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2024年河南省濮阳市南乐县中考数学一模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）下列各数中，比﹣3小的数是（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．3
2．（3分）如图，这是一个正三棱柱切去一部分后得到的几何体，则该几何体的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）某公司设计的麒麟9006C芯片采用5nm制程工艺和架构设计，性能更高，功耗更低．已知1nm＝0.000000001m，5nm用科学记数法表示为5×10nm，则n的值为（　　）
A．﹣8 B．﹣9 C．﹣10 D．﹣11
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．2a2+a2＝3a4 B．（﹣3a3）2＝9a6
C．a2 2a3＝2a6 D．（2a﹣b）2＝4a2﹣b2
5．（3分）如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝40°，边OB上有一点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好与边OB平行，∠ODE＝∠ADC，则∠CDE的度数是（　　）
A．110° B．108° C．100° D．115°
6．（3分）如图，AD是⊙O的直径，弦BC与AD交于点E，连接AB，AC，CD．若AD平分∠BAC，∠B＝65°，则∠BAC的度数是（　　）
A．45° B．55° C．40° D．50°
7．（3分）已知关于x的一元二次方程，则该一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
8．（3分）为了贯彻“双减”政策，落实“五育并举”，某校开设了丰富的劳动教育课程．小东、小亮两名同学分别从“园艺”“厨艺”“陶艺”“手工”4门课程中随机选择一门学习，则小东、小亮两人选择同一门课程的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，∠OCA＝30°，则点B的坐标是（　　）
A． B． C． D．
10．（3分）如图1，在矩形ABCD中，BC＝2AB，M为AD的中点，N是线段BD上的一动点．设DN＝x，MN+AN＝y，图2是y关于x的函数图象，其中Q是图象上的最低点，则a的值为（　　）
A．7 B．8 C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　 　．
12．（3分）方程组的解为 　 　．
13．（3分）某校为全面了解学生的视力情况，定期对该校2000名学生进行抽测．如图，这是某次随机抽测学生的视力情况的扇形统计图，则此时该校视力不低于4.8的学生约有 　 　人．
14．（3分）如图，半径为的⊙O经过正方形ABCD的两个顶点A，D，与边CD交于点M，过点M作⊙O的切线交BC于点N，若∠CMN＝30°，则BN的长为 　 　．
15．（3分）如图，在三角形纸片ABC中，AC＝BC＝5，AB＝8，CD为△ABC的中线．沿CD将纸片剪开，得到△AC′D′和△BCD，将三角形纸片AC′D′沿直线BD向右平移，当线段AC′在△BCD内部的长度为1时，△AC′D′平移的距离为 　 　．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：．
（2）化简：（x+2）2+（x﹣2）（x+2）﹣2x（x﹣1）．
17．（9分）某校对学生开展了关于学校餐厅饭菜品质和服务质量满意度的问卷调查．随机抽取200名学生进行问卷调查，调查问卷如下．
XX餐厅饭菜品质和服务质量的满意度问卷调查1．您对本校餐厅服务的整体评价为_____．（单选）A．很满意B．满意C．一般D．不满意2．您认为本校最需要改进的地方为_____．（单选）A．饭菜口味B．供应品种C．用餐秩序D．其他服务设施
该校餐厅负责人将这200份调查问卷的结果整理后，绘制成了如下两幅统计图．
