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专题10.1两角和与差的三角函数
知识点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）；（2）
记忆口诀：“CCSS，符号改变”；
（3）；（4）
记忆口诀：“SCCS，符号不变”；
（5）
（6）
知识点2两角和与差的三角函数应用
1.给角求值与给值求值问题
“给角求值”、“给值求值”问题求解的关键是把“所求角”用“已知角”表示，其中“已知角”可以是题意提供的角，也可以是常用的特殊角，例如
2.给值求角问题
实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.
一般遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；
②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；
若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是，选余弦；
若角的范围是，选正弦.
重难点1正余弦和差公式的正用
【例1】
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【例2】
2．已知为第二象限角，，则 ，= .
【变式1-1】（多选）
3．在中，，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】
4．求值：已知为锐角，且, ，则的值为 ，的值为 .
【变式1-3】
5．已知，均为锐角，且，，则（ ）
A． B． C． D．
重难点2正余弦和差公式的逆用
【例3】
6．（ ）
A． B． C． D．
【例4】
7．的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】
8．下列四个选项中，化简正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】
9．在下列选项中，正确的是（ ）
A．
B．
C．存在角α，β，使得sin（α+β）D．对于任意角α，β，式子cos（α+β）【变式2-3】
10．求下列各式的值：
(1)；
(2)．
重难点3正切和差公式的正用
【例5】
11．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【例6】
12．已知点在角的终边上，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【变式3-1】
13．已知，，求以及的值．
【变式3-2】
14．已知为第二象限角，且，则等于（ ）
A． B．1 C． D．7
【变式3-3】
15．如图，在中，，为垂足，在的外部，且，则 .

重难点4正切和差公式的逆用
【例7】
16．（ ）
A． B． C． D．
【例8】
17．（ ）
A． B．
C．1 D．
【变式4-1】
18．的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【变式4-2】
19．已知实数，满足，则，可能是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式4-3】
20．求下列各式的值：
(1)；
(2)(1＋tan1°)(1＋tan2°)(1＋tan44°)；
(3).
重难点5求特殊角的三角函数
【例9】
21．的值为（ ）
A． B． C． D．
【例10】
22．计算（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】
23．cos 255°的值是 （ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】
24．下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-3】
25． ．
重难点6给值求值
【例11】
26．已知，，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【例12】
27．已知都是锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】
28．若，且，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-2】
29．已知，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】
30．已知，，且，，求的值.
重难点7给值求角
【例13】
31．已知角，均在内，，，则角的值为（ ）
A． B． C． D．
【例14】
32．已知，且为锐角，则（ ）
A． B．或 C． D．
【变式7-1】
33．已知，且为锐角，则的值为 ．
【变式7-2】
34．已知，，，，则 .
【变式7-3】
35．已知α，β均为锐角，且tan α＝7，cos β＝，则α＋2β的值为 ．
重难点8综合化简问题
【例15】
36．已知，是方程的两个根，则（ ）
A． B． C．2 D．
【例16】
37．若， ，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【变式8-1】
38．已知，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】
39．已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．1
【变式8-3】
40．若，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
41．若，则（ ）
A． B．
C． D．
42．（ ）
A． B． C． D．
43．已知，且为钝角，则的值是（ ）
A． B． C． D．
44．若，，则（ ）
A． B． C． D．
45．下列选项中正确的有（ ）
A．若 是第二象限角，则
B．
C．
D．
46．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
47．已知，均为锐角，则 ．
48．已知是第二象限角，，现将角的终边逆时针旋转后得到角，若，则 ．
49．若，且，，则的值为 ．
50．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点．
(1)求的值；
(2)求的值．
51．已知.
(1)求的值；
(2)求的值.
52．已知函数．
(1)化简的解析式；
(2)若，且，，求．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】应用，结合两角和的余弦即可求解.
【详解】,
则.
故选：A
2．
【分析】根据平方公式与正弦两角和公式求解即可得答案
【详解】已知为第二象限角，，则
所以
故答案为：；.
3．BD
【分析】讨论分别为钝角、锐角的情况，然后根据同角的三角函数关系式以及两角差的正弦公式求解出的可能值.
【详解】当均为锐角时，
所以，
所以；
当为钝角，为锐角时，
此时，且，
所以，即，符合要求，
所以，
；
当为锐角，为钝角时，
此时，且，
所以，即，不符合要求；
显然不可能同为钝角，
综上可知的值可能是，，
故选：BD.
4．
【分析】求出余弦值后用两角正弦的和差公式求解即可.
【详解】因为都是锐角，且,，
所以,，，
所以，
，
故答案为：，
5．C
【分析】首先求出，，再由两角和的余弦公式计算可得.
