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【全国通用】2024中考数学二轮复习（重难点题型突破）
8.4方案设计型与实验探究型
方案设计型问题是中考数学创新性问题的一种典型问题，该问题通常设置一个实际问题的情境，并给出一些信息及提出解决问题的具体要求，以探求最为恰当的解决方案。有时问题中还给出多种不同的解决方案，要求考生思考孰优孰劣。这类问题主要考查考生的动手操作能力和实践能力，具有一定的难度。实验操作探究型问题经过实验探索，解决具有特殊性、结论易证的第一个问题，然后进行拓展应用，即解决后面改变图形背景后的问题，这需要合理的推理、猜想，运用类比、归纳、分类讨论等数学思想全面考虑问题，从复杂图形中识别出前面的图形及其关系，直接应用前面的结论即可解决问题。
方案设计型问题是设置一个实际问题的情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，寻求恰当的解决方案，有时还给出几个不同的解决方案，要求判断其中哪个方案最优。方案设计型问题主要考查学生的动手操作能力和实践能力，主要有以下几种类型：
1）方程、不等式综合型方案设计：根据题意，列出方程及不等式（组），通过解方程、不等式，求出其整数解，确定设计方案。
2）函数型方案设计
（1）根据一次函数性质确定最优方案：首先根据题意，列出两个变量的一次函数解析式；再根据题意，列出不等式组，利用一次函数的增减性确定有最大值（或最小值）的方案。
（2）列出两个函数解析式，确定最优方案：根据题意（或函数图象），列出两个一次函数解析式，通过比较函数值的大小确定最优方案。
3）几何图形型方案设计
（1）几何图形分割与拼接方案设计：把一个几何图形按某种要求分成几个图形，这是图形的分割。反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，这是图形的拼接。在图形的分割、拼接过程中，都要结合所提供的图形特点来思考。
（2）图案设计方案：以某一个图案为基础，利用中心对称、轴对称的性质设计优美图案。由于思考的角度不同，审美观各异，设计出的图案是不唯一的。
4）测量方案型设计问题
（1）测量物体高度方案设计：理解俯角、仰角的定义，分析图形：根据题意构造直角三角形。并结合图形利用三角函数，应用解直角三角形的关系解决问题。
（2）测量物体宽度方案设计：理解方向角或方位角，由题意构建直角三角形，运用三角函数解直角三角形。
（3）测量物体深度方案设计：根据题意作出辅助线，构造出相似三角形（或直角三角形），运用相似三角形性质（或三角函数）解答实际问题。
操作探究型问题是通过动手测量、作图(象)、取值、计算等试验，猜想获得数学结论的研究性活动，这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式，需要动手操作、合理猜想和验证。常见类型：（1）操作设计问题；（2）图形剪拼；（3）操作探究；（4）数学建模。
解题策略：运用观察、操作、联想、推理、概括等多种方法。
考向一　方程、不等式型方案设计
例1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）某宾馆有单人间，双人间，三人间三种客房供游客选择居住，现某旅游团有18名游客同时安排居住在该宾馆，若每个房间都住满，共租了8间客房，则居住方案有（　　）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】C
【分析】此题考查了三元一次不定方程组的应用，找出关键描述语为：某旅行团18人准备同时选择这三种客房共8间，每个房间都住满，可先列出关系式，再根据已知条件确定所求未知量的范围，从而确定居住方案．
【详解】解：设租一人间x间，租二人间y间，则三人间客房z间．
依题意得：，解得：，∴，
∵x，y，z是正整数，当时，，（不符合题意，舍去）；
当时，，当时，，；
当时，，；当时，，；∴居住方案有4种．故选：C．
例2．（2023·广东·中考模拟预测）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．
(1)求篮球和足球的单价分别是多少元；(2)学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案？
【答案】(1)篮球的单价为120元，足球的单价为90元
(2)学校一共有四种购买方案：方案一：篮球30个，足球20个；方案二：篮球31个，足球19个；方案三：篮球32个，足球18个；方案四：篮球33个，足球17个
【分析】（1）根据购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，可以列出相应的不等式组，从而可以求得篮球数量的取值范围，然后即可写出相应的购买方案．
【解析】 (1)解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，
由题意可得：，解得，
答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元；
(2)解：设采购篮球m个，则采购足球为（50-m）个，
∵要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，
∴，解得30≤x≤33，
∵x为整数，∴x的值可为30，31，32，33，∴共有四种购买方案，
方案一：采购篮球30个，采购足球20个；方案二：采购篮球31个，采购足球19个；
方案三：采购篮球32个，采购足球18个；方案四：采购篮球33个，采购足球17个．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组．
例3．（2023年河南省中考数学真题）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种．
活动一：所购商品按原价打八折；
活动二：所购商品按原价每满300元减80元．（如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元）
(1)购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由．
(2)购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价．
(3)购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a元，请直接写出a的取值范围．
【答案】(1)活动一更合算(2)400元(3)当或时，活动二更合算
【分析】（1）分别计算出两个活动需要付款价格，进行比较即可；（2）设这种健身器材的原价是元，根据“选择活动一和选择活动二的付款金额相等”列方程求解即可；（3）由题意得活动一所需付款为元，活动二当时，所需付款为元，当时，所需付款为元，当时，所需付款为元，然后根据题意列出不等式即可求解．
【详解】（1）解：购买一件原价为450元的健身器材时，
活动一需付款：元，活动二需付款：元，∴活动一更合算；
（2）设这种健身器材的原价是元，则，解得，
答：这种健身器材的原价是400元，
（3）这种健身器材的原价为a元，则活动一所需付款为：元，
活动二当时，所需付款为：元，
当时，所需付款为：元，
当时，所需付款为：元，
①当时，，此时无论为何值，都是活动一更合算，不符合题意，
②当时，，解得，
即：当时，活动二更合算，
③当时，，解得，
即：当时，活动二更合算，
综上：当或时，活动二更合算．
【点睛】此题考查了一元一次方程及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，注意分类讨论的应用．
例4．（2023年四川省德阳市中考数学真题）2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新时代”为主题的世界清洁能源装备大会在德阳举行．大会聚焦清洁能源装备产业发展热点和前瞻性问题，着力实现会展聚集带动产业聚集．其中德阳清洁能源装备特色小镇位于德阳经济技术开发区，规划面积平方公里，计划2025年基本建成．若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元．(1)乙队单独完工需要几个月才能完成任务？(2)为保证该工程在两年内完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且a，b为正整数，则甲乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？
【答案】(1)乙队单独完工需要27个月才能完成任务．(2)甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用最低为万元．
【分析】（1）设乙单独完成需要个月，由“乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．”建立分式方程求解即可；
（2）由题意可得：，可得，结合，，可得，结合都为正整数，可得为3的倍数，可得甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，从而可得答案．
【详解】（1）解：设乙单独完成需要个月，则
，解得：，经检验是原方程的解且符合题意；
答：乙队单独完工需要27个月才能完成任务．
（2）由题意可得：，∴，∴，
∵，，∴，解得：，∵都为正整数，∴为3的倍数，
∴或或，∴甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，
方案①：安排甲工作6个月，乙工作18个月，费用为：（万元），
方案②：安排甲工作4个月，乙工作21个月，费用为：（万元），
方案③：安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用为：（万元），
∴安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用最低为万元．
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，二元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，确定相等关系与不等关系是解本题的关键．
例5：（2023·四川达州·统考中考真题）某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元．(1)分别求出每件豆笋、豆干的进价；(2)某特产店计划用不超过元购进豆笋、豆干共件，且豆笋的数量不低于豆干数量的，该特产店有哪几种进货方案？
(3)若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元？
【答案】(1)豆笋、豆干的进价分别是60元/件，40元/件(2)有3种进货方案：豆干购进件，则豆笋购进件；豆干购进件，则豆笋购进件；豆干购进件，则豆笋购进件
【分析】（1）设豆笋、豆干的进价分别是a元/件、b元/件，根据等量关系列出方程组，解方程组即可；（2）设豆干购进n件，则豆笋购进件，根据不等关系列出不等式组，解不等式组，再根据n取整数，即可求得进货方案；
【详解】（1）解：设豆笋、豆干的进价分别是a元/件、b元/件，
则，解得，故豆笋、豆干的进价分别是60元/件，40元/件．
（2）设豆干购进n件，则豆笋购进件，
，解得，
∴时，，即豆干购进件，则豆笋购进件，
时，，即豆干购进件，则豆笋购进件，
时，，即豆干购进件，则豆笋购进件．
【点睛】本题是方程、不等式的综合题，考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组等知识，涉及分类讨论思想，属于常考题型．
考向二　函数型方案设计问题
例1．（2023年江苏省扬州市中考数学真题）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．(1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元？(2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？
【答案】(1)甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元．
(2)购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元．
【分析】（1）设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为元，根据题意，得，求解；（2）设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w,则，解得，故最小整数解为，，根据一次函数增减性，求得最小值=．
【详解】（1）解:设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为元，根据题意，得解得，，，
答：甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元．
（2）解：设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w,
则，解得，故最小整数解为，
，
∵，则w随m的增大而增大，∴时，w取最小值，最小值．
答：购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，一次函数的性质，一次函数的应用、一元一次不等式的应用；根据题意列出函数解析式，确定自变量取值范围是解题的关键．
例2．（2023年湖北省恩施州中考数学真题）为积极响应州政府“悦享成长·书香恩施”的号召，学校组织150名学生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同．(1)男装、女装的单价各是多少？(2)如果参加活动的男生人数不超过女生人数的，购买服装的总费用不超过17000元，那么学校有几种购买方案？怎样购买才能使费用最低，最低费用是多少？
【答案】(1)男装单价为100元，女装单价为120元．(2)学校有11种购买方案，当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最少，最少费用为16800元
【分析】（1）设男装单价为x元，女装单价为y元，根据题意列方程组求解即可；
（2）设参加活动的女生有a人，则男生有人，列不等式组找到a的取值范围，再设总费用为w元，得到w与a的关系，根据一次函数的性质可得当a取最小值时w有最小值，据此求解即可．
【详解】（1）解：设男装单价为x元，女装单价为y元，
根据题意得：，解得：．答：男装单价为100元，女装单价为120元．
（2）解：设参加活动的女生有a人，则男生有人，
根据题意可得，解得：，
∵a为整数，∴a可取90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，100，一共11个数，
故一共有11种方案，设总费用为w元，则，
∵，∴当时，w有最小值，最小值为（元）．
此时，（套）．
答：当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最少，最少费用为16800元．
【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，找到题中的等量关系或不等关系是解题的关键．
例3．（2023年黑龙江龙东地区中考数学真题）2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．(1)求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？(2)已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？(3)在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．
【答案】(1)A款文化衫每件50元，则B款文化衫每件40元，(2)一共有六种购买方案(3)
【分析】（1）设A款文化衫每件x元，则B款文化衫每件元，然后根据用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同列出方程求解即可；（2）设购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫件，然后根据，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫列出不等式组求解即可；（3）设购买资金为W元，购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫件，求出，根据（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，可得W的取值与a的值无关，由此即可求出．
【详解】（1）解：设A款文化衫每件x元，则B款文化衫每件元，
由题意得，，解得，检验，当时，，
∴是原方程的解，∴，
∴A款文化衫每件50元，则B款文化衫每件40元，
答：A款文化衫每件50元，则B款文化衫每件40元；
（2）解：设购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫件，
由题意得，，解得，
∵a是正整数，∴a的取值可以为275，276，277，278，279，280，∴一共有六种购买方案；
（3）解：设购买资金为W元，购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫件，
由题意得， ，
∵（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，∴W的取值与a的值无关，∴，∴．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，分式方程的实际应用，整式的加减的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式组是解题的关键．
例4．（2023年新疆维吾尔自治区中考数学真题）随着端午节的临近，，两家超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案，如下表：
超市 超市
优惠方案 所有商品按八折出售 购物金额每满元返元
(1)当购物金额为元时，选择超市______（填“”或“”）更省钱；
当购物金额为元时，选择超市______（填“”或“”）更省钱；
(2)若购物金额为（）元时，请分别写出它们的实付金额（元）与购物金额（元）之间的函数解析式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？
(3)对于超市的优惠方案，随着购物金额的增大，顾客享受的优惠率不变，均为%（注：）．若在超市购物，购物金额越大，享受的优惠率一定越大吗？请举例说明．
【答案】(1),(2)，，当或时选择超市更省钱，当时，选择超市更省钱(3)不一定，理由见解析
【分析】（1）根据题意，分别计算购物金额为和元时，两家超市的费用，比较即可求解；
（2）根据题意列出函数关系，根据当时，，得出时选择超市更省钱，结合题意，即可求解；（3）根据题意以及（2）的结论，举出反例即可求解．
【详解】（1）解：购物金额为元时，超市费用为（元）
超市费用为80元，∵，∴当购物金额为80元时，选择超市更省钱；
购物金额为元时，超市费用为（元）超市费用为元
∵，∴当购物金额为130元时，选择超市更省钱；故答案为：,．
（2）解：依题意，，
当时，超市没有优惠，故选择超市更省钱，
当时，解得：
∴当时，选择超市更省钱，
综上所述，或时选择超市更省钱，
当时，选择超市更省钱，当时，两家一样，
综上所述，当或时选择超市更省钱，当时，选择超市更省钱；
（3）在超市购物，购物金额越大，享受的优惠率不一定越大，
例如：当超市购物元，返元，相当于打折，即优惠率为，
当超市购物元，返元，则优惠率为，
∴在超市购物，购物金额越大，享受的优惠率不一定越大，
【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
考向三　几何型方案设计问题
例1．（2023·山东枣庄·统考中考真题）（1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特征：___________，___________．

