上下前后位置。x坐标大的在左面，y坐标大的在前面，z坐标大的在上面。在三面投影图上，可根据两点的正面投影（侧面投影）判断上、下关系，正面投影（水平投影）判断左、右关系，水平投影（侧面投影）判断前、后关系。如图2-20所示，点A在点B的左、下、后方。
【任务目标】
图2-20 两点的相对位置
任务3点、线、面的投影
4.重影点
如果空间两点位于某个投影面的同一投射线上时，两点在该投影面上的投影重合，这两点为该投影面的重影点。如图2-21所示，A、B两点在水平面有重影点。A、B两点的x、y坐标相同，z坐标不同。由于za＞zb，因此点A在点B的正上方。
当两点的投影重合时，需要判断其可见性。可见性的判断方法是通过比较两点坐标大小来确定的。坐标大者可见，坐标小者不可见，不可见点的投影加括号表示，如图2-20所示。重影点是针对某一投影面而言的，如果空间两点是某一个投影面的重影点，就不可能在其他投影面上的投影重合。重影点只有两个坐标是相同的。
【任务目标】
图2-21 重影点的投影
任务3点、线、面的投影
2.3.3直线的投影
直线在三面投影体系中的投影取决于直线与三个投影面的相对位置。根据直线与投影面的位置关系，将直线分为三大类：投影面的平行线、投影面的垂直线、一般位置的直线。投影面的平行线和投影面的垂直线又称为特殊位置的直线。
1.特殊位置直线的投影
（1）投影面平行线。
平行于一个投影面，倾斜于另外两个投影面的直线，称为投影面的平行线。投影面的平行线按其平行的投影面的不同有三种位置，分别为水平线、正平线、侧平线，如图2-22所示。
【任务目标】
图2-22 投影面的平行线
任务3点、线、面的投影
在三面投影体系中，直线对水平面、正立面、侧立面的夹角分别用a、β、γ表示。水平线平行于水平面，倾斜于正立面和侧立面，夹角a为0。正平线平行于正立面，倾斜于水平面和侧立面，夹角β为0。侧平线平行于侧立面，倾斜于水平面、正立面，夹角γ为0。投影面的平行线，在平行的投影面上反映实长。如图2-23所示，直线AC为水平线，AC的水平投影ac就是实长，而正面投影a＇c＇和侧面投影a＂c＂都是缩短的直线。
【任务目标】
图2-23 直线AC的三面投影图
任务3点、线、面的投影
投影面平行线的投影特性见表2-1。
【任务目标】
任务3点、线、面的投影
画直线的三面投影时，先画出反映实长的一个投影，再画其他两投影。
读图时，利用直线投影特性可判断直线的空间位置，确定空间直线的名称。在直线的任意三面投影中，如果一个投影是一条倾斜于投影轴的直线，而另两个投影为平行于两个投影轴的直线时，则该空间直线一定是投影面的平行线。具体判断直线名称的方法可以概括为“一斜两直线，定是平行线，斜线在哪面，平行哪个面”。如果仅有两面投影，也可以用同样的方法判断。如图2-24（a）所示，正面投影m＇n＇倾斜于投影轴，水平投影mn平行于OX轴，所以MN直线为正平线。如图2-24（b）所示，正面投影a＇b＇平行于OZ轴，水平投影ab平行于OYH轴，则隐含侧立面的投影一定倾斜于投影轴，所以AB直线为侧平线。
【任务目标】
任务3点、线、面的投影
（2）投影面垂直线。
垂直于一个投影面的直线，称为投影面的垂直线。直线垂直于一个投影面必定与另外两个投影面平行。投影面的垂直线根据所垂直位置不同可分为三种，分别是正垂线、铅垂线、侧垂线，如图2-25所示。
【任务目标】
任务3点、线、面的投影
正垂线是垂直于正立面的直线，铅垂线垂直于水平面，侧垂线垂直于侧立面。投影面垂直线的投影特性见表2-2所示。
【任务目标】
任务3点、线、面的投影
画直线的三面投影是，先画出投影为点这一个面的投影，再画其他面的投影。
读图时，在直线的三面投影图中，如果有一个面上的投影为点，另外两个投影面上投影为与轴平行的直线，则该空间直线一定是投影为点的投影面的垂直线。投影面垂直线的投影特性可概括为“一点两平线，必是垂直线，点在哪个面，垂直哪个面。”
【任务目标】
任务3点、线、面的投影
2.一般位置直线的投影
不平行于任一投影面的直线，称为一位置的直线。
