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备考2024中考二轮数学《高频考点冲刺》（全国通用）
专题9 反比例函数问题
考点扫描☆聚焦中考
近几年各地中考涉及本知识点的题目主要以选择题或填空题的形式出现，少数题目以解答题的形式出现,属于中档题；考查内容主要有：反比例函数的概念；反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数解析式的确定；反比例函数的应用；考查热点主要有：反比例函数的性质及其解析式的确定；反比例函数与一次函数交点的综合应用；反比例函数与三角形、四边形等几何图形相关的计算和证明。
考点剖析☆典型例题
例1（2023 襄阳）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+k与反比例函数y＝的图象可能是（　　）
A．B． C． D．
【答案】A
【点拨】根据一次函数和反比例函数的解析式，可分为两种情况进行讨论：①当k＞0时，一次函数y＝kx+k经过第一、二、三象限；反比例函数y＝k/x的图象在第一、三象限；②当k＜0时，一次函数y＝kx+k经过第二、三、四象限；反比例函数y＝k/x的图象在第二、四象限；据此可得出答案．
【解析】解：分两种情况进行讨论：
①当k＞0时，一次函数y＝kx+k经过第一、二、三象限；反比例函数y＝k/x的图象在第一、三象限；
②当k＜0时，一次函数y＝kx+k经过第二、三、四象限；反比例函数y＝k/x的图象在第二、四象限；
∴一次函数y＝kx+k与反比例函数y＝k/x的图象可能是A．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一次函数的图象和反比例函数的图象，熟练掌握一次函数得图象、反比例函数图象与系数的关系是解答此题的关键．
例2（2023 武汉）关于反比例函数，下列结论正确的是（　　）
A．图象位于第二、四象限 B．图象与坐标轴有公共点
C．图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小 D．图象经过点（a，a+2），则a＝1
【答案】C
【点拨】利用反比例函数的图象和性质进而分析得出答案．
【解析】解：反比例函数，图象在第一、三象限，与坐标轴没有交点，故A选项错误，B选项错误；
反比例函数，在每一个象限内，y随着x的增大而减小，故C选项正确；
反比例函数图象经过点（a，a+2），
∴a（a+2）＝3，
解得a＝1或a＝﹣3，
故D选项错误，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
例3（2023 宜昌）某反比例函数图象上四个点的坐标分别为（﹣3，y1），（﹣2，3），（1，y2），（2，y3），则，y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2
【答案】C
【点拨】根据反比例函数经过点（﹣2，3）求出其解析式，然后把x＝﹣3，x＝1，x＝2分别代入解析式，求出函数值，进行比较即可得出答案．
【解析】解：设反比例函数的解析式为（k≠0），
∵它的图象经过点（﹣2，3），
∴k＝﹣2×3＝﹣6，
∴反比例函数的解析式，
当x＝﹣3时，，
当x＝1时，，
当x＝2时，，
∴y2＜y3＜y1，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
例4（2023 张家界）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上，且AD＝AB，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，连接OD，OM，DM．若△ODM的面积为3，则k的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【点拨】设B点的坐标为（a，b），根据矩形对称中心的性质得出延长OM恰好经过点B，M（，），确定D（，b），然后结合图形及反比例函数的意义，得出S△ODM＝S△AOB﹣S△AOD﹣S△BDM＝3，代入求解即可．
【解析】解：解法一：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB＝OC，OA＝BC，设B点的坐标为（a，b），
∵矩形OABC的对称中心M，
∴延长OM恰好经过点B，M（，），
∵点D在AB上，且 AD＝AB，
∴D（，b），
∴BD＝a，
∴S△BDM＝BD h＝×a×（b﹣）＝ab，
∵D在反比例函数的图象上，
∴ab＝k，
∵S△ODM＝S△AOB﹣S△AOD﹣S△BDM＝ab﹣k﹣ab＝3，
∴ab＝16，
∴k＝ab＝4，
解法二：连接BM，因为点M是矩形的对称中心，
∴三角形DMO的面积＝三角形DMB的面积，
则三角形DBO的面积为6，
∵AD＝1/4AB，
∴AD：DB＝1：3，
∴三角形ADO的面积：三角形DBO的面积为1：3，
即三角形ADO的面积为2，
∴K＝4．
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
例5 40．（2023 宁波）如图，一次函数y1＝k1x+b（k1＞0）的图象与反比例函数y2＝（k2＞0）的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为1，点B的横坐标为﹣2，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣2或x＞1 B．x＜﹣2或0＜x＜1 C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．﹣2＜x＜0或0＜x＜1
【答案】B
【点拨】根据图象即可．
【解析】解：由图象可知，当y1＜y2时，x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜1，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，不等式的解集就是其所对应的函数图象上满足条件的所有点的横坐标的集合．
例6（2023 宁夏）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压p（KPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）当气球内的气压超过150KPa时，气球会爆炸，若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式V＝πr3，π取3）；
（2）请你利用p与V的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．
【答案】（1）气球的半径至少为0.2m时，气球不会爆炸；
（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
【点拨】（1）设函数关系式为p＝，用待定系数法可得，即可得当p＝150时，，从而求出r＝0.2；
（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
【解析】解：（1）设函数关系式为p＝，
根据图象可得：k＝pV＝120×0.04＝4.8，
∴，
∴当p＝150时，，
∴×3r3＝0.032，
解得：r＝0.2，
∵k＝4.8＞0，
∴p随V的增大而减小，
∴要使气球不会爆炸，V≥0.032，此时r≥0.2，
∴气球的半径至少为0.2m时，气球不会爆炸；
（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，涉及立方根等知识，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求出反比例函数的解析式．
例7 （2023 泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+2与x，y轴分别相交于点A，B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点C，已知OA＝1，点C的横坐标为2．
（1）求k，m的值；
（2）平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．
【答案】（1）k＝2，m＝12；
（2）（，2+2）或（﹣1，2）．
【点拨】（1）根据题意求出点A的坐标，进而求出k，再求出点C的坐标，求出m；
（2）分2n+2﹣＝2、2n+2﹣＝﹣2两种情况，计算即可．
【解析】解：（1）∵OA＝1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），
则﹣k+2＝0，
解得：k＝2，
∴直线l的解析式为y＝2x+2，
∵点C在直线l上，点C的横坐标为2，
∴点C的纵坐标为2×2+2＝6，
∴点C的坐标为（2，6），
∴m＝2×6＝12；
（2）设点D的坐标为（n，2n+2），则点E的坐标为（n，），
∴DE＝|2n+2﹣|，
∵OB∥DE，
∴当OB＝DE时，以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，