（2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征．

【答案】（1）观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等；（2）见解析
【分析】（1）应从对称方面，阴影部分的面积等方面入手思考；
（2）应画出既是轴对称图形，且面积为4的图形．
【详解】解：（1）观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等；
故答案为：观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等；
（2）如图：

【点睛】此题主要考查了利用轴对称图形设计图案，关键是掌握利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
例2．（2024·吉林·模拟预测）阅读理解，并解答问题：
如图所示的8×8网格都是由边长为1的小正方形组成，图①中的图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽通过对这种图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了著名的勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国数学史上的骄傲．

问题：
请用“赵爽弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变化，在图②，图③的方格纸中设计另外两个不同的图案，每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠．画图要求：
（1）图②中所设计的图案（不含方格纸）必须是轴对称图形但不是中心对称图形；
（2）图③中所设计的图案（不含方格纸）必须既是轴对称图形，又是中心对称图形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【分析】（1）每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形不重叠，是轴对称图形；
（2）所设计的图案（不含方格纸）必须是中心对称图形或轴对称图形画出图．
【详解】解：（1）图②是轴对称图形而不是中心对称图形；
（2）如图③既是轴对称图形，又是中心对称图形；

【点睛】本题考查利用旋转或者轴对称设计方案，关键是理解旋转和轴对称的概念，按照要求作出图形即可
例3．（23-24九年级·浙江·期末）如图1、图2为一张纸片的两种剪拼方案（沿虚线剪开），记图1为方案甲，图2为方案乙，其中，，.对于方案甲，满足，；对于方案乙，满足，．若要拼一个与原纸片面积相等的正方形（纸片没有空隙也不重叠），则（ ）
A．甲可以、乙不可以 B．甲不可以、乙可以 C．甲、乙都不可以 D．甲、乙都可以
【答案】D
【分析】本题主要考查图形的平移，通过计算可得所给纸片的面积为5，图1中以为边构造正方形，图2中以为边构造正方形，通过平移即可判断求解．
【详解】解：方案甲，如下图所示，将四边形移至处，将四边形移至处，将移至处，即可得到一个与原纸片面积相等的正方形；
方案乙，如下图所示，将移至处，将移至处，即可得到一个与原纸片面积相等的正方形．因此甲、乙都可以，故选D．
例4．（2023·湖北十堰·统考中考真题）在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形硬纸片剪切成如图所示的四块（其中D，E，F分别为，，的中点，G，H分别为，的中点），小明将这四块纸片重新组合拼成四边形（相互不重叠，不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的最小值为 ，最大值为 ．

【答案】 8
【分析】根据题意，可固定四边形，平移或旋转其它图形，组合成四边形，求出周长，判断最小值，最大值．
【详解】 如图1，，，
∴四边形周长=；

如图2，∴四边形周长为；
故答案为：最小值为8，最大值.
【点睛】本题考查图形变换及勾股定理，通过平移、旋转组成满足要求的四边形是解题的关键．
考向四　测量型方案设计问题
例1．（2023年四川省自贡市中考数学真题）为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：

(1)测量坡角：如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡，山的高度即为三段坡面的铅直高度之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小．
如图2，同学们将两根直杆的一端放在坡面起始端A处，直杆沿坡面方向放置，在直杆另一端N用细线系小重物G，当直杆与铅垂线重合时，测得两杆夹角的度数，由此可得山坡AB坡角的度数．请直接写出之间的数量关系．
(2)测量山高：同学们测得山坡的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为；为求，小熠同学在作业本上画了一个含角的（如图3），量得．求山高．（，结果精确到1米）
(3)测量改进：由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．

如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于的顶端，当与铅垂线重合时，转动直杆，使点N，P，D共线，测得的度数，从而得到山顶仰角，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角；画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米，再画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米．已知杆高MN为米，求山高．（结果用不含的字母表示）
【答案】(1)；(2)山高为69米；(3)山高的高为米．．
【分析】（1）利用互余的性质即可求解；（2）先求得，再分别在、、中，解直角三角形即可求解；（3）先求得，，在和中，分别求得和的长，得到方程，据此即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，∴；

（2）解：在中，．∴，
在中，，米，∴(米)，
在中，，米， ∴(米)，
在中，，米，∴(米)，
∴山高(米)， 答：山高为69米；
（3）解：如图，由题意得，，
设山高，则，

在中，，，∴，∴，
在中，，，∴，∴，
∵，∴，即，
解得，山高 答：山高的高为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．
例2．（2023年浙江省温州市中考数学真题）根据背景素材，探索解决问题．
测算发射塔的高度
背景素材 某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度（如图1）．他们通过自制的测倾仪（如图2）在，，三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示．

经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度．
问题解决
任务1 分析规划 选择两个观测位置：点_________和点_________
获取数据 写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离．
任务2 推理计算 计算发射塔的图上高度．
任务3 换算高度 楼房实际宽度为米，请通过测量换算发射塔的实际高度．
注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1．
【答案】规划一：[任务 1]选择点和点；，，，测得图上；[任务 2]；[任务 3]发射塔的实际高度为米；规划二：[任务 1]选择点和点．[任务 2]；[任务 3]发射塔的实际高度为米；
【分析】规划一：[任务 1]选择点和点,根据正切的定义求得三个角的正切值，测得图上
[任务 2]如图1，过点作于点，过点作于点，设．根据，，得出，．由，解得，根据，得出，即可求解；
[任务3 ]测得图上，设发射塔的实际高度为米．由题意，得，解得，
规划二：[任务 1]选择点和点．根据正切的定义求得三个角的正切值，测得图上；
[任务 2]如图2，过点作于点，过点作，交的延长线于点，则，设．根据，，得出，．根据，得出，然后根据，得出，进而即可求解．
[任务 3]测得图上，设发射塔的实际高度为米．由题意，得，解得，即可求解．
【详解】解：有以下两种规划，任选一种作答即可．
规划一：[任务 1]选择点和点．
，，，测得图上．
[任务 2]如图1，过点作于点，过点作于点，

