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山东省泰安第六中学2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题
一、选择题（共10小题，每小题4分）
1. 一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则该几何体的主视图为（）
A. B. C. D.
2. 实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网其中支持北斗三号新信号22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米＝0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为（　　）
A2.2×108 B. 2.2×10﹣8 C. 0.22×10﹣7 D. 22×108
4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A B. C. D.
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 同旁内角互补
B. 对角线相等的四边形各边中点连线所得四边形是矩形
C. 五边形的内角和为
D. 三点确定一个圆
7. 成立的条件是( )．
A. x＜1且x≠0 B. x＞0且x≠1 C. 0＜x≤1 D. 0＜x＜1
8. 利用我们数学课本上的科学计算器进行计算，其按键顺序如下：
则输出结果应为（ ）
A. 55 B. 54.5 C. 54 D. 53
9. 如图，几何体上半部为三棱柱，下半部为圆柱，其俯视图是（）
A. B. C. D.
10. 如图1，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中曲线部分为轴对称图形，为最低点，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11. 若（a－2）2＋＝0，则a＋b的立方根是___________．
12. 如图，将直角三角形沿方向平移后，得到直角三角形．已知，则阴影部分的面积为__．
13. 已知一元二次方程的两根为m，n，则代数式的值为____．
14. 关于x的一元二次方程无实数根，则k的取值范围为_________．
15. 如图，点O是矩形的中心，E是上的点，沿折叠后，点B恰好与点O重合，若，则折痕的长为______．
16. 如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形AnBn﹣1Bn顶点Bn的横坐标为________________．
三、解答题（本大题共8个小题，共86分，解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．）
17. 先化简，再求值：，其中满足．
18. 某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．
（1）第一批饮料进货单价多少元？
（2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？
19. 如今很多初中生喜欢购头饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此某班数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：A．白开水，B．瓶装矿泉水，C．碳酸饮料，D．非碳酸饮料．根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题
（1）这个班级有多少名同学？并补全条形统计图；
（2）若该班同学每人每天只饮用一种饮品（每种仅限一瓶，价格如下表），则该班同学每天用于饮品的人均花费是多少元？
饮品名称 白开水 瓶装矿泉水 碳酸饮料 非碳酸饮料
平均价格（元/瓶） 0 2 3 4
（3）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在饮用白开水的5名班委干部（其中有两位班长记为A，B，其余三位记为C，D，E）中随机抽取2名班委干部作良好习惯监督员，请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到2名班长的概率．
20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，与坐标轴分别交于、两点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出中取值范围；
(3)求的面积．
21. 已知两个等腰有公共顶点C，，连接是中点，连接．
（1）如图1，当与在同一直线上时，求证：；
（2）如图2，当时，求证：．
22. 已知，如图（1）在平行四边形中，点分别在上，且．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）如图（2），若，延长交于点G，求证：．
（3）在第（2）小题的条件下，连接，交于点H，若，求的长．
23. 如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，y轴上一点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结，，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．
24. 在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究．如图（1），在菱形中，为锐角，为中点，连接，将菱形沿折叠，得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点．
（1）【观察发现】与的位置关系是______；
（2）【思考表达】连接，判断与是否相等，并说明理由；
（3）如图（2），延长交于点，连接，请探究的度数，并说明理由；
（4）【综合运用】如图（3），当时，连接，延长交于点，连接，请写出、、之间的数量关系，并说明理由．山东省泰安第六中学2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题
一、选择题（共10小题，每小题4分）
1. 一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则该几何体的主视图为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】从正面看，注意“长对正，宽相等、高平齐”，根据所放置的小立方体的个数判断出主视图图形即可．
【详解】解：从正面看所得到的图形为选项中的图形．
故选：．
【点睛】考查几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图．掌握以上知识是解题的关键．
2. 实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据数轴判定a,b的正负，利用绝对值，实数大小比较原则，不等式的基本性质判断即可．
【详解】解：如图所示，
∵数a在原点的左边，数b在原点的右边，
∴a＜-1，１＞b＞0，且|a|＞1，|b|＜1，
∴，a＜b，
∴A不符合题意；
∴D符合题意；
∵|a|＞1，
∴-a＞1，
∴-a＞b，
∴B不符合题意；
∵1＞b＞0，
∴-1＜b＜0，
∴a＜-b，
∴C不符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了数轴，实数大小的比较，不等式的性质，绝对值，灵活运用数形结合思想，用好实数大小比较的基本原则和不等式的性质是解题的关键．
3. 2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米＝0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为（　　）
A. 2.2×108 B. 2.2×10﹣8 C. 0.22×10﹣7 D. 22×108
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：0.000000022＝2.2×10﹣8，
故选：B．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，注意负指数与原数小点的位数之间的关系.
