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【全国通用】2024中考数学二轮复习（重难点题型突破）
8.3跨学科融合
跨学科融合是指将不同领域内的学科知识整合到一起，通过多学科课程的融通，更好地解决学生在学习过程中出现的问题，提升学生在不同情境中解决问题的能力数学中的跨学科融合问题是指在其他学科背景下创设数学问题或在研究其他学科的问题时，运用数学知识和数学思维解决问题。由于数学是学好物理、化学、地理等课程的基础，因此在近几年的中考命题中，以其他学科的知识为背景，或以其他学科的问题为载体设计的数学问题经常出现，令人耳目全新。这类试题既能体现数学科的基础作用，又能考查学生综合运用知识的能力，更符合当前课程改革的需要。在今后的中考试题中，跨学科的综合题仍是命题的热点和趋势。
近年来各地中考和模拟考关于跨学科融合考查主要涉及物理、生物、化学、语文、音乐、信息技术、地理等其他学科领域，如物理：弹簧、定滑轮、气敏电阻装置、电流电压电阻的关系、压强、杠杆、小孔成像、凸透镜、液体密度、光的反射、电路图；生物：细胞分裂、光合作用、心电心率图、新生物的检测；化学：溶解度曲线图、分子结构式、生活现象（物质变化）；语文：曹冲称象；音乐：五线谱；信息技术：程序图、函数求值机；地理：地球半径等。
解决跨学科融合问题时，首先要对所涉及的各学科的基础知识有一定的理解和掌握，其次要认真审题。挖掘有用的信息，将有关学科的知识加以迁移引申。综合运用数学和其他学科的知识，从不同的角度寻求分析问题和解决问题的方法。
考向一　与物理融合问题
例1．（2024·江苏常州·模拟预测）如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（　　）

A．20° B．30° C．50° D．70°
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，首先求出和，再根据平行线的性质求出和即可．
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，
∴．故选：C．
例2．（2023·山西·中考真题）一种弹簧秤最大能称不超过的物体，不挂物体时弹簧的长为，每挂重物体，弹簧伸长．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】挂重后弹簧长度等于不挂重时的长度加上挂重后弹簧伸长的长度，据此即可求得函数关系式．
【详解】解：由题意知：；故选：B．
【点睛】本题考查了求函数关系式，正确理解题意是关键．
例3．（2023·河南鹤壁·二模）图是我国青海湖最深处的某一截面图，青海湖水面下任意一点A的压强（单位：）与其离水面的深度单位：的函数解析式为，其图象如图所示，其中为青海湖水面大气压强，为常数（计算结果保留一位小数）根据图中信息分析，下列结论正确的是（ ）

A．青海湖水深处的压强为 B．青海湖水面大气压强为
C．函数解析式中自变量的取值范围是 D．与的函数解析式为
【答案】A
【分析】由图象可知，直线过点和，由此可得出和的值，进而可判断B，D；根据实际情况可得出的取值范围，进而可判断C；将代入解析式，可求出的值，进而可判断．
【详解】解：由图象可知，直线直线过点和
∴，解得．直线解析式为：故D错误，不符合题意；
青海湖水面大气压强为，故B错误，不符合题意；
根据实际意义，，故C错误，不符合题意；
将代入解析式，∴，
即青海湖水深处的压强为，故A正确，符合题意．故选：．
【点睛】本题主要考查一次函数的实际应用，涉及一次函数的图象和性质，待定系数法等知识．关键是计算过程中需要结合实际意义．
例4．（2024·安徽蚌埠·一模）如图所示，小余同学设计的物理电路图，假设开关，都处于断开状态，现随机闭合其中的两个开关，能让小灯泡发光的概率为（　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查列表法或树状图求概率，画树状图展示所有结果数，再找出同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】画树状图为：
共有种等可能的结果数，其中同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的结果数为， 所以同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的概率，故选C．
例5．（2024·四川南充·一模）我国古代教育家墨子发现了小孔成像：用一个带有小孔的板遮挡在墙体与物之间，墙体上就会形成物的倒影，这种现象叫小孔成像．如图，根据小孔成像原理，已知蜡烛的火焰高，当物距，像距时，火焰的像高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，直接利用相似三角形的对应边成比例解答．
【详解】解：火焰的像高为，由题意得：
由相似三角形对应高的比等于相似比得到：．
解得．即火焰的像高是．故选：D．
例6．（2023·河南安阳·统考二模）一定电压(单位：V)下电流和电阻之间成反比例关系，东东用一个蓄电池作为电源组装了一个电路如图1所示，通过实验，发现电流随着电阻值的变化而变化的一组数据如表格所示．
R(Ω) … 2 3 4 6 12 …
I(A) … 24 16 12 a 4 …
下列说法不正确的是（ ）
A．表中
B．这个蓄电池的电压值是48V
C．图2中图象可以表示电流I和电阻R之间的函数关系
D．若该电路的最小电阻值为1.5Ω，该电路能通过的最大电流是34A
【答案】C
【分析】A.根据电压电流电阻，即可求解；
B.根据电压电流电阻，即可求解；
C.设，可求，进行判断即可；
D.若该电路的最小电阻值为，代入计算即可；
【详解】解：A.根据电压电流电阻，蓄电池的电流，故不符合题意．
B.根据电压电流电阻，蓄电池的电压值是，故不符合题意；
C.设，将点代入得，，；
图中图象可以表示电流和电阻之间的函数关系，故符合题意；
D.若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是，故不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，从实际问题中整理出反比例函数模型是解决此类问题的关键．
例7．（2022·浙江舟山·中考真题）某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A，B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k（N）．若铁笼固定不动，移动弹簧秤使扩大到原来的n（）倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为 （N）（用含n，k的代数式表示）．
【答案】
【分析】根据杠杆的平衡条件是：动力×动力臂=阻力×阻力臂，计算即可．
【详解】设弹簧秤新读数为x
根据杠杆的平衡条件可得：解得故答案为：．
【点睛】本题是一个跨学科的题目，熟记物理公式动力×动力臂=阻力×阻力臂是解题的关键．
考向二　与化学融合问题
例1．（2023·山东滨州·中考真题）由化学知识可知，用表示溶液酸碱性的强弱程度，当时溶液呈碱性，当时溶液呈酸性．若将给定的溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映溶液的与所加水的体积之间对应关系的是（　　）
A． B． C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，溶液呈碱性，随着加入水的体积的增加，溶液的浓度越来越低，的值则接近7，据此即可求解．
【详解】解：∵溶液呈碱性，则，随着加入水的体积的增加，溶液的浓度越来越低，的值则接近7，故选：B．
【点睛】本题考查了函数的图象，数形结合是解题的关键．
例2．（2022·山东临沂·中考真题）将5kg浓度为98%的酒精，稀释为75%的酒精．设需要加水，根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用酒精的总质量不变列方程即可．
【详解】设需要加水，由题意得，故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，准确理解题意，找到等量关系是解题的关键．
例3．（2023·河南漯河·二模）在一定温度下，某固态物质在100g溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量，叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度，甲、乙两种蔗糖的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误的是（　　）

