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第六章 计数原理
第6.2.1讲 排列与排列数
1．理解排列、全排列的意义．掌握排列数公式及其推导方法，重点培养数学抽象核心素养．
2．能用树形图写出一个排列问题的所有排列，并能用排列数公式解决一些简单问题，重点提升数学运算核心素养.
1、利用排列数公式化简与求值
2、与排列数有关的方程、不等式问题
3、排列数的综合应用
　排列与排列数
1．排列与全排列的定义
一般地，从n个不同对象中，任取m（m≤n）个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列．特别地，m＝n时的排列（即取出所有对象的排列）称为全排列．
2．排列数及其公式
（1）排列数定义
从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数，用符号A表示．
（2）排列数公式
A＝ ＝n（n－1）…（n－m＋1），这个公式称为排列数公式．特别地，当m＝n时，A＝n×（n－1）×…×2×1＝n!
[点睛]
1．排列的定义中包含两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”．
2．一个排列就是完成一件事的一种方法，不同的排列就是完成一件事的不同方法．
3．在定义中“一定的顺序”就是说与位置有关，在实际问题中，究竟何时有关，何时无关，要由具体问题的性质和条件来决定，这一点要特别注意，这也是与后面学习的组合的根本区别．
4．“排列”与“排列数”是两个不同的概念，“排列”是指“按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一件事，“排列数”是指“从n个不同元素中取出m（m，n都是正整数，m≤n）个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数．
题型1、利用排列数公式化简与求值
1．已知，那么（ ）
A．5 B．9 C．10 D．11
2．设，且，则（　　）
A． B．
C． D．
3．已知，则n的值是（　　）
A．2 B．6
C．7 D．8
4．等于（　　）
A．107 B．323
C．320 D．348
5．下列各式中与排列数相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型2、与排列数有关的方程、不等式问题
6．已知，则x等于（ ）
A．6 B．13 C．6或13 D．12
7．不等式的解集是（　　）
A． B．
C． D．
8．已知，则（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
9．已知，则n的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
题型3、排列数的综合应用
11．某班联欢会原定3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目不相邻，那么不同的插法种数为（ ）
A．6 B．12 C．20 D．72
12．甲、乙、丙等6人站在一起，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（ ）
A．108种 B．96种 C．84种 D．72种
13．南阳市博物院为国家二级博物馆，是豫西南最大的地方综合性博物馆、文化新地标，是展示南阳悠久历史和灿烂文化的重要窗口.南阳市博物院每周一闭馆（节假日除外）.某学校计划于2024年3月4日（周一）——3月10日（周日）组织高一、高二、高三年级的同学去南阳市博物院参观研学，每天只能有一个年级参观，其中高一年级需要连续两天，高二、高三年级各需要一天，则不同的方案有（ ）
A．20种 B．50种 C．60种 D．100种
14．某5位同学排成一排准备照相时，又来了甲 乙 丙3位同学要加入，若保持原来5位同学的相对顺序不变，且甲 乙2位同学互不相邻，丙同学不站在两端，则不同的加入方法共有（ ）
A．360种 B．144种 C．180种 D．192种
15．2023年夏天贵州榕江的村超联赛火爆全国，吸引了国内众多业余球队参赛．现有六个参赛队伍代表站成一排照相，如果贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队必须相邻，同时南昌拌粉队与温江烤肉队不能相邻，那么不同的站法共有（ ）种．
A．144 B．72 C．36 D．24
一、单选题
16．为贯彻文明校园，东湖中学每周安排5名学生志愿者参加文明监督岗工作，若每周只值3天班，每班1人，每人每周最多值一班，则不同的排班种类为（ ）
A．12 B．45 C．60 D．90
17．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的三位数的个数为（ ）
A．120 B．86 C．72 D．60
18．A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法种数为（ ）
A．3种 B．4种
C．6种 D．12种
19．甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙不相邻，排法种数为（　　）
A．12 B．36 C．48 D．72
20．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．为传承和弘扬中华优秀传统文化，某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“礼”在第一次，“射”和“御”两次相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ）
A．48种 B．36种 C．24种 D．20种
21．停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有（　　）
A．种 B．种
C．种 D．种
22．寒冬己至，大雪纷飞，峨眉山顶银装素裹.成实外教育集团的5位学生相约一起爬山观景.其中位女生，位男生，在到达零公里时，为了安全起见，他们排队前进，为了照顾大家安全，位男生不能相邻，且女生甲怕猴子，不能排在最后一个，则不同的排法种数共有（ ）
A． B． C． D．
23．贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛在黔东南苗族侗族自治州台江县台盘村开赛.该联赛由台盘村“六月六”吃新节篮球赛发展演变而来，被网友称为“村BA”.村BA给全国人民展现的不仅是贵州人热爱生活的精神，更展现了如今欣欣向荣的贵州山水人文，同时给贵州的旅游带来巨大的收益.2023年8月20日晚上村BA西南大区赛总决赛落下帷幕，为庆祝比赛顺利结束，主办方设置一场扣篮表演，分别由重庆、贵州、四川、云南代表队每队各选出2名球员参加扣篮表演，贵州队作为东道主，扣篮表演必须在第一位及最后一位，那么一共有（ ）种表演顺序.