则，设．
∵，，∴，．
∵，∴解得，∴．
∵，∴，∴．
[任务3 ]测得图上，设发射塔的实际高度为米．
由题意，得，解得，∴发射塔的实际高度为米．
规划二：[任务 1]选择点和点．，，，测得图上．
[任务 2]如图2，过点作于点，过点作，交的延长线于点，则，设．
∵，，∴，．
∵，∴，解得，∴．
∵，∴，∴．
[任务 3]测得图上，设发射塔的实际高度为米．
由题意，得，解得．∴发射塔的实际高度为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键．
例3．（2023年甘肃省武威市中考数学真题）如图1，某人的一器官后面处长了一个新生物，现需检测到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下：
课题 检测新生物到皮肤的距离
工具 医疗仪器等
示意图
说明 如图2，新生物在处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为；再在皮肤上选择距离处的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为．
测量数据 ，，
请你根据上表中的测量数据，计算新生物处到皮肤的距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，）
【答案】新生物处到皮肤的距离约为
【分析】过点作，垂足为，在，用 与的正切值表示出，在中，用和的正切值表示出，由，联立求解即可．
【详解】解：过点作，垂足为．
由题意得，，，
在中，．
在中，．

∵，∴，∴．
答：新生物处到皮肤的距离约为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，构造直角三角形，通过三角函数求解线段是求解本题的关键．
考向五　操作探究型问题
例1．（2023年浙江省台州市中考数学真题）【问题背景】
“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】
综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：
流水时间t/min 0 10 20 30 40
水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8
任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．

任务2 利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式．
【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3 （1）计算任务2得到的函数解析式的w值．（2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小．
【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案．
【答案】任务1：见解析；任务2：；任务3：（1），（2）；任务4：见解析
【分析】任务1：根据表格每隔10min水面高度数据计算即可；
任务2：根据每隔10min水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度h与流水时间t的是一次函数关系，由待定系数法求解；任务3：（1）先求出对应时间的水面高度，再按要求求w值；
（2）设，然后根据表格中数据求出此时w的值是关于k的二次函数解析式；由此求出w的值最小时k值即可；任务4：根据高度随时间变化规律，以相同时间刻画不同高度即可，类似如数轴三要素，有原点、正方向与单位长度．最大量程约为294min可以代替单位长度要素．
【详解】解：任务1：变化量分别为，；；
；；
任务2：设，∵时，，时，；
∴∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为．
任务3：（1）当时，，当时，，
当时，，当时，，当时，，
∴．
（2）设，则
．
当时，w最小．∴优化后的函数解析式为．
任务4：时间刻度方案要点：①时间刻度的0刻度在水位最高处；
②刻度从上向下均匀变大；③每0.102cm表示1min（1cm表示时间约为9.8min）．
【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的应用、方差的计算，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的函数值、二次函数的最值是解题的关键．
例2．（2024·河南·二模）如图，点是以为直径的半圆上一点，连接，点是上一个动点，连接，作交于点，交半圆于点．已知：，设的长度为，的长度为，的长度为（当点与点重合时，，，当点与点重合时，，）．
小锐同学根据学习函数的经验，分别对函数，随自变量变化而变化的规律进行了探究．
下面是小锐同学的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了，与的几组对应值，请补全表格：
cm 0 1 2 3 4 5 6 7 8
cm 8.00 5.81 4.38 3.35 2.55 1.85 1.21 0.60 0.00
cm 0.00 0.90 2.24 2.67 2.89 2.83 2.34 0.00
上表中______．（精确到0.1）
（2）在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，，并画出函数，的图象（已经画出）；
（3）结合函数图象解决问题：
①当，的长都大于时，长度的取值范围约是______；（精确到0.1）；②继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，判断点，，能否在以为圆心的同一个圆上？（填“能”或“否”）
【答案】（1）1.6；（2）见解析；（3）①；②见解析，否
【分析】（1）利用测量法可以解决问题；（2）利用描点法画出函数图象即可．
（3）①利用图象法即可解决问题．②利用图象法解决问题．
【详解】解：（1）根据测量可知：，故答案是：1.6；（2）的图象如下图所示．
（3）①根据函数图像可知：当，的长都大于时，即且 时，，
故答案是：；
②画函数的图象，如上图，∵函数，以及直线，不可能交于一点，
∴不存在满足的点，故点，，不可能在以为圆心的同一个圆上．
故答案是：否．
【点睛】本题考查圆综合题，函数图象问题，解题的关键是理解题意，学会利用测量法解决问题，学会利用函数图象解决问题，属于中考压轴题．
例3．（2023·黑龙江·一模）综合与实践
动手操作：利用正方形纸片的折叠开展数学活动．探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法．如图1，点为正方形的边上的一个动点，，将正方形对折，使点与点重合，点与点重合，折痕为．
思考探索：（1）将正方形展平后沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕为，连接，如图2．①点在以点为圆心，_________的长为半径的圆上；
②_________；③为_______三角形，请证明你的结论．
拓展延伸：（2）当时，正方形沿过点的直线（不过点）折叠后，点的对应点落在正方形内部或边上．①面积的最大值为____________；②连接，点为的中点，点在上，连接，则的最小值为____________．
【答案】（1）①；②；③等边，证明见解析；（2）①3；②．
【分析】（1）①利用圆的基本性质，即可求解；②根据折叠的性质，利用勾股定理，即可求解；
③利用勾股定理，求得B′D=，即可求解；（2）①由题意知点B'在以点E为圆心，半径长为2的圆上，△ABB'的面积要最大，只要以AB为底的高最长即可，此时当B'E⊥AB时，△ABB'的面积最大；②当E、B′、C三点共线时，B'C+ EB'取得最小值，即B'C+2PQ取得最小值，且最小值为EC的长，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）根据折叠的性质知：BE=B′E，BC=B′C=3，MA=MB=NC=ND=，
∠B=∠EB′C=90，①点B′在以点E为圆心，BE的长为半径的圆上；
②B′M=MN- B′N===；
③B′D=，∴△DB'C为等边三角形；
故答案为：①BE，②，③等边；
（2）①∵AB=3=3AE，∴AE=1，BE=2，故点B'在以点E为圆心，半径长为2的圆上，
∴△ABB'的面积要最大，只要以AB为底的高最长即可，
∴当B'E⊥AB时，△ABB'的面积最大，如图：
△ABB'的面积最大值；
②∵∠AQP=∠AB'E，∴PQ∥B'E，∵P为AE的中点，∴Q为AB'的中点，∴PQ为△AEB'的中位线，
∴PQ=EB'，即EB'=2PQ，∴B'C+2PQ= B'C+ EB'，
当E、B′、C三点共线时，B'C+ EB'取得最小值，即B'C+2PQ取得最小值，且最小值为EC的长，
∴EC=，∴B'C+2PQ的最小值为．
故答案为：①；②．
【点睛】本题考查了圆的性质，矩形的性质、图形的折叠、等腰三角形的性质等，有一定的综合性，难度适中，其中（2）①当B'E⊥AB时，△ABB'的面积最大；②当E、B′、C三点共线时，B'C+2PQ取得最小值，是解本题的关键．
例4．（2024·浙江宁波·模拟预测）综合与实践．
【问题发现】（1）如图1，在正方形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，连接，求证：．
【类比探究】（2）如图2，在矩形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，且，连接，求的值．
【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，将改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点，连接，．若，则当是直角三角形时，请求出的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）的长为或
【分析】（1）证明，可得；
（2）通过证明，可得；
（3）求出，设，则，分两种情况解答，由勾股定理可求出答案．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，，，，
，，，
，，，；
（2）解：，，，
点，点，点，点四点共圆，，
，，，
，，，；
（3）解：由（2）知：，，，
，，，
为的中点，，由（2）知，，，
又是直角三角形，，，
设，则，，，，，
，，，或（不合题意，舍去），
当或时，点不存在，当在延长线上时，设，则，
，，，，
，，，
（不合题意，舍去）或，综上所述，的长为或．
【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
一、选择题
1．（2024九年级·山东·培优）为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，现有两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如表：
型 型
价格（万元/台） 12 10
处理污水量（吨/月） 240 200
年消耗费（万元/台） 1 1
经计算，该企业购买设备的资金不高于105万元，则可供该企业选择的购买方案有（ ）种．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用．设购买型设备台，（其中为自然数）则型设备为台，根据题意，列出不等式，即可求解．
【详解】解：设购买型设备台，（其中为自然数）则型设备为台，依题意得：，解得：，∵为自然数，∴x取0，1，2，∴有三种方案．故选：C
2．（23-24九年级·辽宁阜新·期末）一宾馆有一人间、两人间、三人间三种客房供游客租住，某旅行团共15人准备租用客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】D
【分析】此题考查了三元一次不定方程组的应用．首先设宾馆有客房：一人间间、二人间间、三人间间，根据题意可得方程组：，解此方程组可得，又由，，是整数，即可求得答案．
【详解】解：设宾馆有客房：一人间间、二人间间、三人间间，
根据题意得：，解得：，
，，是整数，可选：0，2，4，6共4种情况．故选：D．
3．（22-23九年级下·浙江·期末）甲乙两家超市用同样的价格出售同样的商品．端午节期间，这两家超市各自推出不同的促销方案：甲超市的优惠方案：累计购物不超过50元时无优惠，累计购物超过50元后，超出50元的部分按收费；乙超市的优惠方案：累计购物不超过100元时无优惠，累计购物超过100元后，超出100元的部分按收费．小王要在这两家超市中选择一家购物，他选择的下列方案中，合理的是（ ）．
A．到乙超市累计购买80元的商品 B．到乙超市累计购买110元的商品
C．到甲超市累计购买210元的商品 D．到甲超市累计购买160元的商品
【答案】D
【分析】设累计购物x元，分、和三种情况分别求解可得．
【详解】解：设累计购物x元，
（1）当时，在甲、乙两个超市购物都不享受优惠，因此到两个商场购物花费一样；
（2）当时，在乙超市购物不享受优惠，在甲超市购物享受优惠，因此在甲超市购物花费少；（3）当累计购物超过100元时，即元，
甲超市消费为：元，在乙超市消费为：元．
当，解得：，
当，解得：，
当，解得：．
综上所述，当累计消费大于50元少于200元时，在甲超市花费少；
当累计消费大于200元时，在乙超市花费少；
当累计消费等于200元或不超过50元时，在甲乙超市花费一样．故选：D．
【点睛】此题考查了一元一次不等式的应用，关键是读懂题意，列出不等式，再根据实际情况分段进行讨论．
4.（2022·黑龙江·中考真题）国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】设设购买毛笔x支，围棋y副，根据总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数即可得出购买方案的数量．
【详解】解：设购买毛笔x支，围棋y副，根据题意得，
15x+20y=360，即3x+4y=72，∴y=18-x．又∵x，y均为正整数，
∴或或或或，∴班长有5种购买方案．故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系“共花费360元”，列出二元一次方程是解题的关键．
5．（22-23九年级下·广西南宁·阶段练习）某学校计划租用甲、乙两种客车送240名师生（其中学生233名、教师7名）集体外出活动，要求每辆客车上至少要有1名教师．甲、乙两种客车的载客量和租金如下表：
甲种客车 乙种客车
载客量（单位：人/辆） 45 30
租金（单位：元/辆） 400 280
则最节省费用的租车方案是（ ）
A．租甲种车4辆，租乙种车2辆 B．租甲种车5辆，租乙种车1辆
C．租甲种车2辆，租乙种车5辆 D．租甲种车3辆，租乙种车4辆
【答案】A
【分析】设租用甲客车x辆，租车总费用y元，由每辆客车上至少要有1名教师可知客车总数不能大于7辆，要保证240名师生有车坐，客车总数不能小于，客车总数不能小于6，可得客车总数为6，，根据题意列出一次函数和一元一次不等式，找到x的取值范围，再结合一次函数的增减性即可求解．
【详解】解：设租用甲客车x辆，租车总费用y元，由每辆客车上至少要有1名教师可知客车总数不能大于7辆，要保证240名师生有车坐，客车总数不能小于，客车总数不能小于6，
∴客车总数为6，，由题意可得，，
整理可得，由题意，，解得，
∵，∴，∵中，，y随x的增大而增大，
∴x取最小值时，即，y有最小值，
即当租甲种车4辆，租乙种车2辆，费用最少，故选：A．
【点睛】本题考查一次函数和一元一次不等式的实际应用，利用题中的不等关系找到x的取值范围是解题的关键．
6．（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）已知三个城镇中心恰好位于等边三角形的三个顶点，在之间铺设光缆连接，实线为所铺的路线．
方案．
方案．
方案．（为的中点）
方案．（为三边的垂直平分线的交点），
四种方案中光缆铺设路线最短的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，垂线段最短，线段垂直平分线的性质，设等边三角形的边长为，分别求出每一种方案需要的光缆，进行比较即可判断求解，掌握等边三角形和线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：设等边三角形的边长为，方案：，
方案：∵为等边三角形，为的中点，
∴，，∴，
∴，∴；
方案：根据垂线段最短，方案比方案需要的光缆长；
方案：∵为三边的垂直平分线的交点，
∴，，，，设则，
∵，∴，∴，
∴，∴，
∵，∴方案需要的光缆最短，故选：．
7．（2024·河北邯郸·模拟预测）一张直径为的半圆形卡纸，过直径的两端点剪掉一个等腰三角形，在右面两种裁剪方案（如图1和图2，单位：）中，说法正确的是（ ）
A．只有方案Ⅰ的数据合理 B．只有方案Ⅱ的数据合理
C．方案Ⅰ、Ⅱ的数据都合理 D．方案Ⅰ、Ⅱ的数据都不合理
【答案】A
【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，勾股定理，根据直径所对的圆周角是直角，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵半圆的直径为，若直径所对的角的顶点在圆周上，则符合勾股定理，
四个选项中的直径所对的角的顶点在圆的内部，∴图中数据的平方和小于，
，，，∴只有方案Ⅰ的数据合理故选：A．
8．（2024·湖北武汉·一模）木匠师傅用长，宽的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，有如下两种方案：
方案一：直接锯一个半径最大的圆；
方案二：沿对角线将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆．则方案二比方案一的半径大（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法，证明．
方案一：观察图易知，截圆的直径需不超过长方形长、宽中最短的边，由已知长宽分别为3，2，那么直接取圆直径最大为2，则半径最大为1，方案二：作于，于，设半径为，利用相似三角形的性质即可求出圆的半径，然后求出两个圆的半径之差即可．
【详解】解：方案一：因为长方形的长宽分别为3、2，那么直接取圆直径最大为2，则半径最大为1；
方案二：作于，于，如图所示：
则，∵，∴,
∴，∴，∴，
设半径为， ∴，解得：，∴．故选：D．
9．（2024·浙江绍兴·模拟预测）操作：小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的纸片进行如下设计：
方案一：图形中的圆过点A、B、C；
方案二：直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点纸片利用率100%．以上方案一、二的利用率分别为a、b，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，相似三角形判定及性质．根据题意将方案一中，连接，，，利用勾股定理逆定理得出，继而得到为该圆的直径，即可求出，后方案二中证明，利用性质求出，即可得到答案．
【详解】解：方案一中，连接，，，
，
∵棱长为1cm的正方体纸盒，∴，，
∴，即，∴为该圆的直径，
∴该圆的半径为：，∴，
方案二中先将图进行命名：
，
∵，，∴，
∴，即，∴，即，
∵，∴，
∴，即，∴，∴，
∵，∴，故选：D．
10．（21-22九年级上·河北廊坊·期中）已知：如图所示，要在一块长32米，宽20米的矩形场地上修两条小路，使其余的空白部分的面积为540平方米．嘉琪同学设计了如下三种方案．
方案①两条小路都是矩形．且宽都是2米；
方案②横向小路为矩形且宽为2米，纵向小路为平行四边形（非矩形）且短边为2米；
方案③横向、纵向小路都是平行四边形（非矩形），短边都是2米．
则可行的方案是（ ）