∵直线y＝2x+2与y轴交于点B，
∴OB＝2，
∴|2n+2﹣|＝2，
当2n+2﹣＝2时，n1＝，n2＝﹣（舍去），
此时，点D的坐标为（，2+2），
当2n+2﹣＝﹣2时，n1＝﹣1，n2＝﹣﹣1（舍去），
此时，点D的坐标为（﹣1，2），
综上所述：以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形时，点D的坐标为（，2+2）或（﹣1，2）．
【点睛】本题考查的是反比例函数的图象和性质、平行四边形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
考点过关☆专项突破
类型一 反比例函数的图象与性质
1．（2023 泰安）一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（　　）
A．B． C．D．
【答案】D
【点拨】根据一次函数图象判定a、b的符号，根据ab的符号判定反比例函数图象所在的象限．
【解析】解：A、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、三象限，则a＞0，b＞0，所以ab＞0，则反比例y＝应该位于第一、三象限，故本选项不可能；
B、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，则a＜0，b＞0，所以ab＜0，则反比例y＝应该位于第二、四象限，故本选项不可能；
C、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、三、四象限，则a＞0，b＜0，所以ab＜0，则反比例y＝应该位于第二、四象限，故本选项不可能；
D、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，则a＜0，b＞0，所以ab＜0，则反比例y＝应该位于第二、四象限，故本选项有可能；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
2．（2023 扬州）函数y＝的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【点拨】函数y＝的图象是双曲线，它的两个分支分别位于第一、二象限．
【解析】解：由函数y＝可知，函数是双曲线，它的两个分支分别位于第一、二象限，当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大．
故选：A．
【点睛】考查了函数的图象，函数y＝的图象是双曲线，当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大．
3．（2023 上海）下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（　　）
A．y＝6x B．y＝﹣6x C．y＝ D．y＝﹣
【答案】B
【点拨】根据反比例函数的性质和正比例函数的性质分别判断即可．
【解析】解：A选项，y＝6x的函数值随着x增大而增大，
故A不符合题意；
B选项，y＝﹣6x的函数值随着x增大而减小，
故B符合题意；
C选项，在每一个象限内，y＝的函数值随着x增大而减小，
故C不符合题意；
D选项，在每一个象限内，y＝﹣的函数值随着x增大而增大，
故D不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，正比例函数的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
4．（2023 安徽）已知反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象如图所示，则函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象可能为（　　）
A．B． C． D．
【答案】A
【点拨】根据反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x+b的图象，可知k＞0，b＞0，所以函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象开口向上，对称轴为直线x＝＞0，根据两个交点为（1，k）和（k，1），可得k﹣b＝﹣1，b＝k+1，可得函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象过点（1，﹣1），不过原点，即可判断函数y＝x2﹣bx+k﹣1的大致图象．
【解析】解：∵一次函数y＝﹣x+b的图象经过第一、二、四象限，且与y轴交于正半轴，则b＞0，反比例函数y＝的图象经过第一、三象限，则k＞0，
∴函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象开口向上，对称轴为直线x＝＞0，
由图象可知，反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x+b的图象有两个交点（1，k）和（k，1），
∴﹣1+b＝k，
∴k﹣b＝﹣1，
∴b＝k+1，
∴对于函数y＝x2﹣bx+k﹣1，当x＝1时，y＝1﹣b+k﹣1＝﹣1，
∴函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象过点（1，﹣1），
∵反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x+b的图象有两个交点，
∴方程＝﹣x+b有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4k＝（k+1）2﹣4k＝（k﹣1）2＞0，
∴k﹣1≠0，
∴当x＝0时，y＝k﹣1≠0，
∴函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象不过原点，
∴符合以上条件的只有A选项．
故选：A．
【点睛】本题考查的是一次函数、反比例函数和二次函数的图象，应该熟记一次函数、反比例函数和二次函数在不同情况下所在的象限．
5．（2023 广州）已知正比例函数y1＝ax的图象经过点（1，﹣1），反比例函数y2＝的图象位于第一、第三象限，则一次函数y＝ax+b的图象一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【点拨】根据正比例函数的性质可以判断a的正负，根据反比例函数的性质可以判断b的正负，然后即可得到一次函数y＝ax+b的图象经过哪几个象限，不经过哪个象限．
【解析】解：∵正比例函数y1＝ax的图象经过点（1，﹣1），点（1，﹣1）位于第四象限，
∴正比例函数y1＝ax的图象经过第二、四象限，
∴a＜0；
∵反比例函数y2＝的图象位于第一、第三象限，
∴b＞0；
∴一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的性质、正比例函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，判断出a、b的正负情况．
类型二 反比例函数图象上点的坐标特征
1．（2023 重庆）反比例函数y＝的图象一定经过的点是（　　）
A．（﹣3，2） B．（2，﹣3） C．（﹣2，﹣4） D．（2，3）
【答案】D
【点拨】根据k＝xy对各选项进行逐一判断即可．
【解析】解：反比例函数y＝中k＝6，
A、∵（﹣3）×2＝﹣6≠6，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；
B、∵2×（﹣3）＝﹣6≠6，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；
C、∵﹣2×（﹣4）＝8≠6，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；
D、∵2×3＝6，∴此点在函数图象上，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k＝xy为定值是解答此题的关键．
2．（2023 永州）已知点M（2，a）在反比例函数的图象上，其中a，k为常数，且k＞0，则点M一定在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【点拨】把点（2，a）代入反比例函数解析式，可得a＝，由k＞0可知a＞0，可得点M一定在第一象限．
【解析】解：∵点M（2，a）在反比例函数的图象上，
∴a＝，
∵k＞0，
∴a＞0，
∴点M一定在第一象限．
故选：A．
【点睛】考查反比例函数图象上点的坐标特征；用到的知识点为：反比例函数的比例系数大于0，图象的两个分支在一、三象限；关键是得到反比例函数的比例系数的符号．
3．（2023 济南）已知点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
【答案】C
