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压轴小题4圆内接四边形周长最值问题
【哈尔滨师大附中 东北师大附中辽宁省实验中学2024年高三第二次联合】． “不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按图中数据，以“矩”量之，若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板周长的最大值为（ ）
A. B. C. D.
由勾股定理计算圆的直径，再由正弦定理、余弦定理解三角形结合基本不等式计算即可.
由勾股定理易知圆的直径，如图所示设，
由正弦定理知，
由余弦定理知：，
①，
同理②，
∴，当且仅当时取得等号.
∴A正确.
1．如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台，已知射线，为湿地两边夹角为的公路（长度均超过千米），在两条公路，上分别设立游客接送点，，且千米，若要求观景台与两接送点所成角与互补且观景台在的右侧，并在观景台与接送点，之间建造两条观光线路与，则观光线路之和最长是（ ）
A． B． C． D．
由正弦，余弦定理建立函数关系式，再由柯西不等式求最值．
由已知，设截得的四边形木板为ABCD．
．
由，得．
在△ABD中，．
即，．
．
∴，当且仅当，即时，等号成立．
同理，∴，选A．
先计算圆的直径，再利用正弦定理化边为角，根据辅助角公式及三角函数有界性计算即可.
由已知，圆形木板的直径为．
设截得的四边形ABCD．
，．
由得．
在△ABD中，．
，
．
同理可得，，选A．
（23-24高二下·湖北·阶段练习）
2．若满足，，则最小值是（ ）
A． B． C． D．
利用圆内接四边形的性质构造等腰三角形化折线段为直线段，根据正弦定理、三角函数有界性，半角公式计算即可.
圆直径
设则，
延长DA至，使，延长DC至，使
则，∴，
同理，
∴周长
.
3．定义平面凸四边形为平面上每个内角度数都小于的四边形．已知在平面凸四边形中，，，，，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．将一直径为的圆形木板，截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板周长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）
5．已知外接圆半径为，，为锐角，则下列正确的是（ ）
A．
B．周长的最小值为
C．的取值范围为
D．的最大值为
6．如图，有一块半圆形广场，计划规划出一个等腰梯形的形状的活动场地，它的下底是的直径为，上底的端点在圆周上，其他几个弓形区域将进行盆景装饰.为研究这个梯形周长的变化情况，提出以下两种方案：方案一：设腰长，周长为；方案二：设，周长为，则（ ）
A．当，在定义域内增大时，先增大后减小，先减小后增大
B．当，在定义域内增大时，先增大后减小，先增大后减小
C．当，在定义域内增大时，先减小后增大，先减小后增大
D．梯形的周长有最大值为
（22-23高一下·重庆九龙坡·阶段练习）
7．锐角内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其外接圆O的半径，点D在边BC上，且，是靠近的三等分点，则下列判断正确的是（ ）

A．
B．
C．周长的取值范围是
D．的最大值为
8．如图，扇形OPQ的半径为6，圆心角为60°，C为弧上一动点，B为半径上一点且满足，则的周长的最大值是 ．
（2023·陕西西安·模拟预测）
9．在平面四边形ABCD中，，，，当AC的长度最小时，的取值范围是 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】求出，，在中，利用余弦定理结合基本不等式即可得出答案.
【详解】解：在中，因为，，
所以，
又与互补，所以，
在中，由余弦定理得：，
即，即，
因为，
所以，
所以，当且仅当时，取等号，
所以观光线路之和最长是4.
故选：B.
2．D
【分析】代入化简可得，再设，，根据辅助角公式求解即可.
【详解】由题意，
.
因为，故可设，，
则，其中.
故当时取小值.
故选：D
3．A
【分析】利用余弦定理可求得，从而得到，结合凸四边形定义可求得的范围；利用正弦定理表示出，由角的范围可求得正弦值的取值范围，由此可得结果.
【详解】
在中，由余弦定理得：，
且，，，，
，，
，；
在中，由正弦定理得：，；
当时，，，
又，
，即的取值范围为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形中的边长取值范围的求解问题，解题关键是能够利用正弦定理将问题转化为三角函数值域的求解问题，从而通过确定角的范围来确定所求边长的取值范围.
4．D
【分析】根据正弦定理得，进而由余弦定理结合基本不等式即可求解.
【详解】如图：不妨设,则,由正弦定理可得,
在三角形中，由余弦定理可得,
由于,所以，
当且仅当时，等号成立，
在中， ,
由余弦定理可得,
由于,所以，
当且仅当时，等号成立，
故这块四边形的周长，
所以这块四边形木板周长的最大值为.
故选：D
5．D
【分析】选项A，由余弦定理化简得，代入已知可得；选项B，由正弦定理化边为角转化为三角函数型值域求解；选项C，由，由两角和余弦公式展开化简为，由正切函数图象求值域即可；选项D，由正弦定理化边为角，结合三角恒等变换求函数值域.
【详解】对于A，已知外接圆半径,,
由余弦定理得，，
则，故A错误；
对于B，由正弦定理得，
解得，又为锐角，所以，
则周长为
因为，则，
则，故周长无最小值，故B错误；
对于C，
故，
所以的取值范围为，故C错误；
对于D，由正弦定理得，则，
所以，
则
，
因为，所以，
则当，故D正确.
故选：D.
6．BD
【分析】方案一：连接，，在中，设，，由余弦定理，得，，，在中，，同理可得，进而得出周长与单调性.
方案二：连接，可得，，，作于，于，利用直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、二次函数的单调性即可得出.
【详解】方案一：如图所示，连接，则，
在中，设，，
由余弦定理，得
，，
，
在中，,
同理，
，
，
梯形的周长：，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
梯形的周长有最大值为.
方案二：连接，则，
，
作于，于，
得，
，
梯形的周长：
，
可得在内单调递增，在内单调递减.
故选：B D．
【点睛】关键点点睛：本题考查了含有三角函数的复合函数的单调性，解题的关键是表达与，考查了分析能力、运算能力.
7．ABD
【分析】由正弦定理可判断A；由同弧所对的圆心角为圆周角的两倍求得，进而得出，在中，由余弦定理得，然后由勾股定理可判断B；利用正弦定理将周长转化为三角函数，然后求值域可判断C；数形结合可判断D．
【详解】对于A：
由题知，，由正弦定理可得，
又为锐角三角形，所以，故A正确；
对于B：
因为，且是靠近的三等分点，
所以，，
连接，由（1）得，则，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以，即，故B正确；
对于C：
因为，
所以，，
则周长
，
因为为锐角三角形，
故，解得，
所以，
所以，
所以，故C错误；
对于D：
易知，当A、O、D三点共线时取得最大值，
所以AD的最大值为，故D正确，
故选：ABD．

8．##
【分析】设，则，然后利用正弦定理表示出，相加化简后利用三角函数的性质可求出其最大值
【详解】设，则，由正弦定理得
，即，
所以，
所以的周长为
，
因为，所以，
所以当时，取得最大值，即 的周长的最大值为，
故答案为：
9．
【分析】在中，利用余弦定理结合基本不等式求出的最小值，再在中，利用正弦定理求出，再结合三角函数即可得解.
【详解】在平面四边形ABCD中，，，
在中，
由余弦定理得
，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为，
在中，，
由正弦定理得，
则，
，
故，
因为，所以，所以，
所以的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：在中，利用余弦定理结合基本不等式求出的最小值是解决本题的关键.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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