A．①② B．①②③ C．②③ D．③
【答案】B
【分析】通过平移可得：三种方案空白部分的面积均等同于长米，宽米的矩形的面积，求出空白部分的面积，即可得出结论．
【详解】解：方案①其余的空白部分的面积等同于长米，宽米的矩形的面积，
空白部分的面积为（平方米）；
方案②其余的空白部分的面积等同于长米，宽米的矩形的面积，
空白部分的面积为（平方米）；
方案③其余的空白部分的面积等同于长米，宽米的矩形的面积，
空白部分的面积为（平方米）．可行的方案是①②③．故选B．
【点睛】本题考查平移的性质、平行四边形的性质，解题的关键是通过平移将空白部分拼成一个矩形．
二、填空题
11．（2023·北京顺义·一模）某京郊民宿有二人间、三人间、四人间三种客房供游客住宿，某旅游团有25位女士游客准备同时住这三种客房共8间，如果每间客房都要住满，请写出一种住宿方案 ；如果二人间、三人间、四人间三种客房的收费标准分别为300元/间、360元/间、400元/间，则最优惠的住宿方案是 ．
【答案】 二人间2间，三人间3间，四人间3间（答案不唯一）； 二人间3间，三人间1间，四人间4间．
【分析】设二人间、三人间分别需间，间，则四人间需要间，则，整理得：，再利用方程的非负整数解可得答案；设住宿总费用为：元，而，则，再利用一次函数的性质解答即可．
【详解】解：设二人间、三人间分别需要间，间，则四人间需要间，则
，整理得：，
∵，，都为非负整数，∴当时，，，
∴可行的住宿方案为：二人间2间，三人间3间，四人间3间；
设住宿总费用为：元，而，则
，
∵，∴当最大，有最小值，
∵，，，都为非负整数，∴时最大，此时，；
∴最佳住宿方案为：二人间3间，三人间1间，四人间4间．故答案为：二人间2间，三人间3间，四人间3间（答案不唯一）；二人间3间，三人间1间，四人间4间．
【点睛】本题考查的是二元一次方程的整数解的应用，一次函数的应用，理解题意，构建方程与一次函数是解本题的关键．
12．（22-23九年级上·北京海淀·阶段练习）某校举办校庆晚会，其主舞台为一圆形舞台，圆心为O．A，B是舞台边缘上两个固定位置，由线段AB及优弧AB围成的区域是表演区．若在A处安装一台某种型号的灯光装置，其照亮区域如图1中阴影所示．此时若在B处安装一台同种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，如图2中阴影所示．
若将灯光装置改放在如图3所示的点M，N或P处，能使表演区完全照亮的方案可能是 ．（填写方案序号即可）
①在M处放置2台该型号灯光装置 ②在P处放置2台该型号灯光装置
③在M，N处各放置1台该型号灯光装置
【答案】①③/③①
【分析】根据圆周角和三角形内角和的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】在M处放置2台该型号的灯光装置，如下图
∵在A、B两处安装各一台某种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，
∴优弧所对圆周角，
如要照亮整个表演区，则两台灯光照亮角度为，且
∴为优弧所对圆周角∴，即①方案成立；
在P处放置2台该型号的灯光装置，如下图，MN和相切于点P
如要照亮整个表演区，则两台灯光照亮角度为总
根据题意， ，即两台灯光照亮角度总和 ∴②方案不成立；
在M，N处各放置1台该型号的灯光装置，分别连接、、、、、，如下图，
∵， ∴③方案成立；故答案为：①③．
【点睛】本题考查了圆、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角的性质，从而完成求解．
13．（23-24八年级上·河北沧州·阶段练习）在一次数学活动中，为了测量一堵墙上点A的高度，嘉淇设计了如下方案：
第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点A重合，测量出直杆与地面的夹角；
第二步：使直杆顶端沿墙面竖直缓慢下滑，使得 ，标记此时直杆的底端点D；
第三步：测量地面上线段 的长度，即为点A的高度．
若测得，，则直杆下滑的高度AC为 m．