A．甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大
B．当温度升高至时，甲的溶解度与乙的溶解度一样
C．当温度为时，甲、乙的溶解度都小于
D．当温度小于时，同等温度下甲的溶解度高于乙的溶解度
【答案】D
【分析】根据函数图象横纵坐标表示的意义判断即可．
【详解】解：由图象可知：
A．甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大，故选项A说法正确，不符合题意；
B．当温度升高至时，甲的溶解度与乙的溶解度一样，故选项B说法正确，不符合题意；
C．当温度为时，甲、乙的溶解度都小于，故选项C说法正确，不符合题意；
D．当温度小于时，同等温度下甲的溶解度小于乙的溶解度，故选项D说法错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了函数的图象，根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件是解题的关键．
例4．（2023·四川遂宁·中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为 ．

【答案】
【分析】根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解．
【详解】解：甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为……，
碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个，
十二烷的化学式为，故答案为：．
【点睛】本题考查了规律题，找到规律是解题的关键．
例5．（23-24九年级上·福建漳州·期末）化学课上，小红学到：将二氧化碳气体通入澄清石灰水，澄清石灰水就会变浑浊以下为四个常考的实验：
A．高锰酸钾制取氧气：
B．碳酸钙制取二氧化碳：
C．电解水：
D．一氧化碳还原氧化铜：
(1)若小红从四个实验中任意选一个实验，实验产生的气体不会使澄清石灰水变浑浊的概率是多少？
(2)若小红从四个实验中任意选两个实验，请用列表或树状图的方法求两个实验产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率．
【答案】(1)(2)两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率为
【分析】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率：（1）直接利用概率公式计算，即可求解；
（2）根据题意，画出树状图，可得总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有2种，再根据概率公式计算，即可求解．
【详解】（1）解：实验A和C产生的气体不会使澄清石灰水变浑浊，
P（不会使澄清的石灰水变浑浊）．
（2）解：树状图如下：

总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有2种：，所以两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率．
考向三　与生物融合问题
例1．（2023年青海省中考数学真题）生物兴趣小组探究酒精对某种鱼类的心率是否有影响，实验得出心率与酒精浓度的关系如图所示，下列说法正确的是（ ）

A．酒精浓度越大，心率越高 B．酒精对这种鱼类的心率没有影响
C．当酒精浓度是时，心率是168次/分 D．心率与酒精浓度是反比例函数关系
【答案】C
【分析】观察图象即可判断A、B、C选项，根据反比例函数的定义，即可判断D选项．
【详解】解∶由图象可知，酒精浓度越大，心率越低，故A错误；
酒精浓度越大，心率越低，酒精对这种鱼类的心率有影响，故B错误；
由图象可知，当酒精浓度是时，心率是168次/分，故C正确；
任意取两个点坐标，，因为，所以心率与酒精浓度不是反比例函数关系，故D错误．故选∶ C．
【点睛】本题考查了观察图象，读取、分析、处理信息的能力，反比例函数定义，根据反比例函数定义判断是否为反比例函数是解题的关键．
例2．（2023·山西太原·二模）孟德尔被誉为现代遗传学之父，他通过豌豆杂交实验，发现了遗传学的基本规律．如图，纯种高茎豌豆和纯种矮茎豌豆杂交，子一代都是高茎豌豆，子一代种子种下去，自花传粉，获得的子二代豌豆由DD、Dd、dd三种遗传因子控制．由此可知，子二代豌豆中含遗传因子D的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】画出遗传图解，即可得到答案．
【详解】解：画图如下：
共有4种情况，而出现高茎的有3种结果，∴子二代豌豆中含遗传因子D的概率是，故选：D
【点睛】本题主要考查了求概率，正确画出树状图是解答本题的关键．
例3．（23-24八年级·重庆渝中·期末）光合作用对植物极其重要，研究植物生长经常用（k是常数）估算叶片比较狭长的农作物叶片的面积，其中a，b分别是叶片的长和宽．某品种水稻叶（图1）可以看成是图2的形状，大致都在水稻叶的处“收尖”（左边看成三角形，右边看成矩形）．根据图2估算k的值约为 （结果保留两位小数）．
【答案】
【分析】根据图2求出水稻叶的面积，进而求出k即可．
【详解】解：由图2可得，，∵，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了函数的解析式，根据图形求出水稻叶的面积是解题的关键．
例4．（2023·江苏扬州·一模）如图，有规律的“心电”图形由图形不断向右重复组成，图形分为两条曲线和两条线段，曲线是二次函数图象的一部分，该二次函数顶点是，与轴交于点；曲线是反比例函数图象的一部分；线段是直线的一部分；线段是直线的一部分．若点、是“心电”图形上的两点，则的最大值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
【答案】A
【分析】先把抛物线化为顶点式，求出B点、、、、等点的坐标，则B点的纵坐标即为n的最大值，然后根据直线的解析式经过，求出对应的函数解析式，然后根据图像的周期为6对应进行求解确定k的值，再计算即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线的解析式为：∴化为顶点式为：
∴抛物线的顶点坐标为（2，10）∴n的最大值为10令，解得
∴A点的坐标为（0，2）根据图像可知是周期为6 的图像∴点的坐标为（6，2）
∵直线：经过点∴，解得∴直线的解析式为：
∵2021÷6=336余5∴k相等于x=5时，直线的值，即∴
∴当n最大时，有最大值∴最大值故选A．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像与一次函数图像的性质，以及周期问题，解题的关键在于熟练的掌握运用相关知识点．
考向四　与其他融合问题
例1．（2024·贵州毕节·一模）在单词“”中任意选择一个字母，选中字母为“a”的概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了概率的计算方法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．用a的个数除以字母的总个数即可．
【详解】解：∵单词“”中共有11个字母，其中a有2个，
∴选中字母为“a”的概率为．故选B．
例2．（2023·河南商丘·一模）成语是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观下列成语所描述的事件是随机事件的是( )
A．旭日东升 B．不期而遇 C．秋去冬来 D．水中捞月
【答案】B
【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
【详解】A．“旭日东升”是必然事件，不符合题意；B．“不期而遇”，是随机事件，符合题意；
C．“秋去冬来”是必然事件，不符合题意；D．“水中捞月”是不可能事件，不符合题意．故选：B．
【点睛】本题考查的是事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件
例3．（2024·陕西西安·一模）五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐，如图，一条直线上的三个点都在五线谱的线上，若的长为3，则的长为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，从而根据比例的性质可求出的长．
【详解】解：五条平行横线的距离都相等，，的长为3，，故选：C．
例4．（2023·山东淄博·一模）如图，日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷盘垂直的晷针投射到晷盘上的影子来测定时间．淄博市某学校内A处有一个日晷模型，晷盘与赤道面平行，平面示意图如下，A处的纬度为北纬（地球球心为O，A处的纬度是指与赤道面所成角），则晷针与底座所成角为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据空间角的关系，画出截面图进行求解即可．
【详解】解∶如图所示，由题意可知，指针交底座于点，，底座于相切于点，，
∵于相切于点，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∵，∴，即晷针与底座所成角为，故选∶ A．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、切线的性质、同角的余角相等，熟练掌握相关性质是解决本题的关键，是中档题．
例5．（2023·北京海淀·一模）我国是世界上最早发明历法的国家之一．《周礼》中记载：垒土为主，立木为表，测日影，正地中，意四时．如图1，圭是地面上一根水平标尺，指向正北，表是一根垂直于地面的杆，正午，表的日影（即表影）落在圭上，根据表影的长度可以测定节气．
在一次数学活动课上，要制作一个圭表模型．如图2，地面上放置一根长的杆，向正北方向画一条射线，在上取点D，测得．
（1）判断：这个模型中与是否垂直．答：_________（填“是”或“否”）；你的理由是：________________________________________________．
（2）某地部分节气正午时分太阳光线与地面夹角的值，如下表：
节气 夏至 秋分 冬至
太阳光线与地面夹角
①记夏至和冬至时表影分别为和，利用上表数据，在射线上标出点M和点N的位置；
②记秋分时的表影为，推测点P位于（ ）
A．线段中点左侧 B．线段中点处 C．线段中点右侧
【答案】（1）是，答案见解析 ；（2） ① 作图见解析；②A．
【分析】（1）活用勾股定理的逆定理判断即可；
（2）①根据它们距离表的远近和角度的大小来确定；②根据夹角的大小计算判断
【详解】（1）是，
理由：由测量结果可知，由勾股定理的逆定理可知．
故答案是：是；，由勾股定理的逆定理可知．
（2）①如图，∵tan∠ADB=＞1，∴∠ADB＞45°，
∵∠AMB＞∠ADB，∴点M在点D的左边；∵tan∠ADB=＞1，∴∠ADB＞45°，
∵∠ANB＜∠ADB，∴点N在点D的右边；如图，点M,点N即为所求．
②∵tan∠ADB=＞1，∴∠ADB＞45°，
∵∠APB＜∠ADB，∴点P在点D的左边；故选A．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形两个锐角互余的性质，特殊角的三角函数值，熟练将生活问题转化数学模型求解是解题的关键．
一、选择题
1．（2024·河南周口·二模）科学家发现，在一般光照条件下，每千克小球藻（鲜重）经光合作用每小时约可释放氧气0.00064千克，并产生相应质量的葡萄糖.数据“0.00064”用科学记数法表示为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
【详解】，故选：A．
2．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜的折射后，折射光线交于主光轴MN上一点．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质，对顶角的性质，先由两直线平行，同旁内角互补得到，再根据对顶角的性质求解即可
【详解】解：∵，∴，
∴，∴，故选；C．
3．（2023·北京昌平·二模）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压千帕随气球内气体的体积立方米的变化情况如下表所示，此时p与V的函数关系最可能是（ ）
立方米 64 48 32 24 …
千帕 2 3 4 …
A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．反比例函数
【答案】D
【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，观察表格中的数据可知的值是一个定值，则p与V的函数关系最可能是反比例函数，据此可得答案．
【详解】解：由题意可知，；；；；，…
由此可得出p和V的函数关系是为：故选：D．
4．（2024·广东深圳·一模）约在两千五百年前，如图（1），墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可．
【详解】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为，则
，解得：，即蜡烛火焰的高度为．故选：A．
5．（2023·安徽·一模）数学是一门可融入日常生活的学科，在研究其他领域中，可以用已知的数学知识对自己的猜想进行验证．某生物研究小组在研究“温度对生菜成熟叶片光合速率和呼吸速率的影响”实验中，得到了一份实验数据，如图所示．不测量长度，结合所学的几何方面的知识，可判断出曲线图中当光合作用相对速率与呼吸作用相对速率差值最大时，处理温度是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】观察图形可得答案．
【详解】曲线图中当光合作用相对速率与呼吸作用相对速率差值最大时，处理温度是，故选：B．
【点睛】本题考查了函数图象，解答问题的关键是明确题意，找出所求问题的条件，利用数形结合思想解答．
6．（2023年湖南省娄底市中考数学真题）一个长方体物体的一顶点所在A、B、C三个面的面积比是，如果分别按A、B、C面朝上将此物体放在水平地面上，地面所受的压力产生的压强分别为、、（压强的计算公式为），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据长方体的性质，得出相对面的面积相等，再根据物体的压力不变，结合反比例函数的性质进行分析，即可得出答案．
【详解】解：∵长方体物体的一顶点所在A、B、C三个面的面积比是，
∴长方体物体的A、B、C三面所对的与水平地面接触的面积比也为，
∵，，且一定，∴随的增大而减小，∴．故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解本题的关键在熟练掌握反比例函数的性质．
7．（2023年湖北省恩施州中考数学真题）如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位：）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（　　）

