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【全国通用】2024中考数学二轮复习（重难点题型突破）
8.2新定义问题与阅读理解型问题（材料）
新定义与材料理解型问题是中考数学的热点问题。新定义一般考查初中数学中没有学过的一些新概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。一般有三种类型问题：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接＂新知识＂；（3）定义新概念。这类试题考查考生对＂新定义＂的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将＂新定义＂的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题。
阅读理解型问题主要以熟悉的生活环境，现实中的数量关系、情景对话几何素材等为背景，从数学的角度，用数学的眼光将现实生活中的实际问题转化为数学模型。让学生在变化的情境中解题。在这一过程中感受数学在真实情境中的应用，彰显数学的应用价值和育人价值。
1）读懂题目，搜集信息，理解本质﹕
要想做好这类新定义型问题，关键在于读懂题目中所给新定义的信息，真正理解新概念的本质。题目中可能会给出很多信息，有些是无关紧要的，有些是重要的，我们一定要抓住关键词，关键信息，彻底弄懂其问题的本质，这是我们解决问题的关键所在。
2）新定义型问题一般与代数知识结合较多，多关注初中数学中以下几个部分的代数知识﹕
（1）实数的运算→高中的虚数的运算、数列的求和、向量等知识。
（2）平面直角坐标系，反比例函数，一次函数，二次函数→幂函数或指数函数。
（3）一元一次方程、一元二次方程、分式方程→指数方程、三角方程等特殊方程。
（4）其他类型。
3）熟练掌握和运用数学的常用思想方法
我们在解决新定义型问题时，往往都是利用现有的知识结合一些重要的数学思想方法去解决新定义的问题，比如，我们用初中所学的实数的知识结合类比和转化的数学思想方法来解决复数或者虚数的一些问题等等。所以一定要把未学的问题转化成已学的数学问题，利用现有的知识和方法，结合转化、类比等数学思想解决问题。
4）阅读理解型问题解决这类问题的关键是要认真仔细地阅读所给的材料，边读边勾画出重要的信息，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题。所以这类题型并不是像其他题型一样定点考察个别明确的知识点，而是通过材料的阅读。分析匹配到相对应的基础知识内容，结合题目当中所给的方法来进行解题。
5）解决阅读理解型问题的基本思路是“阅读一分析→理解→解决问题”，具体做法：
①认真阅读材料，把握题意，注意一些数据、关键名词；
②全面分析，理解材料所蕴含的基本概念、原理、思想和方法，提取有价值的数学信息；
③对有关信息进行归纳、整合，并且和方程、不等式、函数或几何等数学模型结合来解答。
考向一　新定义-运算问题
例1．（2023年湖南娄底中考数学真题）从n个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示，（，n、m为正整数）；例如：，，则（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023年四川省广安市中考数学真题）定义一种新运算：对于两个非零实数，．若，则的值是 ．
例3．（2024·广东中考模拟）定义一种新运算：，例如：，若，则（ ）
A．-2 B． C．2 D．
例4．（2021·湖南永州市·中考真题）定义：若，则，x称为以10为底的N的对数，简记为，其满足运算法则：．例如：因为，所以，亦即；．根据上述定义和运算法则，计算的结果为（ ）
A．5 B．2 C．1 D．0
例5．（2023·湖南娄底·统考一模）规定：sin(-x)=-sinx，cos(-x)=cosx，sin(x+y)=sinx cosy+cosx siny．
据此判断下列等式成立的是________写出所有正确的序号
①；②sin；③sin2x=2sinx cosx；④sin(x-y)=sinx-siny．
考向二　新定义-概念（知识）问题
例1．（2021·贵州遵义·中考真题）数经历了从自然数到有理数，到实数，再到复数的发展过程，数学中把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，用z＝a+bi表示，任何一个复数z＝a+bi在平面直角坐标系中都可以用有序数对Z（a，b）表示，如：z＝1+2i表示为Z（1，2），则z＝2﹣i可表示为（　　）
A．Z（2，0） B．Z（2，﹣1） C．Z（2，1） D．（﹣1，2）
例2．（2024·山西·模拟预测）在平面直角坐标系中，将横纵坐标相等的点称为“好点”，下列函数图像中不存在“好点”的是（　　）
A． B． C． D．
例3．（2023·江苏扬州·校联考二模）定义：等腰三角形底边与腰的比叫做顶角的正对（）．例如，在中，，顶角A的正对．当时，______．（结果保留根号）
例4．（2023·安徽合肥·统考二模）定义：对于一个函数，当自变量x取a时，函数y的值也等于a，则称a是这个函数的不动值．已知二次函数．（1）若﹣2是此函数的不动值，则m的值为______；（2）若此函数有两个不动值a、b，且，则m的取值范围是______．
考向三　新定义-方法问题
例1．（2020·湖北随州市·中考真题）将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·江苏常州·统考二模）在平面直角坐标系中，对任意两点与的识别距离，给出如下定义：若，则点与的识别距离是；
若，则点与的识别距离是
(1)如图1，已知点，点B是y轴上一个动点．①若点A与点B的识别距离为2，则点B的坐标是_____；②直接写出点A与点B的识别距离的最小值是_____；
(2)如图2，已知点，点D是一次函数图象上一个动点．求点C与点D的识别距离的最小值及相应的点D的坐标；(3)如图3，已知点，点T是一次函数图象上的一个动点，以T为圆心，长为半径作，设F是上任意一个动点，若点E与点F的“识别距离”L满足，直接写出点T的横坐标的取值范围．
例3．（2023·宁夏固原·统考一模）在平面直角坐标系中，点到直线的距离公式为：，例如，求点到直线的距离．解：由直线知：，，所以到直线的距离为：根据以上材料，解决下列问题：
(1)求点到直线的距离．(2)已知：是以点为圆心，1为半径的圆，与直线相切，求实数的值；(3)如图，设点为问题2中上的任意一点，点，为直线上的两点，且，请求出面积的最大值和最小值．
例4．（2024·山东济南·九年级统考期中）阅读下面的材料：
如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x取值范围内的任意x1，x2，
①若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；
②若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．
例题：证明函数f（x）＝x2（x＞0）是增函数．
证明：任取x1＜x2，且x1＞0，x2＞0．
则f（x1）﹣f（x2）＝x12﹣x22＝（x1+x2）（x1﹣x2）．
∵x1＜x2且x1＞0，x2＞0，∴x1+x2＞0，x1﹣x2＜0．
∴（x1+x2）（x1﹣x2）＜0，即f（x1）﹣f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）＝x2（x＞0）是增函数．
根据以上材料解答下列问题：
(1)函数f（x）（x＞0），f（1）1，f（2），f（3）＝　　，f（4）＝　　；
(2)猜想f（x）（x＞0）是 　　函数（填“增”或“减”），并证明你的猜想．
考向四　阅读理解型问题
例1．（2023·重庆·校考模拟预测）阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（真分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行．如：a﹣1，这样，分式就拆分成一个分式与一个整式a﹣1的和的形式，下列说法正确的有（ ）个．
①若x为整数，为负整数，则x＝﹣3；②69；③若分式拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11（整式部分对应等于5m﹣11，真分式部分对应等于），则m2+n2+mn的最小值为27．
A．0 B．1 C．2 D．3
例2．（2023·湖北十堰·统考一模）阅读理解：在正方形网格中，格线与格线的交点称为“格点”，各顶点都在格点上的多边形称为“格点多边形”．设小正方形的边长均为1，则“格点多边形”的面积可用公式计算，其中是多边形内部的“格点”数，是多边形边界上的“格点”数，这个公式称为“皮克定理”．如图所示的的正方形网格，
，，图中格点多边形的面积是21．
问题解决：已知一个格点多边形的面积为19，且边界上的点数是内部点数的3倍，则______．
例3．（2023·江苏·九年级专题练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：
设，，依次是的三边，，或其延长线上的点，且这三点共线，则满足．
这个定理的证明步骤如下：情况①：如图1，直线交的边于点，交边于点，交边的延长线与点．过点作交于点，则，（依据），
∴，∴，即．
情况②：如图2，直线分别交的边，，的延长线于点，，．…