（1）若将整体评价中很满意、满意、一般、不满意分别评分为5分、4分、3分、1分，求该餐厅在此次调查中，整体评价分数的众数和平均数．
（2）在此次调查中，认为该餐厅需要在供应品种上进行改进的学生人数有多少？
（3）请你根据此次问卷调查的结果，对该餐厅的饭菜品质和服务质量提出两条合理的建议．
18．（9分）洛阳老君山风景区位于河南省洛阳市栾川县境内，在景区内有一座老子铜像（图1）．某数学兴趣小组开展了测量老子铜像高度的实践活动，具体过程如下．
【制定方案】
如图2，在老子铜像左右两侧的地面上选取C，D两处，分别测量老子铜像的仰角．且点B，C，D在同一水平直线上，图上所有点均在同一平面内．
【实地测量】
小颖同学用测角仪在点C处测量点A的仰角α为45°，小亮同学用测角仪在点D处测量点A的仰角β为53°，测得C，D两点间的距离约为63.7m．
【解决问题】
已知测角仪的高度为1.6m，求老子铜像高AB的值．（结果精确到1m．参考数据：）
19．（9分）如图，在△ABC中，，以点B为圆心，AB的长为半径画弧，交BC于点D．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作CD的垂直平分线MN交BA的延长于点E，交BC于点F，交AC于点P（不要求写作法，标明字母，保留作图痕迹）．
（2）在（1）的条件下，求AP的长．
20．（9分）为了振兴乡村经济，某市为广大农户免费提供一种优质草莓及栽培技术，鼓励广大农户种植草莓．草莓成熟后乡企业办将这些草莓精加工成A，B两种饮料装箱销售．已知A种草莓饮料卖了20000元，B种草莓饮料卖了36000元，卖出的B种草莓饮料的箱数是A种草莓饮料箱数的2倍，B种草莓饮料每箱的售价比A种草莓饮料每箱的售价便宜5元．
（1）A，B两种草莓饮料每箱的售价分别是多少元．
（2）某公司献爱心，计划用不超过4900元给市区的几个敬老院捐赠100箱A，B两种草莓饮料，其中A种草莓饮料不少于40箱，该公司怎么购买所需的费用最少？最少的费用是多少元？
21．（9分）如图1，这是某公园人工湖上的一座拱桥的示意图，其截面形状可以看作是抛物线的一部分．经测量拱桥的跨度AB为10米，拱桥顶面最高处到水面的距离为4米．建立如图2所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，其中x（米）是水平距离，y（米）是拱桥距水面的高度．
（1）求该抛物线的表达式．
（2）现有一游船（截面为矩形CDEF），宽度CD为4米，顶棚到水面的距离CF为2.8米．当游船从拱桥正下方通过时，为保证安全，要求顶棚到拱桥顶面的距离应大于0.4米，请判断该游船能否安全通过此拱桥，并说明理由．
22．（10分）如图，一次函数y1＝﹣x+3的图象与反比例函数的图象分别交于A（﹣1，4），B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，以点C为圆心，AC的长为半径作，交x轴于点E，连接OB．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）求扇形CAE的半径及对应圆心角的度数．
（3）求图中阴影部分的面积之和．
23．（10分）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“三角形与旋转”为主题开展数学活动．
【问题情景】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，D是射线CB上的一动点（不与点B，C重合），将线段AD绕点D按顺时针方向旋转α得到DE，连接CE，AE．
【问题探究】
（1）勤奋小组提出的问题：如图1，若α＝60°，则CD，AC，CE之间的数量关系是 　 　．
【类比延伸】
（2）智慧小组提出的问题：如图2，若α＝90°，探究CD，AC，CE之间的数量关系．
【拓展探究】
（3）创新小组突发奇想，将问题迁移到平面直角坐标系中，如图3，若，则在点D运动的过程中，当∠CAE＝30°时，请直接写出点D的坐标．