【点拨】首先根据k＜0得函数图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每一个象限内y随x的增大而增大，然后根据点A，B，C的横坐标得，点A，B在第二象限内，点C在第四象限内，进而可判定y1＞0，y2＞0，y3＜0，最后再根据﹣4＜﹣2得y1＜y2，据此即可得出答案．
【解析】解：∵，k＜0，
∴函数图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每一个象限内y随x的增大而增大，
又∵点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3），
∴点A，B在第二象限内，点C在第四象限内，
∴y1＞0，y2＞0，y3＜0，
又∵﹣4＜﹣2，
∴y1＜y2，
∴y3＜y1＜y2．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了反比例函数（k≠0）的性质，解答此题的关键是熟练掌握：对于反比例函数y＝k/x（k≠0），当k＞0时，图象的两个分支在第一、三象限内变化，且在每一个象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，图象的两个分支在第二、四象限内变化，且在每一个象限内y随x的增大而增大．
4．（2023 邵阳）如图，矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，点B的坐标为（2，4），则点E的坐标为（　　）
A．（4，4） B．（2，2） C．（2，4） D．（4，2）
【答案】D
【点拨】由题意，首先根据B的坐标求出k，然后可设E（a，），再由正方形ADEF，建立关于a的方程，进而得解．
【解析】解：∵点B的坐标为（2，4）在反比例函数y＝图象上，
∴4＝．
∴k＝8．
∴反比例函数的解析式为y＝．
∵点E在反比例函数图象上，
∴可设（a，）．
∴AD＝a﹣2＝ED＝．
∴a1＝4，a2＝﹣2．
∵a＞0，
∴a＝4．
∴E（4，2）．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质的应用，解题时需要理解并能灵活运用．
5．（2023 泰州）函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（　　）
x 1 2 4
y 4 2 1
A．y＝ax+b（a＜0） B．y＝（a＜0） C．y＝ax2+bx+c（a＞0） D．y＝ax2+bx+c（a＜0）
【答案】C
【点拨】根据反比例函数的坐标特征，一次函数的性质，二次函数的坐标特征即可判断．
【解析】解：A、若直线y＝ax+b过点（1，4），（2，2），则，
解得，
所以y＝﹣2x+6，
当x＝4时，y＝﹣2，故（4，1）没在直线y＝ax+b上，故A不合题意；
B、由表格可知，y与x的每一组对应值的积是定值为4，所以y是x的反比例函数，a＝4＞0，不合题意；
C、把表格中的函数y与自变量x的对应值代入y＝ax2+bx+c得，
解得，符合题意；
D、由C可知，不合题意．
故选：C．
【点睛】主要考查反比例函数、一次函数以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
6．（2023 攀枝花）如图，在直角△ABO中，AO＝，AB＝1，将△ABO绕点O顺时针旋转105°至△A′B′O的位置，点E是OB′的中点，且点E在反比例函数y＝的图象上，则k的值为 　　．
【答案】．
【点拨】依据题意，在Rt△BAO中，AO＝，AB＝1，从而BO＝＝2，可得∠AOB＝30°，又结合题意，∠BOB'＝105°，进而∠BOX＝45°，故可得E点坐标，代入解析式可以得解．
【解析】解：如图，作EH⊥x轴，垂足为H．
由题意，在Rt△BAO中，AO＝，AB＝1，
∴BO＝＝2．
∴AB＝BO．
∴∠AOB＝30°．
又△ABO绕点O顺时针旋转105°至△A′B′O的位置，
∴∠BOB'＝105°．
∴∠B'OX＝45°．
又点E是OB′的中点，
∴OE＝BO＝1．
在Rt△EOH中，
∵∠B'OX＝45°，
∴EH＝OH＝OE＝．
∴E（，）．
又E在y＝上，
∴k＝＝．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，解题时需要熟练掌握并灵活运用是关键．
类型三 反比例函数系数k的几何意义
1．（2023 福建）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y＝和y＝的图象的四个分支上，则实数n的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣ C． D．3
【答案】A
【点拨】如图，点B在函数y＝上，证明△AOC≌△OBD，根据k的几何意义即可求解．
【解析】解：连接正方形的对角线，由正方形的性质知对角线交于原点O，过点A，B分别作x轴的垂线．垂足分别为C、D，点B在函数y＝上，如图：
∵四边形是正方形，
∴AO＝BO，∠AOB＝∠BDO＝∠ACO＝90°，
∴∠CAO＝90°﹣∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∴S△AOC＝S△OBD＝＝，
∵点A在第二象限，
∴n＝﹣3，
故选：A．
【点睛】本题考查正方形的性质，反比例函数的k的几何意义，熟练掌握以上性质的解题关键．
2．（2023 黑龙江）如图，△ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BC∥x轴，双曲线y＝过A，B两点，过点C作CD∥y轴交双曲线于点D．若S△BCD＝12，则k的值是（　　）
A．﹣6 B．﹣12 C．﹣ D．﹣9
【答案】C
【点拨】设出B的坐标，通过对称性求出C点的坐标，进而求出D的坐标，即可用k表示出线段BC和CD的长度，结合已知面积即可列出方程求出k．
【解析】解：设BC与y轴的交点为F，B（b，），则A（﹣b，﹣），b＞0，由题意知，
AO＝BO，即O是线段AB的中点，过A作AE⊥BC于点E，
∵AC＝AB，AE⊥BC，
∴BE＝CE，AE∥y轴，
∴CF＝3BF＝3b，
∴C（﹣3b，），
∴D（﹣3b，），
∴CD＝，BC＝4b，
∴S△BCD＝，
∴k＝﹣．
故选：C．
【点睛】对于反比例函数中图形的面积问题，常用一个未知数表示关键点的坐标，通过推导求其面积．
3．（2023 湘西州）如图，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，点B在函数y＝（x＞0）的图象上，且AB∥x轴，BC⊥x轴于点C，则四边形ABCO的面积为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【点拨】延长BA交y轴于点D，根据反比例函数k值的几何意义得到，S矩形OCBD＝3，根据四边形ABCO的面积等于S矩形OCBD﹣S△ADO，即可得解．
【解析】解：延长BA交y轴于点D，
∵AB∥x轴，
∴DA⊥y轴，
∵点A在函数的图象上，
∴，
∵BC⊥x轴于点C，DB⊥y轴，点B在函数的图象上，
∴S矩形OCBD＝3，
∴四边形ABCO的面积等于S矩形OCBD﹣S△ADO＝3﹣1＝2；
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中k的几何意义，是解题的关键．
4．（2023 宜宾）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在y、x轴上，BC⊥x轴，点M、N分别在线段BC、AC上，BM＝CM，NC＝2AN，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过M、N两点，P为x轴正半轴上一点，且OP：BP＝1：4，△APN的面积为3，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【点拨】过点N作NQ⊥x轴于点Q，过C作CT⊥y轴交y轴于T，交NQ于K，设OA＝a，OP＝b，BM＝c，N（m，n），由OP：BP＝1：4，BM＝CM，得A（0，a），B（5b，0），M（5b，c），C（5b，2c），又△NKC∽△ATC，NC＝2AN，可得CK＝2TK，NK＝AT，即，得，故，根据△APN的面积为3，有，得2ab+bc＝9，将点M（5b，c）， 代入，整理得：2a＝7c，代入2ab+bc＝9得，从而 ．
【解析】解：如图，过点N作NQ⊥x轴于点Q，过C作CT⊥y轴交y轴于T，交NQ于K，
设OA＝a，OP＝b，BM＝c，N（m，n），
∵OP：BP＝1：4，BM＝CM，
∴A（0，a），B（5b，0），M（5b，c），C（5b，2c），
∵∠NCK＝∠ACT，∠NKC＝90°＝∠ATC，
∴△NKC∽△ATC，
∴＝＝，
∵NC＝2AN，
∴CK＝2TK，NK＝AT，
∴，
解得，
∴，
∴，，
∴，
∵△APN的面积为3，
∴S梯形OANQ﹣S△AOP﹣S△NPQ＝3，
∴，
∴2ab+bc＝9，
将点M（5b，c）， 代入得：
，
整理得：2a＝7c，
将2a＝7c代入2ab+bc＝9得：7bc+bc＝9，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的图象上点坐标的特征，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
