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第14题 三角形中常遇求范围，活用定理转化与回归
在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，则的取值范围是______．
从三角形边的关系出发，运用余弦定理结合均值不等式求解，注意等号成立的条件.
∵，，∴由，得．
∴．∵，∴．
∴，当且仅当时取等号．
又∵，当b或c趋向于零时，趋向于3．
∴．
（2020·浙江·统考高考真题）
1．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（I）求角B的大小；
（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
整体换元， 设，结合余弦定理，构造关于b的二次方程，由判别式法求新元亦即的取值范围.
设，
∵，，
∴由，得．
．∴．
即，∴．
∴，∴，∴．
当时，，又，∴．
∴．
（2022·全国·统考高考真题）
2．已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ．
三角换元，利用三角函数有界性求的取值范围
设，则，
∵，，∴由，得．
∴，∴，即．
∵，∴，∴．∴．
∴，即．
另辟蹊径：由得得．
由得，解得，即．
（2020·全国·统考高考真题）
3．中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC.
（1）求A；
（2）若BC=3，求周长的最大值.
构造的外接圆，巧用对称性，在平面直角坐标系内通过数形结合，设的外接圆方程为，并设BC与x轴平行，点，求得，．将问题转化成坐标运算求解.
如图所示建立平面直角坐标系，设的外接圆方程为，不妨设BC与x轴平行，设点，易得，．
∴．
由图可得．∴，即．
（2024上·江苏扬州·高二统考期末）
4．在中，已知D为边BC上一点，，．若的最大值为2，则常数的值为（ ）
A． B． C． D．
利用正弦定理把化为三角函数，即，通过三角恒等变形、辅助角公式结合三角函数的有界性求解.
∵，，
由，可得．
∴．
∵．
∴
．
∵，则，∴．
∴．∴．
（2023·全国·高三专题练习）
5．在锐角中，，，的对边分别是，，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
（2023·全国·高三专题练习）
6．在锐角中，，，的对边分别是，，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
（2023上·四川成都·高三石室中学范围）
7．在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（2022·湖北武汉·武汉二中校考模拟预测）
8．在锐角中，，则角的范围是 ，的取值范围为 .
（2023上·广东云浮·高三范围）
9．在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
(1)若，，求的面积；
(2)若，求周长的取值范围．
（2019·全国·高考真题）
10．的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
11．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答.
已知的角，，对边分别为，，而且___________.
（1）求；
（2）求周长的范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（I）；（II）
【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B的大小；
（II）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得的取值范围.
【详解】（I）
[方法一]：余弦定理
由，得，即.
结合余弦定，
∴，
即，
即，
即，
即，
∵为锐角三角形，∴，
∴，
所以，
又B为的一个内角，故.
[方法二]【最优解】：正弦定理边化角
由，结合正弦定理可得：
为锐角三角形，故.
（II） [方法一]：余弦定理基本不等式
因为，并利用余弦定理整理得，
即.
结合，得.
由临界状态（不妨取）可知.
而为锐角三角形，所以.
由余弦定理得，
，代入化简得
故的取值范围是.
[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质
结合(1)的结论有：
.
由可得：，，
则，.
即的取值范围是.
【整体点评】（I）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解.
2．##
【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.
【详解】[方法一]：余弦定理
设，
则在中，，
在中，，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，.
故答案为：.
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.
则C（2t,0），A（1，），B（-t,0）
[方法三]：余弦定理
设BD=x,CD=2x.由余弦定理得
，，
，，
令，则，
，
，
当且仅当，即时等号成立.
[方法四]：判别式法
设，则
在中，，
在中，，
所以，记，
则
由方程有解得：
即，解得：
所以，此时
所以当取最小值时，，即.

3．（1）；（2）.
【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得；
（2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果.
【详解】（1）由正弦定理可得：，
，
，.
（2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式
由余弦定理得：，
即.
（当且仅当时取等号），
，
解得：（当且仅当时取等号），
周长，周长的最大值为.
[方法二]：正弦化角（通性通法）
设，则，根据正弦定理可知，所以，当且仅当，即时，等号成立．此时周长的最大值为．
[方法三]：余弦与三角换元结合
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知当时，，
所以周长的最大值为．
【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；
方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.
方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决.
方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.
4．D
【分析】令且，求得外接圆半径为，若，结合已知得点在圆被分割的优弧上运动，进而确定的最大，只需与圆相切，综合运用两点距离、圆的性质、正弦定理、三角恒等变换列方程求参数.
【详解】令且，即，则外接圆半径为，
若，的外接圆方程为，
所以，令圆心为，
即点在圆被分割的优弧上运动，如下图，
要使的最大，只需与圆相切，由上易知，
则，而，由圆的性质有，
中，，显然，
由，则，
所以，可得（负值舍），
故，而，
所以，
整理得，则.