(1)情况①中的依据指：　　；(2)请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明；
(3)如图3，，分别是的边，上的点，且，连接并延长，交的延长线于点，那么　　
例4．（2023·湖北鄂州·统考三模）阅读与应用：同学们，你们已经知道()2，即2b2所以2b2当且仅当时取等号．
阅读：若、为实数，且，，，，当且仅当时取等号．
阅读：若函数为常数由阅读结论可知：，即当即，时，函数的最小值为．
阅读理解上述内容，解答下列问题：
问题：已知一个矩形的面积为，其中一边长为，则另一边长为，周长为，当______时，矩形周长的最小值为______．
问题：若函数，则______时，函数的最小值为______．
问题3：建造一个容积为立方米，深米的长方体无盖水池，池底和池壁的造价分别为每平方米元和元，设池长为米，水池总造价为元，求当为多少时，水池总造价最低？最低是多少？
例5．（2023·山东济宁·统考一模）【阅读材料】数列是一个古老的数学课题，我国对数列概念的认识很早，例如《易传·系辞》：“河出图，洛出书，圣人则之；两仪生四象，四象生八卦”．这是世界数学史上有关等比数列的最早文字记载．
【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为，排在第二位的数称为第二项，记为，依此类推，排在第位的数称为第项，记为．所以，数列的一般形式可以写成：，，，…，，…．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列1，2，4，8，…为等比数列，其中，，公比为．
根据以上材料，解答下列问题：(1)等比数列3，9，27，…的公比为______，第5项是______．
【公式推导】如果一个数列，，，…，…，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：，，，…，．
所以，
，
，
…
(2)由此，请你填空完成等比数列的通项公式：______．
【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．欧几里得在《几何原本》中就给出了等比数列前项和公式，而错位相减法则直到1822年才由欧拉在《代数学基础》中给出，时间相差两千多年．下面是小明为了计算的值，采用的方法：
设①，
则②，
②-①得，
∴．
(3)请仿照小明的方法求的值．
一、选择题
1．（2023·湖南永州·统考二模）定义运算：把缩写为n！，n！叫做n的阶乘，如3！，4！．请你化简1！×1＋2！×2＋3！×3＋…＋n！×n，得（ ）
A．（n＋1）！－1 B．n！－1 C．（n＋1）！ D．（n＋1）！＋1
2．（2023年四川省内江市中考数学真题）对于正数x，规定，例如：，，，，计算：（　　）
A．199 B．200 C．201 D．202
3．（2023·湖北黄冈·校考模拟预测）规定[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.6]＝3，[2]＝2，[﹣2.1]＝﹣3，则下列结论：①[﹣x]＝﹣[x]；②若[x]＝n，则x的取值范围是n≤x＜n＋1；
③当﹣1＜x＜1时，[1＋x]＋[1﹣x]的值为1或2，其中正确的结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．（2023·山东济南·统考二模）定义：平面直角坐标系中，点的横坐标的绝对值表示为，纵坐标的绝对值表示为，我们把点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点的折线距离，记为（其中的“＋”是四则运算中的加法），若抛物线与直线只有一个交点，已知点在第一象限，且，令，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·广西贺州·统考一模）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”．定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且，6能被6整除；643不是“好数”，因为，10不能被3整除．则百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
6．（2023·江苏苏州·统考一模）阅读材料：一般地，当为任意角时，与的值可以用下面的公式求得：：根据以上材料，解决下列问题：如图，在中，AB是直径，，点C、D在圆上，点C在半圆弧的中点处，AD是半圆弧的，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．1
二、填空题
7．（2023年湖南省怀化市中考数学真题）定义新运算：，其中，，，为实数．例如：．如果，那么 ．
8．（2023·河北·二模）宋朝时，中国象棋就已经风靡于全国，中国象棋规定马步为：“、”字，现定义：在棋盘上从点A到点B，马走的最少步称为A与B的“马步距离”， 记作．在图中画出了中国象棋的一部分，上面标有A，B，C，D，E共5个点，则在，，，中最大值是_________，最小值是_____________．
9．（2023·山东临沂·统考一模）我们规定：若，，则．例如，，则．已知，，且，则的最大值是______．
10．（2023年四川省成都市数学中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个智慧优数是 ．
11．（2023年重庆市中考数学真题（B卷））对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵，，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为 ；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为 ．
12．（2023·四川成都·石室中学校考一模）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线x＝n（n为常数）对称，则把该函数称之为“X（n）函数“．
（1）在下列关于x的函数中，是“X（n）函数”的是_____（填序号）；
①；②y＝|4x|；③y＝x2﹣2x﹣5．
（2）若关于x的函数y＝|x﹣h|（h为常数）是“X（3）函数”，与（m为常数，m＞0）相交于A(xA，yA)、B(xB，yB)两点，A在B的左边，xB﹣xA＝5，则m＝_____．
13．（2023·湖南娄底·统考一模）已知，（其中和都表示角度），比如求，可利用公式得，又如求，可利用公式得，请你结合材料，若（为锐角），则的度数是__________．
14．（2024·湖南中考模拟预测）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．
理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，
因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．
解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为_____．
15．（2024·四川巴中·中考模拟预测）y与x之间的函数关系可记为y＝f（x）．例如：函数y＝x2可记为f（x）＝x2．若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），则f（x）是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数．例如：f（x）＝x2是偶函数，f（x）是奇函数．若f（x）＝ax2+（a﹣5）x+1是偶函数，则实数a＝__________．
三、解答题
16．（2023·内蒙古赤峰·中考模拟预测）阅读下列材料
定义运算：，当时，；当时，．
例如：；．
完成下列任务 (1)① _________；②_________
(2)如图，已知反比例函数和一次函数的图像交于、两点．
当时，．求这两个函数的解析式．
17．（2023·湖南·中考模拟）阅读下列材料：
在中，、、所对的边分别为、、，求证：．
证明：如图1，过点作于点，则：在中， CD=asinB
在中，
根据上面的材料解决下列问题：
(1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：；
(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，
18．（2023·江苏扬州·校考二模）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数是有上界函数，其上确界是2．
(1)函数①和②（）中是有上界函数的为______（只填序号即可），其上确界为______；(2)若反比例函数（，）的上确界是，且该函数的最小值为2，求a、b的值；(3)如果函数是以6为上确界的有上界函数，求实数a的值．
19．（2024·江苏·一模）阅读材料并解答下列问题：如图1，把平面内一条数轴绕原点逆时针旋转得到另一条数轴轴和轴构成一个平面斜坐标系．规定：过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交轴于点，若点在轴对应的实数为，点在轴对应的实数为，则称有序实数对为点在平面斜坐标系中的斜坐标．如图2，在平面斜坐标系中，点的斜坐标是，点的斜坐标是，连接．