5．（2023 盐城）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，延长AB交y轴于点C，过点A作AD⊥y轴于点D，连接BD并延长，交x轴于点E，连接CE．若AB＝2BC，△BCE的面积是4.5，则k的值为 　6　．
【答案】6．
【点拨】证明△CNB∽△CDA，得到，即，求出点A（3m，n），则点D（0，n），由△BCE的面积＝S△CDB+S△CDE＝CD （xB﹣xE），即可求解．
【解析】解：过点B分别作BM⊥AD于点M，BN⊥CD于点N，
设点B（m，n），k＝mn，
则BN∥AD，则△CNB∽△CDA，
则，即，
即AD＝3m，
则k＝mn＝3m yA，则yA＝n，
则点A（3m，n），则点D（0，n），
由点B、D的坐标得，直线BD的表达式为：y＝x+n，
则点E（﹣m，0）；
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝﹣（x﹣m）+n，
则点C（0，），则CD＝n，
∵△BCE的面积＝S△CDB+S△CDE＝CD （xB﹣xE）＝n×（m+m）＝4.5，
则mn＝6＝k，
故答案为：6．
【点睛】本题为反比例函数综合题，考查了三角形相似、用字母表示坐标等基本数学知识，利用了数形结合的数学思想．
类型四 反比例函数与一次函数的交点问题
1．（2023 潍坊）如图，在直角坐标系中，一次函数y1＝x﹣2与反比例函数y2＝的图象交于A，B两点，下列结论正确的是（　　）
A．当x＞3时，y1＜y2 B．当x＜﹣1时，y1＜y2
C．当0＜x＜3时，y1＞y2 D．当﹣1＜x＜0时，y1＜y2
【答案】B
【点拨】结合函数图象以及A、B的坐标解答即可．
【解析】解：由题意得：
当x＞3时，y1＞y2，故选项A结论错误，不符合题意；
当x＜﹣1时，y1＜y2，故选项B结论正确，符合题意；
当0＜x＜3时，y1＜y2，故选项C结论错误，不符合题意；
当﹣1＜x＜0时，y1＞y2，故选项D结论错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题综合考查一次函数与反比例函数的交点问题，掌握数形结合的方法是解答本题的关键．
2．（2023 内蒙古）如图，直线y＝ax+b（a≠0）与双曲线y＝（k≠0）交于点A（﹣2，4）和点B（m，﹣2），则不等式0＜ax+b＜的解集是（　　）
A．﹣2＜x＜4 B．﹣2＜x＜0 C．x＜﹣2或0＜x＜4 D．﹣2＜x＜0或x＞4
【答案】B
【点拨】求出一次函数和反比例函数的解析式，根据图示直接得出不等式的解集．
【解析】解：∵A（﹣2，4）在反比例函数图象上，
∴k＝xy＝﹣2×4＝﹣8，
∴反比例函数解析式为：y＝﹣，
又∵B（m，﹣2）在y＝﹣图象上，
∴m＝4，
∴B（4，﹣2），
∵点A（﹣2，4）、B（4，﹣2）在一次函数y＝ax+b的图象上，
∴，解得，
一次函数解析式为：y＝﹣x+2．
由图象可知，不等式0＜ax+b＜的解集﹣2＜x＜0．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与一次函数交点的坐标满足两个函数关系式．
3．（2023 淮安）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+b的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，且与反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点C．若点A坐标为（2，0），，则k的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【点拨】代入A点到一次函数中，得出一次函数解析式，再求出B点坐标，连接CO，根据＝，以及△COA和△AOB等高，所以S△COA：S△AOB＝1：2，又因为两个三角形共用一条边OA，作CH⊥OA，得到CH：OB＝1：2，求出CH长度，即C点纵坐标，代入一次函数中求出C点坐标，再求出k值．
【解析】解：连接CO，作CH⊥OA交坐标轴于H点（如图）；
∵A点在一次函数图象中，代入得到b＝，
∴一次函数解析式：y＝；
∵B点横坐标为0，
∴代入得到纵坐标为，OB＝；
∵△COA和△AOB等高，且，
∴S△COA：S△AOB＝1：2；
又∵△COA和△AOB共用一条边OA，
∴CH：OB＝1：2，
∴CH＝＝；
∴将C的纵坐标代入一次函数中，得到横坐标为3；
∴C点坐标（3，），
∴k＝3×＝；
故选：C．
【点睛】本题考查学生反比例函数一次函数的综合运用，属于重难点题型．
4．（2023 怀化）如图，反比例函数y＝（k＞0）的图象与过点（﹣1，0）的直线AB相交于A、B两点．已知点A的坐标为（1，3），点C为x轴上任意一点．如果S△ABC＝9，那么点C的坐标为（　　）
A．（﹣3，0） B．（5，0）
C．（﹣3，0）或（5，0） D．（3，0）或（﹣5，0）
【答案】D
【点拨】利用待定系数法求得两函数的解析式，然后解析式联立成方程组，解方程组求得点B的坐标，根据S△ACD+S△BCD＝S△ABC＝9，求得CD的长度，进而即可求得点C的坐标．
【解析】解：把点A（1，3）代入y＝（k＞0）得，3＝，
∴k＝3，
∴反比例函数为y＝，
设直线AB为y＝ax+b，
代入点D（﹣1，0），A（1，3）得，
解得，
∴直线AB为y＝x+，
解，得或，
∴B（﹣2，﹣），
∵S△ABC＝9，
∴S△ACD+S△BCD＝，
∴CD＝4，
∴点C的坐标为（﹣5，0）或（3，0）．
故选：D．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点的求法，三角形面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
5．（2023 东营）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a＜0）与反比例函数y＝（k≠0）交于A（﹣m，3m），B（4，﹣3）两点，与y轴交于点C，连接OA，OB．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）请根据图象直接写出不等式＜ax+b的解集．
【答案】（1）反比例函数的表达式为 y＝﹣，一次函数的表达式为y＝﹣；（2）9；（3）x＜﹣2或0＜x＜4．
【点拨】（1）根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据图象上的点满足函数解析式，可得A点坐标，再根据待定系数法，可得一次函数的解析式；
（2）根据三角形面积的和差，可得答案；
（3）根据函数图象，即可列出不等式的关系，从而得解．
【解析】解：（1）∵点B（4，﹣3）在反比例函数 的图象上，
∴．
∴k＝﹣12．
∴反比例函数的表达式为 y＝﹣．
∵A（﹣m，3m）在反比例函数 y＝﹣ 的图象上，
∴．
∴m1＝2，m2＝﹣2 （舍去）．
∴点A的坐标为（﹣2，6）．
∵点A，B在一次函数y＝ax+b的图象上，把点 A（﹣2，6），B（4，﹣3）分别代入，得 ，
∴．
∴一次函数的表达式为y＝﹣．
（2）∵点C为直线AB与y轴的交点，
∴OC＝3．
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC
＝ OC |xA|+ OC |xB|
＝×3×2+×3×4
＝9．
（3）由题意得，x＜﹣2或0＜x＜4．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法求函数解析式，利用函数图象解不等式．
6．（2023 西藏）如图，一次函数y＝x+2与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为（1，m），点B的坐标为（n，﹣1）．
（1）求m，n的值和反比例函数的解析式；
（2）点A关于原点O的对称点为A'，在x轴上找一点P，使PA'+PB最小，求出点P的坐标．
【答案】（1）m＝3，n＝﹣3，y＝．
（2）P（﹣2.5，0）．
【点拨】（1）将点A（1，m），点B（n，﹣1）分别代入y＝x+2之中，即可求出m，n的值；然后再将点（1，3）代入y＝之中求出a＝3即可得到反比例函数的解析；
（2）作点B关于x轴的对称点B'，连接A'B'交x轴于点P，连接PB，则PA'+PB为最小，故得点P为所求作的点，根据对称性先求出点A'（﹣1，﹣3），点B'（﹣3，1），再利用待定系数法求出直线A'B'的解析式为y＝﹣2x﹣5，由此可求出点P的坐标．
【解析】解：（1）将点A（1，m），点B（n，﹣1）分别代入y＝x+2之中，
得：m＝1+2，﹣1＝n+2，
解得：m＝3，n＝﹣3，
∴点A（1，3），点B（﹣3，﹣1），
将点（1，3）代入y＝之中，得：a＝1×3＝3，
∴反比例函数的解析式为：y＝，
故得m＝3，n＝﹣3，反比例函数的解析式为：y＝．
（2）作点B关于x轴的对称点B'，连接A'B'交x轴于点P，连接PB，如图：
则PA'+PB为最小，
故得点P为所求作的点．理由如下：
在x轴上任取一点M，连接MB，MB'，MA'，
∵点B关于x轴的对称点B'，
