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【全国通用】2024中考数学二轮复习（重难点题型突破）
8.1数学文化
数学文化问题是以数学文化为背景的题目，在数学文化视野下创设数学问题情境将数学知识、数学文化、数学方法等融为一体。在近几年的中考中，以数学文化为载体的试题越来越多。旨在考查学生在新情境下对知识的理解及迁移能力，提高学生的数学核心素养。
解决数学文化问题时，一般需要认真审题。理解題目所给内容的含义，将涉及的数学文化或数学问题转化为学过的知识，运用所学知识解决问题。
1）多掌握数学文化知识：通过对数学文化知识了解使学生对文化素养的提升，做题时能够做到有的放矢，减少对这类问题的恐惧心理。下面是中学阶段有关文化的命题角度：
（1）源于数学名著，如《九章算术》《算法统宗》《周髀算经》《律学新说》等；
（2）以数学成就为背景创设数学问题，如斐波那契数列、杨辉三角等；
（3）以数学故事为背景创设数学问题，如阿基里斯悖论、贝特朗悖论等；
（4）以数学名词、数学中有名的猜想或结论为背景创设数学问题，如阿波罗尼斯圆、哥德巴赫猜想、勾股定理、阿基米德三角形、蒙日圆等。这些内容在历年中考中时有考查， 因此在复习备考中，有意识地加强对这方面的训练是很有必要的，这有利于培养学生的探究、创新精神，拓宽思维视野，提升解题能力。
2）注意数学文化的译文：很多数学文化的题型都是选用的是中国传统数学文化，题目前面都是以文言文的形式出现，而后面都会给出译文，译文才是本题的关键题意，所以这类题的关键地方是在译文上理解。
3）提炼数学文化所考察的主干知识内容：数学文化题型都是以数学文化为背景来考查高中数学所学的知识内容，我们首先要明确数学文化反应的是我们所学的哪个知识，再进行解答。把不熟悉的数学文化知识转化为大家熟悉数学问题的结构上，脱去它伪装的外表，露出它的真实目的。
4）紧扣题目信息，发掘问题的本质：无论是以数学传统文化还是实际民生为载体的创新题，都要求学生们在短时间内读懂并理解一个陌生的数学问题的情景，然后运用所学的知识和已掌握的解题技能灵活的进行解题。这类问题的关键就是通过认真阅读，深刻理解题意，从中找到数学信息。提炼信息我们可以从这几方面入手：（1）紧扣信息，深刻发掘问题的本质；（2）紧扣信息，类比推理；（3）紧扣信息，探索出本质内容，并进行数学加工；（4）紧扣信息，摆脱传统思维约束，创新思维。
考向一　代数类数学文化问题
例1．（2023·上海杨浦·二模）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，那么2兆＝ ．（用科学记数法表示）
【答案】
【分析】2兆＝2×1万×1万×1亿＝2×1万×1万×1万×1万，根据同底数幂的乘法法则计算，结果表示成的形式即可．
【详解】解：2兆＝2×1万×1万×1亿＝2×1万×1万×1万×1万，
故答案为：．
【点睛】本题考查科学记数法、同底数幂的乘法，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则，以及科学记数法的表示方法．
例2．（2024·四川达州·模拟预测）图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．又依此定九章大法，治理社会，流传下来收入《尚书》中，名《洪范》．《易 系辞上》说：“河出图，洛出书，圣人则之”．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入3×3的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出x的值应为（　　）
A．或 B．1或 C．或4 D．1或4
【答案】A
【分析】本题考查幻方，解一元二次方程．根据幻方的规则得出方程是解题的关键．
根据幻方的规则，得出方程，再求解方程即可．
【详解】解∶设幻方所填数如图所示，
∴，，
由①得，由②
由得：，解得：，，故选：A．
例3．（2023·湖北襄阳·中考真题）我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为x步，根据题意列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设宽为x步，则长为步，根据题意列方程即可．
【详解】解：设宽为x步，则长为步，
由题意得：，故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意是关键．
例4．（2023·湖南张家界·中考真题）《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽” ．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210文购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设6210文购买椽的数量为x株，可得一株椽的价钱文，或文，从而可得答案．
【详解】设6210文购买椽的数量为x株，则一株椽的价钱为文，则；故选C
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．
例5．（23-24九年级·湖南株洲·自主招生）割圆术是我国古代数学家刘微创造的一种求周长和面积的算法：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．这一思想在数学领域中有广泛的应用．
例如：求的值．则可以设，根据上述思想方法有，解方程得；试用这个方法解决问题：（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】由可设，则，然后求解即可．
【详解】解：∵，
∴设，则，解得，即，故选：B．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题干中的解题方法，利用类比方法列方程求解是解答的关键．
例6．（2023·四川巴中·中考真题）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律．
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
当代数式的值为1时，则x的值为（ ）
A．2 B． C．2或4 D．2或
【答案】C
【分析】由规律可得：，令，，可得，再解方程即可．
【详解】解：由规律可得：，令，，
∴，∵，∴，
∴，∴或，故选：C．
【点睛】本题考查的是从题干信息中总结规律，一元二次方程的解法，灵活地应用规律解题是关键．
考向二　函数类数学文化问题
例1．（2023·湖北武汉·统考中考真题）皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积，其中分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知，，则内部的格点个数是（ ）
A．266 B．270 C．271 D．285
【答案】C
【分析】首先根据题意画出图形，然后求出的面积和边界上的格点个数，然后代入求解即可．
【详解】如图所示，