2024年河南省濮阳市南乐县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）下列各数中，比﹣3小的数是（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．3
【分析】首先判断出3＞﹣3，0＞﹣3，求出每个数的绝对值，根据两负数比较大小，其绝对值大的反而小，求出即可．
【解答】解：根据两负数比较大小，其绝对值大的反而小，正数都大于负数，零大于一切负数，
∴3＞﹣3，0＞﹣3，
∵|﹣3|＝3，|﹣2|＝2，|﹣4|＝4，2＜3＜4，
∴﹣4＜﹣3＜﹣2，
∴比﹣3小的数是负数，是﹣4．
故选：A．
2．（3分）如图，这是一个正三棱柱切去一部分后得到的几何体，则该几何体的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】俯视图是从上边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．
【解答】解：该几何体的俯视图如图所示：
故选：A．
3．（3分）某公司设计的麒麟9006C芯片采用5nm制程工艺和架构设计，性能更高，功耗更低．已知1nm＝0.000000001m，5nm用科学记数法表示为5×10nm，则n的值为（　　）
A．﹣8 B．﹣9 C．﹣10 D．﹣11
【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数．根据1nm＝0.000000001m，把5nm换成单位为“m”的量，根据科学记数法的表示，a×10n，其中1≤|a|＜10，即可得到答案．
【解答】解：∵1nm＝0.000000001m，
∴5nm＝0.000000005m＝5×10﹣9m．
故选：B．
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．2a2+a2＝3a4 B．（﹣3a3）2＝9a6
C．a2 2a3＝2a6 D．（2a﹣b）2＝4a2﹣b2
【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：2a2+a2＝3a2，故选项A错误，不符合题意；
（﹣3a3）2＝9a6，故选项B正确，符合题意；
a2 2a3＝2a5，故选项C错误，不符合题意；
（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2，故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
5．（3分）如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝40°，边OB上有一点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好与边OB平行，∠ODE＝∠ADC，则∠CDE的度数是（　　）
A．110° B．108° C．100° D．115°
【分析】过点D作DF⊥AO交OB于点F．根据题意知，DF是∠CDE的角平分线，故∠1＝∠3；然后又由两直线CD∥OB推知内错角∠1＝∠2；最后由三角形的内角和定理求得∠2的度数，即可求得∠3＝∠1＝∠2＝50°，最后由∠CDE＝∠1+∠3求解．
【解答】解：过点D作DF⊥AO交OB于点F．
∵入射角等于反射角，
∴∠1＝∠3，
∵CD∥OB，
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）；
∴∠2＝∠3（等量代换）；
在Rt△DOF中，∠ODF＝90°，∠AOB＝40°，
∴∠2＝90°﹣40°＝50°；
∴∠3＝∠1＝∠2＝50°
∴∠CDE＝∠1+∠3＝100°．
故选：C．
6．（3分）如图，AD是⊙O的直径，弦BC与AD交于点E，连接AB，AC，CD．若AD平分∠BAC，∠B＝65°，则∠BAC的度数是（　　）
A．45° B．55° C．40° D．50°
【分析】根据直径对直角可得∠ACD＝90°，根据同弧所对的圆周角相等可得∠D＝65°，根据角平分线的定义即可求解．
【解答】解：∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∵∠B＝65°，
