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2024年广东省广州市九强校中考数学一模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的倒数是( )
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
3.年月日，“天问一号”着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原，此时距离地球约千米数用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
5.若某三角形的三边长分别为，，，则的值可以是( )
A. B. C. D.
6.甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人次射击成绩的平均数单位：环及方差单位：环如表所示：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择( )
甲 乙 丙 丁
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
7.如图，四边形是菱形，点，分别在，边上，添加以下条件不能判定≌的是( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为
( )
A. B. C. D.
9.如图，在平面直角坐标系中，，，，，将四边形向左平移个单位后，点恰好和原点重合，则的值是( )
A. B. C. D.
10.已知抛物线是常数，经过点，，当时，与其对应的函数值有下列结论：
；
关于的方程有两个不等的实数根；
．
其中，正确结论的个数是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算：______．
12.分解因式：______．
13.如图，点在直线上，若，则的度数为______．
14.二次函数为常数的图象的对称轴为直线则 ．
15.若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______．
16.如图，在平面直角坐标系中，直线与相交于，两点，且点在轴上，则弦的长为 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：．
18.本小题分
如图，点在上，点在上，，，求证：．
19.本小题分
先化简，再求值：，其中．
20.本小题分
某年级随机选出一个班的初赛成绩进行统计，得到如下统计图表，已知在扇形统计图中段对应扇形圆心角为．
在统计表中， ______， ______， ______；
若统计表段的男生比女生少人，从段中任选人参加复赛，用列举法求恰好选到名男生和名女生的概率．
分段 成绩范围 频数 频率
分以下
21.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点．
求反比例函数的表达式；
过点的直线交反比例函数的图象于另一点，交轴正半轴于点，当是以为底的等腰三角形时，求直线的函数表达式及点的坐标．
22.本小题分
某工艺厂为商城制作甲、乙两种木制工艺品，甲种工艺品不少于件，乙种工艺品不少于件．该厂家现准备购买、两类原木共根用于工艺品制作，其中，根类原木可制作甲种工艺品件和乙种工艺品件，根类原木可制作甲种工艺品件和乙种工艺品件．
该工艺厂购买类原木根数可以有哪些？
若每件甲种工艺品可获得利润元，每件乙种工艺品可获得利润元，那么该工艺厂购买、两类原木各多少根时获得利润最大，最大利润是多少？
23.本小题分
如图，中，．
作点关于的对称点；要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
在所作的图中，连接，，连接，交于点．
求证：四边形是菱形；
取的中点，连接，若，，求点到的距离．
24.本小题分
如图，为的直径，为上一点，连接，，为延长线上一点，连接，且．
求证：是的切线；
若的半径为，的面积为，求的长；
在的条件下，为上一点，连接交线段于点，若，求的长．
25.本小题分
已知抛物线为常数，经过点，顶点为．
Ⅰ当时，求该抛物线的顶点坐标；
Ⅱ当时，点，若，求该抛物线的解析式；
Ⅲ当时，点，过点作直线平行于轴，是轴上的动点，是直线上的动点当为何值时，的最小值为，并求此时点，的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
根据乘积为的两个数互为倒数，可得答案．
本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
【解答】
解：的倒数是，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：，故本选项不合题意；
B.，故本选项符合题意；
C.，故本选项不合题意；
D.，故本选项不合题意；
故选：．