∵，，∴，
∵上有31个格点，上的格点有，，，，，，，，，，共10个格点，
上的格点有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共19个格点，
∴边界上的格点个数，∵，∴，∴解得．
∴内部的格点个数是271．故选：C．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，解决问题的关键是掌握数形结合的数学思想．
例2．（2023·湖北武汉·中考真题）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程（单位：步）关于善行者的行走时间的函数图象，则两图象交点的纵坐标是 ．

【答案】
【分析】设图象交点的纵坐标是m，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的．根据速度关系列出方程，解方程并检验即可得到答案．
【详解】解：设图象交点的纵坐标是m，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的．∴，解得，
经检验是方程的根且符合题意，∴两图象交点的纵坐标是．故答案为：
【点睛】此题考查从函数图象获取信息、列分式方程解决实际问题，数形结合和准确计算是解题关键．
例3．（2023·浙江衢州·中考真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．
素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1．
探究1 检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足．
探究2 当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围．
素材3 如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同．
探究3 若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
【答案】探究检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为；探究；
探究3：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为．
【分析】探究1：由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系，由待定系数法可得，将 代入得：；
探究2：由，知在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，故当时，，即可得；
探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，可得，即可解得答案．
【详解】探究由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系，
设，将其中一点代入得：，解得：，
，将其余各点一一代入验证，都符合关系式；将 代入得：；
答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为；
探究，在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，当时，，
，；
探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得，由探究1知，，解得，
答：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为．
【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，相似三角形的性质等知识，解题的关键是读懂题意，能将生活中的问题转化为数学问题加以解决．
例4．（2023·浙江台州·中考真题）【问题背景】
“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】
综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：
流水时间t/min 0 10 20 30 40
水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8
任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．

任务2 利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式．
【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3 （1）计算任务2得到的函数解析式的w值．（2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小．
【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案．
【答案】任务1：见解析；任务2：；任务3：（1），（2）；任务4：见解析
【分析】任务1：根据表格每隔10min水面高度数据计算即可；
任务2：根据每隔10min水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度h与流水时间t的是一次函数关系，由待定系数法求解；任务3：（1）先求出对应时间的水面高度，再按要求求w值；
（2）设，然后根据表格中数据求出此时w的值是关于k的二次函数解析式；由此求出w的值最小时k值即可；任务4：根据高度随时间变化规律，以相同时间刻画不同高度即可，类似如数轴三要素，有原点、正方向与单位长度．最大量程约为294min可以代替单位长度要素．
【详解】解：任务1：变化量分别为，；；
；；
任务2：设，∵时，，时，；
∴∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为．
任务3：（1）当时，，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
∴．
（2）设，则
．
当时，w最小．∴优化后的函数解析式为．
任务4：时间刻度方案要点：①时间刻度的0刻度在水位最高处；②刻度从上向下均匀变大；
③每0.102cm表示1min（1cm表示时间约为9.8min）．
【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的应用、方差的计算，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的函数值、二次函数的最值是解题的关键．
考向三　几何类数学文化问题
例1．（2023年湖南省娄底市中考数学真题）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的的面积为．的边a、b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，则．下列结论中正确的是（ ）
A．B． C．D．
【答案】A
【分析】本题利用三角函数间的关系和面积相等进行变形解题即可．
【详解】解：∵，，
∴ 即，
，，故选：A．
【点睛】本题考查等式利用等式的性质解题化简，熟悉是解题的关键．
例2．（2023·安徽·统考中考真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时， ．

【答案】
【分析】根据公式求得，根据，即可求解．
【详解】解：∵，，∴
∴,故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的高的定义，正确的使用公式是解题的关键．
例3．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，过作平面镜，可得，，而，再建立方程，可得，从而可得答案．
【详解】解：如图，过作平面镜，

∴，，
而，∴，
∴，∴，故选B．
【点睛】本题考查的是垂直的定义，角的和差运算，角平分线的含义，属于跨学科题，熟记基础概念是解本题的关键．
例4．（2023·湖南常德·中考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图．是以O为圆心，为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，．“会圆术”给出长l的近似值s计算公式：，当，时， ．（结果保留一位小数）
【答案】0.1
【分析】由已知求得与的值，代入得弧长的近似值，利用弧长公式可求弧长的值，进而即可得解．
【详解】∵，∴，
∵C是弦的中点，D在上，，∴延长可得O在上，
∴，∴，
，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查扇形的弧长，掌握垂径定理。弧长公式是关键．
例5．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）2002年的国际数学家大会在中国北京举行，这是21世纪全世界数学家的第一次大聚会．这次大会的会徽选定了我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，世人称之为“赵爽弦图”．如图，用四个全等的直角三角形（）拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接和，与、、分别相交于点P、O、Q，若，则的值是 ．