∴∠D＝65°，
∴∠DAC＝90°﹣∠D＝25°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠DAC＝50°，
故选：D．
7．（3分）已知关于x的一元二次方程，则该一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断即可．
【解答】解：∵，
∴＝m2+4＞0，
∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
8．（3分）为了贯彻“双减”政策，落实“五育并举”，某校开设了丰富的劳动教育课程．小东、小亮两名同学分别从“园艺”“厨艺”“陶艺”“手工”4门课程中随机选择一门学习，则小东、小亮两人选择同一门课程的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，其中小明与小亮两人恰好同时选择同一门课程的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：设“园艺”“厨艺”“陶艺”“手工”这四种课程分别为A、B、C、D．
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小东、小亮两人恰好同时选择同一门课程的结果有4种，即AA、BB、CC、DD，
∴小东、小亮两人选择同一门课程的概率是．
故选：D．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，∠OCA＝30°，则点B的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【分析】过点B作BD⊥y轴于D，先根据直角三角形的性质与勾股定理求得，，再证明△AOC≌△CDB（AAS），求得CD＝OA＝1，，然后根据点B在第二象限，写出点B坐标即可．
【解答】解：如图，过点B作BD⊥y轴于D，
∵∠OCA＝30°，AC＝2，
∴，
∴，
∵BD⊥y轴，
∴∠BCD+∠CBD＝90°，
∵∠ACO+∠BCD＝∠ACB＝90°，
∴∠ACO＝∠CBD，
∵∠BDC＝∠COA＝90°，AC＝BC，
∴△AOC≌△CDB（AAS）
∴CD＝OA＝1，
∴
∴．
故选：A．
10．（3分）如图1，在矩形ABCD中，BC＝2AB，M为AD的中点，N是线段BD上的一动点．设DN＝x，MN+AN＝y，图2是y关于x的函数图象，其中Q是图象上的最低点，则a的值为（　　）
A．7 B．8 C． D．
【分析】由图象右端点的横坐标为，得出，从而求得AB＝5，AD＝10，AM＝MD＝5，作点M关于BD的对称点E，连接AE交BD于N，连接ME交BD于O，连接DE，得y＝AN+MN＝AE，根据两点之间，线段最短，得到此时y最小，最小值为AE的长度，通过证明△MOD∽△BAD，求出，，过点E作EF⊥AD于F，利用勾股定理求出MF＝2，EF＝4，AF＝AM+MF＝7，从而求得AE的长度，即可求解．
【解答】解：∵图象右端点的横坐标为，
∴，
∵矩形ABCD中，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC，
∴AB2+AD2＝BD2，
∵BC＝2AB，
∴，
∴AB＝5，
∴AD＝10，
∵M为AD的中点，
∴AM＝MD＝5，
作点M关于BD的对称点E，连接AE交BD于N，连接ME交BD于O，连接DE，如图，
∴MN＝NE，DE＝DM＝5，
∴y＝AN+MN＝AE，
根据两点之间，线段最短，得此时y最小，
∵点M关于BD的对称点E，
∴BD垂直平分ME，
∵∠MDO＝∠ADB，∠BAD＝∠MOD＝90°，
∴△MOD∽△BAD，
∴，即，
∴，
∴，
过点E作EF⊥AD于F，
由勾股定理，得ME2﹣MF2＝EF2＝DE2﹣DF2，
∵DF＝DM﹣MF，
∴，
解得：MF＝2，
∴，AF＝AM+MF＝5+2＝7，
∴，
∵Q是图象上的最低点，
∴a是y的最小值，
∴，
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　x≥8　．
【分析】根据二次根式的被开方数大于等于零，列式求解即可．