如图2-26所示，直线MN与水平面、正立面、侧立面倾斜，是一般位置直线。由于MN与三个投影面既不平行，也不垂直，因此，在三个投影面的投影既不反映空间直线的实长，也不会积聚成一点。三个投影都是缩短的直线，具有类似性。
【任务目标】
任务3点、线、面的投影
一般位置直线的投影特性为：三个投影面的投影都是倾斜于投影轴的缩短直线，三个投影都不能反映空间直线与投影面倾角a、β、γ的大小。
读图时，如果直线的投影图中有两面投影为倾斜于投影轴的直线，就可判定该直线为一般位置直线。
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【任务目标】
任务3点、线、面的投影
3.直线上点的投影
（1）从属性。
如果点在直线上，则点的各面投影必在直线的同面投影上。反之，若点的各个投影都在直线的同面投影上，则点在直线上，如图2-27所示。根据该性质可以判断点是否在直线上。
（2）定比性。
直线上的点将直线分割成两部分，两部分的线段长度之比等于各个投影上相应部分的线段长度之比。
【任务目标】
任务3点、线、面的投影
2.3.4平面的投影
1.平面的表示方法
平面可以用几何元素来表示，也可以用迹线来表示。
（1）用几何元素表示平面。
平面可以由以下几种方式确定：用不在同一直线上的三个点表示一个平画，用一条直线线以及直线外的一点来表示一个平面，用两条相交直线表示一个平面，用两条平行直线表示一个平面，用平面图形（如三角形）表示一个平面，如图2-28所示。作图时，按实际情况选用。
【任务目标】
任务3点、线、面的投影
（2）用迹线表示平面。
空间平面P与水平面、正立面、侧立面三个投影面相交，交线分别是PH、PV、PW、PH称为平面P的水平迹线，PV称为平面P的正面迹线，PW称为平面P的侧面迹线。平面P可用其三条迹线来表示，如图2-29所示。
【任务目标】
任务3点、线、面的投影
2.特殊位置平面的投影
（1）投影面的平行面。
投影面平行面是指平行于一个投影面的平面，它必然与另两个投影面垂直。平行于水平面的称为水平面，平行于正立面的称为正平面，平行于侧立面的称为侧平面。投影面平行面在所平行的投影面上的投影反映平面的实形，另两个投影积聚成直线，并平行于相应的投影轴。投影面平行面的投影及投影特性见表2-3。 对于投影面的平行面，画图时，一般先画出反映实形的投影后，在画其他两个投影面的投影。
读图时，如果平面的任何两个投影都是平行于投影轴的直线，则该平面是第三个投影面的平行面。若一个投影是平面图形，而另外任一投影是平行于投影轴的直线，则该平面平行于投影为平面图形所在的投影面。投影面平行面的投影特性为“一框两直线，定是平行面，框在哪个面，平行哪个面”。
【任务目标】
任务3点、线、面的投影
（2）投影面的垂直面。
投影面垂直面是指与一个投影面垂直，与另两个投影面倾斜的平面。平面垂直于水平面，且与正立面、侧立面倾斜，称为铅垂面。平面垂直于正立面，且与水平面、侧立面倾斜，称为正垂面。平面垂直于侧立面，且与水平面、正立面倾斜，称为侧垂面。投影面垂直面在所垂直的投影面上的投影积聚成一条直线，并反映平面对另两个投影面倾角的大小，另两个投影为平面的类似的平面形。投影面垂直面的投影及投影特性见表2-4。
【任务目标】
任务3点、线、面的投影
3.一般位置平面的投影
一般位置平面与三个投影面都倾斜，三面投影都不反映平面的实形，投影没有积聚性，也不反映平面对投影面倾角的真实大小，三面投影均为类似的平面形。一般位置平面的空间关系和投影特点如图2-30所示。
【任务目标】
任务3点、线、面的投影
4.平面上的点和直线
（1）平面上的点。
点在平面上的几何条件是：点在平面内的直线上，则该点必在平面上。因此在平面上取点，必须先在平面上取一条直线，然后再在该直线上取点。这是在平面的投影图上确定点所在位置的依据。
（2）平面上的直线。
直线在平面上的几何条件是：若直线通过平面上的两个点，则此直线必定在该平面上；若直线通过平面上的一点并平行于平面上的另一直线，则此直线必定在该平面上。
【任务目标】

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