【答案】
【分析】设，，则，证明，利用相似三角形的性质求出，可得，，利用勾股定理求出和，进而可得的长，再证明，可得，然后据正方形的性质求出，即可得出答案．
【详解】解：设，，则，
∵，，∴，∴，
∵，∴，，∴，
∴，整理得：，解得：，（舍去），
即，∴，，∴，，
∴，∴∴，
∵四边形是正方形，∴，，
又∵，∴，∴，
又∵，∴，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程以及二次根式的混合运算等知识，证明，求出的长是解题的关键．
例6．（2023·河南平顶山·二模）提出问题：古希腊数学家欧几里得（约公元前325——公元前265），被称为“几何学之父”．在其所著的《几何原本》中，包含了5条公理、5条公设、23个定义和467个命题，即先提出公理、公设和定义，再由简到繁予以证明，并在此基础上形成了欧式几何学体系．《几何原本》第3卷给出其中一个命题：如果圆外的一点向圆引两条直线，一条与圆相切，一条穿过圆，那么被圆截得的线段与该点到凸圆之间的线段为边构成的矩形的面积等于以该点向圆引的切线所构成的正方形的面积．如图1，上述结论可表示为，你能说明其中的道理吗？
探索问题：小明在探究的过程中发现，线段的位置有两种情况，即过圆心和不过圆心．
如图2，当经过圆心时，小明同学进行了如下推理：连接，易得，又，所以，可得对应边成比例，进而可知，当经过圆心时，得．当不经过圆心时，请补全下列推理过程．
(1)已知：如图3，为的切线，为切点，与相交于，两点，连接，．求证：．证明：　　．
(2)解决问题：如图4，已知为的直径，为延长线上一点，切于点，连接，若，，请直接写出的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）连接并延长，交于点，连接，由圆周角定理可得，根据三角形内角和定理得，由切线的性质得，即，进而可得，再根据圆周角定理可得，于是得到，以此可证明，利用相似三角形的性质即可得到证明；（2）连接、，易证明，利用相似三角形的性质可得，进而得到，，于是得，设，则，在中，利用勾股定理建立方程求出的值，进而求出的长．
【详解】（1）证明：如图，连接并延长，交于点，连接，
为的直径，，，
为的切线，为切点，，即，，
，，，
又，，，；
（2）解：如图，连接、，
为的直径，，即，
为的切线，，即，，
，，又，，
，即，，，
，设，则，
在中，，，
解得：，（不合题意，舍去），．
【点睛】本题主要考查切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理，解题关键是根据题干所给条件，证明三角形相似，利用相似三角形的性质解决问题．
考向四　概率统计类数学文化问题
例1．（23-24九年级上·山东菏泽·期中）“田忌赛马”的故事家喻户晓，若田忌出马的顺序一直是下等马、中等马、上等马（上等马跑得最快，中等马次之，下等马跑得最慢），而齐王随机出马，则田忌获胜（三局两胜则为胜）的可能性是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】列举出所有等可能的情况，看符合要求的情况占总情况数的多少即可．
【详解】解：当齐王随机出马时，双方对阵情况如下：
齐王的马 上中下 上下中 中上下 中下上 下上中 下中上
田忌的马 下中上 下中上 下中上 下中上 下中上 下中上
输赢情况 平局 田忌胜 齐王胜 平局 平局 平局
由上表可知，齐王出战顺序共有6种等可能的情况，只有顺序为上、下、中时，田忌获胜，因此田忌获胜（三局两胜则为胜）的可能性是．故选D．
【点睛】本题属于古典概率题，考查列表法或画树状图法求概率，解题的关键是列举时做到不重复、不遗漏．
例2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）如图，“中国七巧板”是由七个几何图形组成的正方形，其中1、2、3、5、7是等腰直角三角形，4是正方形，6是平行四边形．一只体型微小的小虫在七巧板上随机停留，则刚好停在6号板区域的概率是 ．