4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重台，这样的图形叫做轴对称图形，正确掌握中心对称图形与轴对称图形定义是解题关键．．
【详解】解：A.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此不选项符合题意；
C.该图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数幂的除法法则、合并同类项法则、单项式乘单项式的运算法则、完全平方公式解答即可．
【详解】A选项：，原计算正确，故此选项符合题意；
B选项：与不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
C选项：，原计算错误，故此选项不符合题意；
D选项：，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握同底数幂的除法法则、合并同类项法则、单项式乘单项式的运算法则、完全平方公式．
6. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 同旁内角互补
B. 对角线相等的四边形各边中点连线所得四边形是矩形
C. 五边形的内角和为
D. 三点确定一个圆
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行线的性质、矩形的判定方法、多边形的内角和定理及确定圆的条件分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、对角线相等的四边形各边中点连线所得四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、五边形的内角和为，正确，是真命题，符合题意；
D、不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
7. 成立的条件是( )．
A. x＜1且x≠0 B. x＞0且x≠1 C. 0＜x≤1 D. 0＜x＜1
【答案】C
【解析】
【详解】根据题意得，，解得0＜x≤1，故选C.
8. 利用我们数学课本上的科学计算器进行计算，其按键顺序如下：
则输出结果应为（ ）
A. 55 B. 54.5 C. 54 D. 53
【答案】A
【解析】
【分析】根据按键顺序可知是求9个数的平均数，据此列式计算解答即可．
【详解】解：根据按键顺序得，
＝55
故选：A．
【点睛】本题考查了利用计算器求平均数．掌握用计算器计算平均数的方法步骤是解题的关键．
9. 如图，几何体上半部为三棱柱，下半部为圆柱，其俯视图是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：从上面看易得俯视图为
故选C．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图．
10. 如图1，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中曲线部分为轴对称图形，为最低点，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，等腰三角形的性质，结合图形分析题意并判断是解题关键．
由图得，当点运动到点和店处时，长都是5，即，当最短时，即垂直时长为4，根据勾股定理求出，再由三线合一定理求出，即可根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：由图得，当点运动到点和店处时，长都是5，即，
当最短时，即垂直时长为4，
如图，
在中，
，，
，
，，
，
，
．
故选：C．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11. 若（a－2）2＋＝0，则a＋b的立方根是___________．
【答案】
【解析】
【分析】由先求解的值，再求解的立方根即可得到答案．
【详解】解：
的立方根是
故答案为：
【点睛】本题考查的是偶次方，算术平方根的非负性的应用，立方根的含义，掌握偶次方，算术平方根的非负性是解题的关键．
12. 如图，将直角三角形沿方向平移后，得到直角三角形．已知，则阴影部分的面积为__．
【答案】51
【解析】
【分析】根据平移的性质可知：AB=DE，S△ABC=S△DEF，△GBF为△ABC和△DEF的公共部分，所以S阴影部分=S梯形DEBG，所以求梯形的面积即可．
【详解】解：由平移的性质知，AB=DE=10，S△ABC=S△DEF，
∵△GBF为△ABC和△DEF的公共部分，
∴S阴影部分=S梯形DEBG，
∵∠E=90°，
∴BE是梯形DEBG的高；
∵BG=AB-AG=10-3=7，
∴S阴影部分=S梯形DEBG=×（7+10）×6=51．
故答案为：51．
【点睛】本题考查了平移的性质．把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．
13. 已知一元二次方程的两根为m，n，则代数式的值为____．
【答案】
【解析】
【分析】由一元二次方程的两根为m，n，可得再把原代数式化为：，再整体代入求值即可得到答案．
【详解】解：一元二次方程的两根为m，n，
故答案为：
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，利用完全平方公式的变形求代数式的值，掌握以上知识是解题的关键．
14. 关于x的一元二次方程无实数根，则k的取值范围为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得到，然后解不等式即可．
【详解】解：由题意得，
解不等式即可得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及解一元一次不等式，关键是根据题意方程无实数根得到关于k的不等式．
15. 如图，点O是矩形的中心，E是上的点，沿折叠后，点B恰好与点O重合，若，则折痕的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】由折叠的性质可得，则可得，所以，，则可求，，，在中，由勾股定理可求．
【详解】解：∵点O是矩形的中心，
∴，