【解答】解：由题意，得：x﹣8≥0，
解得：x≥8；
故答案为：x≥8．
12．（3分）方程组的解为 　　．
【分析】消元的方法有：代入消元法与加减消元法．第一个方程两边乘以2变形后，与第一个方程相加消元y求出x的值，进而求出y的值，即可确定出方程组的解．
【解答】解：，
①×2+②得：，即x＝2，
将x＝2代入①得：y＝1，
则方程组的解为．
故答案为：．
13．（3分）某校为全面了解学生的视力情况，定期对该校2000名学生进行抽测．如图，这是某次随机抽测学生的视力情况的扇形统计图，则此时该校视力不低于4.8的学生约有 　1000　人．
【分析】用该校总人数乘以样本中视力不低于4.8的学生所占比例，即可求解，
【解答】解：样本中，视力不低于4.8的学生约占：30%+20%＝50%，
2000名学生中视力不低于4.8的学生约有：2000×50%＝1000（人），
故答案为：1000．
14．（3分）如图，半径为的⊙O经过正方形ABCD的两个顶点A，D，与边CD交于点M，过点M作⊙O的切线交BC于点N，若∠CMN＝30°，则BN的长为 　　．
【分析】过点O作OE⊥AD于E，连接OD，先由切线的性质得到∠OMN＝90°，从而得到∠OMD＝60°，得出△ODM是等边三角形，则∠ODM＝∠OMD＝60°，，即可得到∠ODE＝30°，即可求得DE＝3，利用垂径定理，得出AD＝6，则可求得，在解Rt△MCN，求得，即可由BN＝BC﹣CN求解．
【解答】解：过点O作OE⊥AD于E，连接OD，如图，
∵MN是⊙O的切线，
∴∠OMN＝90°，
∵∠CMN＝30°，
∴∠OMD＝180°﹣∠OMN﹣∠CMN＝60°，
∵OM＝OD，
∴△ODM是等边三角形，
∴∠ODM＝∠OMD＝60°，，
∵正方形ABCD，
∴∠ADC＝90°，AD＝CD＝BC，
∴∠ODE＝30°
∵OE⊥AD，
∴AD＝2DE，∠OED＝90°，
∴，
∴，
∴AD＝2DE＝6，
∴BC＝CD＝AD＝6，
∴，
在Rt△MCN中，∠CMN＝30°，∠MCN＝90°，
∴，即
∴
∴．
故答案为：．
15．（3分）如图，在三角形纸片ABC中，AC＝BC＝5，AB＝8，CD为△ABC的中线．沿CD将纸片剪开，得到△AC′D′和△BCD，将三角形纸片AC′D′沿直线BD向右平移，当线段AC′在△BCD内部的长度为1时，△AC′D′平移的距离为 　　．
【分析】根据∠A＝∠B可得AE＝BE，CE＝C′E，进而证求出CE＝EF＝C′E＝1，得AF＝AC′﹣EF﹣C′E＝3，再由AD＝AF cosA求解即可．
【解答】解：如图2，设AC′交BC于E，交CD于F，过点E作EH⊥CD，
依题意得：EF＝1，
∵AC＝BC＝5，CD为△ABC的中线，
∴∠A＝∠B，
∠ADC＝∠BDC＝90°，图1中，
由平移的性质可知图2中AD′＝4，
∴AE＝BE，
∴AC′﹣AE＝BC﹣BE，即CE＝C′E，
又∵∠A+∠AFD＝90°，∠B+∠C＝90°，∠AFD＝∠CFE，
∴∠C＝∠CFE，
∴CE＝EF＝1，
∴C′E＝EF＝1，
∴AF＝AC′﹣EF﹣C′E＝5﹣1﹣1＝3，
∵图2 中，
∴，
即△AC′D′平移的距离为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：．
（2）化简：（x+2）2+（x﹣2）（x+2）﹣2x（x﹣1）．
【分析】（1）根据有理数乘方的运算法则，先算乘方和绝对值，即可求解；
（2）根据多项式乘多项式的运算法则，即可求解．
【解答】解：（1）
＝
＝；
（2）（x+2）2+（x﹣2）（x+2）﹣2x（x﹣1）
＝x2+4x+4+x2﹣4﹣2x2+2x
＝6x．
17．（9分）某校对学生开展了关于学校餐厅饭菜品质和服务质量满意度的问卷调查．随机抽取200名学生进行问卷调查，调查问卷如下．
XX餐厅饭菜品质和服务质量的满意度问卷调查1．您对本校餐厅服务的整体评价为_____．（单选）A．很满意B．满意C．一般D．不满意2．您认为本校最需要改进的地方为_____．（单选）A．饭菜口味B．供应品种C．用餐秩序D．其他服务设施
该校餐厅负责人将这200份调查问卷的结果整理后，绘制成了如下两幅统计图．