（1）线段的长=______；（2）在平面斜坐标系第一象限（类比于平面直角坐标系，正半轴与正半轴所夹区域）内，有一点，使为等腰直角三角形，求点的斜坐标．
20．（2023·江苏连云港·校考三模）【阅读理解】设点P在矩形ABCD内部，当点P到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点P为该边的“和谐点”．例如：如图1，矩形ABCD中，若PA=PD，则称P为边AD的“和谐点”．
【解题运用】已知，点P在矩形ABCD内部，且AB=10，BC=8．
(1)设P是边AD的“和谐点”，则P 边BC的“和谐点”（填“是”或“不是”）；连接PC，S四边APCB=4S△APD，求PA的值．(2)若P是边BC的“和谐点”，连接PA，PB，当∠APB=90°时，求PA的值；(3)如图2，若P是边AD的“和谐点”，连接PA；PB，PD，求的最大值．
21．（2024·湖北中考模拟）若一个两位数十位、个位上的数字分别为，我们可将这个两位数记为，易知；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如．
（基础训练）（1）解方程填空：①若，则______；
②若，则______；③若，则______；
（能力提升）（2）交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数，则一定能被______整除，一定能被______整除，+++6一定能被______整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）
（探索发现）（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532-235=297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．①该“卡普雷卡尔黑洞数”为______；
②设任选的三位数为（不妨设），试说明其均可产生该黑洞数．
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【全国通用】2024中考数学二轮复习（重难点题型突破）
8.2新定义问题与阅读理解型问题（材料）
新定义与材料理解型问题是中考数学的热点问题。新定义一般考查初中数学中没有学过的一些新概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。一般有三种类型问题：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接＂新知识＂；（3）定义新概念。这类试题考查考生对＂新定义＂的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将＂新定义＂的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题。
阅读理解型问题主要以熟悉的生活环境，现实中的数量关系、情景对话几何素材等为背景，从数学的角度，用数学的眼光将现实生活中的实际问题转化为数学模型。让学生在变化的情境中解题。在这一过程中感受数学在真实情境中的应用，彰显数学的应用价值和育人价值。
1）读懂题目，搜集信息，理解本质﹕
要想做好这类新定义型问题，关键在于读懂题目中所给新定义的信息，真正理解新概念的本质。题目中可能会给出很多信息，有些是无关紧要的，有些是重要的，我们一定要抓住关键词，关键信息，彻底弄懂其问题的本质，这是我们解决问题的关键所在。
2）新定义型问题一般与代数知识结合较多，多关注初中数学中以下几个部分的代数知识﹕
（1）实数的运算→高中的虚数的运算、数列的求和、向量等知识。
（2）平面直角坐标系，反比例函数，一次函数，二次函数→幂函数或指数函数。
（3）一元一次方程、一元二次方程、分式方程→指数方程、三角方程等特殊方程。
（4）其他类型。
3）熟练掌握和运用数学的常用思想方法
我们在解决新定义型问题时，往往都是利用现有的知识结合一些重要的数学思想方法去解决新定义的问题，比如，我们用初中所学的实数的知识结合类比和转化的数学思想方法来解决复数或者虚数的一些问题等等。所以一定要把未学的问题转化成已学的数学问题，利用现有的知识和方法，结合转化、类比等数学思想解决问题。
4）阅读理解型问题解决这类问题的关键是要认真仔细地阅读所给的材料，边读边勾画出重要的信息，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题。所以这类题型并不是像其他题型一样定点考察个别明确的知识点，而是通过材料的阅读。分析匹配到相对应的基础知识内容，结合题目当中所给的方法来进行解题。
5）解决阅读理解型问题的基本思路是“阅读一分析→理解→解决问题”，具体做法：
①认真阅读材料，把握题意，注意一些数据、关键名词；
②全面分析，理解材料所蕴含的基本概念、原理、思想和方法，提取有价值的数学信息；
③对有关信息进行归纳、整合，并且和方程、不等式、函数或几何等数学模型结合来解答。
考向一　新定义-运算问题
例1．（2023年湖南娄底中考数学真题）从n个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示，（，n、m为正整数）；例如：，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据新定义分别进行计算比较即可得解．
【详解】解：∵，∴，
A选项，，B选项，，
C选项，，D选项，，故选C．
【点睛】本题考查了新定义运算以及求代数式的值．正确理解新定义是解题的关键．
例2．（2023年四川省广安市中考数学真题）定义一种新运算：对于两个非零实数，．若，则的值是 ．
【答案】
【分析】先根据可得一个关于的等式，再根据新运算的定义代入计算即可得．
【详解】解：，
，即，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算、代数式求值，理解新运算的定义是解题关键．
例3．（2024·广东中考模拟）定义一种新运算：，例如：，若，则（ ）
A．-2 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据新定义运算得到一个分式方程，求解即可.
【详解】根据题意得，，则，
经检验，是方程的解，故选B.
【点睛】此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
例4．（2021·湖南永州市·中考真题）定义：若，则，x称为以10为底的N的对数，简记为，其满足运算法则：．例如：因为，所以，亦即；．根据上述定义和运算法则，计算的结果为（ ）
A．5 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【分析】根据新运算的定义和法则进行计算即可得．
【详解】解：原式，故选：C．
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，掌握理解新运算的定义和法则是解题关键．
例5．（2023·湖南娄底·统考一模）规定：sin(-x)=-sinx，cos(-x)=cosx，sin(x+y)=sinx cosy+cosx siny．
据此判断下列等式成立的是________写出所有正确的序号
①；②sin；③sin2x=2sinx cosx；④sin(x-y)=sinx-siny．
【答案】②③
【分析】利用题中的规定判断即可．
【详解】解：①cos（ 60°）＝cos60°＝，原等式不成立；
②sin75°＝sin（45°＋30°）＝sin45°·cos30°＋cos45°·sin30°＝ ，原等式成立；
③sin2x＝sin（x＋x）＝sinx·cosx＋cosx·sinx＝2sinx cosx，原等式成立；
④sin（x y）＝sin[x+（ y）]＝sinx cos( y) ＋cosx sin( y)＝sinx cosy cosx siny，原等式不成立．
故答案为：②③．
【点睛】此题考查了三角函数，弄清题中的规定是解本题的关键．
考向二　新定义-概念（知识）问题
例1．（2021·贵州遵义·中考真题）数经历了从自然数到有理数，到实数，再到复数的发展过程，数学中把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，用z＝a+bi表示，任何一个复数z＝a+bi在平面直角坐标系中都可以用有序数对Z（a，b）表示，如：z＝1+2i表示为Z（1，2），则z＝2﹣i可表示为（　　）
A．Z（2，0） B．Z（2，﹣1） C．Z（2，1） D．（﹣1，2）
【答案】B
【分析】根据题中的新定义解答即可．
【详解】解：由题意，得z＝2 i可表示为Z（2， 1）．故选：B．
【点睛】本题考查了点的坐标，弄清题中的新定义是解本题的关键．
例2．（2024·山西·模拟预测）在平面直角坐标系中，将横纵坐标相等的点称为“好点”，下列函数图像中不存在“好点”的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据“好点”的概念：当x=y时，对应的方程有解进行判断即可．
【详解】解：A、当x=y=0时，满足y=2x，（0，0）为“好点”，该选项不符合题意；
B、不存在横纵坐标相等的“好点”，该选项符合题意；
C、当x=y=1或x=y=﹣1时，满足，（1，1）和（﹣1，﹣1）是“好点”，该选项不符合题意；