【答案】 2
【分析】测一堵墙上点的高度，可构造，则，即的长度就是点的高度，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得，，，通过构造直角三角形与直角三角形全等，，利用“角角边”构造，，
测量的长即为墙上点的高度，
，，，，
．故答案为：，，2．
【点睛】本题主要考查全等三角形性质的应用，构造三角形全等是解题的关键．
14．（2022·北京·中考真题）甲工厂将生产的I号、II号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A，B，C，D，E，每个包裹的重量及包裹中I号、II号产品的重量如下：
包裹编号 I号产品重量/吨 II号产品重量/吨 包裹的重量/吨
A 5 1 6
B 3 2 5
C 2 3 5
D 4 3 7
E 3 5 8
甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂．
（1）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一种满足条件的装运方案________（写出要装运包裹的编号）；（2）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的II号产品最多，写出满足条件的装运方案________（写出要装运包裹的编号）．
【答案】 ABC（或ABE或AD或ACD或BCD） ABE或BCD
【分析】（1）从A，B，C，D，E中选出2个或3个，同时满足I号产品不少于9吨，且不多于11吨，总重不超过19.5吨即可；
（2）从（1）中符合条件的方案中选出装运II号产品最多的方案即可．
【详解】解：（1）根据题意，
选择ABC时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），符合要求；
选择ABE时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），符合要求；
选择AD时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），符合要求；
选择ACD时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），符合要求；
选择BCD时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），符合要求；
选择DCE时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），不符合要求；
选择BDE时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），不符合要求；综上，满足条件的装运方案有ABC或ABE或AD或ACD或BCD．
故答案为：ABC（或ABE或AD或ACD或BCD）．
（2）选择ABC时，装运的II号产品重量为：（吨）；
选择ABE时，装运的II号产品重量为：（吨）；
选择AD时，装运的II号产品重量为：（吨）；
选择ACD时，装运的II号产品重量为：（吨）；
选择BCD时，装运的II号产品重量为：（吨）；故答案为：ABE或BCD．
【点睛】本题考查方案的选择，读懂题意，尝试不同组合时能否同时满足题目要求的条件是解题关键．
三、解答题
15．（2023年吉林省中考数学真题）某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：
填写人：王朵 综合实践活动报告 时间：2023年4月20日
活动任务：测量古树高度
活动过程
【步骤一】设计测量方案小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量．
【步骤二】准备测量工具自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示准备皮尺．
【步骤三】实地测量并记录数据如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点．如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角．测出眼睛到地面的距离．测出所站地方到古树底部的距离． ________．．．
【步骤四】计算古树高度．（结果精确到）（参考数据：）
请结合图①、图④和相关数据写出的度数并完成【步骤四】．
【答案】，
【分析】根据测角仪显示的度数和直角三角形两锐角互余即可求得的度数，证明四边形是矩形得到，再解直角三角形求得的度数，即可求解．
【详解】解：测角仪显示的度数为，∴，
∵，，，∴，
∴四边形是矩形，，

在中，，∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用和矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的运算是解题的关键．
16．（2022·四川成都·中考真题）随着“公园城市”建设的不断推进，成都绕城绿道化身成为这座城市的一个超大型“体育场”，绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚．甲、乙两人相约同时从绿道某地出发同向骑行，甲骑行的速度是，乙骑行的路程与骑行的时间之间的关系如图所示．
(1)直接写出当和时，与之间的函数表达式；(2)何时乙骑行在甲的前面？
【答案】(1)当时，；当时，(2)0.5小时后
【分析】（1）根据函数图象，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据乙的路程大于甲的路程即可求解．
【解析】 (1)由函数图像可知，设时，，将代入，得，则，
当时，设，将，代入得
解得
(2)由（1）可知时，乙骑行的速度为，而甲的速度为，则甲在乙前面，
当时，乙骑行的速度为，甲的速度为，
设小时后，乙骑行在甲的前面则解得
答：0.5小时后乙骑行在甲的前面
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，立即题意是解题的关键．
17．（2023年湖南省湘西初中学业水平数学试题）2023年“地摊经济”成为社会关注的热门话题，“地摊经济”有着启动资金少、管理成本低等优点，特别是在受到疫情冲击后的经济恢复期，“地摊经济”更是成为许多创业者的首选，甲经营了某种品牌小电器生意，采购2台A种品牌小电器和3台B种品牌小电器，共需要90元；采购3台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器，共需要65元销售一台A种品牌小电器获利3元，销售一台B种品牌小电器获利4元．
(1)求购买1台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器各需要多少元？
(2)甲用不小于2750元，但不超过2850元的资金一次性购进A、B两种品牌小电器共150台，求购进A种品牌小电器数量的取值范围．
(3)在（2）的条件下，所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，请说明甲合理的采购方案有哪些？并计算哪种采购方案获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)、型品牌小电器每台进价分别为15元、20元
(2)(3)型30台，型120台，最大利润是570元．
【分析】（1）列方程组即可求出两种风扇的进价，（2）列一元一次不等式组求出取值范围即可，
（3）再求出利润和自变量之间的函数关系式，根据函数的增减性确定当自变量为何值时，利润最大，由关系式求出最大利润．
【详解】（1）设、型品牌小电器每台的进价分别为元、元，根据题意得：
，解得：，
答：、型品牌小电器每台进价分别为15元、20元．
（2）设购进型品牌小电器台
由题意得：，解得，
答：购进A种品牌小电器数量的取值范围．
（3）设获利为元，由题意得：，
∵所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元
∴解得：∴
随的增大而减小，当台时获利最大，最大元，
答：型30台，型120台，最大利润是570元．
【点睛】考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组解法和应用以及一次函数的图象和性质等知识，搞清这些知识之间的相互联系是解决问题的前提和必要条件．
18．（2024·辽宁鞍山·三模）【发现问题】
蜂巢的结构非常精美，每个巢室都是由多个正六边形组成（如图1），某数学兴趣小组的同学用若干个形状，大小均相同的正六边形模具，模仿蜂巢结构拼成如图2所示的若干个图案，同学们发现：在每个拼接成的图案中，所需正六边形模具的总个数随着第一层（最下面一层）正六边形模具个数的变化而变化．

【提出问题】在拼接成的图案中，所需正六边形模具的总个数y与第一层正六边形模具的个数x之间有怎样的函数关系
【分析问题】同学们结合实际操作和计算得到如下表所示的数据
第一层正六边形模具的个数x 1 2 3 4 …
拼接图案中所需正六边形模具的总个数y 1 7 19 37 …
然后在平面直角坐标系中描出上面表格中各对数值所对应的点得到图3，同学们根据图3中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分．

为了验证猜想，同学们从“形”的角度出发，借助“割补”的方法，把某一拼接图案中上半部分的正六边形模具（虚线部分）移到下面（如图4），并把第一层缺少的正六边形模具（阴影部分）补全，再拼接到一起（如图5），使每一层正六边形模具的数量相同，借此图求出正六边形模具的总个数，再减去用于补全图形的正六边形模具的个数，即可求出y与x之间的关系式．
【解决问题】(1)直接写出y与x的关系式；(2)若同学按图2的方式拼接图案，共用了169个正六边形模具，求拼接成的图案中第一层正六边形模具的个数；
(3)如图6，作正六边形模具的外接圆，圆心为O，A，B为正六边形模具相邻的两个顶点，的长为，现有一张长100cm，宽80cm的长方形桌子，若按图2的拼接方式拼接图案（模具间的接缝忽略不计），最多可以放下多少个正六边形模具 （）
【答案】(1)(2)8个(3)469个
【分析】本题主要考查求二次函数式，二次函数的应用以及正多边形和圆：
（1）运用待定系数法求解即可；（2）将代入求解即可；
（3）设正六边形其它顶点分别为，连接，，求出，，设第一层有x个正六边形模具，求出拼接图案的最大宽度为，最大高度为，分拼接图案的高与长方形桌子的长平行和拼接图案的高与长方形桌子的宽平行两种情况求出x的值，代入函数关系式求出y的值即可求解
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
将点代入关系式，得：
解得，∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：由（2）知，，将代入，得，
解得，，（不合题意，舍去）
所以，他拼接成的图案中第一层有8个六边形模具；
（3）解：如图，设正六边形其它顶点分别为，连接，，