A． B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意代入数据求得，即可求解．
【详解】解：∵，，，∴，
∴，函数为反比例函数，
当时，，即函数图象经过点．故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用以及函数图象，根据题意求出函数关系式是解题的关键．
8．（2023九年级下·广东·专题练习）如图①，电源两端电压（单位：）保持不变，电流强度与总电阻成反比，在实验课上，调节滑动变阻器的电阻，改变灯泡的亮度，测得电路中总电阻和通过的电流强度之间的关系如图②所示（温整提示：总电阻灯泡电阻滑动变阻器电阻），下列说法错误的是（　　）

A．电流强度随着总电阻的增大而减小
B．调节滑动变阻器，当总电阻为时，电流强度为
C．当灯泡电阻为，电路中电流为时，滑动变阻器的阻值为
D．当经过灯泡的电流为时，电路中的总电阻为
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的性质．设，根据待定系数法求出电流强度与总电阻之间的函数解析式为，再根据反比例函数的性质和图像逐一判断即可．
【详解】解：电源两端电压（单位：）保持不变，电流强度与总电阻成反比，
可设，将代入，得，电流强度与总电阻之间的函数解析式为，
电流强度随着总电阻的增大而减小，故选项A说法正确，不符合题意；
当时，，故选项B说法正确，不符合题意；
当时，，滑动变阻器电阻总电阻灯泡电阻，故选项C说法正确，不符合题意；当时，，故选项D说法错误，符合题意．故选：D．
二、填空题
9.（2023·河南南阳·一模）通常情况下紫色石蕊试液遇酸性变红色，遇碱性溶液变蓝色．老师让学生用紫色石蕊试液检测四瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这四种溶液分别是A．盐酸（呈酸性），a．白醋（呈酸性），B．氢氧化钠溶液（呈碱性），b．氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种．学生小徐同时任选两瓶溶液，将紫色石蕊试液滴入其中进行检测，则两瓶溶液恰好都变蓝的概率为 ．
【答案】
【分析】本题考查树状图求概率，先画出树状图，找到符合条件的情况，再根据概率公式计算即可．
【详解】解：树状图如下：
由图可得，一共12种等可能的情况，两瓶恰好都变蓝的情况有2种，概率为：，故答案为：．
10．（2024·山西临汾·一模）车载雷达通过发射高频电磁波，接收目标反射信号，经后方处理后实现对车辆周围环境的感知和识别．由物理学知识可知，当电磁波波速一定时，波长是频率的反比例函数，其函数图象如图所示．当时，该电磁波频率f的值为 ．
【答案】30
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式以及求反比例函数的自变量，设反比例函数为：，用待定系数法求出反比例函数的解析式，然后再根据函数值求自变量即可．
【详解】解：设反比例函数为：，
由函数图像可知，函数过点，∴，解得：，
∴反比例函数为：，当时，则：，故答案为：30．
11．（2023·山东·中考真题）某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，等反射后都沿着与平行的方向射出．若，，则
．

