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第六章 计数原理
第6.2.2讲 组合与组合数
1．理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系，重点培养数学抽象核心素养．
2．理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，组合数的性质，并能简单应用．重点提升数学运算、逻辑推理核心素养．
1、与组合数有关的计算与证明
2、简单的组合应用题
3、分组问题的综合应用
组合与组合数
1．组合的定义
一般地，从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象并成一组，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合．
2．组合数的定义、公式
组合数定义 从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数，用符号C表示．
组合数公式 乘积式 C＝＝
阶乘式 C＝
[点睛]
1．排列与组合的异同点
排列 组合
相同点 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
不同点 与元素的顺序有关 与元素的顺序无关
2.排列问题和组合问题的区分方法
排列问题 若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关
组合问题 若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关
组合数的性质
组合数的性质
(1)性质1：C＝C；；(2)性质2：C＝C＋C．
题型1、与组合数有关的计算与证明
1．（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
2．（ ）
A．120 B．119 C．110 D．109
3．（ ）
A．110 B．98 C．124 D．148
4．下列等式错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列关于排列数与组合数的等式中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
题型2、简单的组合应用题
6．四名同学分别到3个小区参加九江市创文志愿者活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数是（ ）
A．36 B．24 C．64 D．81
7．一支由12人组成的登山队准备向一座海拔5888米的山峰攀登，这12人中姓赵、钱、孙、李、周、吴的各有2人．现准备从这12人中随机挑选4人组成先遣队，如果这4人中恰有2人同姓，则不同的挑选方法的种数为（ ）
A．480 B．270 C．240 D．60
8．某冰淇淋店至少需要准备种不同口味的冰淇淋，才能满足其广告所称“任选两种不同口味的冰淇淋的组合数超过100”．若来店里的顾客从这m种冰淇淋中任选一种或两种不同口味的冰淇淋，则不同的选择方法有（ ）
A．110种 B．115种 C．120种 D．125种
9．2023年3月27日，贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛冠军战在黔东南州台江县台盘村打响.主办方举办了一场扣篮表演，由获得冠军的球队派出甲 乙 丙 丁4个球员参加扣篮表演，则甲不在第一位也不在最后一位出场的情况有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．72种
10．中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的传统工艺品.经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型.现将4盏相同的宫灯、3盏不同的纱灯、2盏不同的吊灯挂成一排，要求吊灯挂两端，同一类型的灯笼至多2盏相邻挂，则不同挂法种数为（ ）
A．216 B．228 C．384 D．486
题型3、分组问题的综合应用
11．2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为（ ）
A．50 B．36 C．26 D．14
12．为了全面推进乡村振兴，加快农村、农业现代化建设，某市准备派6位乡村振兴指导员到A，B，C，3地指导工作；每地上午和下午各安排一位乡村振兴指导员，且每位乡村振兴指导员只能被安排一次，其中张指导员不安排到地，李指导员不安排在下午，则不同的安排方案共有（ ）
A．180种 B．240种 C．480种 D．540种
13．北山中学在学校“236”发展目标的引领下，不断推进教育教学工作的高质量发展，学生社团得到迅猛发展．现有高一新生中的五名同学打算参加“地理行知社”“英语ABC”“篮球之家”“生物研启社”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“生物研启社”，则不同的参加方法的种数为（ ）
A．72 B．108 C．180 D．216
14．2023年杭州亚运会已圆满落幕，志愿者“小青荷”们让世界看到了新时代中国青年的风采.早在2021年5月，杭州A公司便响应号召，在全公司范围内组织亚运会志愿者的报名与培训，经过选拔，最终有3名党员和3名团员共6人脱颖而出.在彩排环节，需从这6人中选派2人去游泳馆，2人去篮球馆，且要求每个场馆均至少有一位党员，则不同的选派结果有（ ）
A．54种 B．45种 C．36种 D．18种
15．甲、乙、丙、丁4个学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有五个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，则4个学校中至少有3个学校所选研学基地不相同的选择种数共有（ ）
A．420 B．460 C．480 D．520
一、单选题
16．计算的值是（ ）
A．62 B．102 C．152 D．540
17．五一小长假期间，旅游公司决定从6辆旅游大巴A B C D E F中选出4辆分别开往紫蒙湖 美林谷 黄岗梁 乌兰布统四个景区承担载客任务，要求每个景区都要有一辆大巴前往，每辆大巴只开往一个景区，且这6辆大巴中A B不去乌兰布统，则不同的选择方案共有（ ）
A．360 B．240 C．216 D．168
18．某学校为了解学生参加体育活动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取80名学生，已知该校初中部和高中部分别有250名和150名学生，则不同的抽样结果共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
19．7个人分4张无座音乐会门票，每人至多1张，票必须分完，那么不同的分法种类为（ ）
A．35 B．84 C．360 D．840
20．名学生参加数学建模活动，有个不同的数学建模小组，每个小组分配名学生，则不同的分配方法种数为（ ）
A． B． C． D．
21．盒子中有红球3个，黄球4个，任取3个球，则抽到2个红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
22．某校准备下一周举办运动会，甲、乙、丙、丁4位同学报名参加这4个项目的比赛，每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加项目，则不同的报名方法种数有（ ）
A．18 B．21 C．23 D．72
23．陕西历史博物馆秦汉馆以“秦汉文明”为主题，采用“大历史小主题”展览叙述结构，将于2024年5月18日正式对公众开放．届时，将有6名同学到三个展厅做志愿者，每名同学只去1个展厅，主展厅“秦汉文明”安排3名，遗址展厅“城与陵”安排2名，艺术展厅“技与美”安排1名，则不同的安排方法共有（ ）
A．360种 B．120种 C．60种 D．30种
二、多选题
24．下列等式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
25．甲乙丙等人的身高互不相同，站成一排进行列队训练，则（ ）
A．甲乙不相邻的不同排法有种
B．甲乙中间恰排一个人的不同排法有种
C．甲乙不排在两端的不同排法有种
D．甲在乙左侧（可以不相邻）的不同排法有种
三、填空题
26．若，则正整数的值是 .