∴x轴为线段BB'的垂直平分线，
∴PB＝PB'，MB＝MB'，
∴MA'+MB＝MA'+MB'，PA'+PB＝PA'+PB'＝A'B'，
根据“两点之间线段最短”得：A'B'≤MA'+MB'，
即：PA'+PB≤MA'+MB，
∴PA'+PB为最小．
∵点A（1，3），点A与点A'关于原点O对称，
∴点A'的坐标为（﹣1，﹣3），
又∵点B（﹣3，﹣1），点B和点B'关于x轴对称，
∴点B'点的坐标为（﹣3，1），
设直线A'B'的解析式为：y＝kx+b，
将点A'（﹣1，﹣3），B'（﹣3，1）代入y＝kx+b，
得：，解得：，
∴直线A'B'的解析式为：y＝﹣2x﹣5，
对于y＝﹣2x﹣5，当y＝0时，x＝﹣2.5，
∴点P的坐标为（﹣2.5，0）．
【点睛】此题主要考查了一次函数与反比例函数的图象，利用轴对称求最短路线，熟练掌握待定系数法求函数的解析式，理解利用轴对称求最短路线的思路和方法是解答此题的关键．
类型五 反比例函数的应用
1．（2023 随州）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为6Ω时，电流为（　　）
A．3A B．4A C．6A D．8A
【答案】B
【点拨】根据函数图象可设I＝，再将（8，3）代入即可得出函数关系式，从而解决问题．
【解析】解：设I＝，
∵图象过（8，3），
∴U＝24，
∴I＝，
当电阻为6Ω时，电流为：I＝＝4（A）．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，关键是掌握函数图象上点的坐标必能满足解析式．
2．（2023 南京）甲、乙两地相距100km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）与行驶速度v（单位：km/h）之间的函数图象是（　　）
A．B．C． D．
【答案】D
【点拨】根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断．
【解析】解：根据题意有：100＝v t，
所以t＝，
故v与t之间是反比例函数，其图象在第一象限．
故选：D．
【点睛】本题考查函数的图象，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
3．（2023 丽水）如果100N的压力F作用于物体上，产生的压强p要大于1000Pa，则下列关于物体受力面积S（m2）的说法正确的是（　　）
A．S小于0.1m2 B．S大于0.1m2 C．S小于10m2 D．S大于10m2
【答案】A
【点拨】根据已知条件利用压强公式推导即可得到答案．
【解析】解：∵，F＝100，
∴，
∵产生的压强p要大于1000Pa，
∴，
∴S＜0.1，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例的应用等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
4．（2023 温州）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了 　20　mL．
【答案】见试题解答内容
【点拨】设这个反比例函数的解析式为V＝，求得V＝，当p＝75kPa时，求得V＝＝80，当p＝100kPa时求得，V＝＝60于是得到结论．
【解析】解：设这个反比例函数的解析式为V＝，
∵V＝100ml时，p＝60kpa，
∴k＝pV＝100ml×60kpa＝6000，
∴V＝，
当p＝75kPa时，V＝＝80，
当p＝100kPa时，V＝＝60，
∴80﹣60＝20（mL），
∴气体体积压缩了20mL，
故答案为：20．
【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，读懂题意，得出反比例函数的解析式是解本题的关键．
5．（2023 吉林）笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长λ（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：MHz）的变化而变化．已知波长λ与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值：
频率f（MHz） 10 15 50
波长λ（m） 30 20 6
（1）求波长λ关于频率f的函数解析式．
（2）当f＝75MHz时，求此电磁波的波长λ．
【答案】见试题解答内容
【点拨】（1）设解析式为λ＝（ k≠0），用待定系数法求解即可；
（2）把f＝75MHz值代入（1）所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长λ．
【解析】解：（1）设波长λ关于频率f的函数解析式为λ＝（ k≠0），
把点（10，30）代入上式中得：＝30，
解得：k＝300，
∴λ＝；
（2）当f＝75MHz时，λ＝＝4，
答：当f＝75MHz时，此电磁波的波长λ为4m．
【点睛】本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键．
6．（2023 郴州）在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5g．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B与点C的距离x（cm）（0＜x≤60），记录容器中加入的水的质量，得到下表：
托盘B与点C的距离x/cm 30 25 20 15 10
容器与水的总质量y1/g 10 12 15 20 30
加入的水的质量y2/g 5 7 10 15 25
把上表中的x与y1各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的y1关于x的函数图象．
（1）请在该平面直角坐标系中作出y2关于x的函数图象；
（2）观察函数图象，并结合表中的数据：
①猜测y1与x之间的函数关系，并求y1关于x的函数表达式；
②求y2关于x的函数表达式；
③当0＜x≤60时，y1随x的增大而 　减小　（填“增大”或“减小”），y2随x的增大而 　减小　（填“增大”或“减小”），y2的图象可以由y1的图象向 　下　（填“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到．
（3）若在容器中加入的水的质量y2（g）满足19≤y2≤45，求托盘B与点C的距离x（cm）的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【点拨】（1）描点作出图象即可；
（2）①用待定系数法可得y1关于x的函数表达式；
②由y2与y1关系，结合①可得答案；
③观察图象可得答案；
（3）根据19≤y2≤45可得关于x的不等式，可解得x的范围．
【解析】解：（1）作出y2关于x的函数图象如下：
（2）①观察表格可知，y1是x的反比例函数，
设y1＝，把（30，10）代入得：10＝，
∴k＝300，
∴y1关于x的函数表达式是y1＝；
②∵y1＝y2+5，
∴y2+5＝；
∴y2＝﹣5；
③观察图象可得，当0＜x≤60时，y1随x的增大而减小，y2随x的增大而减小，y2的图象可以由y1的图象向下平移得到；
故答案为：减小，减小，下；
（3）∵y2＝﹣5，19≤y2≤45，
∴19≤﹣5≤45，
∴24≤≤50，
∴6≤x≤12.5．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
类型六 反比例函数的综合
1．（2023 镇江）如图，正比例函数y＝﹣3x与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A、B（1，m）两点，C点在x轴负半轴上，∠ACO＝45°．
（1）m＝　﹣3　，k＝　﹣3　，点C的坐标为 　（﹣4，0）　；
（2）点P在x轴上，若以B、O、P为顶点的三角形与△AOC相似，求点P的坐标．
【答案】（1）﹣3，﹣3，（﹣4，0）；
（2）点P的坐标为：（4，0）或（2.5，0）．
【点拨】（1）由待定系数法求出函数表达式，在△AOC中，tan∠AOH＝3，∠ACO＝45°，AO＝，用解直角三角形的方法求出CO，即可求解；
（2）证明点P在x轴的正半轴时，存在△AOC∽△BOP和△AOC∽△POB，即可求解．
【解析】解：（1）当x＝1时，y＝﹣3x＝﹣3＝m，即点B（1，﹣3），
将点B的坐标代入反比例函数的表达式得：k＝﹣3×1＝﹣3，
即反比例函数的表达式为：y＝﹣，
根据正比例函数的对称性，点A（﹣1，3），
由点O、A的坐标得，OA＝，过点A作AH⊥x轴于点H，
由直线AB的表达式知，tan∠AOH＝3，
而∠ACO＝45°，
设AH＝3x＝CH，则OH＝x，则AO＝x＝，则x＝1，
则AH＝CH＝3，OH＝1，
则CO＝CH+OH＝4，
则点C的坐标为：（﹣4，0），
故答案为：﹣3，﹣3，（﹣4，0）；
（2）当点P在x轴的负半轴时，
∵∠BOP＞90°＞∠AOC，
又∵∠BOP＞∠ACO，∠BOP＞∠CAO，
∴△BOP和△AOC不可能相似；
当点P在x轴的正半轴时，∠AOC＝∠BOP，
若△AOC∽△BOP，则，