【答案】/
【分析】本题考查概率的应用，设围成的正方形的边长为a，算出6号板的面积与整体正方形的面积比即可知道答案．
【详解】解：设围成的正方形的边长为a，则正方形的对角线长为，
五号板的直角边为，∴六号板的一边为，另一边为：
∴六号板的面积为 正方形的面积为：
所以停在1号板区域的概率是 故答案为：
例3．（2021·福建·中考真题）“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马，田忌也有上、中、下三匹马，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：（注：表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例．
假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：
（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率．
【答案】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜，；（2）不是，田忌获胜的所有对阵是，，，，，，
【分析】（1）通过理解题意分析得出结论，通过列举法求出获胜的概率；
（2）通过列举齐王的出马顺序和田忌获胜的对阵，求出概率．
【详解】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜．此时，比赛的所有可能对阵为：，，，，共四种．
其中田忌获胜的对阵有，，共两种，故此时田忌获胜的概率为．
（2）不是．齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是．
综上所述，田忌获胜的所有对阵是，，，
，，．
齐王的出马顺序为时，比赛的所有可能对阵是，，，，，，
共6种，同理，齐王的其他各种出马顺序，也都分别有相应的6种可能对阵，
所以，此时田忌获胜的概率．
【点睛】本小题考查简单随机事件的概率等基础知识，考查推理能力、应用意识，考查统计与概率思想；通过列举所有对阵情况，求得概率是解题的关键．
一、选择题
1．（2024·广东佛山·一模）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：通过圆内接正多边形割圆，边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．如图，由圆内接正六边形可算出．若利用圆内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了圆内接多边形的性质，解直角三角形等知识，读懂题意，计算出正十二边形的周长是解题的关键．利用圆内接正十二边形的性质求出，再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接边点O作，
在正十二边形中，，，
，，，，故选：C
2．（2022·湖北襄阳·中考真题）九章算术是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【详解】解：规定时间为天，
慢马所需的时间为天，快马所需的时间为天，
又快马的速度是慢马的倍，可列出方程．故选：A．
3．（2023·四川遂宁·中考真题）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个题目：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金，银各重几何？其大意是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），两袋重量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金，白银各重几两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系：①枚黄金的重量11枚白银的重量；②枚白银的重量枚黄金的重量1枚白银的重量枚黄金的重量两．
【详解】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组为，故选：B．
4．（2023·山东日照·中考真题）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设人数为x，根据每人出9钱，会多出11钱，可得鸡的价格为钱，根据每人出6钱，又差16钱，可得鸡的价格为钱，由此列出方程即可．
【详解】解：设人数为x，由题意得，，故选D．
【点睛】本题考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
5．（2023·浙江绍兴·中考真题）《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容是单位）；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛．问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为斛，小容器的容量为斛，则可列方程组是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，根据“大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组．
【详解】解：设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，
根据题意得：．故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．
6．（2023·甘肃兰州·中考真题）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在的延长线及上取点A，B，使；（3）连接，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线．按以上作图顺序，若，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】证明，可得，结合，C为的中点，可得．
【详解】解：∵，，∴，∴，
∵，C为的中点，∴，故选A．
【点睛】本题考查的是圆的基本性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形的外角的性质，熟记等腰三角形的性质是解本题的关键．
7．（23-24九年级上·浙江温州·期中）我国伟大的数学家刘徽于公元263年攥《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（如图1）．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图2，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，可以作出一个圆内接正十二边形，点为的中点，连结交于点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设正六边形的外接圆的圆心为O，连接、、、，则，所以心O在上，由点G为的中点，得，可求得，由是等边三角形，得，则，所以，则，作交于点I，则，所以，则，，于是得，再利用，得，则，即可求得答案．
【详解】解：如图，设正六边形的外接圆的圆心为O，连接、、、．
∵，
∴，，∴圆心在上，
∵点G为的中点，∴，
∵，∴，
∵，，∴是等边三角形．∴，
∵，∴，∴，
作交于点I，则，∴，
∵，∴，∵，
∴，∴，∵，，
∴，∴，∴．故选∶A.
【点睛】本题重点考查正多边形与圆、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
8．（2023年浙江省杭州市中考数学真题）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．设，若正方形与正方形的面积之比为，则（ ）

A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】设，，首先根据得到，然后表示出正方形的面积为，正方形的面积为，最后利用正方形与正方形的面积之比为求解即可．
【详解】设，，∵，，
∴，即，∴，整理得，∴，
∵，∴，
∴正方形的面积为，∵正方形的面积为，
∵正方形与正方形的面积之比为，∴，∴解得．故选：C．
【点睛】此题考查勾股定理，解直角三角形，赵爽“弦图”等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
二、填空题
9．（2022·江苏扬州·中考真题）掌握地震知识，提升防震意识．根据里氏震级的定义，地震所释放出的能量与震级的关系为（其中为大于0的常数），那么震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的 倍．
【答案】1000
【分析】分别求出震级为８级和震级为6级所释放的能量，然后根据同底数幂的除法即可得到答案．
【详解】解：根据能量与震级的关系为（其中为大于0的常数）可得到，
当震级为8级的地震所释放的能量为：，
当震级为6级的地震所释放的能量为：，
，震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的1000倍．
故答案为：1000．
【点睛】本题考查了利用同底数幂的除法底数不变指数相减的知识，充分理解题意并转化为所学数学知识是解题的关键．
10．（2023·湖南·统考中考真题）《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则 度．