由正六边形及其外接圆的性质得，为的直径，，线段的长即为边，间的距离，∴，∴∵的长为，
∵的周长为，∴的直径，即，
∴， 设第一层有x个正六边形模具，
∴第x层的正六边形模具个数最多，有个，拼接成的图案共有层，其中有x层的高度按的直径计算，层的高度按正六边形的边长计算，
所以，拼接图案的最大宽度为，最大高度为，
①当拼接图案的高与长方形桌子的长平行时，有，
解得，，∵x为整数，∴x最大取12；
②当拼接图案的高与长方形桌子的宽平行时，有，解得，，
∵x为整数，∴x最大取13；
将代入，得，；
将代入得，，∵，
∴最多可以放下469个正六边形模具
19．（2023·江苏·二模）综合与实践
动手实践：一次数学兴趣活动，张老师将等腰的直角顶点与正方形的顶点重合（），按如图（1）所示重叠在一起，使点在边上，连接．
则可证：______，______三点共线；
发现问题：（1）如图（2），已知正方形，为边上一动点，，交的延长线于，连结交于点．
若，则______，______；
尝试探究：（2）如图（3），在（1）的条件下若，求证：；
拓展延伸：（3）如图（4），在（1）的条件下，当______时，为的6倍（直接写结果，不要求证明）．
【答案】动手实践：，、、；（1）5，10；（2）见解析；（3）
【分析】动手实践：由等腰Rt△AEF与正方形ABCD可得AF=AE，AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°，可得出∠BAF=∠DAE，即可得△ADE≌△ABF，根据全等三角形的性质可得∠ABF=∠D=90°，则∠ABF+∠ABC=180°，即F、B、C三点共线；
（1）若n=2，则DC=2DE，即点E是CD的中点，可证出△ADE≌△ABF，根据全等三角形的性质可得FB=DE=CD=AB，再证出△FBG∽△FCE，可得，可得BG=CE=AB，即可得出，根据三角形的面积公式分别表示S△AGE和S△BGF，即可得出S△AGE和S△BGF的比值；
（2）若n=3，则DC=3DE，由（1）得△ADE≌△ABF，根据全等三角形的性质可得FB=DE=CD=AB，再证出△FBG∽△FCE，可得，可得4BG=CE=AB，可得出BG==AB，即可得出结论；
（3）根据AG为GB的6倍得AG=6GB，则AG=AB=CD，BG=CD，由（1）得△FBG∽△FCE，则，可得出BG FC=EC FB，即CD（BF+BC）=（DC-DE）BF，设CD=x，DE=a，由DE=BF，BC=CD可得x2-6ax+7a2=0，解得：x=（3+）a，或x=（3-）a，即CD=（3+）DE，或CD=（3-）DE，n=3+或3-．
【详解】解：动手实践：∵等腰Rt△AEF与正方形ABCD，
∴AF=AE，AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°，∴∠BAF=∠DAE，∴△ADE≌△ABF，∴∠ABF=∠D=90°，
∴∠ABF+∠ABC=180°，即F、B、C三点共线，故答案为：ABF，F、B、C；
（1）若n=2，则DC=2DE，即点E是CD的中点，
∵等腰Rt△AEF与正方形ABCD，∴AF=AE，AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°，
∴∠BAF=∠DAE，∴△ADE≌△ABF，∴FB=DE=CD=AB，
∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴△FBG∽△FCE，
∴，∴BG=CE=AB，∴AG=AB-BG=AB，∴，
∵S△AGE=AG BC=×AB×AB=AB2，S△BGF=BG BF=×AB×AB=AB2，
∴，故答案为：5，10；
（2）证明：若n=3，则DC=3DE，由（1）得△ADE≌△ABF，∴FB=DE=CD=AB，
由（1）得△FBG∽△FCE，∴，∴4BG=CE=AB，
∴BG=AB，∴AG=AB-BG=AB，∴AG=5GB；
（3）∵AG为GB的6倍，∴AG=6GB，∴AG=AB=CD，BG=CD，
由（1）得△FBG∽△FCE，∴，
∴BG FC=EC FB，即CD（BF+BC）=（DC-DE）BF，设CD=x，DE=a，
∵DE=BF，BC=CD，∴x（a+x）=（x-a）a，整理得：x2-6ax+7a2=0，
解得：x=（3+）a，或x=（3-）a，即CD=（3+）DE，或CD=（3-）DE，
∴n=3+或3-．故答案为：3+或3-．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．
20．（2023·江苏连云港·统考中考真题）【问题情境 建构函数】
（1）如图1，在矩形中，是的中点，，垂足为．设，试用含的代数式表示．
【由数想形 新知初探】（2）在上述表达式中，与成函数关系，其图像如图2所示．若取任意实数，此时的函数图像是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图像．
【数形结合 深度探究】（3）在“取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值随的增大而增大；②函数值的取值范围是；③存在一条直线与该函数图像有四个交点；④在图像上存在四点，使得四边形是平行四边形．其中正确的是__________．（写出所有正确结论的序号）
【抽象回归 拓展总结】（4）若将（1）中的“”改成“”，此时关于的函数表达式是__________；一般地，当取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质（直接写出3条即可）．

【答案】（1）；（2）取任意实数时，对应的函数图像关于原点成中心对称，见解析；（3）①④；（4），见解析
【分析】（1）证明，得出，进而勾股定理求得，即，整理后即可得出函数关系式；（2）若为图像上任意一点，则．设关于原点的对称点为，则．当时，可求得．则也在的图像上，即可得证，根据中心对称的性质补全函数图象即可求解；（3）根据函数图象，以及中心对称的性质，逐项分析判断即可求解；（4）将（1）中的4换成，即可求解；根据（2）的图象探究此类函数的相关性质，即可求解．
【详解】（1）在矩形中，，∴．
∵，∴，∴．
∴．∴，∴．
∵，点是的中点，∴．
在中，，
∴．∴．∴关于的表达式为：．
（2）取任意实数时，对应的函数图像关于原点成中心对称．
理由如下：若为图像上任意一点，则．
设关于原点的对称点为，则．
当时，．
∴也在的图像上．
∴当取任意实数时，的图像关于原点对称．函数图像如图所示．

（3）根据函数图象可得①函数值随的增大而增大，故①正确，
②由(1)可得函数值，故函数值的范围为，故②错误；
③根据中心对称的性质，不存在一条直线与该函数图像有四个交点，故③错误；
④因为平行四边形是中心对称图形，则在图像上存在四点，使得四边形是平行四边形，故④正确；故答案为：①④．
（4）关于的函数表达式为；
当取任意实数时，有如下相关性质：
当时，图像经过第一、三象限，函数值随的增大而增大，的取值范围为；
当时，图像经过第二、四象限，函数值随的增大而减小，的取值范围为；函数图像经过原点；函数图像关于原点对称；
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，中心对称的性质，根据函数图象获取信息，根据题意求得解析式是解题的关键．
21．（2024·广东深圳·一模）在一节数学探究课中，同学们遇到这样的几何问题：如图1，等腰直角三角形和共顶点A，且三点共线，，连接，点G为的中点，连接和，请思考与具有怎样的数量和位置关系？
【模型构建】小颖提出且并给出了自己思考，以G是中点入手，如图2，通过延长与相交于点F，证明，得到，随后通过得即，又,所以且．
（1）请结合小颖的证明思路利用结论填空：当时，_____；______．
【类比探究】（2）如图3，若将绕点A逆时针旋转α度（），请分析此时上述结论是否成立？如果成立，如果不成立，请说明理由．
【拓展延伸】（3）若将E绕点A逆时针旋转β度（），当时，请直接写出旋转角β的度数为_______．
【答案】（1）， （2）见解析 （3）45°或225°
【分析】（1）根据前面的结论，得到且，，得到，，计算即可．
（2）延长到点F,使，连接，证明，过点B作，交于点M，N,再证明 ．
（3）当共线时，根据(2)得到四边形是平行四边形，根据，，得到,得四边形是矩形，继而得到，此时旋转角等于的度数即；当共线时，且共线在的延长线上时，根据(2)得到四边形是平行四边形，根据，，得到,得四边形是矩形，继而得到，此时旋转角等于的度数即；计算即可．本题考查了等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，熟练掌握矩形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）根据前面的结论，得到且，，得到，
∵，∴∴，
∵，，∴，，
∴，故答案：，．
（2）延长到点F，使，连接，∵，
∵∴，∴，，
过点B作，交于点M，N,
∴，，∴，
设的交点为Q，则，∴，
∴，∴，
∵∴，∴，，
∵,，∴,∴,
∴且．故结论仍然成立．
（3）如图，当共线时，
∵，，，∴四边形是矩形，
∴，此时旋转角等于的度数即；
当共线时，且共线在的延长线上时，根据(2)得到四边形是平行四边形，
∵，，，∴四边形是矩形，
∴，此时旋转角等于的度数即；
故答案为：或．
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【全国通用】2024中考数学二轮复习（重难点题型突破）
8.4方案设计型与实验探究型
方案设计型问题是中考数学创新性问题的一种典型问题，该问题通常设置一个实际问题的情境，并给出一些信息及提出解决问题的具体要求，以探求最为恰当的解决方案。有时问题中还给出多种不同的解决方案，要求考生思考孰优孰劣。这类问题主要考查考生的动手操作能力和实践能力，具有一定的难度。实验操作探究型问题经过实验探索，解决具有特殊性、结论易证的第一个问题，然后进行拓展应用，即解决后面改变图形背景后的问题，这需要合理的推理、猜想，运用类比、归纳、分类讨论等数学思想全面考虑问题，从复杂图形中识别出前面的图形及其关系，直接应用前面的结论即可解决问题。
方案设计型问题是设置一个实际问题的情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，寻求恰当的解决方案，有时还给出几个不同的解决方案，要求判断其中哪个方案最优。方案设计型问题主要考查学生的动手操作能力和实践能力，主要有以下几种类型：
1）方程、不等式综合型方案设计：根据题意，列出方程及不等式（组），通过解方程、不等式，求出其整数解，确定设计方案。
2）函数型方案设计
（1）根据一次函数性质确定最优方案：首先根据题意，列出两个变量的一次函数解析式；再根据题意，列出不等式组，利用一次函数的增减性确定有最大值（或最小值）的方案。
（2）列出两个函数解析式，确定最优方案：根据题意（或函数图象），列出两个一次函数解析式，通过比较函数值的大小确定最优方案。
3）几何图形型方案设计
（1）几何图形分割与拼接方案设计：把一个几何图形按某种要求分成几个图形，这是图形的分割。反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，这是图形的拼接。在图形的分割、拼接过程中，都要结合所提供的图形特点来思考。
（2）图案设计方案：以某一个图案为基础，利用中心对称、轴对称的性质设计优美图案。由于思考的角度不同，审美观各异，设计出的图案是不唯一的。
4）测量方案型设计问题
（1）测量物体高度方案设计：理解俯角、仰角的定义，分析图形：根据题意构造直角三角形。并结合图形利用三角函数，应用解直角三角形的关系解决问题。
（2）测量物体宽度方案设计：理解方向角或方位角，由题意构建直角三角形，运用三角函数解直角三角形。
（3）测量物体深度方案设计：根据题意作出辅助线，构造出相似三角形（或直角三角形），运用相似三角形性质（或三角函数）解答实际问题。
操作探究型问题是通过动手测量、作图(象)、取值、计算等试验，猜想获得数学结论的研究性活动，这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式，需要动手操作、合理猜想和验证。常见类型：（1）操作设计问题；（2）图形剪拼；（3）操作探究；（4）数学建模。
解题策略：运用观察、操作、联想、推理、概括等多种方法。
考向一　方程、不等式型方案设计
例1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）某宾馆有单人间，双人间，三人间三种客房供游客选择居住，现某旅游团有18名游客同时安排居住在该宾馆，若每个房间都住满，共租了8间客房，则居住方案有（　　）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
例2．（2023·广东·中考模拟预测）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．
(1)求篮球和足球的单价分别是多少元；(2)学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案？
例3．（2023年河南省中考数学真题）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种．
活动一：所购商品按原价打八折；
活动二：所购商品按原价每满300元减80元．（如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元）
(1)购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由．
(2)购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价．
(3)购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a元，请直接写出a的取值范围．
例4．（2023年四川省德阳市中考数学真题）2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新时代”为主题的世界清洁能源装备大会在德阳举行．大会聚焦清洁能源装备产业发展热点和前瞻性问题，着力实现会展聚集带动产业聚集．其中德阳清洁能源装备特色小镇位于德阳经济技术开发区，规划面积平方公里，计划2025年基本建成．若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元．(1)乙队单独完工需要几个月才能完成任务？(2)为保证该工程在两年内完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且a，b为正整数，则甲乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？
例5.（2023·四川达州·统考中考真题）某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元．(1)分别求出每件豆笋、豆干的进价；(2)某特产店计划用不超过元购进豆笋、豆干共件，且豆笋的数量不低于豆干数量的，该特产店有哪几种进货方案？
(3)若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元？
考向二　函数型方案设计问题
例1．（2023年江苏省扬州市中考数学真题）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．(1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元？(2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？
例2．（2023年湖北省恩施州中考数学真题）为积极响应州政府“悦享成长·书香恩施”的号召，学校组织150名学生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同．(1)男装、女装的单价各是多少？(2)如果参加活动的男生人数不超过女生人数的，购买服装的总费用不超过17000元，那么学校有几种购买方案？怎样购买才能使费用最低，最低费用是多少？
例3．（2023年黑龙江龙东地区中考数学真题）2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．(1)求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？(2)已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？(3)在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．
例4．（2023年新疆维吾尔自治区中考数学真题）随着端午节的临近，，两家超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案，如下表：
超市 超市
优惠方案 所有商品按八折出售 购物金额每满元返元
(1)当购物金额为元时，选择超市______（填“”或“”）更省钱；
当购物金额为元时，选择超市______（填“”或“”）更省钱；
(2)若购物金额为（）元时，请分别写出它们的实付金额（元）与购物金额（元）之间的函数解析式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？
(3)对于超市的优惠方案，随着购物金额的增大，顾客享受的优惠率不变，均为%（注：）．若在超市购物，购物金额越大，享受的优惠率一定越大吗？请举例说明．
考向三　几何型方案设计问题
例1．（2023·山东枣庄·统考中考真题）（1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特征：___________，___________．