D、当x=y=0或x=y=2时，满足，（0，0）和（2，2）为“好点”，不符合题意，故选：B．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征，解答的关键是熟悉每个函数的图象与性质．
例3．（2023·江苏扬州·校联考二模）定义：等腰三角形底边与腰的比叫做顶角的正对（）．例如，在中，，顶角A的正对．当时，______．（结果保留根号）
【答案】
【分析】过点B作BD平分∠ABC交AC于D，设BC=x，AB=y；由三角形内角和定理及等腰三角形的判定和性质求得DA=DB=BC=x，则CD= y-x；由△BCD∽△ACB求得；令t=，解关于t的方程即可解答；
【详解】解：由题意作图如下：过点B作BD平分∠ABC交AC于D，
设BC=x，AB=y，△ABC中：∠A=36°，AB=AC，则∠ABC=∠ACB=（180°-36°）=72°，
BD平分∠ABC，则∠CBD=∠DBA=∠ABC=36°，△BCD中：∠BDC=180°-∠CBD-∠DCB=72°=∠BCD，
∴BC=BD=x，∴△DAB中：∠DAB=∠DBA=36°，∴DA=DB=x，
∴CD=AC-AD=y-x，△BCD和△ACB中：∠CBD=∠CAB，∠BCD=∠ACB，
∴△BCD∽△ACB，∴，∴，令t=，则，解得：t=，
经检验t=符合题意；∴，故答案为：；
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程等知识；正确作出辅助线是解题关键．
例4．（2023·安徽合肥·统考二模）定义：对于一个函数，当自变量x取a时，函数y的值也等于a，则称a是这个函数的不动值．已知二次函数．（1）若﹣2是此函数的不动值，则m的值为______；（2）若此函数有两个不动值a、b，且，则m的取值范围是______．
【答案】
【分析】（1）由函数的不动点概念得出，解得即可；（2）由函数的不动点概念得出a、b是方程的两个实数根，由知Δ＞0，列出关于的不等式，解之可得．
【详解】解：（1）由定义得，，故答案为：；
（2）∵函数有两个不动值a、b，且，
∴a、b是方程的两根，即是方程两根，∴，，
由得，，整理得，，
即，所以．故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数的新定义，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，掌握二次函数与方程的关系，并据此得出关于m的不等式．
考向三　新定义-方法问题
例1．（2020·湖北随州市·中考真题）将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得，代入即可得出答案．
【详解】∵，∴，，
∴=====，
∵，且，∴，∴原式=，故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是会将四次先降为二次，再将二次降为一次．
例2．（2023·江苏常州·统考二模）在平面直角坐标系中，对任意两点与的识别距离，给出如下定义：若，则点与的识别距离是；
若，则点与的识别距离是
(1)如图1，已知点，点B是y轴上一个动点．①若点A与点B的识别距离为2，则点B的坐标是_____；②直接写出点A与点B的识别距离的最小值是_____；
(2)如图2，已知点，点D是一次函数图象上一个动点．求点C与点D的识别距离的最小值及相应的点D的坐标；(3)如图3，已知点，点T是一次函数图象上的一个动点，以T为圆心，长为半径作，设F是上任意一个动点，若点E与点F的“识别距离”L满足，直接写出点T的横坐标的取值范围．
【答案】(1)①或；②1 (2)， (3)或
【分析】（1）根据识别距离的定义，直接求解即可；（2）过点C平行于x轴直线，与过点D平行于y轴的直线交于H， 根据定义可知，当取点C与点D的“识别距离”的最小值时，则=，即CH=DH，然后求解即可；（3）因为点E与点F的“识别距离”L满足，满足条件的F位于一、三象限．当F在第三象限时，⊙T位于直线x=-4和直线x=-8之间， L=，可求；当F在第一象限时，⊙T位于直线y=6和直线y=10之间，L=，，进而可求．
（1）解：设B的坐标为（0，y），根据识别距离的概念，可知，
∵ ，∴ ，解得y=2，或y=-2，
∴B的坐标为或，故答案为或；
②∵，∴A与B的最小识别距离为1，故答案为1．
（2）解：如图，过点C平行于x轴直线，与过点D平行于y轴的直线交于H，
根据定义“若，则点与的识别距离是”， 当取点C与点D的“识别距离”的最小值时，则=，即CH=DH，
设D（x，），则-x=-1，解得，，∴．
∴此时点C与点D的“识别距离”的最小值是．
（3）解：∵点E与点F的“识别距离”L满足，∴满足条件的F位于一、三象限，
当F在第三象限时，⊙T位于直线x=-4和直线x=-8之间，如图3（1），
此时，所以L=，∴，∴；
当F在第一象限时，⊙T位于切线直线y=6和直线y=10之间，如图3（2），
此时，所以L=，∴，即
当L=4或L=8时，直线y=6和y=10均为切线，
∵直线PT为y=x+4，∴、均为等腰直角三角形，
∴ ∴；
综上所述，T的横坐标的取值范围为：或．
【点睛】本题考查了自定义问题，涉及绝对值的意义，点的坐标特征，圆的切线的性质，解题的关键是准确理解题意，正确画出图形，分类讨论．
例3．（2023·宁夏固原·统考一模）在平面直角坐标系中，点到直线的距离公式为：，例如，求点到直线的距离．解：由直线知：，，所以到直线的距离为：根据以上材料，解决下列问题：
(1)求点到直线的距离．(2)已知：是以点为圆心，1为半径的圆，与直线相切，求实数的值；(3)如图，设点为问题2中上的任意一点，点，为直线上的两点，且，请求出面积的最大值和最小值．
【答案】(1)；(2)；(3)面积最大为4，最小为2
【分析】（1）直接利用距离公式代入计算即可得到答案；
（2）把直线整理，得，利用公式列方程求解即可；
（3）先求圆心到直线的距离，判断出P到AB的最大距离与最短距离可得答案．
(1)解：3x-4y-5=0，其中A=3,B=-4，C=-5，
，，，∴距离为；
(2)直线整理，得，故，，．
∵与直线相切，∴点到直线的距离等于半径，
即，整理得，解得或；
(3)如解图，过点作于点．
∵在中，，，，
∴圆心到直线的距离，
∴上的点到直线的最大距离为，最小距离为，
∴的最大值为，最小值为．
【点睛】本题考查一次函数综合题，点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会把直线的解析式转化为Ax+By+C=0的形式，学会构建方程解决问题，掌握圆上的点到直线的距离的最大值以及最小值．
例4．（2024·山东济南·九年级统考期中）阅读下面的材料：
如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x取值范围内的任意x1，x2，
①若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；
②若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．
例题：证明函数f（x）＝x2（x＞0）是增函数．
证明：任取x1＜x2，且x1＞0，x2＞0．
则f（x1）﹣f（x2）＝x12﹣x22＝（x1+x2）（x1﹣x2）．
∵x1＜x2且x1＞0，x2＞0，∴x1+x2＞0，x1﹣x2＜0．
∴（x1+x2）（x1﹣x2）＜0，即f（x1）﹣f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）＝x2（x＞0）是增函数．
根据以上材料解答下列问题：
(1)函数f（x）（x＞0），f（1）1，f（2），f（3）＝　　，f（4）＝　　；
(2)猜想f（x）（x＞0）是 　　函数（填“增”或“减”），并证明你的猜想．
【答案】(1)，；(2)减，见解析
【分析】（1）根据题目中函数解析式可以解答本题；（2）根据题目中例子的证明方法可以证明猜想成立．
【详解】（1）将x=3，x=4分别代入，得，，故答案为，；
（2）猜想：是减函数，
证明：任取x1＜x2，x1＞0，x2＞0，则，
∵x1＜x2且x1＞0，x2＞0，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，∴，即，
∴函数是减函数，故答案为：减．
【点睛】本题考查反比例函数图象上的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．
考向四　阅读理解型问题
例1．（2023·重庆·校考模拟预测）阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（真分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行．如：a﹣1，这样，分式就拆分成一个分式与一个整式a﹣1的和的形式，下列说法正确的有（ ）个．
①若x为整数，为负整数，则x＝﹣3；②69；③若分式拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11（整式部分对应等于5m﹣11，真分式部分对应等于），则m2+n2+mn的最小值为27．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】利用题干中的方法将分式拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，利用整数或整式的性质对每个结论进行判断即可．