【答案】//．
【分析】根据矩、宣、欘的概念计算即可．
【详解】解：由题意可知，矩，欘宣矩，
，故答案为：．
【点睛】本题考查了新概念的理解，直角三角形锐角互余，角度的计算；解题的关键是新概念的理解，并正确计算．
11．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）我国南宋著名数学家杨辉精研数学，著有《详解九章算法》，对数的运算进行了深入研究与总结．类比其中的思想方法，可以解决很多数与式的计算问题．现已知a，b为实数，且，计算可得：，，，…，由此求得 ．
【答案】
【分析】先据题意求出，进而推出，由此代值计算即可．
【详解】解：∵，，∴，∴，
∴，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，因式分解的应用，正确推出是解题的关键．
12．（2023年北京市中考数学真题）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下：
①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行；②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；
③各道工序所需时间如下表所示：
工序 A B C D E F G
所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2
在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要 分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要 分钟．
【答案】 53 28
【分析】将所有工序需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做工序A，乙学生同时做工序B；然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G；最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，然后可得答案．
【详解】解：由题意得：（分钟），
即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟；假设这两名学生为甲、乙，
∵工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，且工序A，B都需要9分钟完成，∴甲学生做工序A，乙学生同时做工序B，需要9分钟，
然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G，需要9分钟，
最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，需要10分钟，
∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要（分钟），故答案为：53，28；
【点睛】本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据加工要求得出加工顺序是解题的关键．
13．（2024·河北邯郸·二模）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中，有一种特殊的三角形幻方，是由4个较小的三角形和3个较大的三角形构成，且满足每个三角形三个顶点处的数之和相等．如图1是这种特殊三角形幻方，阴影部分的三角形三个顶点处的数之和为，该图中每个三角形三个顶点处的数字之和都为15，图2是这种特殊的三角形幻方．（1）若图2满足三角形三个顶点处的数之和为15，，则 ；处的数值为 ；（2）的值为 ．
【答案】 12 1
【分析】本题考查一元一次方程的应用，整式的加减运算．
（1）根据三角形三个顶点处的数之和为15，得到，，将代入计算即可；（2）先根据每个三角形三个顶点处的数之和相等求出A、B，即可得到答案．
【详解】解：（1）由题意，得：，，
∵，∴，∴；故答案为：；
（2）∵，∴
∵，∴，
∵，∴；故答案为：．
14．（2023·内蒙古呼和浩特·二模）在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在…中．“…”代表按规律不断求和，设．则有，解得，故．类似地的结果为 ．
【答案】
【分析】设，仿照例题进行求解即可．
【详解】设，则，
，解得，，即．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了类比推理，一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解题的关键．
15．（23-24九年级上·山东潍坊·期末）据《史记》记载，战国时期，齐威王和他的大臣田忌各有上、中、下三匹马．在同等级的马中，齐威王的马比田忌的马跑得快，但每人较高等级的马都比对方较低等级的马跑得快．有一天，齐威王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马只赛一次，赢得两局者为胜．如果齐威王首局出上马，田忌首局出下马，则田忌获胜的概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．由题意可知，首局齐威王获胜．画树状图得出所有等可能的结果数以及田忌赢得两局的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：由题意可知，首局齐威王获胜．画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中田忌赢得两局的结果有：（中下，上中），（下中，中上），共2种，
∴田忌获胜的概率为．故答案为：．
16．（2023·浙江温州·中考真题）图1是方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为，现将它剪拼成一个“房子”造型(如图2)，过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形作为题字区域(点，，，在圆上，点，在上)，形成一幅装饰画，则圆的半径为 ．若点，，在同一直线上，，，则题字区域的面积为 ．

【答案】 5
【分析】根据不共线三点确定一个圆，根据对称性得出圆心的位置，进而垂径定理、勾股定理求得，连接，取的中点，连接，在中，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，依题意，，∵过左侧的三个端点作圆，，
又，∴在上，连接，则为半径，
∵，在中，∴解得：；
连接，取的中点，连接，交于点，连接，，

∵， ∴，∴，∵点，，在同一直线上，
∴，∴，又，∴
∵，∴∴
∵∴∴，
∵，设，则
在中，即
整理得即解得：或
∴题字区域的面积为故答案为：；．
【点睛】本题考查了垂径定理，平行线分线段成比例，勾股定理，七巧板，熟练掌握以上知识是解题的关键．
三、解答题
17．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸……”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整．
如图2所示，在车轮上取A、B两点，设弧所在圆的圆心为O，半径为．作弦的垂线，D为垂足，则D是的中点.其推理的依据是：______．
连接、，经测量，，，
在中，由勾股定理可列出关于的方程：______．解得______．
通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．
【答案】垂直弦（非直径）的直径平分弦，，
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
【详解】解：如图所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为．作弦的垂线，D为垂足，则D是的中点．其推理依据是：垂直弦（非直径）的直径平分弦．
经测量：，，则；
用含的代数式表示，．
在中，由勾股定理可列出关于的方程：，解得．
通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．
故答案为：垂直弦（非直径）的直径平分弦，，．
18．（2023·云南文山·一模）田忌赛马的故事为我们熟知，在学习概率知识后老师设计了如下游戏：已知甲、乙两人手中各有牌面数字为2、5、7和3、6、8的三张扑克牌，每次同时各出一张牌（打出的牌不收回），谁的牌数字大谁赢．
(1)若甲、乙将手中的牌随机抽出一张，一局定胜负，请用列表或画树状图的方法，比较谁的获胜机会比较大？
(2)若规定三局两胜者为胜，已知乙按从小到大的顺序出牌，甲应该怎样出牌，才能保证获胜？
【答案】(1)乙获胜的机会比较大，见解析
(2)甲第一张出5，第二张出7，第三张出2可以保证获胜
【分析】（1）先列表求出等可能出现的结果所有等可能出现的结果数、甲获胜的结果数和乙获胜的结果数，再分别求出甲、乙获胜的概率，然后再比较即可解答；
（2）先根据题意列出乙的出牌，然后根据游戏规则确定甲的出牌即可．
【详解】（1）解：所有可能出现的结果列表如下：
由表可知共有9种等可能出现的结果，其中甲获胜的有3种，
∴，．∴乙获胜的机会比较大 ．
（2）解：由题意可知乙的出牌：3,6,8则甲第一张出5，第二张出7，第三张出2可以保证获胜．
【点睛】本题主要考查了运用列表法求概率、概率在游戏中的应用等知识点，灵活运用概率是解答本题的关键．
19．（2024·河南周口·一模）欧几里得是古希腊最盛名、最有影响力的数学家之一，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，被广泛认为是历史上最成功的教科书．
小明在阅读《几何原本》时，看到定理3.32的叙述：如果一条直线切于一个圆，而且由切点作一条过圆内部的直线与圆相截，该直线与切线所成的角等于另一弓形上的角．
小明尝试证明这个定理，他作出如下图形，通过分析，发现若证明这个定理，需研究与的关系．请帮助小明写出已知，求证，并证明．
已知：如图，中，_____________，点为劣弧上一点，连接，．
求证：_________________．
【答案】已知：直线切于点，过的直线交于点
求证：，证明过程见解析
【分析】本题主要考查切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，延长交于点，连接，根据切线的性质和圆周角定理可得，进而可证明，再根据圆内接四边形的性质可得，结合，即可证明结论．
【详解】已知：直线切于点，过的直线交于点，求证：．
证明：如图，连接，延长交于点，连接，
由题意得，，
∴，，∴，
又∵四边形为圆内接四边形，∴，
∵，∴．
20．（2023·河南平顶山·二模）阅读材料：北师大版七年级下册教材24页为大家介绍了杨辉三角．
杨辉三角如果将为非负整数）的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：，它只有一项，系数为1；，它有两项，系数分别为1，1；，它有三项，系数分别为1，2，1；，它有四项，系数分别为1，3，3，1；将上述每个式子的各项系数排成该表．观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写．该表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，而他是摘录自北宋时期数学家贾宪著的《开方作法本源》中的“开方作法本源图”，因而人们把这个表叫做杨辉三角或贾宪三角，在欧洲这个表叫做帕斯卡三角形．帕斯卡（B．Pascal，1623——1662）是1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年．
(1)应用规律：①直接写出的展开式，　　；
②的展开式中共有 　　项，所有项的系数和为 　　；
(2)代数推理：已知m为整数，求证：能被18整除．
【答案】(1)①；②7，64(2)见解析
【分析】本题考查了数字规律，多项式乘法，因式分解的应用，找出本题的数字规律是正确解题的关键．（1）直接利用已知式子中系数变化规律进而得出答案；（2）直接利用已知式子中系数变化规律进而得出答案．
【详解】（1）解：根据规律得：
①；
②，
的展开式中共有7项，所有项的系数和为；
故答案为：，7，64；
（2）证明：，
，
能被18整除．
21．（23-24九年级·江西吉安·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：．
【模型呈现】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2），即“一线三等角”模型和“K字”模型．
（1）请在上图2中选择其中一个模型进行证明．
【模型应用】（2）如图3，正方形中，，，求的面积．（3）如图4，四边形中，，，，，，求的面积．