（1）若将整体评价中很满意、满意、一般、不满意分别评分为5分、4分、3分、1分，求该餐厅在此次调查中，整体评价分数的众数和平均数．
（2）在此次调查中，认为该餐厅需要在供应品种上进行改进的学生人数有多少？
（3）请你根据此次问卷调查的结果，对该餐厅的饭菜品质和服务质量提出两条合理的建议．
【分析】（1）根据众数和平均数的定义计算即可；
（2）由扇形统计图可知，需要改进供应品种所占的圆心角的度数为 144°，因此认为该餐厅需要在供应品种上进行改进的学生人数：×200，计算即可；
（3）答案不唯一，合理即可．
【解答】解：（1）由图可知，众数为5分，
平均数：（100×5+50×4+30×3+20×1）÷200＝4.05（分），
答：整体评价分数的众数为5分，平均数为4.05分．
（2）由扇形统计图可知，需要改进供应品种所占的圆心角的度数为 144°，
∴认为该餐厅需要在供应品种上进行改进的学生人数：×200＝80（人），
答：认为该餐厅需要在供应品种上进行改进的学生人数有80人．
（3）答案不唯一，合理即可．
答：①该餐厅需要对饭菜品种和类别进行优化，提高供应品种的多样性；②该餐厅需要对其他服务设施进行优化升级，提高服务质量．
18．（9分）洛阳老君山风景区位于河南省洛阳市栾川县境内，在景区内有一座老子铜像（图1）．某数学兴趣小组开展了测量老子铜像高度的实践活动，具体过程如下．
【制定方案】
如图2，在老子铜像左右两侧的地面上选取C，D两处，分别测量老子铜像的仰角．且点B，C，D在同一水平直线上，图上所有点均在同一平面内．
【实地测量】
小颖同学用测角仪在点C处测量点A的仰角α为45°，小亮同学用测角仪在点D处测量点A的仰角β为53°，测得C，D两点间的距离约为63.7m．
【解决问题】
已知测角仪的高度为1.6m，求老子铜像高AB的值．（结果精确到1m．参考数据：）
【分析】连接EF交AB于点P，根据题意可得：CE＝DF＝BP＝1.6m，EF＝CD≈63.7m，EF⊥AB，然后设AP＝am，在Rt△AEP中，利用锐角三角函数的定义求出EP＝AP＝am，再在Rt△AFP中，利用锐角三角函数的定义求出，根据EP+FP＝EF列出方程，进行计算即可解．
【解答】解：由题意，得∠AEG＝45°，∠AFH＝53°，CD≈63.7m，CE＝DF＝1.6m，
如图，连接EF交AB于点P，则四边形ECDF为矩形，EF＝CD≈63.7m，
设AP＝am．在Rt△AEP中，，
即EP＝AP＝am，
在Rt△AFP中，∠AFP＝53°，
∴，即，
∵EP+FP＝EF，即，
解得a≈36.4m，
∴AB＝a+1.6＝38m．
答：老子铜像的高AB约为38m．
19．（9分）如图，在△ABC中，，以点B为圆心，AB的长为半径画弧，交BC于点D．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作CD的垂直平分线MN交BA的延长于点E，交BC于点F，交AC于点P（不要求写作法，标明字母，保留作图痕迹）．
（2）在（1）的条件下，求AP的长．
【分析】（1）根据尺规基本作图—作已知线段的垂直平分线，作出直线MN即可；
（2）由等腰三角形的性质求得∠C＝30°，再由线段垂直平分线的定义求得，然后解Rt△CFP，求得，即可由AP＝AC﹣CP求解．
【解答】解：（1）如图所示，直线MN即为所求；
（2）由题意可知，，
∵，∠BAC＝120°，
∴∠C＝30°，
∴，
∴．
由作图可知，．
在Rt△CFP中，∠C＝30°，
∴，解得，
∴AP＝AC﹣CP＝4．
20．（9分）为了振兴乡村经济，某市为广大农户免费提供一种优质草莓及栽培技术，鼓励广大农户种植草莓．草莓成熟后乡企业办将这些草莓精加工成A，B两种饮料装箱销售．已知A种草莓饮料卖了20000元，B种草莓饮料卖了36000元，卖出的B种草莓饮料的箱数是A种草莓饮料箱数的2倍，B种草莓饮料每箱的售价比A种草莓饮料每箱的售价便宜5元．
（1）A，B两种草莓饮料每箱的售价分别是多少元．
（2）某公司献爱心，计划用不超过4900元给市区的几个敬老院捐赠100箱A，B两种草莓饮料，其中A种草莓饮料不少于40箱，该公司怎么购买所需的费用最少？最少的费用是多少元？
【分析】（1）设A种草莓饮料每箱的售价是x元，则B种草莓饮料每箱的售价是（x﹣5）元，根据卖出的B种草莓饮料的箱数是A种草莓饮料箱数的2倍，列方程求解即可．