分别根据合并同类项法则，积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则以及完全平方公式逐一判断即可．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方以及完全平方公式，熟记相关公式与运算法则是解答本题的关键．
3.【答案】
【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
4.【答案】
【解析】解：点关于轴对称的点的坐标是．
故选：．
根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出答案．
此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．
5.【答案】
【解析】解：根据三角形的三边关系定理得：，
解得：，
即符合题意的值只有，
故选：．
根据三角形的三边关系定理得出，求出即可．
本题考查了三角形的三边关系定理，能熟记三角形的三边关系定理的内容是解此题的关键．
6.【答案】
【解析】解：由表知甲、丁射击成绩的平均数相等，且大于乙、丙的平均数，
从甲、丁中选择一人参加竞赛，
丁的方差较小，
丁发挥稳定，
选择丁参加比赛．
故选：．
首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛．
此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
7.【答案】
【解析】解：由四边形是菱形可得：，，
A、添加，可用证明≌，故不符合题意；
B、添加，可用证明≌，故不符合题意；
C、添加，不能证明≌，故符合题意；
D、添加，可用证明≌，故不符合题意；
故选：．
由四边形是菱形可得：，，再根据每个选项添加的条件逐一判断．
本题考查菱形性质及全等三角形的判定，解题的关键是掌握三角形全等的判定定理．
8.【答案】
【解析】解：如图，连接正方形的对角线，过点，分别作轴的垂线．垂足分别为、，
四边形是正方形，
，，
，
≌，
，
点在第二象限，
，
故选：．
本题考查正方形的性质，反比例函数的的几何意义，熟练掌握以上性质的解题关键．
9.【答案】
【解析】解：如图，过点作交于，交于．
，，
，
，
．
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
设，，
，
解得，
，
将四边形向左平移个单位后，点恰好和原点重合，
，
故选：．
如图，过点作交于，交于想办法求出的长即可．
本题考查坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题．
10.【答案】
【解析】解：抛物线是常数，经过点，，
，，
，
当时，与其对应的函数值．
，
，解得：，
，
，，故正确；
，，
，即，
，
，
，
关于的方程有两个不等的实数根，故正确；
，，
，
，
，
．
故正确；
故选：．
当时，，由点得，由时，与其对应的函数值可得，进而得出；
将，代入方程，根据根的判别式即可判断；
将，代入，求解后即可判断．
本题考查二次函数图象上点的特征，一元二次方程根的判别式；熟练掌握二次函数图象上点的特征，逐一分析三条结论的正误是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：原式．
故答案为：
原式化简后，合并即可得到结果．
此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解是解题的关键，分解要彻底．
13.【答案】
【解析】解：，，
，
又，
，
，
故答案为：．
根据平角的定义求出的度数，再根据垂直的定义求出答案．
本题考查平角及垂直的定义，理解互相垂直的定义是解决问题的关键．
14.【答案】
【解析】解：由二次函数为常数知，该抛物线与轴的交点坐标是和．
对称轴为直线，
．
解得，
故答案为：．
根据抛物线解析式得到抛物线与轴的交点横坐标，结合抛物线的轴对称性质求得的值即可．
本题考查了二次函数图象和性质，抛物线与轴的交点，求得交点坐标，熟知二次函数的对称性是解决本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：是一元二次方程的根，
，
，
、是一元二次方程的两个根，
，
．
故答案为：．
先根据一元二次方程的解的定义得到，则，根据根与系数的关系得出，再将其代入整理后的代数式计算即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程的解．
16.【答案】
【解析】解：设直线交轴于，过作于，如图：
在，令得，
，，
在，令得，
解得，
，
中，，
，
中，，
，
故答案：．
17.【答案】解：
．
【解析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值、开方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18.【答案】证明：，，
，即，
在和中，
．
C.