【答案】（1）详见解析（2）（3）
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解答关键是在题目应用全等模型进行证明．
（1）应用证明三角形全等即可； （2）过C作延长线的垂线，垂足为F，证明，得到，求的面积即可；（3）分别过C和E作延长线的垂线、，垂足分别为G、H，证明，得到边上的高为1，求的面积即可；
【详解】证：（1）例如选第一个图形可证（同理可证第二个）

∵，∴
又∵，，∴
（2）过C作延长线的垂线，垂足为F，

则由（1）易得，∴，即边上的高为4，
∴．
（3）分别过C和E作延长线的垂线、，垂足分别为G、H，
则由（1）易得，
又∵四边形是矩形，∴，∴，
∴，即边上的高为1，∴．
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【全国通用】2024中考数学二轮复习（重难点题型突破）
8.1数学文化
数学文化问题是以数学文化为背景的题目，在数学文化视野下创设数学问题情境将数学知识、数学文化、数学方法等融为一体。在近几年的中考中，以数学文化为载体的试题越来越多。旨在考查学生在新情境下对知识的理解及迁移能力，提高学生的数学核心素养。
解决数学文化问题时，一般需要认真审题。理解題目所给内容的含义，将涉及的数学文化或数学问题转化为学过的知识，运用所学知识解决问题。
1）多掌握数学文化知识：通过对数学文化知识了解使学生对文化素养的提升，做题时能够做到有的放矢，减少对这类问题的恐惧心理。下面是中学阶段有关文化的命题角度：
（1）源于数学名著，如《九章算术》《算法统宗》《周髀算经》《律学新说》等；
（2）以数学成就为背景创设数学问题，如斐波那契数列、杨辉三角等；
（3）以数学故事为背景创设数学问题，如阿基里斯悖论、贝特朗悖论等；
（4）以数学名词、数学中有名的猜想或结论为背景创设数学问题，如阿波罗尼斯圆、哥德巴赫猜想、勾股定理、阿基米德三角形、蒙日圆等。这些内容在历年中考中时有考查， 因此在复习备考中，有意识地加强对这方面的训练是很有必要的，这有利于培养学生的探究、创新精神，拓宽思维视野，提升解题能力。
2）注意数学文化的译文：很多数学文化的题型都是选用的是中国传统数学文化，题目前面都是以文言文的形式出现，而后面都会给出译文，译文才是本题的关键题意，所以这类题的关键地方是在译文上理解。
3）提炼数学文化所考察的主干知识内容：数学文化题型都是以数学文化为背景来考查高中数学所学的知识内容，我们首先要明确数学文化反应的是我们所学的哪个知识，再进行解答。把不熟悉的数学文化知识转化为大家熟悉数学问题的结构上，脱去它伪装的外表，露出它的真实目的。
4）紧扣题目信息，发掘问题的本质：无论是以数学传统文化还是实际民生为载体的创新题，都要求学生们在短时间内读懂并理解一个陌生的数学问题的情景，然后运用所学的知识和已掌握的解题技能灵活地进行解题。这类问题的关键就是通过认真阅读，深刻理解题意，从中找到数学信息。提炼信息我们可以从这几方面入手：（1）紧扣信息，深刻发掘问题的本质；（2）紧扣信息，类比推理；（3）紧扣信息，探索出本质内容，并进行数学加工；（4）紧扣信息，摆脱传统思维约束，创新思维。
考向一　代数类数学文化问题
例1．（2023·上海杨浦·二模）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，那么2兆＝ ．（用科学记数法表示）
例2．（2024·四川达州·模拟预测）图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．又依此定九章大法，治理社会，流传下来收入《尚书》中，名《洪范》．《易 系辞上》说：“河出图，洛出书，圣人则之”．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入3×3的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出x的值应为（　　）
A．或 B．1或 C．或4 D．1或4
例3．（2023·湖北襄阳·中考真题）我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为x步，根据题意列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
例4．（2023·湖南张家界·中考真题）《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽” ．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210文购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A． B． C． D．
例5．（23-24九年级·湖南株洲·自主招生）割圆术是我国古代数学家刘微创造的一种求周长和面积的算法：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．这一思想在数学领域中有广泛的应用．
例如：求的值．则可以设，根据上述思想方法有，解方程得；试用这个方法解决问题：（ ）
A．2 B． C．3 D．
例6．（2023·四川巴中·中考真题）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律．
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
当代数式的值为1时，则x的值为（ ）
A．2 B． C．2或4 D．2或
考向二　函数类数学文化问题
例1．（2023·湖北武汉·统考中考真题）皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积，其中分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知，，则内部的格点个数是（ ）
A．266 B．270 C．271 D．285
例2．（2023·湖北武汉·中考真题）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程（单位：步）关于善行者的行走时间的函数图象，则两图象交点的纵坐标是 ．