（2）设购买A种草莓饮料m箱，则购买B种草莓饮料（100﹣m）箱，根据费用用不超过4900元，A种草莓饮料不少于40箱，列不等式组，求出m的取值范围，再设该公司购买所需的费用共为y元，列出列出y关于m的一次函数关系式，再根据一次函数性质求出再根据一次函数性质求出的最小值即可求解．
【解答】解：（1）设A种草莓饮料每箱的售价是x元，则B种草莓饮料每箱的售价是（x﹣5）元，根据题意，得：
，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是方程的根，也符合题意，
A种草莓饮料每箱的售价是50元，
B种草莓饮料每箱的售价是x﹣5＝50﹣5＝45（元），
答：A种草莓饮料每箱的售价是50元，则B种草莓饮料每箱的售价是45元．
（2）设购买A种草莓饮料m箱，则购买B种草莓饮料（100﹣m）箱，根据题意，得：
，
解得：40≤m≤80，
设该公司购买所需的费用共为y元，根据题意，得y＝50m+45（100﹣m）＝5m+4500，
∵5＞0，
∴y随m增大而增大，
∵40≤m≤80，
∴当m＝40时，y值最小，最小值为5×40+4500＝4700（元），
∴该公司购买A种草莓饮料40箱，则购买B种草莓饮料60箱所需的费用最少，最少的费用是4700元．
21．（9分）如图1，这是某公园人工湖上的一座拱桥的示意图，其截面形状可以看作是抛物线的一部分．经测量拱桥的跨度AB为10米，拱桥顶面最高处到水面的距离为4米．建立如图2所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，其中x（米）是水平距离，y（米）是拱桥距水面的高度．
（1）求该抛物线的表达式．
（2）现有一游船（截面为矩形CDEF），宽度CD为4米，顶棚到水面的距离CF为2.8米．当游船从拱桥正下方通过时，为保证安全，要求顶棚到拱桥顶面的距离应大于0.4米，请判断该游船能否安全通过此拱桥，并说明理由．
【分析】（1）根据图中坐标系确定抛物线的顶点坐标为（5，4），点B（10，0）；再待定系数法求抛物线的表达式即可；
（2）游船从拱桥正下方通过时，抛物线的对称轴为x＝5游船也关于直线x＝5对称，宽度为4米，对称轴左右两边各2米，当x＝5﹣2＝3时，求出y的值，继而求出顶棚到拱桥顶面的距离，看是否大于0.4米即可．
【解答】解：（1）由题意知，抛物线的顶点坐标为（5，4），点B（10，0），
∴y＝a（x﹣5）2+4，
代入点B（10，0），得a（10﹣5）2+4＝0，
解得，
∴该抛物线的表达式为．
（2）能安全通过．
理由：游船从拱桥正下方通过时，抛物线的对称轴为直线x＝5，游船也关于直线x＝5对称，
宽度为4米，对称轴左右两边各2米．
当x＝5﹣2＝3时，（米）．
∵，
∴该游船能安全通过此拱桥．
22．（10分）如图，一次函数y1＝﹣x+3的图象与反比例函数的图象分别交于A（﹣1，4），B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，以点C为圆心，AC的长为半径作，交x轴于点E，连接OB．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）求扇形CAE的半径及对应圆心角的度数．
（3）求图中阴影部分的面积之和．
【分析】（1）利用待定系数法，将点A（﹣1，4）代入反比例函数解析式即可求出反比例函数；
（2）根据OC＝OD＝3，由等腰直角三角形可知∠ACE＝45°，过点A作AP⊥x轴于点P，根据，即可求出半径；
（3）由S阴影＝S扇形ACE﹣S△COD+S△BOC即可求解．
【解答】解：（1）∵反比例函数y2＝的图象经过点A（﹣1，4），
∴4＝，
解得m＝﹣4，
∴反比例函数的表达式为y2＝．
（2）对于y1＝﹣x+3，
当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝3，
∴OC＝OD＝3，
∴∠ACE＝45°．
如图，过点A作AP⊥x轴于点P．
∵点A（﹣1，4），
∴OP＝1，AP＝4，
∴CP＝OP+OC＝4，
在Rt△ACP中，AC＝＝4；
（3）∵一次函数y1＝﹣x+3的图象与反比例函数y2＝的图象交于点B，