【答案】
【分析】可求，由，即可求解．
【详解】解：，，，，
，，故答案：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握性质是解题的关键．
12．（2022·江苏扬州·中考真题）掌握地震知识，提升防震意识．根据里氏震级的定义，地震所释放出的能量与震级的关系为（其中为大于0的常数），那么震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的 倍．
【答案】1000
【分析】分别求出震级为８级和震级为6级所释放的能量，然后根据同底数幂的除法即可得到答案．
【详解】解：根据能量与震级的关系为（其中为大于0的常数）可得到，
当震级为8级的地震所释放的能量为：，
当震级为6级的地震所释放的能量为：，
，震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的1000倍．
故答案为：1000．
【点睛】本题考查了利用同底数幂的除法底数不变指数相减的知识，充分理解题意并转化为所学数学知识是解题的关键．
13．（2023·广东深圳·三模）数学小组研究如下问题：深圳市的纬度约为北纬，求北纬纬线的长度．小组成员查阅相关资料，得到如下信息：信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；
信息二：如图2，赤道半径约为千米，弦，以为直径的圆的周长就是北纬纬线的长度；（参考数据：，，，）
根据以上信息，北纬纬线的长度约为 千米．

【答案】
【分析】根据平行线的性质可知，在中，利用锐角三角函数求出，即为以为直径的圆的半径，求出周长即可．
【详解】解：如图，过点O作，垂足为D，

根据题意，∵，∴，
∵在中， ，∴，
∵，∴由垂径定理可知：，
∴以为直径的圆的周长为，故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形，平行线的性质，解题的关键是熟练三角函数的含义与解直角三角形的方法．
14．（2023·广东深圳·模拟预测）化学中直链烷烃的名称用“碳原子数+烷”来表示，当碳原子数为时，依次用天干——甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸——表示，其中甲烷、乙烷、丙烷，丁烷的分子结构式如图所示，则第7个庚烷分子结构式中“”的个数是 ．

【答案】16
【分析】根据题目中的图形，可以发现“”的个数的变化特点，然后即可写出第7个庚烷分子结构式中“”的个数．
【详解】解：由图可得：甲烷分子结构中“”的个数是：，
乙烷分子结构中“”的个数是：，丙烷分子结构中“”的个数是：，……
庚烷分子结构中“”的个数是：，故答案为：16．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现“”的个数的变化特点．
三、解答题
15．（2023·重庆·一模）生物学上研究表明：不同浓度的生长素对植物的生长速度影响不同，在一定范围内，生长素的浓度对植物的生长速度有促进作用，相反，在某些浓度范围，生长速度会变缓慢，甚至阻碍植物生长（阻碍即植物不生长，甚至枯萎）．小林同学在了解到这一信息后，决定研究生长素浓度与茶树生长速度的关系，设生长素浓度为x克/升，生长速度为y毫米/天，当x超过4时，茶树的生长速度y与生长素x浓度满足关系式：．实验数据如下表，当生长速度为0时，实验结束．
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y 2 4 6 8 10 9 7 4 0
（1）如图，建立平面直角坐标系xOy，描出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数图象；
（2）根据上述表格，求出整个实验过程中y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质：　 　；
（4）若直线y＝kx+3与上述函数图象有2个交点，则k的取值范围是：　 　．
【答案】（1）画出该函数图象如图所示；见解析；（2）
（3）当0＜x＜4时，y随x的增大而增大；（4）．
【分析】（1）把表中的x，y的值分别描入平面直角坐标系中，再用直线或平滑的曲线连接即可；
（2）利用待定系数法进行求解，当0＜x＜4时，函数图像是直线，当4≤x≤8时，函数图像是抛物线；
（3）当0＜x＜4时，函数图像是直线，，y随x的增大而增大；（4）直线y＝kx+3过点(0,3)，要与上述函数图像有2个交点，则直线过点（4，10）或（8，0），代入求解出k的值，进而求出k的取值范围．
【详解】（1）画出该函数图象如图所示；
（2）当0＜x＜4时，设y＝kx+b，
把（0，2），（2，6）代入y＝kx+b得，，解得：，∴y＝2x+2；
当4≤x≤8时，把（7，4），（8，0）代入得，解得：
∴y＝﹣x2+x+4；∴整个实验过程中y与x的函数关系式为：；
（3）当0＜x＜4时，y随x的增大而增大，故答案为：当0＜x＜4时，y随x的增大而增大；
（4）∵直线y＝kx+3与上述函数图象有2个交点，∴当直线y＝kx+3过（4，10）或（8，0）时，
即把（4，10）或（8，0）分别代入y＝kx+3得，k＝或k＝﹣，
∴若直线y＝kx+3与上述函数图象有2个交点，则k的取值范围是：故答案为：．
【点睛】本题考查了画函数图像，待定系数法，一次函数和二次函数的性质，函数的交点个数求k的取值范围，属于基础题，熟练掌握函数图像的画法，待定系数法，函数的性质是解题的关键．
16．（2023·安徽·模拟预测）奥地利遗传学家孟德尔发现纯种的黄豌豆和绿豌豆杂交，得到的杂种第一代豌豆都呈黄色．他假设纯种黄豌豆的基因是，纯种绿豌豆的基因是，则杂种第一代豌豆的基因是，其中黄、绿基因各一个，只要两个基因中有一个基因是黄色基因，豌豆就呈黄色，故第一代的所有豌豆均呈黄色．将杂种第一代豌豆自交，即父本的两个基因，与母本的两个基因，再随机配对，将产生种可能的结果：
(1)求第二代出现黄豌豆的概率．(2)如果在第二代中再选择两个品种杂交，使第三代黄豌豆出现的概率为，请列举一种符合要求的配对方案，并说明理由．
【答案】(1)第二代出现黄踠豆的概率；(2)，理由见解析．
【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键．（）根据概率的计算公式直接计算即可求解；（）选出符合要求的配对方案，画出树状图，根据树状图即可求解；
【详解】（1）解：第二代共有种情况，其中出现黄啘豆的有，，共种情况，所以第二代出现黄踠豆的概率；
（2）解：共有两种方案，答出任意一种即可．
方案一：选择的两个品种分别为和．画出树状图如下：
由树状图可得；
方案二：选择的两个品种分别为和．画出树状图如下：
由树状图可得．
17．（2023·广西·中考真题）【综合与实践】
有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务．
【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：.其中秤盘质量克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．