A． B． C． D．
二、多选题
24．现有6个同学排成一排照相，其中甲、乙两位同学不能相邻，则不同的排法有（ ）种
A． B． C． D．
25．某班星期一上午要安排语文、数学、英语、物理4节课，且该天上午总共4节课，下列结论正确的是（ ）
A．若数学课不安排在第一节，则有18种不同的安排方法
B．若语文课和数学课必须相邻，且语文课排在数学课前面，则有6种不同的安排方法
C．若语文课和数学课不能相邻，则有12种不同的安排方法
D．若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排，则有3种不同的安排方法
三、填空题
26．为了贯彻落实党史学习教育成果，某校名师“学史力行”送教井冈山中学．现有理科语文 数学 英语 物理 化学 生物6名理科老师要安排在该中学理科1到6班上一节公开示范课，每个班级只安排一名老师上课且每个老师只在一个班上一节课，要求数学老师不能安排在1班，化学老师不能安排在6班，则不同的安排上课的方法数为 ．
27．编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1，2号盒子中，B球必须放在与A球相邻的盒子中，则不同的放法有 种．
四、解答题
28．计算下列各式的值：
(1)；
(2)(，且)．
29．用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字：
(1)六位奇数；
(2)个位数字不是5的六位数；
(3)比400000大的正整数.
30．有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求排列的方法总数：
(1)选其中4人排成一排；
(2)全体排成一排，男生必须站在一起；
(3)全体排成一排，女生互不相邻.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】利用排列数公式计算可得答案.
【详解】因为，
所以，
则.
故选：C.
2．A
【分析】
先确定最大数，再确定因式的个数，即可得答案
【详解】
先确定最大数，即，
再确定因式的个数，即，
所以.
故选：A
3．C
【分析】
根据排列数公式，将已知条件展开，即可得出答案.
【详解】因为，所以，化简整理可得，
解得或，
又，所以，所以.
故选：C
4．D
【分析】
根据排列数计算即可；
【详解】.
故选：D.
5．D
【分析】
根据排列数公式计算可得.
【详解】因为，故A，B错误；
而，则，故D正确；
又，故C错误；
故选：D．
6．A
【分析】根据排列数公式，化简计算，结合x的范围，即可得答案.
【详解】由题意得，
化简可得，解得或6，
因为，所以且，故.
故选：A.
7．D
【分析】
根据排列数公式计算即可.
【详解】
由，
得，解得，
所以不等式的解集是.
故选：D.
8．C
【分析】
直接根据排列数的性质化简求解即可.
【详解】因为，
则，
整理可得，
解得，经检验，满足题意．
故选：C.
9．C
【分析】
根据给定条件，利用排列数公式计算作答.
【详解】因为，而，即有，于是，
所以n的值为5.
故选：C
10．D
【分析】
根据题意，利用排列数公式和排列数的性质，列出方程求得，结合，即可求解.