【详解】解：∵为负整数，为负整数， 故①的结论正确；
∵，又，∴，且有最小值2，
∴有最大值3，∴，∴②的结论正确；
∵，
∴m＝x＋2，n 6＝ （x＋2），∴m＝x＋2，n＝4 x．
∴m2＋n2＋mn＝(m＋n)2 mn＝36 （ x2＋2x＋8）＝x2 2x＋28＝(x 1)2＋27，
∵(x 1)2≥0，∴m2＋n2＋mn有最小值为27，∴③的结论正确，故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式的加减法，整式的加减法，本题是阅读型题目，理解并熟练应用题干中的方法是解题的关键．
例2．（2023·湖北十堰·统考一模）阅读理解：在正方形网格中，格线与格线的交点称为“格点”，各顶点都在格点上的多边形称为“格点多边形”．设小正方形的边长均为1，则“格点多边形”的面积可用公式计算，其中是多边形内部的“格点”数，是多边形边界上的“格点”数，这个公式称为“皮克定理”．如图所示的的正方形网格，
，，图中格点多边形的面积是21．
问题解决：已知一个格点多边形的面积为19，且边界上的点数是内部点数的3倍，则______．
【答案】32
【分析】根据题意建立二元一次方程组，解方程组即可求解．
【详解】解：根据题意可得，解得，．故答案为：32．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意建立方程组是解题的关键．
例3．（2023·江苏·九年级专题练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：
设，，依次是的三边，，或其延长线上的点，且这三点共线，则满足．
这个定理的证明步骤如下：情况①：如图1，直线交的边于点，交边于点，交边的延长线与点．过点作交于点，则，（依据），
∴，∴，即．
情况②：如图2，直线分别交的边，，的延长线于点，，．…
(1)情况①中的依据指：　　；(2)请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明；
(3)如图3，，分别是的边，上的点，且，连接并延长，交的延长线于点，那么　　
【答案】(1)两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 (2)证明过程见详解 (3)
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理解决问题即可；
（2）如图2中，作交于，模仿情况①的方法解决问题即可；
（3）利用梅氏定理即可解决问题．
【详解】（1）解：情况①中的依据是：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
故答案为：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
（2）证明：如图2中，作交于，
则有，∴，
∴，则，变形得，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴．
（3）解：∵，，
∴，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
例4．（2023·湖北鄂州·统考三模）阅读与应用：同学们，你们已经知道()2，即2b2所以2b2当且仅当时取等号．
阅读：若、为实数，且，，，，当且仅当时取等号．
阅读：若函数为常数由阅读结论可知：，即当即，时，函数的最小值为．
阅读理解上述内容，解答下列问题：
问题：已知一个矩形的面积为，其中一边长为，则另一边长为，周长为，当______时，矩形周长的最小值为______．
问题：若函数，则______时，函数的最小值为______．
问题3：建造一个容积为立方米，深米的长方体无盖水池，池底和池壁的造价分别为每平方米元和元，设池长为米，水池总造价为元，求当为多少时，水池总造价最低？最低是多少？
【答案】问题1：2，8；问题2：4，7；问题3：当时，水池总造价最低，最低为元．
【分析】问题1：根据矩形的性质和阅读材料内容进行计算即可求解；
问题2：先将代数式变形，再根据阅读内容即可求解；
问题3：根据立方体的体积公式和已知条件表示出长方体的宽，运用阅读内容即可求解．
【详解】解：问题1：∵，∴，
∴当即（不合题意舍去），时，函数有最小值；
当2，矩形周长的最小值为8；故答案为：2，8；
问题：∵，∴，
∴由阅读2结论可知，，即，
∴当即，∴，（不合题意舍去），
∴当时，函数的最小值为7；故答案为：4，7；
问题3：∵根据题意得长方体的宽为米，
∴，
∵，∴当，即（不合题意舍去），时，函数的最小值为，∴当时，水池总造价最低，最低为元．
答：当时，水池总造价最低，最低为元．
【点睛】此题主要考查反比例函数，函数最值的确定方法，涉及到的知识点有二次根式、矩形的周长、立方体的体积等，读懂材料是解本题的关键，难点是理解和运用材料得到的结论解决问题．
例5．（2023·山东济宁·统考一模）【阅读材料】数列是一个古老的数学课题，我国对数列概念的认识很早，例如《易传·系辞》：“河出图，洛出书，圣人则之；两仪生四象，四象生八卦”．这是世界数学史上有关等比数列的最早文字记载．
【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为，排在第二位的数称为第二项，记为，依此类推，排在第位的数称为第项，记为．所以，数列的一般形式可以写成：，，，…，，…．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列1，2，4，8，…为等比数列，其中，，公比为．
根据以上材料，解答下列问题：(1)等比数列3，9，27，…的公比为______，第5项是______．
【公式推导】如果一个数列，，，…，…，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：，，，…，．
所以，
，
，
…
(2)由此，请你填空完成等比数列的通项公式：______．
【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．欧几里得在《几何原本》中就给出了等比数列前项和公式，而错位相减法则直到1822年才由欧拉在《代数学基础》中给出，时间相差两千多年．下面是小明为了计算的值，采用的方法：
设①，
则②，
②-①得，
∴．
(3)请仿照小明的方法求的值．
【答案】(1)3，243；(2)qn-1；(3)
【分析】（1）根据等比数列的公比的定义求解即可；（2）探究规律利用规律解决问题；
（3）设S=25+252+253+…+25n，则25S=252+253+…+25n+1，两式相减即可求得．
(1)等比数列3，9，27，…的公比q为3，
第四项为27×3=81，第五项为81×3=243，故答案为：3，243；
(2)如果一个数列a1，a2，a3，…，an…，是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到：=q，=q，=q，…，=q．所以a2=a1 q，
a3=a2 q=a1q q=a1 q2，a4=a3 q=a1 q2=a1 q3，…an=a1.qn-1．故答案为：qn-1；
(3)设S=25+252+253+…+25n，
∴25S=252+253+…+25n+1，
∴25S-S=25n+1-25，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了新定义及其运算，等比数列等知识，解题的关键是理解题意，利用类比思想解决问题．
一、选择题
1．（2023·湖南永州·统考二模）定义运算：把缩写为n！，n！叫做n的阶乘，如3！，4！．请你化简1！×1＋2！×2＋3！×3＋…＋n！×n，得（ ）
A．（n＋1）！－1 B．n！－1 C．（n＋1）！ D．（n＋1）！＋1
【答案】A
【分析】利用乘法分配律计算求值即可；
【详解】解：1！×1＋2！×2＋3！×3＋…＋n！×n=1！×1＋2！×（3-1）＋3！×（4-1）＋…＋n！×（n+1-1）
=1！＋3！-2！＋4！-3！＋…＋（n+1）！-n！=1！ -2！＋（n+1）！=（n＋1）！－1故选： A．
【点睛】本题考查了数字规律的探索，利用乘法分配律变形求值是解题关键．
2．（2023年四川省内江市中考数学真题）对于正数x，规定，例如：，，，，计算：（　　）
A．199 B．200 C．201 D．202
【答案】C
【分析】通过计算，可以推出结果．
【详解】解：
…
，，，
故选：C．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键．
3．（2023·湖北黄冈·校考模拟预测）规定[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.6]＝3，[2]＝2，[﹣2.1]＝﹣3，则下列结论：①[﹣x]＝﹣[x]；②若[x]＝n，则x的取值范围是n≤x＜n＋1；
③当﹣1＜x＜1时，[1＋x]＋[1﹣x]的值为1或2，其中正确的结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】首先分析题意取x=0.5，再分别求出[﹣x]，﹣[x]得出答案判断①；再根据题意，得[x]≤x＜[x]+1，再令[x]＝n可判断②；先根据②判断[1+x]+[1﹣x]≤2，再分﹣1＜x＜0， 0＜x＜1， x＝0，三种情况讨论得出答案即可判断③.