【方案设计】目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．
任务一：确定l和a的值．(1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；(2)当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；(3)根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值．
任务二：确定刻线的位置．(4)根据任务一，求y关于m的函数解析式；
(5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．
【答案】(1)(2)(3)(4)(5)相邻刻线间的距离为5厘米
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；（2）根据题意可直接代值求解；
（3）由（1）（2）可建立二元一次方程组进行求解；（4）根据（3）可进行求解；
（5）分别把，，，，，，，，，，代入求解，然后问题可求解．
【详解】（1）解：由题意得：，∴，∴；
（2）解：由题意得：，∴，∴；
（3）解：由（1）（2）可得：，解得：；
（4）解：由任务一可知：，∴，∴；
（5）解：由（4）可知，
∴当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；
∴相邻刻线间的距离为5厘米．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意．
18．（2023·江苏苏州·中考真题）某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道，长度为的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点重合，当滑块右端到达点时，滑块停顿，然后再以小于的速度匀速返回，直到滑块的左端与点重合，滑动停止．设时间为时，滑块左端离点的距离为，右端离点的距离为，记与具有函数关系．已知滑块在从左向右滑动过程中，当和时，与之对应的的两个值互为相反数；滑块从点出发到最后返回点，整个过程总用时（含停顿时间）．请你根据所给条件解决下列问题：

(1)滑块从点到点的滑动过程中，的值________________；（填“由负到正”或“由正到负”）
(2)滑块从点到点的滑动过程中，求与的函数表达式；
(3)在整个往返过程中，若，求的值．
【答案】(1)由负到正(2)(3)当或时，
【分析】（1）根据等式，结合题意，即可求解；
（2）设轨道的长为，根据已知条件得出，则，根据当和时，与之对应的的两个值互为相反数；则时，，得出，继而求得滑块返回的速度为，得出，代入，即可求解；（3）当时，有两种情况，由（2）可得，①当时，②当时，分别令，进而即可求解．
【详解】（1）∵，当滑块在点时，，，
当滑块在点时，，，∴的值由负到正．故答案为：由负到正．
（2）解：设轨道的长为，当滑块从左向右滑动时，∵，∴，
∴∴是的一次函数，
∵当和时，与之对应的的两个值互为相反数；
∴当时，，∴，∴，
∴滑块从点到点所用的时间为，
∵整个过程总用时（含停顿时间）．当滑块右端到达点时，滑块停顿，
∴滑块从点到点的滑动时间为，
∴滑块返回的速度为，∴当时，，
∴，∴，
∴与的函数表达式为；
（3）当时，有两种情况，由（2）可得，
①当时，，解得：；
②当时，，解得：，
综上所述，当或时，．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，分析得出，并求得往返过程中的解析式是解题的关键．
19．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）【发现问题】小星同学学习了并联电路的相关知识后，掌握了并联电路中总电阻与各支路电阻的关系：（为正整数）．在探究由两个电阻组成的并联电路时（电路图如图1），小星同学发现了一个有趣的问题：当电阻与电阻的和为定值时，并联电路的总电阻（）与其中任意一个电阻（或）存在函数关系．
【实验探究】小星同学找来了若干个电阻进行实验，且每次连接到电路中的两个电阻的和恒为，即，实验数据记录如下：
1 2 3 4 5 …
9 8 7 6 5 …
…
（1）请在图2中描出上表中与各对数值所对应的点，并用光滑的曲线连接：
【提出猜想】观察（1）中的图象，小星同学提出了大胆的猜想：在由两个电阻组成的并联电路中，当电阻与电阻的和为定值时，并联电路的总电阻（）与其中任意一个电阻（与）满足二次函数关系．
【验证猜想】为了验证上述猜想，小星同学进行了下列推导：
当并联电路中有两个电阻时，根据公式：
，得，通分整理，得．
求倒数，得．
设，则．
代入，得．整理，得．
（2）请帮小星同学补全推导过程：
①_____________；②____________；③____________；④____________；⑤_____________．
【实际应用】（3）小星同学获知，某电取暖器的电路中有两个并联的、阻值可连续调节的电阻，且无论如何调节，这两个电阻的和恒为（，）．已知电路中总电阻越大，电取暖器的电功率越低，当工作中的电取暖器达到最低电功率时，分别求各支路电阻与总电阻的值．
【答案】（1）见解析；（2）①；②；③；④；⑤；（3）当工作中的电取暖器达到最低电功率时，各支路电阻均为，总电阻为．
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用：（1）先描点，再连线画出对应的函数图象即可；（2）根据题意以及所给推导过程求解即可；（3）根据（2）所求得到，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：（1）如图所示，即为所求；
（2）∵，∴，∴．∴．
设，则．代入，得，∴．
故答案为：①；②；③；④；⑤；
（3）由（2）的推导，知当时，，由题知，，∴，
∵电路中总电阻越大，电取暖器的电功率越低，
∴当工作中的电取暖器达到最低电功率时，电路中总电阻最大，
∴当时，取得最大值，即，此时，
综上所述，当工作中的电取暖器达到最低电功率时，各支路电阻均为，总电阻为．
20．（2023·广西南宁·三模）综合与实践
心率监测不仅能够对运动者在锻炼过程中的身体状况进行有效监控与衡量，也可最大限度避免强度过大造成危险，确保体育运动的有效性与安全性，体育运动时的心率受年龄、性别、运动项目、运动时间等因素影响．某数学小组对此问题很感兴趣，选取相关因素进行项目研究．
【提出问题】跳绳运动中心率与运动时间的关系．
【收集数据】第一次该小组收集小红同学的跳绳心率，每隔10秒作一次记录并绘制图象（如图1）．
【二次收集数据】小组讨论后，发现这样收集数据不合理．于是进行第二次数据收集：随机抽取15位学生参与跳绳运动．15位学生同时开始跳绳，每隔十秒，记录他们的心率，并计算此时他们心率的平均数，然后绘制图象（如图2）．