由折叠可得，，，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
即，
∴，
∴，
在中，．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查折叠的性质，矩形性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握折叠的性质、矩形的性质、勾股定理是解题的关键．
16. 如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形AnBn﹣1Bn顶点Bn的横坐标为________________．
【答案】 ．
【解析】
【详解】由题意得OA=OA1=2，
∴OB1=OA1=2，B1B2=B1A2=4，B2A3=B2B3=8，
∴B1（2，0），B2（6，0），B3（14，0）…，
2=22﹣2，6=23﹣2，14=24﹣2，…
∴Bn的横坐标为，
故答案：．
三、解答题（本大题共8个小题，共86分，解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．）
17. 先化简，再求值：，其中满足．
【答案】，
【解析】
【分析】先将所有分式的分子与分母因式分解，同时计算括号内的减法，再计算乘法，最后计算加减法化简，再解方程组求出a，b的值代入计算即可．
【详解】解：原式
，
∵，
∴，
∴原式．
【点睛】此题考查了分式的混合运算及化简求值，解二元一次方程组，正确掌握各运算法则是解题的关键．
18. 某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．
（1）第一批饮料进货单价多少元？
（2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？
【答案】（1）第一批饮料进货单价为8元．（2）销售单价至少为11元．
【解析】
【分析】（1）设第一批饮料进货单价为元，根据等量关系第二批饮料数量是第一批的3倍，列方程进行求解即可；
（2）设销售单价为元，根据两批全部售完后，获利不少于1200元，列不等式进行求解即可得．
【详解】（1）设第一批饮料进货单价为元，则：
解得：
经检验：是分式方程的解
答：第一批饮料进货单价为8元．
（2）设销售单价为元，则：
，
化简得：，
解得：，
答：销售单价至少为11元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找出等量关系与不等关系是关键．
19. 如今很多初中生喜欢购头饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此某班数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：A．白开水，B．瓶装矿泉水，C．碳酸饮料，D．非碳酸饮料．根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题
（1）这个班级有多少名同学？并补全条形统计图；
（2）若该班同学每人每天只饮用一种饮品（每种仅限一瓶，价格如下表），则该班同学每天用于饮品的人均花费是多少元？
饮品名称 白开水 瓶装矿泉水 碳酸饮料 非碳酸饮料
平均价格（元/瓶） 0 2 3 4
（3）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在饮用白开水的5名班委干部（其中有两位班长记为A，B，其余三位记为C，D，E）中随机抽取2名班委干部作良好习惯监督员，请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到2名班长的概率．
【答案】（1）这个班级的学生人数为50人，补全图形见解析；（2）该班同学每天用于饮品的人均花费是2.2元；（3）恰好抽到2名班长的概率为．
【解析】
【分析】（1）由B饮品的人数及其所占百分比可得总人数，再根据各饮品的人数之和等于总人数求出C的人数即可补全图形；
（2）根据加权平均数的定义计算可得；
（3）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，再根据概率公式计算可得．
【详解】（1）这个班级的学生人数为（人），
选择C饮品的人数为（人），
补全图形如下：
（2）（元），
答：该班同学每天用于饮品的人均花费是2.2元；
（3）画树状图如下：
由树状图知共有20种等可能结果，其中恰好抽到2名班长的有2种结果，
所以恰好抽到2名班长的概率为．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，与坐标轴分别交于、两点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出中的取值范围；
(3)求的面积．
【答案】(1)y=-2x+6；(2) 或；(3)3．
【解析】
【分析】（1）将点A、点B的坐标分别代入解析式即可求出m、n的值，从而求出两点坐标；
（2）由图直接解答；
（3）将△AOB的面积转化为S△AON-S△BON的面积即可．
【详解】(1)∵点在反比例函数上，
∴，解得，
∴点的坐标为，
又∵点也在反比例函数上，
∴，解得，
∴点的坐标为，
又∵点、在图象上，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为．
(2)根据图象得：时，的取值范围为或；
(3)∵直线与轴的交点为，
∴点的坐标为，
．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，利用图像解不等式，及割补法求图形的面积，数形结合是解题的关键．
21. 已知两个等腰有公共顶点C，，连接是的中点，连接．
（1）如图1，当与在同一直线上时，求证：；
（2）如图2，当时，求证：．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】（1）法一：延长交于点，易证为等腰直角三角形，得到，进而得到为的中位线，即可得证；法二：延长交于，证明，进而推出是等腰直角三角形，得到，进而得到，即可得证；
（2）法一：延长交于点D，连接，易得，，证明，得到，即可得证；法二：延长交于D，连接、，分别证明，推出是等腰直角三角形，进而得证．