例3．（2023·浙江衢州·中考真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．
素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1．
探究1 检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足．
探究2 当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围．
素材3 如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同．
探究3 若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
例4．（2023·浙江台州·中考真题）【问题背景】
“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】
综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：
流水时间t/min 0 10 20 30 40
水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8
任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．

任务2 利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式．
【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3 （1）计算任务2得到的函数解析式的w值．（2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小．
【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案．
考向三　几何类数学文化问题
例1．（2023年湖南省娄底市中考数学真题）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的的面积为．的边a、b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，则．下列结论中正确的是（ ）
A．B． C．D．
例2．（2023·安徽·统考中考真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时， ．

例3．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角（ ）

A． B． C． D．
例4．（2023·湖南常德·中考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图．是以O为圆心，为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，．“会圆术”给出长l的近似值s计算公式：，当，时， ．（结果保留一位小数）
例5．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）2002年的国际数学家大会在中国北京举行，这是21世纪全世界数学家的第一次大聚会．这次大会的会徽选定了我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，世人称之为“赵爽弦图”．如图，用四个全等的直角三角形（）拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接和，与、、分别相交于点P、O、Q，若，则的值是 ．

例6．（2023·河南平顶山·二模）提出问题：古希腊数学家欧几里得（约公元前325——公元前265），被称为“几何学之父”．在其所著的《几何原本》中，包含了5条公理、5条公设、23个定义和467个命题，即先提出公理、公设和定义，再由简到繁予以证明，并在此基础上形成了欧式几何学体系．《几何原本》第3卷给出其中一个命题：如果圆外的一点向圆引两条直线，一条与圆相切，一条穿过圆，那么被圆截得的线段与该点到凸圆之间的线段为边构成的矩形的面积等于以该点向圆引的切线所构成的正方形的面积．如图1，上述结论可表示为，你能说明其中的道理吗？
探索问题：小明在探究的过程中发现，线段的位置有两种情况，即过圆心和不过圆心．
如图2，当经过圆心时，小明同学进行了如下推理：连接，易得，又，所以，可得对应边成比例，进而可知，当经过圆心时，得．当不经过圆心时，请补全下列推理过程．
(1)已知：如图3，为的切线，为切点，与相交于，两点，连接，．求证：．证明：　　．
(2)解决问题：如图4，已知为的直径，为延长线上一点，切于点，连接，若，，请直接写出的长．
考向四　概率统计类数学文化问题
例1．（23-24九年级上·山东菏泽·期中）“田忌赛马”的故事家喻户晓，若田忌出马的顺序一直是下等马、中等马、上等马（上等马跑得最快，中等马次之，下等马跑得最慢），而齐王随机出马，则田忌获胜（三局两胜则为胜）的可能性是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）如图，“中国七巧板”是由七个几何图形组成的正方形，其中1、2、3、5、7是等腰直角三角形，4是正方形，6是平行四边形．一只体型微小的小虫在七巧板上随机停留，则刚好停在6号板区域的概率是 ．

例3．（2021·福建·中考真题）“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马，田忌也有上、中、下三匹马，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：（注：表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例．
假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：
（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率．
一、选择题
1．（2024·广东佛山·一模）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：通过圆内接正多边形割圆，边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．如图，由圆内接正六边形可算出．若利用圆内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率约为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖北襄阳·中考真题）九章算术是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·四川遂宁·中考真题）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个题目：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金，银各重几何？其大意是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），两袋重量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金，白银各重几两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·山东日照·中考真题）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·浙江绍兴·中考真题）《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容是单位）；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛．问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为斛，小容器的容量为斛，则可列方程组是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·甘肃兰州·中考真题）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在的延长线及上取点A，B，使；（3）连接，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线．按以上作图顺序，若，则（ ）