（2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征．
例2．（2024·吉林·模拟预测）阅读理解，并解答问题：如图所示的8×8网格都是由边长为1的小正方形组成，图①中的图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽通过对这种图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了著名的勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国数学史上的骄傲．

问题：请用“赵爽弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变化，在图②，图③的方格纸中设计另外两个不同的图案，每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠．画图要求：（1）图②中所设计的图案（不含方格纸）必须是轴对称图形但不是中心对称图形；
（2）图③中所设计的图案（不含方格纸）必须既是轴对称图形，又是中心对称图形．
例3．（23-24九年级·浙江·期末）如图1、图2为一张纸片的两种剪拼方案（沿虚线剪开），记图1为方案甲，图2为方案乙，其中，，.对于方案甲，满足，；对于方案乙，满足，．若要拼一个与原纸片面积相等的正方形（纸片没有空隙也不重叠），则（ ）
A．甲可以、乙不可以 B．甲不可以、乙可以 C．甲、乙都不可以 D．甲、乙都可以
例4．（2023·湖北十堰·统考中考真题）在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形硬纸片剪切成如图所示的四块（其中D，E，F分别为，，的中点，G，H分别为，的中点），小明将这四块纸片重新组合拼成四边形（相互不重叠，不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的最小值为 ，最大值为 ．

考向四　测量型方案设计问题
例1．（2023年四川省自贡市中考数学真题）为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：

(1)测量坡角：如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡，山的高度即为三段坡面的铅直高度之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小．
如图2，同学们将两根直杆的一端放在坡面起始端A处，直杆沿坡面方向放置，在直杆另一端N用细线系小重物G，当直杆与铅垂线重合时，测得两杆夹角的度数，由此可得山坡AB坡角的度数．请直接写出之间的数量关系．
(2)测量山高：同学们测得山坡的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为；为求，小熠同学在作业本上画了一个含角的（如图3），量得．求山高．（，结果精确到1米）
(3)测量改进：由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．

如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于的顶端，当与铅垂线重合时，转动直杆，使点N，P，D共线，测得的度数，从而得到山顶仰角，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角；画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米，再画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米．已知杆高MN为米，求山高．（结果用不含的字母表示）
例2．（2023年浙江省温州市中考数学真题）根据背景素材，探索解决问题．
测算发射塔的高度
背景素材 某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度（如图1）．他们通过自制的测倾仪（如图2）在，，三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示．

经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度．
问题解决
任务1 分析规划 选择两个观测位置：点_______和点_________
获取数据 写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离．
任务2 推理计算 计算发射塔的图上高度．
任务3 换算高度 楼房实际宽度为米，请通过测量换算发射塔的实际高度．
注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1．
例3．（2023年甘肃省武威市中考数学真题）如图1，某人的一器官后面处长了一个新生物，现需检测到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下：
课题 检测新生物到皮肤的距离
工具 医疗仪器等
示意图
说明 如图2，新生物在处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为；再在皮肤上选择距离处的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为．
测量数据 ，，
请你根据上表中的测量数据，计算新生物处到皮肤的距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，）
考向五　操作探究型问题
例1．（2023年浙江省台州市中考数学真题）【问题背景】
“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】
综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：
流水时间t/min 0 10 20 30 40
水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8
任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．

任务2 利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式．
【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3 （1）计算任务2得到的函数解析式的w值．（2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小．
【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案．
例2．（2024·河南·二模）如图，点是以为直径的半圆上一点，连接，点是上一个动点，连接，作交于点，交半圆于点．已知：，设的长度为，的长度为，的长度为（当点与点重合时，，，当点与点重合时，，）．
小锐同学根据学习函数的经验，分别对函数，随自变量变化而变化的规律进行了探究．
下面是小锐同学的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了，与的几组对应值，请补全表格：
cm 0 1 2 3 4 5 6 7 8
cm 8.00 5.81 4.38 3.35 2.55 1.85 1.21 0.60 0.00
cm 0.00 0.90 2.24 2.67 2.89 2.83 2.34 0.00
上表中______．（精确到0.1）
（2）在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，，并画出函数，的图象（已经画出）；（3）结合函数图象解决问题：①当，的长都大于时，长度的取值范围约是______；（精确到0.1）；②继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，判断点，，能否在以为圆心的同一个圆上？（填“能”或“否”）
例3．（2023·黑龙江·一模）综合与实践
动手操作：利用正方形纸片的折叠开展数学活动．探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法．如图1，点为正方形的边上的一个动点，，将正方形对折，使点与点重合，点与点重合，折痕为．
思考探索：（1）将正方形展平后沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕为，连接，如图2．①点在以点为圆心，_________的长为半径的圆上；
②_________；③为_______三角形，请证明你的结论．
拓展延伸：（2）当时，正方形沿过点的直线（不过点）折叠后，点的对应点落在正方形内部或边上．①面积的最大值为____________；②连接，点为的中点，点在上，连接，则的最小值为____________．
例4．（2024·浙江宁波·模拟预测）综合与实践．
【问题发现】（1）如图1，在正方形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，连接，求证：．
【类比探究】（2）如图2，在矩形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，且，连接，求的值．
【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，将改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点，连接，．若，则当是直角三角形时，请求出的长．
一、选择题
1．（2024九年级·山东·培优）为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，现有两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如表：
型 型
价格（万元/台） 12 10
处理污水量（吨/月） 240 200
年消耗费（万元/台） 1 1
经计算，该企业购买设备的资金不高于105万元，则可供该企业选择的购买方案有（ ）种．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（23-24九年级·辽宁阜新·期末）一宾馆有一人间、两人间、三人间三种客房供游客租住，某旅行团共15人准备租用客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
3．（22-23九年级下·浙江·期末）甲乙两家超市用同样的价格出售同样的商品．端午节期间，这两家超市各自推出不同的促销方案：甲超市的优惠方案：累计购物不超过50元时无优惠，累计购物超过50元后，超出50元的部分按收费；乙超市的优惠方案：累计购物不超过100元时无优惠，累计购物超过100元后，超出100元的部分按收费．小王要在这两家超市中选择一家购物，他选择的下列方案中，合理的是（ ）．
A．到乙超市累计购买80元的商品 B．到乙超市累计购买110元的商品
C．到甲超市累计购买210元的商品 D．到甲超市累计购买160元的商品
4.（2022·黑龙江·中考真题）国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（22-23九年级下·广西南宁·阶段练习）某学校计划租用甲、乙两种客车送240名师生（其中学生233名、教师7名）集体外出活动，要求每辆客车上至少要有1名教师．甲、乙两种客车的载客量和租金如下表：
甲种客车 乙种客车
载客量（单位：人/辆） 45 30
租金（单位：元/辆） 400 280
则最节省费用的租车方案是（ ）
A．租甲种车4辆，租乙种车2辆 B．租甲种车5辆，租乙种车1辆
C．租甲种车2辆，租乙种车5辆 D．租甲种车3辆，租乙种车4辆
6．（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）已知三个城镇中心恰好位于等边三角形的三个顶点，在之间铺设光缆连接，实线为所铺的路线．
方案．; 方案．; 方案．（为的中点）
方案．（为三边的垂直平分线的交点），
四种方案中光缆铺设路线最短的是（ ）
A．B． C． D．
7．（2024·河北邯郸·模拟预测）一张直径为的半圆形卡纸，过直径的两端点剪掉一个等腰三角形，在右面两种裁剪方案（如图1和图2，单位：）中，说法正确的是（ ）
A．只有方案Ⅰ的数据合理 B．只有方案Ⅱ的数据合理
C．方案Ⅰ、Ⅱ的数据都合理 D．方案Ⅰ、Ⅱ的数据都不合理
8．（2024·湖北武汉·一模）木匠师傅用长，宽的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，有如下两种方案：方案一：直接锯一个半径最大的圆；
方案二：沿对角线将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆．则方案二比方案一的半径大（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·浙江绍兴·模拟预测）操作：小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的纸片进行如下设计：
方案一：图形中的圆过点A、B、C；
方案二：直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点纸片利用率100%．以上方案一、二的利用率分别为a、b，则（　　）
A． B． C． D．
10．（21-22九年级上·河北廊坊·期中）已知：如图所示，要在一块长32米，宽20米的矩形场地上修两条小路，使其余的空白部分的面积为540平方米．嘉琪同学设计了如下三种方案．
方案①两条小路都是矩形．且宽都是2米；
方案②横向小路为矩形且宽为2米，纵向小路为平行四边形（非矩形）且短边为2米；
方案③横向、纵向小路都是平行四边形（非矩形），短边都是2米．
则可行的方案是（ ）

