资源简介

第14题 三角函数图象定式，各类性质一目了然
如图所示为函数的一段图像，求其解析式．
先求，设函数的周期为，由，可得，从而.通过观察图象中的最大值点，代入解析式，求得．
先求，设函数的周期为，则，∴，∴．
∴所求解析式为．
∵当时函数取得最大值．
∴，又∵，∴．
∴所求函数的解析式为．
（23-24高一下·江西九江·阶段练习）
1．函数的部分图象如图所示，则函数的单调递减区间为（ ）

A． B．
C． D．
先求，设函数的周期为，由，可得，从而.通过确定图象中的起始点，代入解析式，求得．
先求，设函数的周期为，则，∴，∴．
∴所求解析式为．
把函数图像向左补充，可知应是“五点法”作图中的第一点，则，解得．
∴所求函数的解析式为．
（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）
2．已知函数的一段图象过点，如图所示，则函数（ ）
A． B．
C． D．

先求，设函数的周期为，由，可得，从而.通过确定图象中的“第五个点”坐标，代入解析式，求得．
根据“五点法”作图，应是“五点法”作图中的第五点，则有，解得．
∴所求函数的解析式为．
（23-24高三下·山东潍坊·阶段练习）
3．函数的部分图象如图所示，则的解析式为 .
先求，设函数的周期为，由，可得，从而.通过观察函数图像向左扩展，平移个单位长度可得到的图像，求得．
先求，设函数的周期为，则，∴，∴．
∴所求解析式为．
把函数图像向左扩展（补充）知，的图像向左平移个单位长度可得到的图像，于是有，即．
∴所求函数的解析式为．
4．若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是 ．
先求，设函数的周期为，由，可得，从而.根据点在所给图像上，把这一点坐标代入得，再根据点在递减的一段上，求得．
先求，设函数的周期为，则，∴，∴．
∴所求解析式为．
由题目中图可知在所给图像上，把这一点坐标代入得，又点在递减的一段上．
∴．
由此有，∴，又∵，∴．
最后求A，所求函数解析式为．又图像过点，∴，A＝2．
∴所求函数的解析式为．
（23-24高三下·湖北襄阳·开学考试）
5．函数（，）的图象如图所示，与轴的交点坐标为，与直线的相邻三个交点的横坐标依次为，，，则的值为 ．
1．三角函数的图像
三角函数的性质如有界性、单调性、奇偶性、周期性等是数形结合绝妙体现．对称轴、对称中心、函数的零点在图像上可以直接反映出来，利用三角函数的图像可以确定解析式中参数的值，比如对函数来说，由图像确定函数的最大值M和最小值m，求得，．由图像确定周期T，求得．由图像寻找第一个零点求得初相，由图像得到对称轴方程，对称中心坐标．由图像确定函数定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性、最值以及函数零点的个数等问题．
2．函数的图像与性质，
值域与最值 值域为，当时，函数有最大值A；当时，函数有最小值（其中）
周期 （频率是）
对称性 函数图像关于点成中心对称；关于直线成轴对称（其中）
单调性 在区间上单调递增；
在区间上单调递减（其中）
3．求三角函数的值域
求三角函数的值域，必须熟练地根据题型确定求值域的方法，如配方法、图像法、换元法、函数单调性法等，最常见的方法如下．
（1）转化为二次函数型，通过配方法求值域．如型．
（2）利用正弦、余弦函数的有界性，一般利用公式（其中），，则．
（3）换元法．如函数解析式中同时含有，时，令，有，等．
4．求三角函数的周期
求三角函数的周期时，要善于通过三角恒等变形将复杂函数转化为常见三角函数，并注意结合图形进行分析，化归与直观化是求周期的基本思想方法，常见三角函数为，，，其最小正周期分别为，，．
5．三角函数的单调性
三角函数的单调性是研究三角函数大小的比较、三角函数值域、最值问题的重要工具，研究三角函数的单调性时一定要注意整体思维，如求函数的单调区间，可先将看作一个整体，然后代入的单调区间，若，则必须先运用诱导公式使之符合要求再进行求解．
6．函数对称性与周期性之间的关系
通过类比可得，对于任意函数，其对称性与周期性之间有如下关系．
（1）若函数的图像有两条对称轴和，则是的一个周期．
（2）若函数有两个对称中心、，则是的一个周期．
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则是的一个周期．
7．三角函数的对称性规律
关于三角函数的对称性又有如下的规律．
（1）函数的图像的对称轴由解得，对称中心的横坐标由解得，纵坐标为B．
（2）函数的图像的对称轴由解得，对称中心的横坐标由解得，纵坐标为B．
（3）函数的图像的对称中心的横坐标由解得，纵坐标为B．
（4）一般地，对于函数，若满足，则函数自身关于对称；若满足，则函数自身关于点对称，要注意函数图像对称与两个图像之间对称的区别，如和关于对称．
8．三角函数的奇偶性规律
关于三角函数奇偶性的3个规律如下．
（1）函数是奇函数；函数是偶函数．
（2）函数是奇函数；函数是偶函数．
（3）函数是奇函数．
（23-24高一下·广东韶关·阶段练习）
6．函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）