A． B． C． D．
7．（23-24九年级上·浙江温州·期中）我国伟大的数学家刘徽于公元263年攥《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（如图1）．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图2，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，可以作出一个圆内接正十二边形，点为的中点，连结交于点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023年浙江省杭州市中考数学真题）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．设，若正方形与正方形的面积之比为，则（ ）

A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题
9．（2022·江苏扬州·中考真题）掌握地震知识，提升防震意识．根据里氏震级的定义，地震所释放出的能量与震级的关系为（其中为大于0的常数），那么震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的 倍．
10．（2023·湖南·统考中考真题）《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则 度．

11．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）我国南宋著名数学家杨辉精研数学，著有《详解九章算法》，对数的运算进行了深入研究与总结．类比其中的思想方法，可以解决很多数与式的计算问题．现已知a，b为实数，且，计算可得：，，，…，由此求得 ．
12．（2023年北京市中考数学真题）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下：
①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行；②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；
③各道工序所需时间如下表所示：
工序 A B C D E F G
所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2
在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要 分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要 分钟．
13．（2024·河北邯郸·二模）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中，有一种特殊的三角形幻方，是由4个较小的三角形和3个较大的三角形构成，且满足每个三角形三个顶点处的数之和相等．如图1是这种特殊三角形幻方，阴影部分的三角形三个顶点处的数之和为，该图中每个三角形三个顶点处的数字之和都为15，图2是这种特殊的三角形幻方．（1）若图2满足三角形三个顶点处的数之和为15，，则 ；处的数值为 ；（2）的值为 ．
14．（2023·内蒙古呼和浩特·二模）在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在…中．“…”代表按规律不断求和，设．则有，解得，故．类似地的结果为 ．
15．（23-24九年级上·山东潍坊·期末）据《史记》记载，战国时期，齐威王和他的大臣田忌各有上、中、下三匹马．在同等级的马中，齐威王的马比田忌的马跑得快，但每人较高等级的马都比对方较低等级的马跑得快．有一天，齐威王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马只赛一次，赢得两局者为胜．如果齐威王首局出上马，田忌首局出下马，则田忌获胜的概率是 ．
16．（2023·浙江温州·中考真题）图1是方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为，现将它剪拼成一个“房子”造型(如图2)，过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形作为题字区域(点，，，在圆上，点，在上)，形成一幅装饰画，则圆的半径为 ．若点，，在同一直线上，，，则题字区域的面积为 ．

三、解答题
17．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸……”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整．
如图2所示，在车轮上取A、B两点，设弧所在圆的圆心为O，半径为．作弦的垂线，D为垂足，则D是的中点.其推理的依据是：______．
连接、，经测量，，，
在中，由勾股定理可列出关于的方程：______．解得______．
通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．
18．（2023·云南文山·一模）田忌赛马的故事为我们熟知，在学习概率知识后老师设计了如下游戏：已知甲、乙两人手中各有牌面数字为2、5、7和3、6、8的三张扑克牌，每次同时各出一张牌（打出的牌不收回），谁的牌数字大谁赢．(1)若甲、乙将手中的牌随机抽出一张，一局定胜负，请用列表或画树状图的方法，比较谁的获胜机会比较大？(2)若规定三局两胜者为胜，已知乙按从小到大的顺序出牌，甲应该怎样出牌，才能保证获胜？
19．（2024·河南周口·一模）欧几里得是古希腊最盛名、最有影响力的数学家之一，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，被广泛认为是历史上最成功的教科书．
小明在阅读《几何原本》时，看到定理3.32的叙述：如果一条直线切于一个圆，而且由切点作一条过圆内部的直线与圆相截，该直线与切线所成的角等于另一弓形上的角．
小明尝试证明这个定理，他作出如下图形，通过分析，发现若证明这个定理，需研究与的关系．请帮助小明写出已知，求证，并证明．
已知：如图，中，_____________，点为劣弧上一点，连接，．
求证：_________________．
20．（2023·河南平顶山·二模）阅读材料：北师大版七年级下册教材24页为大家介绍了杨辉三角．
杨辉三角如果将为非负整数）的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：，它只有一项，系数为1；，它有两项，系数分别为1，1；，它有三项，系数分别为1，2，1；，它有四项，系数分别为1，3，3，1；将上述每个式子的各项系数排成该表．观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写．该表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，而他是摘录自北宋时期数学家贾宪著的《开方作法本源》中的“开方作法本源图”，因而人们把这个表叫做杨辉三角或贾宪三角，在欧洲这个表叫做帕斯卡三角形．帕斯卡（B．Pascal，1623——1662）是1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年．
(1)应用规律：①直接写出的展开式，　　；
②的展开式中共有 　　项，所有项的系数和为 　　；
(2)代数推理：已知m为整数，求证：能被18整除．
21．（23-24九年级·江西吉安·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：．
【模型呈现】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2），即“一线三等角”模型和“K字”模型．
（1）请在上图2中选择其中一个模型进行证明．
【模型应用】（2）如图3，正方形中，，，求的面积．（3）如图4，四边形中，，，，，，求的面积．

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