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第一部分：一元二次方程
一元二次方程的定义：
一个方程若整理可以后化为（a≠0），称原方程为一元二次方程。
一元二次方程的一般式： （a≠0）
我们应记住此方程的特点：⑴ a≠0；b,c可以为0
（2）最高次项的次数为2 （3）它是一个整式方程(分母中不含未知数)
2．应用时应化为一般式：（ａ≠0）
在（1）用求根公式X= 求根时；
（2）用判别式△=判断方程的根的情况时；
（3）用根系关系时
应将原方程化为一般式：，以便好认定中的ａ、ｂ、ｃ各为多少，从而带人公式。
一元二次方程的解法：
（1）直接开平方法： 当方程直接可以化为或
（）=a 时，且a≥0时有解；否则a＜0时无解。
（2） 配方法：不常用，但应掌握方法原理：
)=M
ａ ）=N
且当M、N的值为非负数时，方程才有解
因式分解法解一元二次方程：
注意到一个最简单的知识：A·B=0 A=0或B=0；
（ ）（ ）=0 则两个括号都可以为0
也就是说用此方法解一元二次方程，事前一定要将原方程化为右边为0，而左边为分解因式的形式，但不是每一个方程都可以用因式分解的方法来求解。
（4）求根公式法：这是一种最基本的方法，适合于任何一个一元二次方程，当方程化为后：
步骤： ①ａ=？，ｂ=？，ｃ=？
②计算△=？
△<0 方程无实数解0无法继续求解
△=0 方程有两个相等的实数解
△>0 方程有两个不相等的实数解
③ 在△≥0时才可以代人求根公式 X= ，算出方程的根
判别式的用途（应用方式）
由数字系数的一元二次方程 求出△=？ 得出原方程有无实数根
由含字母系数的一元二次方程 求出△=？
将△所表示的式子变形（一般变形为△=（ ）2+？、△=—（ ）2+？、△=（ ）（ ）等形式）（结合题目条件和题中的隐含条件）得到△>0(△<0或△≥0 )
从而得到字母的取值范围或其他结论
已知方程根的情况下（二次项系数不为0，△>0或△<0或△≥0) 解不等式或不等式组求出字母的取植或取值范围，或证明某个结论成立可以在锁定的范围中找出合乎条件的特殊值（如整数、最小、最大、非负值等）
根系关系：
一元二次方程如果有根，则两根
、与方程的系数ａ、ｂ、ｃ有密切的联系 ；
已知一个含有待定系数的一元二次方程和它的一个根，求另一个根和字母的值。
不解方程，求由该方程的两个根、所组成的式的值。解决这类问题，应将此代数式变形，尽量出现、，常见的关系有：
① =
②
③ ④
⑤
⑥
⑦
⑧ ∵（）=
∴
评价：以上变形主要利用整体思想解决问题
两根的符号的讨论：（在有根的情况下）
＞0；＞0 两根同时为正
＜0；＜0 一正一负；负数的绝对值较大
＞0；＜0 一正一负；正数的绝对值较大
＜0；＞0 两根同时为负
判别式与根系关系的合作应用：
用于讨论、判别根的符号情况或求取字母取值或取值范围。
先决条件：1 中的a必须保证a≠0
2 以下所有的讨论都是在方程有根的情况（△≥0 )的前提下才能进行。这两点都不可忽视。
① 有实根△≥0 ② 没有实根△＜0
③ 有两等根△＝0 ④ 有两不等根△＞0
⑤ 有零根=0 =0C=0（和中有一根为0）
⑥ 有-1根（a≠0）中有关系
ａ－ｂ＋ｃ=0存在（X=－1时）
⑦ 有+1根（a≠0）中有关系
ａ＋ｂ＋ｃ=0存在（X=+1时）

⑧ 有相反的两根△≥0, =0(即-=0b=0)
⑨ 有互为倒数的两根△=0，=1（即=1，ｃ=ａ）
有两正根△≥0, ＞0，＞0
⑾ 有两负根△≥0, <0，＞0
（12）．有两异号根△＞0，<0
（13）．有两异号根，且正根的绝对值较大△＞0，＞0，<0
（14）．有两异号根，且负根的绝对值较大△＞0， <0，<0
（15）．两根都大于（或小于）某常数K
△≥0, =？，=？，＞K，＞k ＞0
（或△≥0, =？，=？，以上关系在解题时主要应这注意下面几点：
A．二次项系数决不为0 （特别应注意二次项系数有字母时，更应紧惕）
B．判别式△是决定方程是否有根，和根的情况怎样
C．在△≥0的情况下，才有根系关系
D．结合题目中的条件很重要。
六．列方程解应用题
1．平均增长率问题（复利问题）
（初始数）基数ａ第一次增长后达到达
第二次增长后达到达到
2．单利问题：本金A 、 年（或月）利率X 、 时间B年（或月），有：本利和=本金×年（或月）数×时间数年（或月）+本金
3．其他的实际问题
七．利用求根公式分解二次三项式
对于在有理数范围中不能分解的二次三项式，如果令=0时有解、，则可以分解：
=
具体方法：
分解令=0：
① △=0 上式为完全平方式
② △≥0 方程有两根、=
③△＜0 方程没有根二次三项式不可以分解

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