27．从数字1，2，3，4中选出3个不同的数字构成四位数，且相邻数位上的数字不相同，则这样的四位数共有 个．
四、解答题
28．男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名.现选派 5人外出参加比赛.
(1)队长中至少有1人参加，有多少种选派方法
(2)参赛的运动员需要分坐在两辆车上(每辆车上至少有一名运动员)，有多少种安排方式
29．有5对夫妇和A，B共12人参加一场婚宴，他们被安排在一张有12个座位的圆桌上就餐（旋转之后算相同坐法），而后进行合影留念.
(1)就餐时，5对夫妇都相邻而坐，其中甲、乙二人的太太是闺蜜要相邻而坐，A，B不相邻，共有多少种坐法；
(2)合影时，若随机选择5人站成一排进行合影，求有且只有1对夫妇被选中且合影时相邻的概率．
30．为庆祝3.8妇女节，东湖中学举行了教职工气排球比赛，赛制要求每个年级派出十名成员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛.
(1)一共有多少不同的分组方案？
(2)在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照1、2、3、4、5号位站好，为争取最好成绩，高二年级选择了、、、、、六名女老师进行训练，经训练发现不能站在5号位，若、同时上场，必须站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】
先根据组合数的性质将其化简，再运用组合数计算公式即得.
【详解】由.
故选：C.
2．B
【分析】由组合数公式不断迭代即可得解.
【详解】因为，
所以.
故选：B.
3．A
【分析】
利用排列数与组合数的计算公式即可得解.
【详解】.
故选：A.
4．A
【分析】结合组合数和排列数的计算公式即可判断.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确，
故选：A
5．C
【分析】由题意利用排列数公式和组合数公式，逐项化简、计算，即可求解.
【详解】根据排列数公式和组合数公式，可得：
由，所以A正确；
由，，
所以B正确；
由，，所以C不正确；
由，所以D正确.
故选：C.
6．A
【分析】
确定必有2名同学去同一个小区，选出这2名同学，然后将3组同学分到3个小区，即可求得答案.
【详解】
由题意可知必有2名同学去同一个小区，
故不同的安排方法种数是（种）.
故选：A
7．C
【分析】
方法一：运用直接法的分步乘法计数原理，结合平均分组与不平均分组相关知识计算；方法二：运用间接法，在剩余的10人中挑选不是同姓的2人时用所有可能情况减去不符合的情况即可得到种数.
【详解】
方法一：
先在12人中挑选同姓的2人，方法有（种），
然后在剩余的10人中，挑选不是同姓的2人，方法有（种），
所以不同的挑选方法的种数是.
方法二：
先在12人中挑选同姓的2人，方法有（种），
然后在剩余的10人中，挑选不是同姓的2人，方法有（种），
所以不同的挑选方法的种数是.
故选；C
8．C
【分析】
根据组合数的计算可得，即可结合分类加法计数原理求解.
【详解】
从种不同口味的冰淇淋中任选两种不同口味的冰淇淋的组合数为，令，得，因此．若来店里的顾客从这15种冰淇淋中任选一种或两种不同口味的冰淇淋，则不同的选择方法共有（种），
故选:C．
9．A
【分析】
利用排列组合数，首先安排甲的位置，其它三人作全排，再由分步乘法原理即可解出.