A． B．
C． D．
（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）
7．函数的图象如图所示，直线经过函数图象的最高点和最低点，则（ ）

A． B．0 C． D．
（23-24高一下·河南驻马店·阶段练习）
8．已知函数的图象过点，且在区间上具有单调性，则的取值范围可以为（ ）
A． B． C． D．
（2024·广西南宁·一模）
9．在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．在适当的直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．，频率为，初相为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在上的值域为
D．若把图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位，则所得函数是
（23-24高三下·北京海淀·开学考试）
10．已知函数，若，且函数的部分图象如图所示，则等于 ．
11．设函数（A，，是常数，，），若在区间上具有单调性，且，求的最小正周期．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】根据图象得到，得到最小正周期，进而求出的值，代入图象所过的定点坐标可求出的值，由图象平移得到，整体法即可求出函数的递减区间.
【详解】依题意可得，解得，
设函数最小正周期为，则，
又，所以，解得，
所以，
又过点，
所以，即，
所以，所以，
又，所以，所以.
故，
令，解得，
故其单调递减区间为.
故选：C.
2．D
【分析】通过三个连续零点的值可以求出函数的周期，根据最小正周期公式可以求出的值，将特殊点代入解析式中，可以求出，的值，进而确定函数解析式.
【详解】由图知，，则.
由图知，在取得最大值，且图象经过，故，
所以，故，
又因为，所以，
函数又经过，故，得.
所以函数的表达式为．
故选：D .
3．
【分析】由正弦型函数的图象可知，由图象过，，求解函数的解析式即可.
【详解】根据图象可得, 而，则，
所以或，又，所以，
由得则，即,
由，所以，
故时，，所以.
故答案为：.
4．
【分析】根据平移求出的解析式，由题可得为偶函数，即可求出.
【详解】将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，该图象关于y轴对称，即为偶函数，
因此，所以，
故时得的最小正值为.
故答案为：.
5．##
【分析】根据图象求出周期得，再代入点求得值.
【详解】由图象知，所以，
将点代入得，
又因为在增区间内，故，
又因为，所以，
所以.
故答案为：
6．C
【分析】首先根据函数图象得到的解析式，再根据平移变换求解即可.
【详解】由图知： 解得，
因为，所以，则，即
因为，
所以，即.
因为，得，
所以
所以
故选：C.
7．D
【分析】根据图象得到，，从而得到函数最小正周期，故，代入特殊点坐标，得到，得到函数解析式，结合函数的周期求出答案.
【详解】由的解析式可知，，
中，令得，令得，
故，，即，．
故的周期．即，解得，
故，则，得，．
因为，所以．则．
，，，
，，，
，，……，
因为，．
所以．
故选：D．
8．AC
【分析】由函数的图象过点求得，根据函数的单调性，结合三角函数的性质列式求得的范围，即可得解.
【详解】因为函数的图象过点，所以，得，
因为，所以，所以，
当时，，
因为在区间上具有单调性，
所以，，
即且，，
则，，
因为，得，
因为，所以时，，则，故A正确；
当时，，故C正确；B、D错误.
故选：AC.
9．BCD
【分析】根据图象求出三角函数解析式，再根据正弦函数图象与性质以及函数平移的原则即可判断.
【详解】由图象可得，
频率是，
即，
，
对于A，，初相是，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，因为，所以，
在上的值域为，故C正确；
对于D，把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数为，
又向左平移个单位，得到的函数为，故D正确；
故选：BCD.
10．
【分析】根据以及的部分图象，可判断的零点以及单调情况，从而求得最小正周期，可得的值，再结合零点，即可求得答案.
【详解】由题意知，故，
结合函数的部分图象可知是在一个周期内的3个零点，
且在上满足，在上单调递增，在上单调递减，
在上满足，在上单调递减，在上单调递增，
故的最小正周期为，则；
将代入，得,
即，由于，故，
故答案为：
11．
【分析】根据函数在区间上具有单调性可得；再根据可知其图象的一条对称轴为，和其相邻的一个对称中心为，即可求解周期．
【详解】由函数在区间上具有单调性可知，，，
又，且，
所以函数关于直线对称，
由可得函数的一个对称中心为，
即其图象关于成中心对称，
故,是距离最近的一个对称中心．故函数的最小正周期．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