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沈阳铁路实验中学2023—2024学年高一下学期4月月考
数学试卷
（试卷满分150分，考试用时120分钟）
班级__________ 姓名__________ 学号__________.
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1.已知单位向量的夹角为，则（ ）
A.9 B. C.10 D.
2.在单位圆中，长度为的弦所对的劣弧长是（ ）
A. B. C. D.
3.是的（ ）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件
4.如果是第一象限角，则（ ）
A.且 B.且
C.且 D.且
5.已知向量，向量满足，则（ ）
A. B. C. D.
6.定义在上的三个函数，其零点分别为，则它们的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
7.将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若在区间上恰有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数的部分图象如下，与其交于两点.若，则（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
二 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.关于函数，下列说法正确的是（ ）
A.该函数的最小正周期为
B.该函数在区间上单调递增
C.该函数的图象关于点对称
D.若，则
10.下列选项正确的是（ ）
A.若锐角的终边经过点，则
B.中，“”是“是钝角三角形”的充要条件
C.函数的对称中心是
D.若，则
11.已知函数的部分图像如图所示，则（ ）
A.的周期为6
B.
C.将的图像向右平移个单位长度后所得的图像关于原点对称
D.在区间上单调递减
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.设扇形的周长为，则当扇形的面积最大时，其圆心角的弧度数为__________.
13.若及是关于的方程的两个实根，则实数的值为__________.
14.函数在区间上为增函数，当的值最大时，函数的零点个数为__________.
四 解答题：本题共5小题，共87分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）设两个向量满足，
（1）求方向的单位向量；
（2）若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围.
16.（15分）已知函数，其中为第三象限角且
（1）求的值；
（2）求的值.
17.（15分）已知函数，若把的图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍后，再将图象向右平移个单位，可以得到.
（1）求函数的周期和解析式；
（2）求在上的值域；
（3）若在区间上有5个不同的解，求的取值范围.
18.（17分）函数的一段图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）求在上的单调减区间；
（3）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.
19.（17分）已知函数，将函数向右平移个单位得到的图像关于轴对称且当时，取得最大值.
（1）求函数的解析式：
（2）将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，且，求的值.
（3）方程在上有4个不相等的实数根，求实数的取值范围.
沈阳铁路实验中学2023—2024学年高一下学期4月月考
数学试卷
参考答案与解析
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1.【答案】B
【分析】
根据题意，由平面向量模的计算公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】
由题意可得，
故.
故选：B.
2.【答案】A
【分析】
由单位圆中的弦长，求出弦所对的劣弧的圆心角，可求弧长.
【详解】
单位圆中，弦长度为为中点，
则有，
由，得，
弦所对的劣弧，所对的圆心角为，则，
由圆的半径为1，所以弦所对的劣弧长等于.
故答案为：
3.【答案】B
【分析】
利用充分必要条件的知识，结合正弦函数的定义即可得解.
【详解】当时，取，则，即充分性不成立；
当时，假设，显然此时有，矛盾，
所以假设不成立，即必有，即必要性成立；
综上，是的必要非充分条件.
故选：B.
4.【答案】C
【分析】
根据的象限确定的象限，即可排除，再确定的象限，即可排除.
【详解】
因为是第一象限角，则，
所以，
所以是第一或第三象限角，则或，故排除B D；
又，
所以的终边在第一 第二象限或在轴的非负半轴上，则，
当的终边在轴的非负半轴上时，无意义，故排除.
故选：C
5.【答案】C
【分析】设出，根据题意利用向量的坐标运算列式运算求解.
【详解】设，则，
由，得，
又，得，即，
联立，解得.
.
故选：C.
6.【答案】A
7.【答案】B
【分析】根据图像平移可得，令，结合题意分析可知在上恰有两个零点，进而列式求解.
【详解】因为，
因为，则，
由题意可知：在上恰有两个零点，
注意到区间的中点为，
则在上恰有两个零点，
可得，解得，
8.【答案】A
二 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.【答案】ABC
【分析】结合函数来分析选项，化简函数在结合函数在区间上的单调性及性质即可判断选项B，利用函数对称性的性质判断选项C，举反例说明选项D即可.
【详解】由，
所以函数的周期为，
又因为函数的最小正周期为，
故的最小正周期也为，故选项正确；
当时，在单调递增且，
所以，
由上述可知在单调递减且，
所以在单调递增，故选项B正确；
因为
，
所以函数的图象关于点对称，故C正确，
因为，故时，不一定为0，
故D不正确，
故选：ABC.
10.【答案】AD
【分析】利用三角函数定义及诱导公式可判定A，利用余弦函数的性质，三角形内角的范围
结合充分必要条件的定义可判定B，利用正切函数的性质可判定C，利用诱导公式可判定D.
【详解】对：利用三角函数定义可知，且，所以，故A正确；
对：在中，由可知为钝角，满足充分性，而是钝角三角形，并不能确定哪个内角为钝角，不满足必要性，故错误；
对C：令，
知函数的对称中心是，故C错误；
对D：根据诱导公式，故D正确.
故选：AD
11.【答案】ABD
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】2.
【解析】方法一：设扇形的半径为，则扇形的弧长，扇形的面积，由二次函数知识，当（满足）时，
扇形的面积取最大值，
此时，扇形的弧长，扇形圆心角的弧度数.
方法二：设设扇形的半径为，弧长为，则扇形的周长，
由基本不等式，扇形的面积，当且仅当时取等号，
此时，扇形的圆心角的弧度数.
13.【答案】
【解析】因为及是关于的方程的两个实根，
则，
因为且，
所以，即，
解得：或，
因为方程有两个实根，
所以，解得：或，
所以，
故答案为：.
14.【答案】6.
【解析】因为在区间上单调递增，
故在区间上为单调递增.
由题知，存在使得成立，则必有
则，解得，故，所以的最大值为.
当时，函数的零点个数转化为函数与的图象的公共点的个数.
画图得：
由图知与的图象的公共点的个数共6个，即的零点个数为6个.
四 解答题：本题共5小题，共87分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由已知，
所以，所以，
即方向的单位向量为；
（2）由已知，
所以，
因为向量与向量的夹角为钝角，
所以，且向量不与向量反向共线，
设，则，解得，
从而，
解得
16.【答案】（1）；（2）
【详解】（1）
，
为第三象限角，故，故，
原式.
（2）
.
17.【解析】（1）横向压缩得，，
周期；
再右移个单位得，，
又
（2）令
又在上单调递增，在上单调递减，
时，时，，
在上的值域为
（3）在区间上有5个不同的解，由函数图象可知，区间的长度大于两个周期，小于等于3个周期，故.
18.【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）
【解析】（1）由图象知，，
将图象上的点代入中，得，
结合图象可知，则，
又，所以，故.
（2）令得：
又，令得：；令得：
在上的单调减区间是
（3）当，即时，取最小值.
又存在，使不等式成立，
，即，即，
即或
的取值范围为.
19.【解析】解：（1），依题意的图像关于轴对称，则有，即，而，即有或，
当时，，符合要求，当时，，不符合要求，所以函数的解析式是.
（2）由图象平移过程知，
若，则，
而在上递减，在上递增，显然两侧关于对称，
若且，则，可得，
所以.
（3）由（1）知，令，当时，，
由题意有关于的方程有两个不等的实根，
且与在上均有两个不等的实根，
当时，的图象如图所示，故即关于的方程在上有两个不等的实根，
令，则，解得
所以实数的取值范围.

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