则OP＝OC＝4，
即点P（4，0）；
若△AOC∽△POB，则，
即，
解得：OP＝2.5，
即点P（2.5，0），
综上，点P的坐标为：（4，0）或（2.5，0）．
【点睛】本题为反比例函数综合题，涉及到解直角三角形、三角形相似等知识点，其中（2），分类求解是本题解题的关键．
2．（2023 眉山）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），与反比例函数在第四象限内的图象交于点C（6，a）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当时，直接写出x的取值范围；
（3）在双曲线上是否存在点P，使△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝；
（2）x＜﹣2或0＜x＜6；
（3）（1，﹣6）或（3，﹣2）．
【点拨】（1）将A（4，0），B（0，2）代入y＝kx+b，求得一次函数表达式，进而可得点C的坐标，再将点C的坐标代入反比例函数即可；
（2）将一次函数与反比例函数联立方程组，求得交点坐标即可得出结果；
（3）过点A作AE⊥BC交y轴于点E，证明△AOB∽△EOA得出点E的坐标，在求出直线AE的表达式，与反比例函数联立方程组即可．
【解析】（1）将A（4，0），B（0，2）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴一次函数表达式为：y＝﹣x+2，
将C（6，a）代入得：y＝﹣×6+2＝﹣1，
∴C（6，﹣1），
将C（6，﹣1）代入y＝得：m＝﹣6，
∴反比例函数的表达式为：y＝；
（2）设一次函数与反比例函数在第二象限交于点D，
联立，
解得：或，
∴D（﹣2，3），
∴由图象可知：当x＜﹣2或0＜x＜6时，kx+b＞，
（3）存在，理由：
过点A作AE⊥BC交y轴于点E，
∵∠BAO+∠EAO＝90°，∠EAO+∠AEO＝90°，
∴∠BAO＝∠AEO，
∵∠AOB＝∠EOA＝90°，
∴△AOB∽△EOA，
∴，
∴，
∴OE＝8，
∴E（0，﹣8），
设直线AE的表达式为：y＝ax+b，
将（4，0），（0，﹣8）代入得：，
解得：，
∴直线AE的表达式为：y＝2x﹣8，
联立：，
解得：或，
∴点P的坐标为：（1，﹣6）或（3，﹣2）．
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合题，考查的有待定系数法求一次函数、反比例函数表达式，相似三角形的判定及性质．
3．（2023 成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数图象y＝﹣x+5与y轴交于点A，与反比例函数y＝的图
象的一个交点为B（a，4），过点B作AB的垂线l．
（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；
（2）若点C在直线l上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标；
（3）P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画△PDE，使它与△PAB位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．
【答案】（1）点A的坐标为（0，5），反比例函数的表达式为
（2）点C的坐标为（6，9）或（﹣4，﹣1）；
（3）点P的坐标为 的值为3．
【点拨】（1）解方程得到点A的坐标为（0，5），将B（a，4）代入y＝﹣x+5得，4＝﹣a+5，求得B（1，4），将B（1，4）代入y＝得，求得反比例函数的表达式为y＝；
（2）设直线l与y轴交于M，直线y＝﹣x+5与x轴交于N，解方程得到N（S，0），求得OA＝ON＝5，根据两点间的距离的结论公式得到＝，求得M（0，3），待定系数法求得直线l的解析式为y＝x+3，设点C的坐标为（t，t+3），根据三角形的面积公式列方程得到t＝﹣4或t＝6，求得点C的坐标为（6，9）或（﹣4，﹣1）；
（3）解方程组求得E（﹣4，﹣1），根据相似三角形的性质得到∠PAB＝∠PDE，根据平行线的判定定理得到AB∥DE，求得直线DE的解析式为y＝﹣x﹣5，解方程组得到D（﹣1，﹣4），则直线AD的解析式为y＝9x+5，于是得到P（﹣，），根据两点间的距离距离公式即可得到结论．
【解析】解：（1）令x＝0，则y＝﹣x+5＝5，
∴点A的坐标为（0，5），
将B（a，4）代入y＝﹣x+5得，4＝﹣a+5，
∴a＝1，
∴B（1，4），
将B（1，4）代入y＝得，4＝，
解得k＝4，
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）设直线l与y轴交于M，直线y＝﹣x+5与x轴交于N，
令y＝﹣x+5＝0得，x＝5，
∴N（5，0），
∴OA＝ON＝5，
∵∠AON＝90°，
∴∠OAN＝45°，
∵A（0，5），B（1，4），
∴＝，
∵直线l是AB的垂线，即∠ABM＝90°，∠OAN＝45°，
∴，
∴M（0，3），
设直线l的解析式为y＝k1x+b1，
将M（0，3），B（1，4）代入y＝k1x+b1得，，
解得，
∴直线l的解析式为y＝x+3，
设点C的坐标为（t，t+3），
∵ |xB﹣xC|＝，
解得t＝﹣4或t＝6，
当t＝﹣4时，t+3＝﹣1，
当t＝6时，t+3＝9，
∴点C的坐标为（6，9）或（﹣4，﹣1）；
（3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为E点，则点A的对应点为D，
将直线l与双曲线的解析式联立方程组，
解得，或，
∴E（﹣4，﹣1），
画出图形如图所示，
∵△PAB∽△PDE，
∴∠PAB＝∠PDE，
∴AB∥DE，
∴直线AB与直线DE的一次项系数相等，
设直线DE的解析式为y＝﹣x+b2，
∴﹣1＝﹣（﹣4）+b2，
∴b2＝﹣5，
∴直线DE的解析式为y＝﹣x﹣5，
∵点D在直线DE与双曲线的另一个交点，
∴解方程组得，或，
∴D（﹣1，﹣4），
则直线AD的解析式为y＝9x+5，
解方程组得，，
∴P（﹣，），
∴，
，
∴m＝．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，反比例函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．
4．（2023 济南）综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为a m．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若a＝10，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设AB为x m，BC为y m．由矩形地块面积为8m2，得到xy＝8，满足条件的（x，y）可看成是反比例函数y＝的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x+y＝10，满足条件的（x，y）可看成一次函数y＝﹣2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的（x，y）就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数y＝（x＞0）的图象与直线l1：y＝﹣2x+10的交点坐标为（1，8）和 　（4，2）　，因此，木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB＝1m，BC＝8m；或AB＝　4　m，BC＝　2　m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空；
【类比探究】
（2）若a＝6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由；
【问题延伸】
当木栏总长为a m时，小颖建立了一次函数y＝﹣2x+a．发现直线y＝﹣2x+a可以看成是直线y＝﹣2x通过平移得到的，在平移过程中，当过点（2，4）时，直线y＝﹣2x+a与反比例函数y＝（x＞0）的图象有唯一交点．
（3）请在图2中画出直线y＝﹣2x+a过点（2，4）时的图象，并求出a的值；
【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y＝﹣2x+a与y＝图象在第一象限内交点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围．
【答案】（1）（4，2）；4；2；
（2）不能围出；
（3）a＝8；
（4）8≤a≤17．
【点拨】（1）观察图象或联立解方程组得到另一个交点坐标为（4，2）；
（2）观察图象得到l2 与函数 图象没有交点，所以不能围出；
（3）平移直线y＝﹣2x通过（2，4），将点（2，4）代入y＝﹣2x+a，解得a＝8；
（4）AB和BC的长均不小于1m，所以1≤x≤8，直线y＝﹣2x+a在l3、l4上面或之间移动，可得求a的范围．
【解析】解：（1）将反比例函数y＝与直线l1：y＝﹣2x+10联立得