【解析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件本题得出三角形全等后，再根据全等三角形的性质可得对应角相等．由，知，再利用“”证明即可得．
19.【答案】解：原式
，
当时，原式．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】
【解析】解：抽取的学生人数为：人，
，，
，
故答案为：，，；
段的男生比女生少人，段的学生共有人，
男生人，女生人，
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中恰好选到名男生和名女生的结果有种，
恰好选到名男生和名女生的概率．
由的人数除以所占比例求出抽取的学生人数，即可解决问题；
画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好选到名男生和名女生的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及扇形统计图和频数分布表．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】一次函数的图象经过点，
，
解得：，
，
将代入，
得：，
，
反比例函数的表达式为；
如图，过点作轴于点，
在中，令，得，
解得：，
，
，
，
是以为底边的等腰三角形，
，
，
，
，
设直线的函数表达式为，
，，
，
解得：，
直线的函数表达式为，
联立方程组：，
解得：舍去，，
点的坐标为
【解析】根据一次函数的图象经过点，求出点的坐标，再代入，即可求得答案；
过点作轴于点，先求出点的坐标，再根据是以为底边的等腰三角形，可求出点的坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式，联立直线解析式和反比例函数解析式并求解即可得出点的坐标．
本题是一次函数与反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，一次函数图象与反比例函数图像的交点，等腰三角形性质等，熟练掌握待定系数法和等腰三角形性质等相关知识是解题关键．
22.【答案】解：设工艺厂购买类原木根，则购买类原木根，
根据题意，得，
可解得，
为整数，
，，，，，；
答：工艺厂购买类原木根数可以是：，，，，，；
设获得利润为元，
由题意，得，
即，
，
随的增大而减小，
时，取最大值，最大值为：元，
答：该工艺厂购买、两类原木分别为和根时，所获得利润最大，最大利润是元．
【解析】设工艺厂购买类原木根，则购买类原木根，根据“甲种工艺品不少于件，乙种工艺品不少于件”列不等式组解答即可；
设获得利润为元，由题意得出与的关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
本题考查了一元一次不等式组的运用应用，一次函数的运用；求出利润的解析式运用一次函数的性质求最值是本题的难点．
23.【答案】解：如图所示：点即为所求；
证明：，
，
是点关于的对称点，
，，
，
四边形是菱形；
过点作于，
四边形是菱形，
，，
是的中点，
，
，
，
．
故点到的距离是．
【解析】此题主要考查了基本作图作一条线段等于已知线段，过一点作已知直线的垂线，菱形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，三角形面积等知识，得出，的长是解题关键．
根据点关于直线的对称点的画法，过点作于点，并延长到，使，得对称点；
根据菱形的判定即可求解；
过点作于，根据菱形的性质，三角形中位线定理、勾股定理等即可求解．
24.【答案】证明：连接，如图：
为的直径，
，，
，
，
又，
，即，
，
是的切线；
过作于，过作于，如图：
的半径为，
，
的面积为，
，即，
，
中，，
中，，
，
，即，
，
解得，或舍去，
，，
，
而，，
≌，
，，
，，
∽，
，
即，
解得，
过作于，过作于，连接，如图：
，，
，
，
，
由知，，
，，
中，，
，
设，则，
由可得：，
，
解得：，
，，
．
【解析】连接，由为的直径，可得，再证明，结合已知，可得，从而证明是的切线；
过作于，过作于，由的面积为，可得，由得，可解得，根据≌，可得，再由∽，得即，解，故CD
过作于，过作于，连接，由，，可得，而，故HE，，中，，可得，设，则，则，可解得，，从而．
本题考查圆的综合知识，涉及切线的判定、三角形面积、三角形全等及相似的判定和性质、勾股定理等，综合性较强，解题的关键是作辅助线，构造相似或全等三角形。
25.【答案】解：抛物线为常数，经过点，则，
Ⅰ当时，抛物线的表达式为，
故抛物线的顶点坐标为；
Ⅱ，
故点，
由得：，
即，
解得或，
故抛物线的表达式为或；
Ⅲ将点向左平移个单位，向上平移个单位得到点，
作点关于轴的对称点，则点的坐标为，
当满足条件的点落在上时，由图象的平移知，故此时最小，理由：
为最小，即，
则，
解得舍去或，
则点、的坐标分别为、，
由点、的坐标得，直线的表达式为，
当时，，解得，
则，
即点的坐标为、点的坐标为．
【解析】Ⅰ由，即可求解；
Ⅱ由得：，则，即可求解；
Ⅲ当满足条件的点落在上时，由图象的平移知，故此时最小，进而求解．
本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，两点之间的距离，图形的平移以及最短路径问题．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
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