【建立模型】由图象可知，随着跳绳时间增加，心率趋于一个定值，该小组要寻找一个函数模型分析跳绳过程中心率与时间的关系，他们依次建立一次函数模型、二次函数模型，但都与心率曲线不吻合，老师提醒他们可以借助反比例函数图象的平移来建立模型．小组借助计算机软件建立跳绳运动中心率随运动时间（单位：秒）的变化而变化的函数模型：．
【解决问题】（1）写出第一次数据收集不合理的地方（写出一条即可）；
（2）《义务教育体育与健康课程标准（2022年版）》提出要“科学设置运动负荷”，体育课上，班级所有学生平均心率原则上在140-160，以努力解决学生在体育课上“不出汗”的问题．请你根据函数解析式，求学生需要跳绳多少秒才能达到140的心率（结果精确到个位）；
（3）研究发现，运动时心率达到175时，就是运动过度.请你根据模型解析式，通过计算，对跳绳200秒的小明同学提出建议（写出一条建议即可）．
【答案】（1）选取的样本只是小红一个人，只有样本不具有代表性，因此第一次数据收集不合理；（2）学生需要跳绳47秒才能达到140的心率；（3）小明的运动过度，要缩短跳绳时间
【分析】本题考查反比例函数的应用，调查样本的可靠性，理解反比例函数的意义是正确解答的前提．
（1）根据抽样调查的意义，选取样本时，样本容量要适当，样本具有代表性进行判断即可；
（2）求出当时相应的的值即可；（3）求出当时相应的的值，比较得出答案．
【详解】解：（1）选取的样本只是小红一个人，只有样本不具有代表性，因此第一次数据收集不合理；
（2）当时，即，解得，
答：学生需要跳绳47秒才能达到140的心率；
（3）当时，，由于，
因此小明的运动过度，要缩短跳绳时间．
21．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）【问题背景】
新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的．
【实验操作】为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验．
实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量y（%）与时间t（分钟）的关系，数据记录如表1：
电池充电状态
时间t（分钟） 0 10 30 60
增加的电量y（%） 0 10 30 60
实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量e（%）与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如表2：
汽车行驶过程
已行驶里程s（千米） 0 160 200 280
显示电量e（%） 100 60 50 30
【建立模型】（1）观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出y关于t的函数表达式及e关于s的函数表达式；
【解决问题】（2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点460千米处的目的地，若电动汽车行驶240千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为20%，则电动汽车在服务区充电多长时间？
【答案】（1）y关于t函数解析式为：，e关于s函数解析式为：；（2）电动汽车在服务区充电35分钟．
【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．
（1）根据表格数据，待定系数法求出两个函数解析式即可；（2）先计算行驶后的电量，假设充电充了分钟，应增加电量：，出发时电量为，走完剩余路程，应耗电量为：，应耗电量为，据此可得：，解得即可．
【详解】解：（1）根据题意，两个函数均为一次函数，设，，
将，代入得，解得，函数解析式为：，
将，代入得，解得，函数解析式为：；
（2）由题意得，先在满电的情况下行走了，
当时，，未充电前电量显示为，
假设充电充了分钟，应增加电量：，
出发时电量为，走完剩余路程，
应耗电量为：，应耗电量为，据此可得：
，解得，答：电动汽车在服务区充电35分钟．
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【全国通用】2024中考数学二轮复习（重难点题型突破）
8.3跨学科融合
跨学科融合是指将不同领域内的学科知识整合到一起，通过多学科课程的融通，更好地解决学生在学习过程中出现的问题，提升学生在不同情境中解决问题的能力数学中的跨学科融合问题是指在其他学科背景下创设数学问题或在研究其他学科的问题时，运用数学知识和数学思维解决问题。由于数学是学好物理、化学、地理等课程的基础，因此在近几年的中考命题中，以其他学科的知识为背景，或以其他学科的问题为载体设计的数学问题经常出现，令人耳目全新。这类试题既能体现数学科的基础作用，又能考查学生综合运用知识的能力，更符合当前课程改革的需要。在今后的中考试题中，跨学科的综合题仍是命题的热点和趋势。
近年来各地中考和模拟考关于跨学科融合考查主要涉及物理、生物、化学、语文、音乐、信息技术、地理等其他学科领域，如物理：弹簧、定滑轮、气敏电阻装置、电流电压电阻的关系、压强、杠杆、小孔成像、凸透镜、液体密度、光的反射、电路图；生物：细胞分裂、光合作用、心电心率图、新生物的检测；化学：溶解度曲线图、分子结构式、生活现象（物质变化）；语文：曹冲称象；音乐：五线谱；信息技术：程序图、函数求值机；地理：地球半径等。
解决跨学科融合问题时，首先要对所涉及的各学科的基础知识有一定的理解和掌握，其次要认真审题。挖掘有用的信息，将有关学科的知识加以迁移引申。综合运用数学和其他学科的知识，从不同的角度寻求分析问题和解决问题的方法。
考向一　与物理融合问题
例1．（2024·江苏常州·模拟预测）如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（　　）

A．20° B．30° C．50° D．70°
例2．（2023·山西·中考真题）一种弹簧秤最大能称不超过的物体，不挂物体时弹簧的长为，每挂重物体，弹簧伸长．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式为（ ）

A． B． C． D．
例3．（2023·河南鹤壁·二模）图是我国青海湖最深处的某一截面图，青海湖水面下任意一点A的压强（单位：）与其离水面的深度单位：的函数解析式为，其图象如图所示，其中为青海湖水面大气压强，为常数（计算结果保留一位小数）根据图中信息分析，下列结论正确的是（ ）

A．青海湖水深处的压强为 B．青海湖水面大气压强为
C．函数解析式中自变量的取值范围是 D．与的函数解析式为
例4．（2024·安徽蚌埠·一模）如图所示，小余同学设计的物理电路图，假设开关，都处于断开状态，现随机闭合其中的两个开关，能让小灯泡发光的概率为（　）
A． B． C． D．
例5．（2024·四川南充·一模）我国古代教育家墨子发现了小孔成像：用一个带有小孔的板遮挡在墙体与物之间，墙体上就会形成物的倒影，这种现象叫小孔成像．如图，根据小孔成像原理，已知蜡烛的火焰高，当物距，像距时，火焰的像高为（ ）
A． B． C． D．
例6．（2023·河南安阳·统考二模）一定电压(单位：V)下电流和电阻之间成反比例关系，东东用一个蓄电池作为电源组装了一个电路如图1所示，通过实验，发现电流随着电阻值的变化而变化的一组数据如表格所示．
R(Ω) … 2 3 4 6 12 …
I(A) … 24 16 12 a 4 …
下列说法不正确的是（ ）
A．表中 B．这个蓄电池的电压值是48V
C．图2中图象可以表示电流I和电阻R之间的函数关系
D．若该电路的最小电阻值为1.5Ω，该电路能通过的最大电流是34A
例7．（2022·浙江舟山·中考真题）某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A，B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k（N）．若铁笼固定不动，移动弹簧秤使扩大到原来的n（）倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为 （N）（用含n，k的代数式表示）．
考向二　与化学融合问题
例1．（2023·山东滨州·中考真题）由化学知识可知，用表示溶液酸碱性的强弱程度，当时溶液呈碱性，当时溶液呈酸性．若将给定的溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映溶液的与所加水的体积之间对应关系的是（　　）
A． B． C．D．
例2．（2022·山东临沂·中考真题）将5kg浓度为98%的酒精，稀释为75%的酒精．设需要加水，根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
例3．（2023·河南漯河·二模）在一定温度下，某固态物质在100g溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量，叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度，甲、乙两种蔗糖的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误的是（　　）

A．甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大
B．当温度升高至时，甲的溶解度与乙的溶解度一样
C．当温度为时，甲、乙的溶解度都小于
D．当温度小于时，同等温度下甲的溶解度高于乙的溶解度
例4．（2023·四川遂宁·中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为 ．
例5．（23-24九年级上·福建漳州·期末）化学课上，小红学到：将二氧化碳气体通入澄清石灰水，澄清石灰水就会变浑浊以下为四个常考的实验：
A．高锰酸钾制取氧气：
B．碳酸钙制取二氧化碳：
C．电解水：
D．一氧化碳还原氧化铜：
(1)若小红从四个实验中任意选一个实验，实验产生的气体不会使澄清石灰水变浑浊的概率是多少？
(2)若小红从四个实验中任意选两个实验，请用列表或树状图的方法求两个实验产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率．
考向三　与生物融合问题
例1．（2023年青海省中考数学真题）生物兴趣小组探究酒精对某种鱼类的心率是否有影响，实验得出心率与酒精浓度的关系如图所示，下列说法正确的是（ ）