，
∴＝﹣2x+10，
∴x2﹣5x+4＝0，
∴x1＝1，x2＝4，
∴另一个交点坐标为（4，2），
∵AB为x m，BC为y m，
∴AB＝4，BC＝2．
故答案为：（4，2）；4；2；
（2）不能围出；
y＝﹣2x+6的图象，如答案图中l2所示：
∵l2 与函数 图象没有交点，
∴不能围出面积为 8m2的矩形．
（3）如答案图中直线l3所示：
将点（2，4）代入y＝﹣2x+a，解得a＝8．
（4）∵AB和BC的长均不小于1m，
∴x≥1，y≥1，
∴≥1，
∴x≤8，
∴1≤x≤8，
如图所示，直线y＝﹣2x+a在l3、l4上面或之间移动，
把（8，1）代入y＝﹣2x+a得a＝17，
∴8≤a≤17．
【点睛】本题考查了实际应用题的函数直观解释，比较新颖，实质是一次函数和二次函数图象的交点问题．
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备考2024中考二轮数学《高频考点冲刺》（全国通用）
专题9 反比例函数问题
考点扫描☆聚焦中考
近几年各地中考涉及本知识点的题目主要以选择题或填空题的形式出现，少数题目以解答题的形式出现,属于中档题；考查内容主要有：反比例函数的概念；反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数解析式的确定；反比例函数的应用；考查热点主要有：反比例函数的性质及其解析式的确定；反比例函数与一次函数交点的综合应用；反比例函数与三角形、四边形等几何图形相关的计算和证明。
考点剖析☆典型例题
例1（2023 襄阳）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+k与反比例函数y＝的图象可能是（　　）
A．B． C． D．
例2（2023 武汉）关于反比例函数，下列结论正确的是（　　）
A．图象位于第二、四象限 B．图象与坐标轴有公共点
C．图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小 D．图象经过点（a，a+2），则a＝1
例3（2023 宜昌）某反比例函数图象上四个点的坐标分别为（﹣3，y1），（﹣2，3），（1，y2），（2，y3），则，y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2
例4（2023 张家界）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上，且AD＝AB，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，连接OD，OM，DM．若△ODM的面积为3，则k的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
例5 40．（2023 宁波）如图，一次函数y1＝k1x+b（k1＞0）的图象与反比例函数y2＝（k2＞0）的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为1，点B的横坐标为﹣2，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣2或x＞1 B．x＜﹣2或0＜x＜1 C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．﹣2＜x＜0或0＜x＜1
例6（2023 宁夏）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压p（KPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）当气球内的气压超过150KPa时，气球会爆炸，若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式V＝πr3，π取3）；
（2）请你利用p与V的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．
例7 （2023 泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+2与x，y轴分别相交于点A，B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点C，已知OA＝1，点C的横坐标为2．
（1）求k，m的值；
（2）平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．
考点过关☆专项突破
类型一 反比例函数的图象与性质
1．（2023 泰安）一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（　　）
A．B． C．D．
2．（2023 扬州）函数y＝的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023 上海）下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（　　）
A．y＝6x B．y＝﹣6x C．y＝ D．y＝﹣
4．（2023 安徽）已知反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象如图所示，则函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象可能为（　　）
A．B． C． D．
5．（2023 广州）已知正比例函数y1＝ax的图象经过点（1，﹣1），反比例函数y2＝的图象位于第一、第三象限，则一次函数y＝ax+b的图象一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
类型二 反比例函数图象上点的坐标特征
1．（2023 重庆）反比例函数y＝的图象一定经过的点是（　　）
A．（﹣3，2） B．（2，﹣3） C．（﹣2，﹣4） D．（2，3）
2．（2023 永州）已知点M（2，a）在反比例函数的图象上，其中a，k为常数，且k＞0，则点M一定在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2023 济南）已知点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
4．（2023 邵阳）如图，矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，点B的坐标为（2，4），则点E的坐标为（　　）
A．（4，4） B．（2，2） C．（2，4） D．（4，2）
5．（2023 泰州）函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（　　）
x 1 2 4
y 4 2 1
A．y＝ax+b（a＜0） B．y＝（a＜0） C．y＝ax2+bx+c（a＞0） D．y＝ax2+bx+c（a＜0）
6．（2023 攀枝花）如图，在直角△ABO中，AO＝，AB＝1，将△ABO绕点O顺时针旋转105°至△A′B′O的位置，点E是OB′的中点，且点E在反比例函数y＝的图象上，则k的值为 　　．
类型三 反比例函数系数k的几何意义
1．（2023 福建）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y＝和y＝的图象的四个分支上，则实数n的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣ C． D．3
2．（2023 黑龙江）如图，△ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BC∥x轴，双曲线y＝过A，B两点，过点C作CD∥y轴交双曲线于点D．若S△BCD＝12，则k的值是（　　）
A．﹣6 B．﹣12 C．﹣ D．﹣9
3．（2023 湘西州）如图，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，点B在函数y＝（x＞0）的图象上，且AB∥x轴，BC⊥x轴于点C，则四边形ABCO的面积为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2023 宜宾）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在y、x轴上，BC⊥x轴，点M、N分别在线段BC、AC上，BM＝CM，NC＝2AN，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过M、N两点，P为x轴正半轴上一点，且OP：BP＝1：4，△APN的面积为3，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2023 盐城）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，延长AB交y轴于点C，过点A作AD⊥y轴于点D，连接BD并延长，交x轴于点E，连接CE．若AB＝2BC，△BCE的面积是4.5，则k的值为 　　．