∴，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴点B的坐标为（4，﹣1），
∴S△COD＝OC OD＝×3×3＝．
∴S△BOC＝OC |yB|＝×3×1＝，
∴S扇形ACE＝＝4π，
∴S阴影＝S扇形ACE﹣S△COD+S△BOC＝4π﹣+＝4π﹣3．
23．（10分）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“三角形与旋转”为主题开展数学活动．
【问题情景】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，D是射线CB上的一动点（不与点B，C重合），将线段AD绕点D按顺时针方向旋转α得到DE，连接CE，AE．
【问题探究】
（1）勤奋小组提出的问题：如图1，若α＝60°，则CD，AC，CE之间的数量关系是 　CD＝AC+CE　．
【类比延伸】
（2）智慧小组提出的问题：如图2，若α＝90°，探究CD，AC，CE之间的数量关系．
【拓展探究】
（3）创新小组突发奇想，将问题迁移到平面直角坐标系中，如图3，若，则在点D运动的过程中，当∠CAE＝30°时，请直接写出点D的坐标．
【分析】（1）证明△ABC与△ADE是等边三角形，再证明△DAB≌△EAC（SAS），即可得出结论；
（2）过点E作EF⊥CD于F，证明△ABC、△ADE、△CFE都是等腰直角三角形，得到，再证明△EFD∽△ECA，得出，即可求得结论；
（3）分两种情况：当点E在y轴左侧时，当点E在y轴右侧时，分别求解即可．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝α＝60°，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，
由旋转可得：AD＝DE，∠ADE＝α＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠DAB+∠BAE＝∠DAE＝60°，
∵∠BAE+∠EAC＝∠BAC＝60°，
∴∠DAB＝∠EAC，
在△DAB与△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD＝CE，
∴CD＝BC+BD＝AC+CE，即CD＝AC+CE；
（2），理由如下：
过点E作EF⊥CD于F，如图2，
∵∠BAC＝α＝90°，AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
由旋转可得：AD＝DE，∠ADB+∠EDB＝∠ADE＝α＝90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠DAB+∠BAE＝∠DAE＝45°，
∵∠ADB+∠DAB＝∠ABC＝45°，
∴∠ADB＝∠BAE，
∵∠CAE+∠BAE＝∠BAC＝90°，
∴∠CAE＝∠FDE，
∴A、D、E、C四点共圆，
∴∠ADE+∠ACE＝180°，
∴∠ACE＝90°，
∴∠ECF＝∠ACE﹣∠ACB＝45°，
∵EF⊥CD，
∴∠CFE＝90°，
∴∠CEF＝∠ECF＝45°，
∴△CFE是等腰直角三角形，
∴，
∵∠EDF＝∠CAE，∠CFD＝∠ACE＝90°，
∴△EFD∽△ECA，
∴，
∴，
∴，
即；
（3）当点E在y轴左侧时，如图3.1，
由（2）知：∠ACE＝90°，，
∴，
∵，∠CAE＝30°，
∴，
∴CE＝2，
∴，
∴，
∵点D在x轴的负半轴上，
∴；
当点E在y轴右侧时，过点E作EF⊥x轴于F，如图3.2，
同理，CE＝2，
∴AE＝2CE＝4，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴，
∵∠ACB＝45°，∠ACE＝90°，
∴∠ECF＝45°，
∵EF⊥x轴，
∴∠EFC＝90°，
∴∠EFC＝∠ECF＝45°，
∴，
∴，
∴，
∵点D在x轴的负半轴上，
∴，
综上，点D的坐标为或．

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