【详解】
由，可得，整理得，解得，
又因为，解得，
综上可得，又由 所以.
故选：D.
11．B
【分析】利用插空法结合排列组合计数方法求解.
【详解】这2个新节目插入节目单中且不相邻，则在原定3个节目已排成节目单产生的4个空位中，
选2个位置安排2个新节目，且两个新节目顺序可变，此时有种插法.
故选：B
12．B
【分析】
分类讨论：乙丙及中间人占据首四位、乙丙及中间人占据中间四位、乙丙及中间人占据尾四位，然后根据分类加法计数原理求得结果.
【详解】因为乙和丙之间恰有2人，所以乙丙及中间人占据首四位或中间四位或尾四位，
当乙丙及中间人占据首四位，此时还剩最后2位，甲不在两端，
第一步先排末位有种，第二步将甲和中间人排入有种，第三步排乙丙有种，
由分步乘法计数原理可得有种；
当乙丙及中间人占据中间四位，此时两端还剩2位，甲不在两端，
第一步先排两端有种，第二步将甲和中间人排入有种，第三步排乙丙有种，
由分步乘法计数原理可得有种；
乙丙及中间人占据尾四位，此时还剩前2位，甲不在两端，
第一步先排首位有种，第二步将甲和中间人排入有种，第三步排乙丙有种，
由分步乘法计数原理可得有种；
由分类加法计数原理可知，一共有种排法.
故选：B.
13．C
【分析】根据条件，利用分步计数原理即可求出结果.
【详解】因为博物院每周一闭馆，
所以高一年级可以从周二和周三，周三和周四，周四和周五，周五和周六，周六和周日中选择2日去参观，共5种选择，
再从剩下的四天里安排高二、高三年级，有种安排方法，
根据分步计数原理，知不同的方案有种，
故选：C.
14．D
【分析】
按丙是否在甲 乙中间分两种情况；当丙不在甲乙中间时，利用插空法和分步乘法计数原理可计算；当丙在甲乙中间时，利用捆绑法、插空法及分步乘法计数原理可计算；最后利用分类加法计数原理即可求解.
【详解】
分两种情况：
当丙不在甲 乙中间时，先加入甲，有种方法，再加入乙，有种方法，最后加入丙，有种方法，此时不同的加入方法共有种；
当丙在甲 乙中间时，共有种方法.
故不同的加入方法共有种.
故选：D
15．A
【分析】利用相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法求解即可.
【详解】先将不相邻的两队排除，将贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队看成一个整体，与余下两队先排，有种方法，再将不相邻的两队插入他们的空隙中，有种方法，最后落实贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队的具体排法有种方法，故不同的站法有种.
故选：A.
16．C
【分析】
根据题意得，从5个人中选出3人进行排列，即可求出值班当天不同的排班种类.
【详解】5名志愿者参加文明监督岗工作，每周只值3天班，每班1人，每人每周最多值一班，
则不同的排班种类为：.
故选：C.
17．D
【分析】根据排列数计算出正确答案.
【详解】依题意，组成的无重复数字的三位数的个数为.
故选：D
18．C
【分析】
根据排列的含义，以及排列数的计算，即得答案.
【详解】
由题意所有排列的方法种数为，
故答案为：C
19．D
【分析】甲和乙不相邻，先排丙、丁、戊三人，再将甲乙插空即可．
【详解】先排丙、丁、戊三人，共有种排法，
甲和乙不相邻，再将甲、乙插空，
共有种排法，故排法种数为．
故选：D
20．A
【分析】
利用捆绑法确定正确答案.
【详解】依题意，“礼”在第一次，固定，
“射”和“御”两次相邻，两者捆绑，与另外艺进行排列，
所以“六艺”讲座不同的次序共有种，
故选：A
21．D
【分析】
根据排列的知识求得正确答案.
【详解】将个空车位视为一个元素，与辆车共个元素进行全排列，共有种．
故选：D
22．A
【分析】
种类一：一位男生在最后，先排女生，再排另一位男生；种类二：女生在最后，先排女生，注意女生甲特殊，优先排列，最后男生插空，最后分类相加.