类型四 反比例函数与一次函数的交点问题
1．（2023 潍坊）如图，在直角坐标系中，一次函数y1＝x﹣2与反比例函数y2＝的图象交于A，B两点，下列结论正确的是（　　）
A．当x＞3时，y1＜y2 B．当x＜﹣1时，y1＜y2
C．当0＜x＜3时，y1＞y2 D．当﹣1＜x＜0时，y1＜y2
2．（2023 内蒙古）如图，直线y＝ax+b（a≠0）与双曲线y＝（k≠0）交于点A（﹣2，4）和点B（m，﹣2），则不等式0＜ax+b＜的解集是（　　）
A．﹣2＜x＜4 B．﹣2＜x＜0 C．x＜﹣2或0＜x＜4 D．﹣2＜x＜0或x＞4
3．（2023 淮安）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+b的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，且与反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点C．若点A坐标为（2，0），，则k的值是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023 怀化）如图，反比例函数y＝（k＞0）的图象与过点（﹣1，0）的直线AB相交于A、B两点．已知点A的坐标为（1，3），点C为x轴上任意一点．如果S△ABC＝9，那么点C的坐标为（　　）
A．（﹣3，0） B．（5，0） C．（﹣3，0）或（5，0） D．（3，0）或（﹣5，0）
5．（2023 东营）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a＜0）与反比例函数y＝（k≠0）交于A（﹣m，3m），B（4，﹣3）两点，与y轴交于点C，连接OA，OB．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）请根据图象直接写出不等式＜ax+b的解集．
6．（2023 西藏）如图，一次函数y＝x+2与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为（1，m），点B的坐标为（n，﹣1）．
（1）求m，n的值和反比例函数的解析式；
（2）点A关于原点O的对称点为A'，在x轴上找一点P，使PA'+PB最小，求出点P的坐标．
类型五 反比例函数的应用
1．（2023 随州）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为6Ω时，电流为（　　）
A．3A B．4A C．6A D．8A
2．（2023 南京）甲、乙两地相距100km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）与行驶速度v（单位：km/h）之间的函数图象是（　　）
A．B．C． D．
3．（2023 丽水）如果100N的压力F作用于物体上，产生的压强p要大于1000Pa，则下列关于物体受力面积S（m2）的说法正确的是（　　）
A．S小于0.1m2 B．S大于0.1m2 C．S小于10m2 D．S大于10m2
4．（2023 温州）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了 　　mL．
5．（2023 吉林）笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长λ（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：MHz）的变化而变化．已知波长λ与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值：
频率f（MHz） 10 15 50
波长λ（m） 30 20 6
（1）求波长λ关于频率f的函数解析式．
（2）当f＝75MHz时，求此电磁波的波长λ．
6．（2023 郴州）在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5g．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B与点C的距离x（cm）（0＜x≤60），记录容器中加入的水的质量，得到下表：
托盘B与点C的距离x/cm 30 25 20 15 10
容器与水的总质量y1/g 10 12 15 20 30
加入的水的质量y2/g 5 7 10 15 25
把上表中的x与y1各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的y1关于x的函数图象．
（1）请在该平面直角坐标系中作出y2关于x的函数图象；
（2）观察函数图象，并结合表中的数据：
①猜测y1与x之间的函数关系，并求y1关于x的函数表达式；
②求y2关于x的函数表达式；
③当0＜x≤60时，y1随x的增大而 　　（填“增大”或“减小”），y2随x的增大而 　　（填“增大”或“减小”），y2的图象可以由y1的图象向 　　（填“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到．
（3）若在容器中加入的水的质量y2（g）满足19≤y2≤45，求托盘B与点C的距离x（cm）的取值范围．
类型六 反比例函数的综合
1．（2023 镇江）如图，正比例函数y＝﹣3x与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A、B（1，m）两点，C点在x轴负半轴上，∠ACO＝45°．
（1）m＝　 　，k＝　 　，点C的坐标为 　 　；
（2）点P在x轴上，若以B、O、P为顶点的三角形与△AOC相似，求点P的坐标．
2．（2023 眉山）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），与反比例函数在第四象限内的图象交于点C（6，a）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当时，直接写出x的取值范围；
（3）在双曲线上是否存在点P，使△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2023 成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数图象y＝﹣x+5与y轴交于点A，与反比例函数y＝的图
象的一个交点为B（a，4），过点B作AB的垂线l．
（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；
（2）若点C在直线l上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标；
（3）P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画△PDE，使它与△PAB位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为a m．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若a＝10，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设AB为x m，BC为y m．由矩形地块面积为8m2，得到xy＝8，满足条件的（x，y）可看成是反比例函数y＝的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x+y＝10，满足条件的（x，y）可看成一次函数y＝﹣2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的（x，y）就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数y＝（x＞0）的图象与直线l1：y＝﹣2x+10的交点坐标为（1，8）和 　　，因此，木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB＝1m，BC＝8m；或AB＝　 　m，BC＝　　 m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空；
【类比探究】
（2）若a＝6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由；
【问题延伸】
当木栏总长为a m时，小颖建立了一次函数y＝﹣2x+a．发现直线y＝﹣2x+a可以看成是直线y＝﹣2x通过平移得到的，在平移过程中，当过点（2，4）时，直线y＝﹣2x+a与反比例函数y＝（x＞0）的图象有唯一交点．
（3）请在图2中画出直线y＝﹣2x+a过点（2，4）时的图象，并求出a的值；
【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y＝﹣2x+a与y＝图象在第一象限内交点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围．
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