【小问1详解】
解：法一：
如图：延长交于点，
∵等腰有公共顶点C，，
∴，，，
∴，
∴，
∴点为线段的中点，
又∵点为线段的中点，
∴为的中位线，
∴；
法二：
如图，延长交于，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵在等腰直角中，，
∴，
∴；．
【小问2详解】
法一：
如图，延长交于点D，连接，则：，
∵，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∴点B为中点，又点M为中点，
∴．
延长与交于点G，连接，
同法可得：，，
∴点E为中点，又点M为中点，
∴．
在与中，
，
∴，
∴，
∴．
法二：
如图，延长交于D，连接、，
∵等腰直角三角形，为等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，以及斜边上的中线等于斜边的一半．解题的关键是添加合适的辅助线，证明三角形全等．
22. 已知，如图（1）在平行四边形中，点分别在上，且．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）如图（2），若，延长交于点G，求证：．
（3）在第（2）小题的条件下，连接，交于点H，若，求的长．
【答案】（1）见解析（2）见解析
（3）8
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，再根据补角的性质可得，可证得，即可；
（2）根据，可得，再由平行四边形的性质可得，从而得到，可证明，即可；
（3）根据菱形的性质可得，再由平行线分线段的性质，可得，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形；
【小问2详解】
证明：由（1）知，，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∴，
又∵，
∴；
【小问3详解】
解：在菱形中，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
23. 如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，y轴上一点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结，，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，或或
【解析】
【分析】（1）由二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，得二次函数顶点为，设顶点式，将点代入即可求出函数解析式；
（2）连接，根据求出S与t的函数关系式；
（3）设，分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，由中点坐标公式求出n即可．
【小问1详解】
解：二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，
二次函数顶点为，
设二次函数解析式为，
将点代入得，，
，
；
【小问2详解】
如图，连接，
当时，，
或2，，
点P在抛物线上，
点P的纵坐标为，
；
【小问3详解】
设，
当为对角线时，由中点坐标公式得，，，，
当为对角线时，由中点坐标公式得，，，，
当为对角线时，由中点坐标公式得，，，，
综上：或或．
【点睛】此题考查了待定系数法求抛物线的解析式，抛物线与图形面积，平行四边形的性质，熟练掌握待定系数法及平行四边形是性质是解题的关键．
24. 在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究．如图（1），在菱形中，为锐角，为中点，连接，将菱形沿折叠，得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点．
（1）【观察发现】与的位置关系是______；
（2）【思考表达】连接，判断与是否相等，并说明理由；
（3）如图（2），延长交于点，连接，请探究的度数，并说明理由；
（4）【综合运用】如图（3），当时，连接，延长交于点，连接，请写出、、之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；
（2），理由见解析；
（3），理由见解析；
（4），理由见解析．
【解析】
【分析】（1）利用菱形的性质和翻折变换的性质判断即可；
（2）连接，，由可知点B、、C在以为直径,E为圆心的圆上，则，由翻折变换的性质可得，证明，可得结论；
（3）连接，，，延长至点H，求出，，可得，然后证明，可得，进而得到即可解决问题．
（4）延长交的延长线于点，过点作交的延长线于点，设，，解直角三角形求出，，利用勾股定理求出，然后根据相似三角形的判定和性质及平行线分线段成比例求出，，再根据勾股定理列式即可得出结论．
【小问1详解】
解：∵在菱形中，，
∴由翻折的性质可知，，
故答案为：；
【小问2详解】
解：，
理由：如图，连接，，
∵为中点，
∴，
∴点B、、C在以为直径,E为圆心的圆上，
∴，
∴，
由翻折变换的性质可知，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：结论：；
理由：如图，连接，，，延长至点H，
由翻折的性质可知，
设，，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，点B、、C在以为直径,E为圆心的圆上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问4详解】
解：结论：，
理由：如图，延长交的延长线于点，过点作交的延长线于点，
设，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
在中，则有，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，翻折变换，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．

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