【详解】
由题意，甲在第二 三位选一个位置有种，其他三人在剩下的三个位置上进行全排列有种，
所以甲不在第一位且不在最后一位出场共有种情况.
故选：A
10．A
【分析】
先在两端挂2盏吊灯，再在2盏吊灯之间挂3盏纱灯，求出其挂法，最后将宫灯插空挂，考虑宫灯的分组情况，结合分步以及分类计数原理，即可求得答案.
【详解】
先挂2盏吊灯有种挂法，再在2盏吊灯之间挂3盏纱灯有种挂法，
最后将宫灯插空挂.
当4盏宫灯分成2，2两份插空时有种挂法；
当4盏宫灯分成1，1，2三份插空时有种挂法；
当4盏宫灯分成1，1，1，1四份插空时有1种挂法，
所以共有种不同的挂法.
故选：A
11．A
【分析】按照和分组讨论安排.
【详解】（1）按照分3组安装，
①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有种，
②若志愿者甲和另一个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有种，
（2）按照分3组安装，
①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有种，
②若志愿者甲和另两个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有种，
故共有种，
故选：A.
12．B
【分析】
分两种情况讨论：李指导员安排在C地上午时和李指导员不安排在C地上午时，再结合排列组合定义即可解决.
【详解】李指导员安排在C地上午时，张指导员有种安排方案，其余4位指导员有种安排方案，则共有种安排方案；
李指导员不安排在C地上午时，李指导员有种安排方案，张指导员有种安排方案，其余4位指导员有种安排方案，则共有种安排方案；
综上，共有96+144=240种安排方案.
故选：B
13．C
【分析】
根据甲参加的社团分类，分甲参加的社团只有1人和参加的社团有2人，由分步和分类计数原理可得．
【详解】根据题意分析可得，必有2人参加同一社团.
首先分析甲，甲不参加“生物研启社”， 则有3种情况，
再分析其他4人，若甲与另外1人参加同一个社团，则有（种）情况；
若甲是单独1个人参加一个社团，则有（种）情况．
则除甲外的4人有（种）参加方法．
故不同的参加方法的种数为
故选：C
14．A
【分析】
根据全部情况中去掉不符合条件的情况即可结合排列组合求解.
【详解】从这6人中选派2人去游泳馆，2人去篮球馆一共有种选派方法，
若游泳馆没有党员，篮球馆有党员，则有种，
同理游泳馆有党员，篮球馆没有党员，则有种，
故从这6人中选派2人去游泳馆，2人去篮球馆，且要求每个场馆均至少有一位党员，则不同的选派结果有，
故选：A
15．C
【分析】
根据给定条件，利用两个原理结合排列、组合应用列式计算即得.
【详解】求不相同的选择种数有两类办法：恰有3个学校所选研学基地不同有种方法，
4个学校所选研学基地都不相同有种方法，
所以不相同的选择种数有（种）.
故选：C
16．A
【分析】利用组合和排列数公式计算
【详解】
故选：A
17．B
【分析】优先考虑去乌兰布统，再把剩下的三个景区各安排一辆大巴前往，利用分步计算原理得解.
【详解】这6辆旅游大巴，A B不去乌兰布统，则不同的选择方案共有种.
故选：B.
18．A
【分析】
利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案．
【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取 人，高中部共抽取人，
根据组合公式和分布计数原理则不同的抽样结果共有种
故选：A．
19．A
【分析】
在7人中选出4人，分得门票即可，由组合数公式计算可得答案．
【详解】根据题意，“无座门票”是相同的元素，本题是组合问题，
则有种分法.
故选：A
20．B
【分析】
依次分配第一、二、三组，结合平均分组法可得出不同的分配方法种数.
【详解】名学生参加数学建模活动，有个不同的数学建模小组，每个小组分配名学生
则不同的分配方法种数为种.
故选：B.
21．A
【分析】
由古典概型概率公式可得.
【详解】盒子中有红球3个，黄球4个，从盒子中任取3个球，共有种取法，
3球中抽到个红球，则有个黄球，故取法有种，
由古典概型的概率公式得所求事件的概率为.
故选：A.
22．A
【分析】
根据特殊元素优先安排的方法，先安顿好甲，再安排其他同学即可.
【详解】
要做到每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加项目，可以分成两步完成：
① 让甲在三个项目中任选一个，有种方法；
② 让另外三个同学在剩下的三个项目中各任选一个，有种方法.
由分步乘法计数原理，可得符合条件的报名方法种数为.
故选：A.
23．C
【分析】直接分组即可，利用乘法原理计算．
【详解】由题意安排方法共有．
故选：C．
24．BCD
【分析】
根据排列数公式和组合数公式验证．
【详解】对于A，，，A错；
对于B，，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，
∴，D正确．
故选：BCD．
25．BC
【分析】根据排列和组合的定义、结合插空法等知识逐一判断即可.