A．①② B．①②③ C．②③ D．③
二、填空题
11．（2023·北京顺义·一模）某京郊民宿有二人间、三人间、四人间三种客房供游客住宿，某旅游团有25位女士游客准备同时住这三种客房共8间，如果每间客房都要住满，请写出一种住宿方案 ；如果二人间、三人间、四人间三种客房的收费标准分别为300元/间、360元/间、400元/间，则最优惠的住宿方案是 ．
12．（22-23九年级上·北京海淀·阶段练习）某校举办校庆晚会，其主舞台为一圆形舞台，圆心为O．A，B是舞台边缘上两个固定位置，由线段AB及优弧AB围成的区域是表演区．若在A处安装一台某种型号的灯光装置，其照亮区域如图1中阴影所示．此时若在B处安装一台同种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，如图2中阴影所示．
若将灯光装置改放在如图3所示的点M，N或P处，能使表演区完全照亮的方案可能是 ．（填写方案序号即可）.①在M处放置2台该型号灯光装置 ②在P处放置2台该型号灯光装置
③在M，N处各放置1台该型号灯光装置
13．（23-24八年级上·河北沧州·阶段练习）在一次数学活动中，为了测量一堵墙上点A的高度，嘉淇设计了如下方案：
第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点A重合，测量出直杆与地面的夹角；
第二步：使直杆顶端沿墙面竖直缓慢下滑，使得 ，标记此时直杆的底端点D；
第三步：测量地面上线段 的长度，即为点A的高度．
若测得，，则直杆下滑的高度AC为 m．

14．（2022·北京·中考真题）甲工厂将生产的I号、II号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A，B，C，D，E，每个包裹的重量及包裹中I号、II号产品的重量如下：
包裹编号 I号产品重量/吨 II号产品重量/吨 包裹的重量/吨
A 5 1 6
B 3 2 5
C 2 3 5
D 4 3 7
E 3 5 8
甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂．
（1）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一种满足条件的装运方案________（写出要装运包裹的编号）；（2）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的II号产品最多，写出满足条件的装运方案________（写出要装运包裹的编号）．
三、解答题
15．（2023年吉林省中考数学真题）某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：
填写人：王朵 综合实践活动报告 时间：2023年4月20日
活动任务：测量古树高度
活动过程
【步骤一】设计测量方案小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量．
【步骤二】准备测量工具自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示准备皮尺．
【步骤三】实地测量并记录数据如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点．如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角．测出眼睛到地面的距离．测出所站地方到古树底部的距离． ________．．．
【步骤四】计算古树高度．（结果精确到）（参考数据：）
请结合图①、图④和相关数据写出的度数并完成【步骤四】．
16．（2022·四川成都·中考真题）随着“公园城市”建设的不断推进，成都绕城绿道化身成为这座城市的一个超大型“体育场”，绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚．甲、乙两人相约同时从绿道某地出发同向骑行，甲骑行的速度是，乙骑行的路程与骑行的时间之间的关系如图所示．
(1)直接写出当和时，与之间的函数表达式；(2)何时乙骑行在甲的前面？
17．（2023年湖南省湘西初中学业水平数学试题）2023年“地摊经济”成为社会关注的热门话题，“地摊经济”有着启动资金少、管理成本低等优点，特别是在受到疫情冲击后的经济恢复期，“地摊经济”更是成为许多创业者的首选，甲经营了某种品牌小电器生意，采购2台A种品牌小电器和3台B种品牌小电器，共需要90元；采购3台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器，共需要65元销售一台A种品牌小电器获利3元，销售一台B种品牌小电器获利4元．
(1)求购买1台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器各需要多少元？
(2)甲用不小于2750元，但不超过2850元的资金一次性购进A、B两种品牌小电器共150台，求购进A种品牌小电器数量的取值范围．
(3)在（2）的条件下，所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，请说明甲合理的采购方案有哪些？并计算哪种采购方案获得的利润最大，最大利润是多少？
18．（2024·辽宁鞍山·三模）【发现问题】蜂巢的结构非常精美，每个巢室都是由多个正六边形组成（如图1），某数学兴趣小组的同学用若干个形状，大小均相同的正六边形模具，模仿蜂巢结构拼成如图2所示的若干个图案，同学们发现：在每个拼接成的图案中，所需正六边形模具的总个数随着第一层（最下面一层）正六边形模具个数的变化而变化．

【提出问题】在拼接成的图案中，所需正六边形模具的总个数y与第一层正六边形模具的个数x之间有怎样的函数关系
【分析问题】同学们结合实际操作和计算得到如下表所示的数据
第一层正六边形模具的个数x 1 2 3 4 …
拼接图案中所需正六边形模具的总个数y 1 7 19 37 …
然后在平面直角坐标系中描出上面表格中各对数值所对应的点得到图3，同学们根据图3中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分．

为了验证猜想，同学们从“形”的角度出发，借助“割补”的方法，把某一拼接图案中上半部分的正六边形模具（虚线部分）移到下面（如图4），并把第一层缺少的正六边形模具（阴影部分）补全，再拼接到一起（如图5），使每一层正六边形模具的数量相同，借此图求出正六边形模具的总个数，再减去用于补全图形的正六边形模具的个数，即可求出y与x之间的关系式．
【解决问题】(1)直接写出y与x的关系式；(2)若同学按图2的方式拼接图案，共用了169个正六边形模具，求拼接成的图案中第一层正六边形模具的个数；
(3)如图6，作正六边形模具的外接圆，圆心为O，A，B为正六边形模具相邻的两个顶点，的长为，现有一张长100cm，宽80cm的长方形桌子，若按图2的拼接方式拼接图案（模具间的接缝忽略不计），最多可以放下多少个正六边形模具 （）
19．（2023·江苏·二模）综合与实践
动手实践：一次数学兴趣活动，张老师将等腰的直角顶点与正方形的顶点重合（），按如图（1）所示重叠在一起，使点在边上，连接．
则可证：______，______三点共线；
发现问题：（1）如图（2），已知正方形，为边上一动点，，交的延长线于，连结交于点．
若，则______，______；
尝试探究：（2）如图（3），在（1）的条件下若，求证：；
拓展延伸：（3）如图（4），在（1）的条件下，当______时，为的6倍（直接写结果，不要求证明）．
20．（2023·江苏连云港·统考中考真题）【问题情境 建构函数】
（1）如图1，在矩形中，是的中点，，垂足为．设，试用含的代数式表示．
【由数想形 新知初探】（2）在上述表达式中，与成函数关系，其图像如图2所示．若取任意实数，此时的函数图像是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图像．
【数形结合 深度探究】（3）在“取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值随的增大而增大；②函数值的取值范围是；③存在一条直线与该函数图像有四个交点；④在图像上存在四点，使得四边形是平行四边形．其中正确的是__________．（写出所有正确结论的序号）
【抽象回归 拓展总结】（4）若将（1）中的“”改成“”，此时关于的函数表达式是__________；一般地，当取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质（直接写出3条即可）．

21．（2024·广东深圳·一模）在一节数学探究课中，同学们遇到这样的几何问题：如图1，等腰直角三角形和共顶点A，且三点共线，，连接，点G为的中点，连接和，请思考与具有怎样的数量和位置关系？
【模型构建】小颖提出且并给出了自己思考，以G是中点入手，如图2，通过延长与相交于点F，证明，得到，随后通过得即，又,所以且．
（1）请结合小颖的证明思路利用结论填空：当时，_____；______．
【类比探究】（2）如图3，若将绕点A逆时针旋转α度（），请分析此时上述结论是否成立？如果成立，如果不成立，请说明理由．
【拓展延伸】（3）若将E绕点A逆时针旋转β度（），当时，请直接写出旋转角β的度数为_______．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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