【详解】解：取x＝0.5，则[﹣x]＝[﹣0.5]＝﹣1，﹣[x]＝﹣[0.5]＝0，∴[﹣x]≠﹣[x]，∴①错误；
由题意，得[x]≤x＜[x]+1，当[x]＝n时，有n≤x＜n+1，∴②正确；
由[x]≤x可得[1+x]+[1﹣x]≤1+x+1﹣x＝2，若﹣1＜x＜0，则[1+x]＝0，[1﹣x]＝1，有[1+x]+[1﹣x]＝1；
若0＜x＜1，则[1+x]＝1，[1﹣x]＝0，有[1+x]+[1﹣x]＝1；
若x＝0，则[1+x]＝[1﹣x]＝1，有[1+x]+[1﹣x]＝2.∴③正确，∴正确的有②③，故选：C．
【点睛】本题主要考查新定义的实数运算，关键是理解新定义的含义.注意：分情况讨论．
4．（2023·山东济南·统考二模）定义：平面直角坐标系中，点的横坐标的绝对值表示为，纵坐标的绝对值表示为，我们把点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点的折线距离，记为（其中的“＋”是四则运算中的加法），若抛物线与直线只有一个交点，已知点在第一象限，且，令，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】联立方程组求得点坐标，并由只有一个交点条件求得、的关系式， 再由新定义和列出的不等式，，求得的取值范围，由，得出关于的二次函数解析式，再根据函数的性质求得的取值范围．
【详解】解：∵抛物线与直线只有一个交点，
∴方程组只有一组实数解，
∴，∴，∴，即，
∴方程可以化为，
即，∴，∴∴，
∵点在第一象限，∴，∵，∴，
∴，解得：，
∵，∴，
∵，∴随的增大而增大，∵时，，时，，
∴的取值范围为．故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二元二次方程组、一元二次方程及其判别式、一元一次不等式组等知识．把问题转化为方程或方程组，构建二次函数并且利用二次函数的性质解决问题是解题的关键．
5．（2023·广西贺州·统考一模）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”．定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且，6能被6整除；643不是“好数”，因为，10不能被3整除．则百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】B
【分析】设这个数的十位数字是x，再表示出百位数字，进而得出百位数字和十位数字的和，然后讨论x的取值得出答案即可．
【详解】设十位数字是x，则百位数字是x+5（0＜x≤4），∴x+x+5=2x+5.
当x=1时，2x+5=7，∴7能被1，7整除，∴满足条件的三位数有611，617；
当x=2时，2x+5=9，∴9能被1，3，9整除，∴满足条件的三位数有721，723，729；
当x=3时，2x+5=11，∴11能被1整除，∴满足条件的三位数有831；
当x=4时，2x+5=13，∴13能被1整除，∴满足条件的三位数有941．
所以满足条件的自然数有611，617，721，723，729，831，941，一共有7个．故选：B．
【点睛】本题主要考查了数字规律问题，理解并灵活运用新定义是解题的关键．
6．（2023·江苏苏州·统考一模）阅读材料：一般地，当为任意角时，与的值可以用下面的公式求得：：根据以上材料，解决下列问题：如图，在中，AB是直径，，点C、D在圆上，点C在半圆弧的中点处，AD是半圆弧的，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】连结OD、过点D作DF⊥AC于F，根据是半圆弧的，求出∠AOD=60°，再求∠DOC=90°-∠AOD=30°，根据，求出OD=OC=OA=，利用三角函数ADsin∠DAF=CDsin30°求解即可．
【详解】解：连结OD、OC，过点D作DF⊥AC于F，
∵是半圆弧的，∴∠AOD=60°，∴△AOD为等边三角形，∴∠DAO=60°，AD=OA，
∵点C在半圆弧的中点处，∴=半圆弧的一半，∴∠CAO=45°，
∵，∴AD=OA=，
∵∠DAF=∠DAO-∠CAO=60°-45°=15°，∠DCA==30°，∴DF=ADsin∠DAF=CDsin30°，
∴CD=2ADsin15°=2（）（sin60°cos45°-cos60°sin45°）=2×=1．故选择：D．
【点睛】本题考查弧与圆心角，圆周角的关系，等边三角形判定与性质，锐角三角函数，掌握弧与圆心角，圆周角的关系，等边三角形判定与性质，锐角三角函数是解题关键．
二、填空题
7．（2023年湖南省怀化市中考数学真题）定义新运算：，其中，，，为实数．例如：．如果，那么 ．
【答案】
【分析】根据新定义列出一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵
∴即解得：故答案为：．
【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，根据题意列出方程解题的关键．
8．（2023·河北·二模）宋朝时，中国象棋就已经风靡于全国，中国象棋规定马步为：“、”字，现定义：在棋盘上从点A到点B，马走的最少步称为A与B的“马步距离”， 记作．在图中画出了中国象棋的一部分，上面标有A，B，C，D，E共5个点，则在，，，中最大值是_________，最小值是_____________．
【答案】 5 2
【分析】利用已知规则，结合题意利用图形分别得出答案．
【详解】解：如图所示：由题意可得：=3，=5，=2，=3，
∴最大值是5，最小值是2，故答案为：5，2．
【点睛】此题主要考查了新定义以及实际问题应用，利用数形结合是解题关键．
9．（2023·山东临沂·统考一模）我们规定：若，，则．例如，，则．已知，，且，则的最大值是______．
【答案】1
【分析】根据新定义运算法则，列出关于x的二次函数，根据二次函数最值的求法解答即可．
【详解】解：根据题意知： （x+1）（x﹣3）+4（x﹣1）＝（x+1）2﹣8．
因为﹣3≤x≤2，抛物线开口向上，当x＝2时， （2+1）2﹣8＝1；
当x＝-3时， （-3+1）2﹣8＝-4； 所以 的最大值是1．故答案是：1．
【点睛】本题主要考查了新定义运算和二次函数性质，解题时，准确理解题意，列出二次函数解析式，利用了配方法求得二次函数的最值是解题关键．
10．（2023年四川省成都市数学中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个智慧优数是 ．
【答案】
【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解．
【详解】解：依题意， 当，，则第1个一个智慧优数为
当，，则第2个智慧优数为
当，，则第3个智慧优数为，
当，，则第4个智慧优数为，
当，，则第5个智慧优数为
当，，则第6个智慧优数为
当，，则第7个智慧优数为
……
时有4个智慧优数，同理时有个，时有6个，
列表如下，
观察表格可知当时，时，智慧数为，
时，智慧数为，
，时，智慧数为，
，时，智慧数为，
第1至第10个智慧优数分别为：，，，，，，，，，，
第11至第20个智慧优数分别为：，，，，，，，，，，
第21个智慧优数，第22个智慧优数为，第23个智慧优数为
故答案为：，．
【点睛】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键．
11．（2023年重庆市中考数学真题（B卷））对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵，，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为 ；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为 ．
【答案】 6200 9313
【分析】根据题中“天真数”可求得最小的“天真数”；先根据题中新定义得到，进而，若M最大，只需千位数字a取最大，即，再根据能被10整除求得，进而可求解．
【详解】解：根据题意，只需千位数字和百位数字尽可能的小，所以最小的“天真数”为6200；
根据题意，，，，，则，
∴，∴，
若M最大，只需千位数字a取最大，即，∴，
∵能被10整除，∴，∴满足条件的M的最大值为9313，故答案为：6200，9313．
【点睛】本题是一道新定义题，涉及有理数的运算、整式的加减、数的整除等知识，理解新定义是解答的关键．
12．（2023·四川成都·石室中学校考一模）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线x＝n（n为常数）对称，则把该函数称之为“X（n）函数“．