【详解】A：甲乙不相邻的不同排法有种，所以本选项不正确；
B：甲乙中间恰排一个人的不同排法有种，所以本选项正确；
C：甲乙不排在两端的不同排法有种，所以本选项正确；
D：甲在乙左侧（可以不相邻）的不同排法有种，所以本选项不正确.
故选：BC
26．1或3
【分析】应用组合数公式列出关于x的方程，即可求正整数的值.
【详解】由题设且，，
所以，即，
所以，又，
当，有，满足；
当，有，不满足；
当，有，满足；
当，有，不满足；
所以或.
故答案为：1或3
27．72
【分析】
利用分步计数原理与插空法即可得解.
【详解】
根据题意，完成这个事情可分为三步：
第一步骤：选数字，有种；
第二个步骤：将选好的三个数字确定一个重复的数字，有种，
第三个步骤：安排这三个数字在四个位置上，且相邻数位上的数字不相同，
即先安排两个不同的数字，再让两个相同的数字去插空，则有种排序方法，
根据分步计数原理可得这样的四位数共有：个.
故答案：
28．(1)196
(2)7560
【分析】
（1）求出随机选择和没有队长的情况，即可求出队长中至少有1人参加时选派方法的数量；
（2）求出随机选择人数，人随机坐和人坐同一个车中的情况，即可求出运动员分坐在两辆车上(每辆车上至少有一名运动员)时安排方式的数量.
【详解】（1）由题意，
男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名.选派 5人，
若没有队长，则有种选派方法，
若随机选择，则有种选派方法，
∴队长中至少有1人参加，有种方法.
（2）由题意，
男运动员6名，女运动员4名，选派 5人外出参加比赛，分坐在两辆车，
∴选择的人是随机的，有种情况，
若人坐同一个车中，有种情况，
若人随机坐，有种情况，
∴从人中选5人，且坐在辆不同的车中，有种情况.
29．(1)1152种
(2)
【分析】（1）先排甲、乙二人的太太及这两对夫妇，再排余下3对夫妇，最后用插空法排，，借助分步乘法计数原理计算即得.
（2）有且只有1对夫妇被选中且合影时相邻，分都被选中，只有一个被选中，都没被选中，三种情况，再按古典概型求概率.
【详解】（1）分成三步来完成第一步，排甲、乙二人的太太的座位，有2种坐法，
甲、乙二人的座位也随之确定；
第二步，排其余3对夫妇的座位，有种坐法；
第三步，排，，二人的座位，有种坐法，
根据分步乘法计数原理，共有种坐法.
（2）若随机选择5人站成一排进行合影，有种，
有且只有1对夫妇被选中且合影时相邻，
分为：当都被选中，有种，
当只有一个被选中，有种，
当都没被选中，有种，
则概率为：.
30．(1)
(2)
【分析】
（1）分成两组，根据是否平均分组分别写出即可；
（2）首先讨论有限制的、、有哪些人上场，其次若、同时上场，则利用捆绑法，求解即可.
【详解】（1）队伍分配方案可分为：①两组都是3女2男；②一组是1男4女，另一组是3男2女，
①若两组都是3女2男，
则先将6女平均分成两组共种方式，
再将4男平均分成两组共种方式，
所以两组都是3女2男的情况有种；
②一组是1男4女，另一组是3男2女的情况有种，
所以总情况数为种.
故一共有种不同的分组方案；
（2）总共可分为三种情况，如下：
①若上场且不上场：
先将全排列，共有种方式，
再把捆绑后和全排列共有种方式，
所以上场且不上场共有种不同的排列方式；
②若上场且也上场：
（i）若在1号位，先将全排列，共有种方式，
再从中选两人，有种方式，
则捆绑后和中的两人全排列，有种方式，
所以在1号位共有种不同的方式；
（ii）若在2号位，
再将全排列，且可位于3，4号位或4，5号位，共有种方式，
再从中选两人进行排列，有种方式，
所以在2号位或3号位共有种不同的方式；
（iii）若在3号位，
再将全排列，且可位于1，2号位或4，5号位，共有种方式，
再从中选两人进行排列，有种方式，
所以在2号位或3号位共有种不同的方式；
（iiii）若在4号位，
将全排列，且可位于1，2号位或2，3号位，共有种方式，
再从中选两人进行排列，有种方式，
所以在4号位共有种不同的方式.
所以上场且也上场共有种不同的方式；
③若中有一人上场且上场：
上场且不在5号位，则可位于1，2，3，4号位，有种方式，
再从中选一人，有种方式，
中的一人和共4人全排列，共种方式，
所以中有一人上场且上场共有种不同的排列方式.
综上所述，共有种排列方式.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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