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第八单元 数学广角--数与形
思维导图
重难点梳理
典例解析
典例1（数形结合问题）
一张桌子可以坐4人，两张桌子拼起来可以坐6人，三张桌子拼起来可以坐8人（如下图），像这样（ ）张桌子拼起来可以坐24人。
A、9 B、10 C、11 D、12
解析
一张桌子 两张桌子 三张桌子 n张
4人 4+2=6（人） 4+4=8（人） 4+2（n-1）
解答 当4+2(n-1)=2n+2=24时，n=11，即这样的11张桌子拼起来可以坐24人。
典例2（运用数形结合探究数学公式）教材P109第8题
你能利用右面的图发现（a+b） =a +2ab+b 这一公式吗？利用你所学的面积计算的知识，探索一下。
解析 如下图示，把大正方形分割成四部分：2个正方形和2个长方形。根据图片可以把（a+b） 转化为求大正方形的面积：
大正方形的面积=（a+b）×（a+b）=（a+b）
大正方形的面积=①的面积+②的面积+③的面积+④的面积
用字母表示为：（a+b）×（a+b）=a +ab+ab+b =a +ab+b
解答 边长是（a+b）的大正方形面积可以分成：边长为a的小正方形面积、边长为b的小正方形面积和两个长为b、宽为a的长方形面积。因为大正方形的面积为a +ab+ab+b =a +ab+b 或（a+b）×（a+b）=
（a+b） ，所以（a+b） =a +2ab+b 。
典例3 （单场淘汰制比赛问题）
世界杯足球小组赛后决出16支队参加决赛，决赛阶段以单场淘汰制进行，决出冠军共需要踢多少场？
解析 根据题意示意图表示，16支球队，每2支球队进行比赛：
先踢16÷2=8（场），进入八强；再踢8÷2=4（场），决出四强；
接着踢4÷2=2（场），决出亚军；最后踢2÷2=1（场），决出冠军。
把每场次数加起来就是决出冠军共需要踢得场数。
在单场淘汰制体育比赛中，若参赛队是偶数，则决出冠军需要得场数=除数-1。
解答 8+4+2+1=15（场）答：决出冠军共需要踢15场。
典例4（小棒摆图形问题）
用小棒摆出下面得图形，如果摆第一个图形需要4根小棒，那么摆第5个图形需要几根小棒？
……
解析 摆第1个图形需要四根小棒；
摆第2个图形需要4+3×1=7（根）小棒；
摆第3个图形需要4+3×2=10（根）小棒；
……
摆第n个图形需要4+3×（n-1）=3n+1（根）小棒。
解答 摆第n个图形需要4+3×（n-1）=3n+1（根）小棒。
当n=5时，3n+1=16（根）。
答：摆第五个图形需要16根小棒。
跟踪练习
一、填空。
1、如下图示，用小棒摆正六边形，摆4个正六边形需要（ ）根小棒；摆10个正六边形需要（ ）根小棒；摆n个正六边形需要（ ）根小棒。
2、如下图，一张桌子可以坐4人，两张子拼起来可以做6人，三张桌子拼起来可以坐8人，像这样，（ ）张桌子拼起来可以坐40人。
3、如图： ☆△□ ☆△□ ☆△□……中
（1）按照上面的排列规律，第12个图形是（ ）。
（2）在前30个图形中，共有（ ）个☆。
（3）第2023个图形是（ ）。
4、按规律填一填。
1=（ ）
1+3=（ ）
1+3+5=（ ）
1+3+5+7=（ ）
1+3+5+7+9+11+13=（ ）
=9
二、判断。
1、如下图，如果一个小三角形的边长为1cm，那么第五个图形的周长是15cm。 （ ）
2、1，3，4，7，11，18，（ ），47。（ ）里填29。 （ ）
3、 的和接近1。 （ ）
三、选择
1、与1+3+5+7+9+5+3+1的结果相同的算式是（ ）。
A、5 -3 B、4 C、5 +3
2、5，8，11，14，（ ）20。
A、 B、16 C、19
3、如图，它是由小棒组成的三角形图案，在这个三角形图案中，用了31根小棒，那么它共有（ ）个三角形。
A、　　　　　B、　　　　　C、
四、解决问题
1、把边长为1cm的正方形纸片，按下面的规律拼成长方形。
（1）用5个正方形拼成的长方形的周长是多少厘米？
（2）用m个正方形拼成的长方形的周长是多少厘米？
2、看图回答问题。
（1）把算式补充完整。
（2）对照图形和算式，你发现了什么规律？
（3）你能利用规律直接算出下图中一共有多少个角？
3、求1×2，2×3，3×4，……99×100的倒数和。
4、
三角形个数：（ ） （ ） （ ） （ ） （ ）
周长： （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）
5、如图，有红、白、黑、黄、绿、蓝、紫七种颜色拍成一排，颜色下面式自然数，按下列方式依次排列：
那么，自然数2010对应在哪种颜色下面？在第几行？
参考答案
一、1、21 51 5n+1 2、19 3、（1）□（2）8（3）△
4、1 2 3 4 7 1+3+5+7+9+11+13+15+17
二、1、× 2、√ 3、√
三、1、C 2、A 3、A
四、1、（1）长=5×1=5（厘米） 宽=1（厘米）
周长=（5+1）×2=12（厘米）
（2）长=m×1=m（厘米），宽=1（厘米）
周长=（m+1）×2=2m+2（厘米）
2、（1）3 6 10
（2）图中的基本角有几个，就从1加到几，相加所得的和就
是图中一共有角的个数。
（3）1+2+3+4+5+6+7=28（个）
3、
=（1-）+（）+（）+……（）
=1-
=1-
=
4、三角形个数：1 4 9 16 25 周长：3 6 9 12 15
5、2011÷（7+6）=154（个）……9
答：2010对应在绿色下面，在第310行。

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