（1）在下列关于x的函数中，是“X（n）函数”的是_____（填序号）；
①；②y＝|4x|；③y＝x2﹣2x﹣5．
（2）若关于x的函数y＝|x﹣h|（h为常数）是“X（3）函数”，与（m为常数，m＞0）相交于A(xA，yA)、B(xB，yB)两点，A在B的左边，xB﹣xA＝5，则m＝_____．
【答案】 ②③ 4
【分析】（1）根据定义分析判断即可；（2）作图形y＝x﹣3与x轴交于点C，与y轴交于D点，作AM⊥x轴交于M点，BN⊥x轴交于N点，由xB﹣xA＝5，设CN＝x，则 MC＝5﹣x，则B（3+x，x）A（x﹣2，5﹣x），根据轴对称的性质以及反比例函数的性质可得（3+x）x+（x﹣2）（5﹣x）＝0，继而求得x的值，即可求得B的坐标．根据反比例函数的意义即可求得m的值．
【详解】解；（1）解：根据定义，函数关于直线x＝n（n为常数）对称，即该函数图象是轴对称图形
①y＝的图象是中心对称图象，不符合题意：
②y＝|4x|，③y＝x2﹣2x﹣5的图象是轴对称图形，符合题意．故答案为：②③．
（2）∵y＝|x﹣h|是“X（3）”函数，∴h＝3，
如图，y＝x﹣3与x轴交于C点，与y轴交于D点，作AM⊥x轴交于M点，BN⊥x轴交于N点，
∴C（3，0），D（0，﹣3），∴∠BCN＝∠OCD＝45°，
由对称性可知，∠ACM＝∠OCD＝45°，∴AM＝CM，BN＝CN，
∵xB﹣xA＝5，∴MN＝5，设CN＝x，则MC＝5﹣x，
∴B（3+x，x），A（x﹣2，5﹣x），∴（3+x）x+（x﹣2）（5﹣x）＝0，
∴x＝1，∴B（4，1），∴m＝4．故答案为：4
【点睛】本题考查了新定义，一次函数的性质，反比例函数的性质，理解新定义，根据新定义以及轴对称的性质求解是解题的关键．
13．（2023·湖南娄底·统考一模）已知，（其中和都表示角度），比如求，可利用公式得，又如求，可利用公式得，请你结合材料，若（为锐角），则的度数是__________．
【答案】
【分析】设，先根据公式可得到一个关于x的分式方程，解方程可求出x的值，再根据特殊角的正切函数值即可得出答案．
【详解】设 由题意得：
解得
经检验，是分式方程的根即为锐角故答案为：．
【点睛】本题考查了分式方程的解法、特殊角的正切函数值，熟记特殊角的正切函数值是解题关键．
14．（2024·湖南中考模拟预测）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．
理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，
因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．
解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为_____．
【答案】x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．
【分析】将原方程左边变形为x3﹣4x﹣x+2＝0，再进一步因式分解得（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，据此得到两个关于x的方程求解可得．
【详解】解：∵x3﹣5x+2＝0，∴x3﹣4x﹣x+2＝0，∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，
∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，
∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，解得x＝2或x＝﹣1，
故答案为：x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．
【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到解方程的方法．
15．（2024·四川巴中·中考模拟预测）y与x之间的函数关系可记为y＝f（x）．例如：函数y＝x2可记为f（x）＝x2．若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），则f（x）是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数．例如：f（x）＝x2是偶函数，f（x）是奇函数．若f（x）＝ax2+（a﹣5）x+1是偶函数，则实数a＝__________．
【答案】5
【分析】由f（x）=ax2+（a-5）x+1是偶函数，
得a（-x）2+（a-5） （-x）+1=ax2+（a-5）x+1，解得a=5．
【详解】解：∵f（x）=ax2+（a-5）x+1是偶函数，
∴对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（-x）=f（x），即a（-x）2+（a-5） （-x）+1=ax2+（a-5）x+1，∴（10-2a）x=0，可知10-2a=0，∴a=5，故答案为：5．
【点睛】本题考查新定义：偶函数与奇函数，解题的关键是理解偶函数定义，列出a（-x）2+（a-5） （-x）+1=ax2+（a-5）x+1．
三、解答题
16．（2023·内蒙古赤峰·中考模拟预测）阅读下列材料
定义运算：，当时，；当时，．
例如：；．
完成下列任务 (1)① _________；②_________
(2)如图，已知反比例函数和一次函数的图像交于、两点．
当时，．求这两个函数的解析式．
【答案】(1)①1；② (2)，
【分析】（1）根据材料中的定义进行计算，即可求出答案；（2）由函数图像可知当时，，则，结合已知可得，即可求出b，得到一次函数解析式，求出点A的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式．
(1)解：根据题意，∵，当时，；当时，，∴①；
∵，∴②；故答案为：①1；②；
(2)解：由函数图像可知当时，，∴，
又∵，∴，∴，
∴一次函数，当x＝－2时，，∴A（－2，1），
将A（－2，1）代入得，∴反比例函数．
【点睛】本题考查了新定义的运算法则，零次幂，反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是掌握题意，正确的运用数形结合的思想求解．
17．（2023·湖南·中考模拟）阅读下列材料：
在中，、、所对的边分别为、、，求证：．
证明：如图1，过点作于点，则：在中， CD=asinB
在中，
根据上面的材料解决下列问题：
(1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：；
(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）作BC边上的高，利用三角函数表示AD后，即可建立关联并求解；
（2）作BC边上的高，利用三角函数分别求出AE和BC，即可求解．
(1)证明：如图2，过点作于点，
在中，，在中，，，；
(2)解：如图3，过点作于点，，，，
在中，
又，即，，．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提．
18．（2023·江苏扬州·校考二模）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数是有上界函数，其上确界是2．
(1)函数①和②（）中是有上界函数的为______（只填序号即可），其上确界为______；(2)若反比例函数（，）的上确界是，且该函数的最小值为2，求a、b的值；(3)如果函数是以6为上确界的有上界函数，求实数a的值．
【答案】(1)②，7；(2)(3)a=2或a=-2．
【分析】（1）分别求出两个函数的函数值范围即可得解；
（2）先求出函数值的范围，再由已知得到关于a，b的等式，即可得到解答；
（3）把原函数配方，再根据已知得到关于a的方程，即可得解．
【详解】（1）解：∵，
∴有上界函数为②，其上确界为7，故答案为②，7；
（2）解：由已知可得，∴，∴∴
（3）解：∵，∴，∴a=2或a=-2．
【点睛】本题考查新定义下的函数探究，在理解所给定义的前提下综合运用各类型函数的性质是解题关键．
19．（2024·江苏·一模）阅读材料并解答下列问题：如图1，把平面内一条数轴绕原点逆时针旋转得到另一条数轴轴和轴构成一个平面斜坐标系．规定：过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交轴于点，若点在轴对应的实数为，点在轴对应的实数为，则称有序实数对为点在平面斜坐标系中的斜坐标．如图2，在平面斜坐标系中，点的斜坐标是，点的斜坐标是，连接．