故选：D
【点睛】关键点点睛：令且，得到点在圆被分割的优弧上运动为关键.
5．A
【分析】根据题意得，进而得到，再由得，，所以，代入化简求解即可.
【详解】在锐角中，，因为，，,
所以，，解得，
所以，，而，
，
所以，
所以由正弦定理可知：
，
因为，所以，所以，
即.
故选：A.
6．A
【分析】根据题意得，进而得到，再由得，，所以，代入化简求解即可.
【详解】在锐角中，，因为，，,
所以，，解得，
所以，，而，
，
所以，
所以由正弦定理可知：
，
因为，所以，所以，
即.
故选：A.
7．C
【分析】先根据余弦定理和面积公式得到，结合同角的三角函数基本关系时可得，故可求的取值范围，结合对勾函数的单调性可求的取值范围.
【详解】在中，由余弦定理得，且的面积，
由，得，化简得，
又，，联立得，
解得或（舍去），
所以，
因为为锐角三角形，所以，，所以，
所以，所以，所以，
设，其中，所以，
由对勾函数单调性知在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，；当时，；
所以，即的取值范围是．
故选：C.
8．
【分析】由已知结合余弦定理，正弦定理及和差角公式进行化简可得，的关系，结合锐角三角形条件可求，的范围，然后结合对勾函数的单调性可求．
【详解】解：因为及，
所以，
由正弦定理得，
所以，
整理得，
即，
所以，即，
又为锐角三角形，所以，解得，
故，，
则
，
令，则，在上单调递增，在上单调递减，
又，，
故，即．
故答案为：；．
9．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化，即可得到，再由三角形的面积公式，即可得到结果；
（2）根据题意，由余弦定理结合基本不等式，即可得到结果.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
则，
所以，
即，
因为，所以，
又易知，所以，
因为，所以．
因为，，，
所以．
（2）在中，，，由余弦定理得，
所以，
即，即，
所以，当且仅当时等号成立，
又，所以，
所以，
故周长的取值范围是．
10．(1) ;(2).
【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得.
(2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域.
【详解】(1)
[方法一]【最优解：利用三角形内角和为结合正弦定理求角度】
由三角形的内角和定理得，
此时就变为．
由诱导公式得，所以．
在中，由正弦定理知，
此时就有，即，
再由二倍角的正弦公式得，解得．
[方法二]【利用正弦定理解方程求得的值可得的值】
由解法1得，
两边平方得，即．
又，即，所以，
进一步整理得，
解得，因此．
[方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为求得的比例关系】
根据题意，由正弦定理得，
因为，故，
消去得．
，，因为故或者，
而根据题意，故不成立，所以，
又因为，代入得，所以.
(2)
[方法一]【最优解：利用锐角三角形求得C的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】
因为是锐角三角形，又，所以，
则．
因为，所以，则，
从而，故面积的取值范围是．
[方法二]【由题意求得边的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】
由题设及（1）知的面积．
因为为锐角三角形，且，
所以即
又由余弦定理得，所以即，
所以，故面积的取值范围是．
[方法三]【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】
如图，在中，过点A作，垂足为，作与交于点．
由题设及（1）知的面积，因为为锐角三角形，且，
所以点C位于在线段上且不含端点，从而，
即，即，所以，
故面积的取值范围是．

【整体点评】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理，与三角形内角和相结合是常用的方法；
方法二：方程思想是解题的关键，解三角形的问题可以利用余弦值确定角度值；
方法三：由正弦定理结合角度关系可得内角的比例关系，从而确定角的大小.
(2)方法一：由题意结合角度的范围求解面积的范围是常规的做法；
方法二：将面积问题转化为边长的问题，然后求解边长的范围可得面积的范围；
方法三：极限思想和数形结合体现了思维的灵活性，要求学生对几何有深刻的认识和灵活的应用.
11．条件选择见解析；（1）；（2）.
【分析】（1）选①：由条件结合正弦定理可得，即得出答案.
选②：由条件结合诱导公式、正弦定理和二倍角公式可得，从而得出答案.
选③：由条件结合正弦定理可得，再根据余弦定理可得答案.
（2）由（1）结合余弦定理可得,利用均值不等式可得周长的最大值，再利用三角形中两边之和大于第三边可得出答案.
【详解】解：（1）选①：
由正弦定理得
即：
因为
因为
选②：
由正弦定理得
因为
因为，所以，
因为
选③：
因为，
所以，即，
所以，
因为，所以；
（2）由（1）可知：，
在中，由余弦定理得，即，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，即周长的最大值为.
又因为，所以周长的取值范围为
【点睛】关键点睛：本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，解题的关键是利用正弦定理进行边化角，第（2）问中结合（1）的结果，利用余弦定理得到，先配方再利用均值不等式求出的范围，最后三角形中两边之和大于第三边得到三角形周长的范围，属于中档题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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