A．酒精浓度越大，心率越高 B．酒精对这种鱼类的心率没有影响
C．当酒精浓度是时，心率是168次/分 D．心率与酒精浓度是反比例函数关系
例2．（2023·山西太原·二模）孟德尔被誉为现代遗传学之父，他通过豌豆杂交实验，发现了遗传学的基本规律．如图，纯种高茎豌豆和纯种矮茎豌豆杂交，子一代都是高茎豌豆，子一代种子种下去，自花传粉，获得的子二代豌豆由DD、Dd、dd三种遗传因子控制．由此可知，子二代豌豆中含遗传因子D的概率是（ ）
A． B． C． D．
例3．（23-24八年级·重庆渝中·期末）光合作用对植物极其重要，研究植物生长经常用（k是常数）估算叶片比较狭长的农作物叶片的面积，其中a，b分别是叶片的长和宽．某品种水稻叶（图1）可以看成是图2的形状，大致都在水稻叶的处“收尖”（左边看成三角形，右边看成矩形）．根据图2估算k的值约为 （结果保留两位小数）．
例4．（2023·江苏扬州·一模）如图，有规律的“心电”图形由图形不断向右重复组成，图形分为两条曲线和两条线段，曲线是二次函数图象的一部分，该二次函数顶点是，与轴交于点；曲线是反比例函数图象的一部分；线段是直线的一部分；线段是直线的一部分．若点、是“心电”图形上的两点，则的最大值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
考向四　与其他融合问题
例1．（2024·贵州毕节·一模）在单词“”中任意选择一个字母，选中字母为“a”的概率（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·河南商丘·一模）成语是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观下列成语所描述的事件是随机事件的是( )
A．旭日东升 B．不期而遇 C．秋去冬来 D．水中捞月
例3．（2024·陕西西安·一模）五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐，如图，一条直线上的三个点都在五线谱的线上，若的长为3，则的长为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
例4．（2023·山东淄博·一模）如图，日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷盘垂直的晷针投射到晷盘上的影子来测定时间．淄博市某学校内A处有一个日晷模型，晷盘与赤道面平行，平面示意图如下，A处的纬度为北纬（地球球心为O，A处的纬度是指与赤道面所成角），则晷针与底座所成角为（ ）．
A． B． C． D．
例5．（2023·北京海淀·一模）我国是世界上最早发明历法的国家之一．《周礼》中记载：垒土为主，立木为表，测日影，正地中，意四时．如图1，圭是地面上一根水平标尺，指向正北，表是一根垂直于地面的杆，正午，表的日影（即表影）落在圭上，根据表影的长度可以测定节气．
在一次数学活动课上，要制作一个圭表模型．如图2，地面上放置一根长的杆，向正北方向画一条射线，在上取点D，测得．
（1）判断：这个模型中与是否垂直．答：_________（填“是”或“否”）；你的理由是：________________________________________________．
（2）某地部分节气正午时分太阳光线与地面夹角的值，如下表：
节气 夏至 秋分 冬至
太阳光线与地面夹角
①记夏至和冬至时表影分别为和，利用上表数据，在射线上标出点M和点N的位置；
②记秋分时的表影为，推测点P位于（ ）
A．线段中点左侧 B．线段中点处 C．线段中点右侧
一、选择题
1．（2024·河南周口·二模）科学家发现，在一般光照条件下，每千克小球藻（鲜重）经光合作用每小时约可释放氧气0.00064千克，并产生相应质量的葡萄糖.数据“0.00064”用科学记数法表示为（ ）

A． B． C． D．
2．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜的折射后，折射光线交于主光轴MN上一点．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·北京昌平·二模）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压千帕随气球内气体的体积立方米的变化情况如下表所示，此时p与V的函数关系最可能是（ ）
立方米 64 48 32 24 …
千帕 2 3 4 …
A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．反比例函数
4．（2024·广东深圳·一模）约在两千五百年前，如图（1），墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·安徽·一模）数学是一门可融入日常生活的学科，在研究其他领域中，可以用已知的数学知识对自己的猜想进行验证．某生物研究小组在研究“温度对生菜成熟叶片光合速率和呼吸速率的影响”实验中，得到了一份实验数据，如图所示．不测量长度，结合所学的几何方面的知识，可判断出曲线图中当光合作用相对速率与呼吸作用相对速率差值最大时，处理温度是( )
A． B． C． D．
6．（2023年湖南省娄底市中考数学真题）一个长方体物体的一顶点所在A、B、C三个面的面积比是，如果分别按A、B、C面朝上将此物体放在水平地面上，地面所受的压力产生的压强分别为、、（压强的计算公式为），则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023年湖北省恩施州中考数学真题）如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位：）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（　　）

A． B．C．D．
8．（2023九年级下·广东·专题练习）如图①，电源两端电压（单位：）保持不变，电流强度与总电阻成反比，在实验课上，调节滑动变阻器的电阻，改变灯泡的亮度，测得电路中总电阻和通过的电流强度之间的关系如图②所示（温整提示：总电阻灯泡电阻滑动变阻器电阻），下列说法错误的是（　　）

A．电流强度随着总电阻的增大而减小
B．调节滑动变阻器，当总电阻为时，电流强度为
C．当灯泡电阻为，电路中电流为时，滑动变阻器的阻值为
D．当经过灯泡的电流为时，电路中的总电阻为
二、填空题
9.（2023·河南南阳·一模）通常情况下紫色石蕊试液遇酸性变红色，遇碱性溶液变蓝色．老师让学生用紫色石蕊试液检测四瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这四种溶液分别是A．盐酸（呈酸性），a．白醋（呈酸性），B．氢氧化钠溶液（呈碱性），b．氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种．学生小徐同时任选两瓶溶液，将紫色石蕊试液滴入其中进行检测，则两瓶溶液恰好都变蓝的概率为 ．
10．（2024·山西临汾·一模）车载雷达通过发射高频电磁波，接收目标反射信号，经后方处理后实现对车辆周围环境的感知和识别．由物理学知识可知，当电磁波波速一定时，波长是频率的反比例函数，其函数图象如图所示．当时，该电磁波频率f的值为 ．
11．（2023·山东·中考真题）某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，等反射后都沿着与平行的方向射出．若，，则
．

12．（2022·江苏扬州·中考真题）掌握地震知识，提升防震意识．根据里氏震级的定义，地震所释放出的能量与震级的关系为（其中为大于0的常数），那么震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的 倍．
13．（2023·广东深圳·三模）数学小组研究如下问题：深圳市的纬度约为北纬，求北纬纬线的长度．小组成员查阅相关资料，得到如下信息：信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；
信息二：如图2，赤道半径约为千米，弦，以为直径的圆的周长就是北纬纬线的长度；（参考数据：，，，）
根据以上信息，北纬纬线的长度约为 千米．