【详解】因为，均为锐角，且，，
所以，，
所以.
故选：C
6．C
【分析】直接利用诱导公式和两角差的正弦公式计算得到答案.
【详解】
.
故选：C.
7．A
【分析】由诱导公式和逆用正弦和角公式求出答案.
【详解】由诱导公式得到：，
故.
故选：A
8．BCD
【分析】运用拆角与和角公式即可判断A项；逆用两角差的余弦公式即可判断B,C两项；运用诱导公式五先转化部分三角函数式，再逆用公式即可判断D项.
【详解】对于A项, ，故A项错误；
对于B项，，故B项正确；
对于C项，，故C项正确；
对于D项，，故D项正确.
故选：BCD.
9．BC
【分析】对于A，利用两角和的正弦公式求解即可，对于B，利用两角差的余弦公式求解，对于C，举例判断即可，对于D，举例判断即可，
【详解】对于A，，所以错误；
对于B，，所以B正确；
对于C，当，时，所以，所以成立
所以C正确；
对于D，当时 ，所以D错误；
故选：BC
10．(1)
(2)
【分析】（1）逆用两角和的正弦公式计算；
（2）逆用两角差的正弦公式计算．
【详解】（1）原式．
（2）原式．
11．D
【分析】
由两角和的正切公式可得.
【详解】
．
故选：D.
12．A
【分析】根据正切函数的定义计算，然后再由两角和的正切公式计算.
【详解】由已知，.
故选：A.
13．，7
【分析】利用同角三角函数基本关系得到，，然后根据和差公式求和即可.
【详解】因为，所以，，
，
.
14．A
【分析】先通过诱导公式求出，进而根据同角三角函数关系求出，展开代入的值计算即可.
【详解】,
，即，
又为第二象限角，
，则，
.
故选：A.
15．
【分析】先利用直角三角形求出,再利用差角公式可得.
【详解】∵且，
∴，
，
＝
＝
＝.
故答案为：.
16．C
【分析】利用正切和角公式得到，整理后得到答案.
【详解】，
，
．
故选：C
17．A
【分析】根据题意，结合两角差的正切公式，利用特殊角的三角函数值，即可求解.
【详解】由两角差的正切公式，可得.
故选：A.
18．D
【分析】
根据正切的两角和公式变形可得.
【详解】
因为，
变形得，
所以.
故选：D．
19．A
【分析】利用正切的两角和差公式求解即可.
【详解】由，得，
类比，
.
故选：A.
20．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）将用替换，逆用两角差的正切公式即可求解；
（2）根据两角和的正切公式可得即可求解；
（3）根据即可求解.
【详解】（1）原式.
（2）因为
，
同理，…，
所以原式.
（3）∵，
∴，
∴.
21．C
【分析】根据利用两角和的余弦公式计算可得.
【详解】
.
故选：C
22．D
【分析】将看成，根据诱导公式以及两角和的正弦公式，化简计算，即可得出答案.
【详解】.
故选：D．
23．C
【分析】根据诱导公式化简可得，然后根据两角和的余弦公式，即可得出答案.
【详解】因为.
故选：C.
24．BD
【分析】A选项，利用余弦的二倍角相关公式可判断选项正误；
B选项，利用辅助角公式可判断选项正误；
C选项，注意到，即可判断选项正误；
D选项，利用诱导公式可判断选项正误.
【详解】A选项，因，则
，故A错误；
B选项，
，故B正确；
C选项，，故C错误；
D选项，由诱导公式，，故D正确.
故选：BD
25．##
【分析】
将拆成，利用两角差的正余弦公式，可将分子分母化简得到，再将拆成，计算即得.
【详解】.
故答案为：.
26．B
【分析】
根据同角三角函数的基本关系式、两角差的余弦公式求得正确答案.
【详解】由于，所以，
而，所以，
所以，
所以
.
故选：B
27．B
【分析】根据，结合同角三角关系以及两角和差公式运算求解.
【详解】因为都是锐角，则，
则，
所以
.
故选：B.
28．A
【分析】
根据题意，利用三角函数的基本关系式，求得，再利用两角和的正弦公式，准确计算，即可求解.
【详解】因为，可得，
又因为，所以，
所以，
则.
故选：A.
29．A
【分析】根据给定条件，利用同角公式及和角的余弦公式求解作答.
【详解】由，得，又，则，
而，，则，
所以
.
故选：A
30．0
【分析】根据已知条件判断出、的范围，进而求得、的值，结合配凑角及差角公式计算即可.
【详解】因为，，所以，，
又因为，，所以，，
所以，，
所以.
31．C
【分析】
根据题意，由同角的平方关系可得，再由余弦的和差角公式，即可得到结果.