（1）线段的长=______；（2）在平面斜坐标系第一象限（类比于平面直角坐标系，正半轴与正半轴所夹区域）内，有一点，使为等腰直角三角形，求点的斜坐标．
【答案】（1）（2） (5-，2+)或(8-2，2+)．
【分析】（1）根据斜坐标的定义，直接求解即可；（2）分两种情况：①当点Q为直角顶点时，则PQ=QM=6，∠PQM=90°，②当点M为直角顶点时，则MP=QM，∠PMQ=90°，分别作出图形，即可求解．
【详解】解：（1）由斜坐标的定义可知：=8-2=6，故答案是：6；
（2）①当点Q为直角顶点时，则PQ=QM=6，∠PQM=90°，
过点M作MN∥y轴，交PQ于点N，过点M作ME∥x轴，延长QP交y轴于点F，
则四边形FNME是平行四边形，
∴EF=MN，∵，PQ∥x轴，MN∥y轴，∴∠MNQ=，
∴MN=MQ÷sin60°=6÷=，NQ=6÷tan60°=6÷=2，∴PN=6-2，
∴FN=2+6-2=8-2，OE=OF+EF=OF+MN=2+，∴M(8-2，2+)；
②当点M为直角顶点时，则MP=QM，∠PMQ=90°，
过点M作MN∥y轴，交PQ于点N，过点M作ME∥x轴，延长QP交y轴于点F，
则四边形FNME是平行四边形，过点M作MG⊥PQ，则MG==3，
由①可知：∠MNQ=，∴MN=MG÷sin60°=3÷=，NG=3÷tan60°=3÷=，
∴PN=3-，∴FN=2+3-=5-，OE=OF+EF=OF+MN=2+，∴M(5-，2+)；
综上所述：点M的坐标为(5-，2+)或(8-2，2+)．
【点睛】本题主要考查图形与坐标，锐角三角函数，以及等腰直角三角形的性质，根据题意画出图形，理解斜坐标系的定义，是解题的关键．
20．（2023·江苏连云港·东海实验中学校考三模）【阅读理解】设点P在矩形ABCD内部，当点P到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点P为该边的“和谐点”．例如：如图1，矩形ABCD中，若PA=PD，则称P为边AD的“和谐点”．
【解题运用】已知，点P在矩形ABCD内部，且AB=10，BC=8．
(1)设P是边AD的“和谐点”，则P 边BC的“和谐点”（填“是”或“不是”）；连接PC，S四边APCB=4S△APD，求PA的值．(2)若P是边BC的“和谐点”，连接PA，PB，当∠APB=90°时，求PA的值；(3)如图2，若P是边AD的“和谐点”，连接PA；PB，PD，求的最大值．
【答案】(1)是，PA的值为；(2)PA的值为2或4；(3)
【分析】（1）连接PB、PC，证明△BAP≌△CDP（SAS），得PB=PC，即可得出结论；
（2）先由“和谐点”的定义得PB=PC，PA=PD，点P在AD和BC的垂直平分线上，过点P作PE⊥AD于E，PF⊥AB于F，求出AE=PF=3，再证△APF∽△PBF，得PF2=AF BF，设AF=x，则BF=10-x，解得：x=2或x=8，再利用勾股定理，即可求解；
（3）过点P作PN⊥AB于N，再证明，设AN=x，则BN=10-x，得到AN BN关于x的二次函数，进而即可得出结论．
(1)解：P是边BC的“和谐点”，理由如下：连接PB、PC，如图1，
∵PA=PD，∴∠PDA=∠PAD，∴四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠CDA=∠BAD=90°，∴∠BAP=∠CDP，
在△BAP和△CDP中，，∴△BAP≌△CDP（SAS），
∴PB=PC，∴P是边BC的“和谐点”，在矩形ABCD中，AB=10，AD=8，
∴BC=AD=8，过点P作MN⊥AD，则MN⊥BC，
∴四边形ABNM是矩形，∴MN=AB=10，∴PM+PN=10，
∵PA=PD，∴AM=AD=4，∵S四边APCB=4S△APD，
∴AB AM+BC PN=AD PM，∴10×4+8PN=8PM，
∴PM-PN=5，∴PM=，∴PA==，故答案为：是；
(2)解：∵P是边BC的“和谐点”， 由（1）可知：P也是边AD的“和谐点”，
∴PB=PC，PA=PD，∴点P在AD和BC的垂直平分线上，
过点P作PE⊥AD于E，PF⊥AB于F，如图2，则AE=AD，∠PEA=∠PFA=90°，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，BC=AD=8，
∴四边形AEPF是矩形，AE=4，∴AE=PF=4，
∵∠APB=90°，且P在矩形内部，∴∠APF+∠BPF=90°，
∵PF⊥AB，∴∠AFP=∠PFB=90°，∴∠APF+∠PAF=90°，
∴∠PAF=∠BPF，∴△APF∽△PBF，∴AF：PF=PF：BF，
∴PF2=AF BF，∴PF2=AF（AB-AF），设AF=x，则BF=10-x，
∴x（10-x）=42，解得：x=2或x=8，
当AF=2时，PA；
当AF=8时，PA；∴PA的值为2或4；
(3)解：过点P作PN⊥AB于N，如图3，
由（2）知：点P在AD和BC的垂直平分线上，∴PN=BC=4，
∵tan∠PAB=，tan∠PBA=，
∴tan∠PAB tan∠PBA= =，
∴，设AN=x，则BN=10-x，
∴AN BN=x（10-x）=-x2+10x=-（x-5）2+25，当x=5时，AN BN有最大值25，
∴有最大值，∴当x=5时，的最大值是．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的判定和性质，新定义“和谐点”的判定和性质，全等三角形判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义，二次函数的应用等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握新定义“和谐点”的判定和性质，证明三角形全等和三角形相似是解题关键．
21．（2024·湖北中考模拟）若一个两位数十位、个位上的数字分别为，我们可将这个两位数记为，易知；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如．
（基础训练）（1）解方程填空：①若，则______；
②若，则______；③若，则______；
（能力提升）（2）交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数，则一定能被______整除，一定能被______整除，+++6一定能被______整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）
（探索发现）（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532-235=297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．①该“卡普雷卡尔黑洞数”为______；
②设任选的三位数为（不妨设），试说明其均可产生该黑洞数．
【答案】（1）①2．②4；③7；（2）11；9；10．；（3）①495；②495
【分析】(1)①根据，结合已知可得关于x的方程，解方程即可得；
②根据题意可得关于y的方程，解方程即可得；
③由及四位数的类似公式可得关于t的方程，解方程即可得；
(2)根据分别对、、按此表示方法进行整理即可求得答案；(3)①若选的数为325，则用532-235=297，然后根据题中所给的规则继续计算即可求得答案；
②当任选的三位数为时，根据规则第一次运算后得，结果为99的倍数，由于，故，继而确定出a-c=2，3，4，5，6，7，8，9，从而可得第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，对这些数字根据规则继而进行运算即可求得答案.
【详解】(1)①∵，∴若，则，∴，故答案为2；②若，则，解得，故答案为4；
③由及四位数的类似公式得：若，
则，
∴100t=700，∴，故答案为7；
(2)∵，∴则一定能被 11整除，
∵，∴一定能被9整除，
∵
，∴一定能被10整除，故答案为11；9；10；
(3)①若选的数为325，则用532-235=297，以下按照上述规则继续计算，
，，，，故答案为495；
②当任选的三位数为时，第一次运算后得：，
结果为99的倍数，由于，故，
∴，又，∴，∴，3，4，5，6，7，8，9，
∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，
再让这些数字经过运算，分别可以得到：
，，，，…故都可以得到该黑洞数495．
【点睛】本题考查的是阅读理解题，弄清题意，理解和掌握题中所给的运算法则或运算规则是解题的关键.
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