14．（2023·广东深圳·模拟预测）化学中直链烷烃的名称用“碳原子数+烷”来表示，当碳原子数为时，依次用天干——甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸——表示，其中甲烷、乙烷、丙烷，丁烷的分子结构式如图所示，则第7个庚烷分子结构式中“”的个数是 ．
三、解答题
15．（2023·重庆·一模）生物学上研究表明：不同浓度的生长素对植物的生长速度影响不同，在一定范围内，生长素的浓度对植物的生长速度有促进作用，相反，在某些浓度范围，生长速度会变缓慢，甚至阻碍植物生长（阻碍即植物不生长，甚至枯萎）．小林同学在了解到这一信息后，决定研究生长素浓度与茶树生长速度的关系，设生长素浓度为x克/升，生长速度为y毫米/天，当x超过4时，茶树的生长速度y与生长素x浓度满足关系式：．实验数据如下表，当生长速度为0时，实验结束．
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y 2 4 6 8 10 9 7 4 0
（1）如图，建立平面直角坐标系xOy，描出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数图象；
（2）根据上述表格，求出整个实验过程中y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质：　 　；
（4）若直线y＝kx+3与上述函数图象有2个交点，则k的取值范围是：　 　．
16．（2023·安徽·模拟预测）奥地利遗传学家孟德尔发现纯种的黄豌豆和绿豌豆杂交，得到的杂种第一代豌豆都呈黄色．他假设纯种黄豌豆的基因是，纯种绿豌豆的基因是，则杂种第一代豌豆的基因是，其中黄、绿基因各一个，只要两个基因中有一个基因是黄色基因，豌豆就呈黄色，故第一代的所有豌豆均呈黄色．将杂种第一代豌豆自交，即父本的两个基因，与母本的两个基因，再随机配对，将产生种可能的结果：
(1)求第二代出现黄豌豆的概率．(2)如果在第二代中再选择两个品种杂交，使第三代黄豌豆出现的概率为，请列举一种符合要求的配对方案，并说明理由．
17．（2023·广西·中考真题）【综合与实践】
有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务．
【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：.其中秤盘质量克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．

【方案设计】目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．
任务一：确定l和a的值．(1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；(2)当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；(3)根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值．
任务二：确定刻线的位置．(4)根据任务一，求y关于m的函数解析式；
(5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．
18．（2023·江苏苏州·中考真题）某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道，长度为的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点重合，当滑块右端到达点时，滑块停顿，然后再以小于的速度匀速返回，直到滑块的左端与点重合，滑动停止．设时间为时，滑块左端离点的距离为，右端离点的距离为，记与具有函数关系．已知滑块在从左向右滑动过程中，当和时，与之对应的的两个值互为相反数；滑块从点出发到最后返回点，整个过程总用时（含停顿时间）．请你根据所给条件解决下列问题：

(1)滑块从点到点的滑动过程中，的值________________；（填“由负到正”或“由正到负”）
(2)滑块从点到点的滑动过程中，求与的函数表达式；
(3)在整个往返过程中，若，求的值．
19．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）【发现问题】小星同学学习了并联电路的相关知识后，掌握了并联电路中总电阻与各支路电阻的关系：（为正整数）．在探究由两个电阻组成的并联电路时（电路图如图1），小星同学发现了一个有趣的问题：当电阻与电阻的和为定值时，并联电路的总电阻（）与其中任意一个电阻（或）存在函数关系．
【实验探究】小星同学找来了若干个电阻进行实验，且每次连接到电路中的两个电阻的和恒为，即，实验数据记录如下：
1 2 3 4 5 …
9 8 7 6 5 …
…
（1）请在图2中描出上表中与各对数值所对应的点，并用光滑的曲线连接：
【提出猜想】观察（1）中的图象，小星同学提出了大胆的猜想：在由两个电阻组成的并联电路中，当电阻与电阻的和为定值时，并联电路的总电阻（）与其中任意一个电阻（与）满足二次函数关系．
【验证猜想】为了验证上述猜想，小星同学进行了下列推导：
当并联电路中有两个电阻时，根据公式：
，得，通分整理，得．
求倒数，得．
设，则．
代入，得．整理，得．
（2）请帮小星同学补全推导过程：
①_____________；②____________；③____________；④____________；⑤_____________．
【实际应用】（3）小星同学获知，某电取暖器的电路中有两个并联的、阻值可连续调节的电阻，且无论如何调节，这两个电阻的和恒为（，）．已知电路中总电阻越大，电取暖器的电功率越低，当工作中的电取暖器达到最低电功率时，分别求各支路电阻与总电阻的值．
20．（2023·广西南宁·三模）综合与实践
心率监测不仅能够对运动者在锻炼过程中的身体状况进行有效监控与衡量，也可最大限度避免强度过大造成危险，确保体育运动的有效性与安全性，体育运动时的心率受年龄、性别、运动项目、运动时间等因素影响．某数学小组对此问题很感兴趣，选取相关因素进行项目研究．
【提出问题】跳绳运动中心率与运动时间的关系．
【收集数据】第一次该小组收集小红同学的跳绳心率，每隔10秒作一次记录并绘制图象（如图1）．
【二次收集数据】小组讨论后，发现这样收集数据不合理．于是进行第二次数据收集：随机抽取15位学生参与跳绳运动．15位学生同时开始跳绳，每隔十秒，记录他们的心率，并计算此时他们心率的平均数，然后绘制图象（如图2）．

【建立模型】由图象可知，随着跳绳时间增加，心率趋于一个定值，该小组要寻找一个函数模型分析跳绳过程中心率与时间的关系，他们依次建立一次函数模型、二次函数模型，但都与心率曲线不吻合，老师提醒他们可以借助反比例函数图象的平移来建立模型．小组借助计算机软件建立跳绳运动中心率随运动时间（单位：秒）的变化而变化的函数模型：．
【解决问题】（1）写出第一次数据收集不合理的地方（写出一条即可）；
（2）《义务教育体育与健康课程标准（2022年版）》提出要“科学设置运动负荷”，体育课上，班级所有学生平均心率原则上在140-160，以努力解决学生在体育课上“不出汗”的问题．请你根据函数解析式，求学生需要跳绳多少秒才能达到140的心率（结果精确到个位）；
（3）研究发现，运动时心率达到175时，就是运动过度.请你根据模型解析式，通过计算，对跳绳200秒的小明同学提出建议（写出一条建议即可）．
21．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）【问题背景】
新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的．
【实验操作】为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验．
实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量y（%）与时间t（分钟）的关系，数据记录如表1：
电池充电状态
时间t（分钟） 0 10 30 60
增加的电量y（%） 0 10 30 60
实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量e（%）与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如表2：
汽车行驶过程
已行驶里程s（千米） 0 160 200 280
显示电量e（%） 100 60 50 30
【建立模型】（1）观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出y关于t的函数表达式及e关于s的函数表达式；
【解决问题】（2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点460千米处的目的地，若电动汽车行驶240千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为20%，则电动汽车在服务区充电多长时间？
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