【详解】因为，且，所以，
因为，所以，所以为钝角，
所以，
则
，且，则.
故选：C
32．A
【分析】
由的正弦值，结合公式，求出的余弦值，再利用两角和差公式求的值即可.
【详解】因为，且为锐角，
由公式，
得：；
；
由两角和差公式得：，
从而，
因为为锐角，所以，且，
得.
故选：A.
33．##45°
【分析】由题先求出的值，再求出的值，再利用的范围求出角即可．
【详解】为锐角，，
，
，
为锐角，，
故答案为：．
34．
【分析】运用同角三角函数平方关系及两角差的余弦公式计算即可.
【详解】由已知得：，，
所以，
故答案为：.
35．
【分析】
根据同角三角函数的基本关系式、二倍角公式、两角差的正切公式求得正确答案.
【详解】
∵β为锐角，且cos β＝，∴sin β＝
∴tan β＝，tan 2β＝
∴0<2β<，0<α＋2β<π，
又，
∴.
故答案为：
36．D
【分析】根据韦达定理得，，即可结合和差角公式以及弦切互化，代入求解.
【详解】因为，是方程的两个根，
所以，，
所以.
故选：D
37．A
【分析】两式分别平方相加可得，利用两角差的余弦公式，化简整理，即可得结果.
【详解】由，，
得，
，
以上两式相加得，
所以，
故.
故选：A.
38．D
【分析】
结合两角和的正弦公式及切化弦即可求解.
【详解】因为，
所以．
两边除以，得．
故选：D．
39．D
【分析】确定，计算得到，，计算得到答案.
【详解】，化简得，
故，解得，
又，则，
故.
故选：D.
40．D
【分析】
由角度关系得到，再用两角差的正切公式展开，设，结合基本不等式求出最值，注意取等号的条件.
【详解】因为，
所以，
设，则，
当且仅当时，等号成立.
故选：D
41．C
【分析】
利用和角公式及同角三角函数关系进行求解.
【详解】
.
故选：C
42．A
【分析】
利用两角和差的余弦公式结合诱导公式，化简求值，即可得答案.
【详解】
，
故选：A．
43．D
【分析】根据同角关系可得，即可由余弦的和差角公式求解.
【详解】因为，所以，
又因为，所以
所以，
所以
即
故选：D.
44．B
【分析】先根据题意求的取值范围，再把用来表示，进而利用同角三角函数的基本关系与诱导公式即可求解.
【详解】因为 ，所以，
又因为，所以，
由，得，
又由，得，
解得.
所以．
故选：B．
45．ABC
【分析】对于A，可利用同角三角函数基本关系化简；对于B，可利用及同角三角函数基本关系化简；对于C，可先利用两角差的余弦公式及诱导公式统一角之后再进行化简；对于D，可利用两角和的正切公式化简.
【详解】对于A，因为是第二象限角，所以，
从而，故A正确；
对于B，
，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：ABC.
46．ACD
【分析】由同角三角函数的平方关系计算和验证AB选项；，由两角和的正弦公式计算验证C选项；由和算出和，计算验证D选项.
【详解】，
则，
，A选项正确；
，B选项错误；
，
C选项正确；
由，有，
，D选项正确.
故选：ACD
47．
【分析】由两角和的正弦公式结合同角三角函数的关系求解即可．
【详解】因为，均为锐角，所以，
则，
所以.
故答案为： ．
48．##
【分析】
由两角和的正切公式先得，进一步由两角差的正切公式即可求解.
【详解】由题意，且，，
解得，
所以.
故答案为：.
49．
【分析】根据条件，得出，利用平方关系得到，进而有，再利用正切的和角公式得到，利用角的范围和特殊角的三角函数值，即可求出结果.
【详解】因为，又，所以，
又，所以，
又，故，
所以，得到，
又，所以，
又，所以，
故答案为：.
50．(1)-2；
(2).
【分析】（1）由三角函数定义代入即可求解；
（2）由三角函数定义结合两角和的正切公式即可求解.
【详解】（1）因为的终边过点，所以 ，，
所以．
（2）因为的终边过点，所以，
所以.
51．(1)
(2)
【分析】（1）由同角基本关系式可求；
（2）先由同角基本关系式求出，再由，可解.
【详解】（1）因为，
所以，又，
则，
（2）由，
，
所以，则，
所以，
因为，所以.
52．(1)；
(2)．
【分析】（1）直接利用三角函数的诱导公式求出结果；
（2）利用三角函数的值和角的恒等变换求出结果．
【详解】（1）
（2）由于，
故，
所以，
由于，
故，，，
所以，，
故，，
故
，
所以．
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