【详解】种类一：一位男生在最后，此时有种情况，
位女生全排列有种情况，
最后将剩余一位男生插入女生所形成的个空中，且不在女生最后，共种情况，
所以共种情况；
种类二：
男生不相邻，可先排女生，又女生甲不在最后，
所以女生甲有种排法，
其他为女生有种排法，
最后男生插入女生所形成的个空中，且不在女生最后，共种情况，
共种情况；
综上所述，共种情况，
故选：A.
23．C
【分析】
先确定贵州两名球员的顺序，再确定其余6人的表演顺序即可.
【详解】
由题意易知，一共有8个人需要排列.先确定贵州两名球员的顺序为，在确定其余6人顺序为，由分步乘法原理可得一共有种顺序.
故选：C.
24．BC
【分析】
利用插空法求解或先求出甲、乙两位同学相邻的不同排法，再利用没有要求的排法减去即可.
【详解】先将除甲、乙两位同学的为同学排好，
再将甲、乙两位同学插入个空，
则不同的排法有种，
假如甲、乙两位同学相邻，
则有种排法，
所以甲、乙两位同学不能相邻，不同的排法有种.
故选：BC.
25．ABC
【分析】选项A将数学排在后三节，再将其余3个科目全排列即可；选项B采用捆绑法进行求解；选项C采用插空法进行求解；选项D根据除序法进行求解.
【详解】对于A，有种排法，故A正确；
对于B，采用捆绑法，有种排法，故B正确；
对于C，采用插空法，有种排法，故C正确；
对于D，有种排法，故D错误．
故选：ABC
26．504
【分析】根据排列计算公式，结合特殊元素法求解排列数即可得出答案.
【详解】根据计数原理可以将事情分成两类：化学老师安排在1班和化学老师不安排在1班.
①化学老师排在1班，先排1班，有1种方法，其余5个班的老师做全排列共有种方法；
②化学老师不在1班，先排1班，有4种方法，再排6班有4种方法，余下4个班有种方法，所以共有：种方法.
所以不同的安排上课的方法数为.
故答案为：504.
27．30
【分析】
根据A球所在位置分三种情况，利用排列知识进行求解，相加后得到答案.
【详解】
根据A球所在位置分三类：
若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，有种不同的放法，
则根据分步计数原理，此时有种不同的放法；
若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，有种不同的放法，则根据分步计数原理，此时有种不同的放法；
若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号，3号，5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C，D，E，有种不同的放法，
根据分步计数原理，此时有种不同的放法．
综上所述，由分类计数原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30种．
故答案为：30
28．(1)3
(2)1
【分析】
（1）（2）根据排列数公式计算可得.
【详解】（1）；
（2）
．
29．(1)288
(2)504
(3)240
【分析】（1）先在个位排1个奇数，然后在首位排除0之外的数字，再利用分步乘法计数原理可求得结果；
（2）分两类，个位数字是0，和不是0，利用两个计数原理进行求解即可；
（3）要比400000大，首位必须是4或5，其余位数全排列，从而利用分步计数原理即可得解．
【详解】（1）先排个位数，有种，
因为0不能在首位，再排首位有种，最后排其它有，
根据分步计数原理得，六位奇数有；
（2）因为0是特殊元素，分两类，个位数字是0，和不是0，
当个位数是0，有，
当个位不数是0，有，
根据分类计数原理得，个位数字不是5的六位数有；
（3）要比400000大，首位必须是4或5，其余位数全排列即可，
所以有（个）.
30．(1)840
(2)720
(3)144
【分析】
（1）从7人中选4人排成一排，利用排列数公式可求得结果；
（2）利用捆绑法即得；
（3）利用插空法即求．
【详解】（1）
从7人中选4人排列，有（种）
（2）
将男生看作一个整体与4名女生一起全排列，有种方法；再将男生全排列，有种方法，共有（种）；
（3）
先排女生，有种方法，再在女生之间3个空位中安排男生，有种方法，共有（种）
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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