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第四章 数列
第4.1.1讲 数列的概念与表示
1.通过日常生活和数学中的实例了解数列的概念和表示方法(列表法、图象法、通项公式法).　
2.了解数列是一种特殊的函数.　
3.能根据数列的前几项写出数列的通项公式，并能利用数列的通项公式写出数列的任意项.
1、数列的概念与分类
2、由数列的前几项求通项公式
3、数列通项公式的简单应用
知识点一　数列的概念
1.数列的概念
（1）按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第n个个位置上的数叫做这个数列的第n项，其中第1项也叫做首项.
（2）数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}，这里n是序号.
2.函数与数列的关系
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n).
知识点二　数列的分类
1.按项数分类：项数有限的数列叫有穷数列；项数无限的数列叫无穷数列.
2.按项的变化趋势分类
类别 含义
递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都小于_它的前一项的数列
常数列 各项都相等的数列
知识点三　数列的通项公式
1.如果数列{an}的第n项an与它的_11序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
2.数列是特殊的函数，还常用__12列表法和13图象法表示数列.用图象法表示数列时，其图象是一些离散的点.
题型1、数列的概念与分类
1．数列的通项公式是，，则它的图象是（ ）
A．直线 B．直线上孤立的点
C．抛物线 D．抛物线上孤立的点
2．已知，则数列是（ ）
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．不确定
3．下列结论中，正确的是（ ）
A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数
B．数列的项数一定是无限的
C．数列的通项公式的形式是唯一的
D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式
4．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（ ）
A．1，，，，… B．，，，
C．，，，，… D．1，，，…，
5．下列说法正确的是（ ）
A．数列与是相同的
B．数列可以表示为
C．数列与是相同的数列
D．数列的第项为
题型2、由数列的前几项求通项公式
6．在数列1，2，，，，中，是这个数列的（ ）
A．第16项 B．第24项 C．第26项 D．第28项
7．下面图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是（ ）

A． B． C． D．
8．已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
9．若，则（ ）
A．55 B．56 C．45 D．46
10．已知数列的项满足，而，则＝（ ）
A． B． C． D．
题型3、数列通项公式的简单应用
11．下列叙述正确的是（ ）
A．数列是递增数列
B．数列0，1，2，3，…的一个通项公式为
C．数列0，0，0，1，…是常数列
D．数列2，4，6，8与数列8，6，4，2是相同的数列
12．在数列中，若，则的值为（ ）
A．17 B．23 C．25 D．41
13．数列1，，，…的通项公式可能是（ ）
A． B． C． D．
14．已知数列的通项公式，记，通过计算，归纳出的表达式是（ ）
A． B． C． D．
15．已知数列满足，，则（ ）
A．2023 B．2024 C．4045 D．4047
一、单选题
16．数列的通项公式可能是（ ）
A． B． C． D．
17．数列的通项公式是，，则它的图象是（ ）
A．直线 B．直线上孤立的点
C．抛物线 D．抛物线上孤立的点
18．数列的通项公式为（ ）
A．
B．
C．
D．
19．已知数列满足：，则等于（ ）
A．32 B．64 C．48 D．128
20．在数列中，，（），则的前2022项和为（ ）
A．589 B．590 C． D．
21．下列数列是递减数列的是（ ）
A． B．
C． D．
22．已知数列的通项公式为，则数列中的最大项的项数为（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．4
23．已知满足对一切正整数均有且恒成立，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
24．（多选题）下列说法不正确的是（ ）
A．数列可以表示为
B．数列与数列是相同的数列
C．数列的第项为1＋
D．数列可记为
25．某地年月日至年月日的新冠肺炎每日确诊病例变化曲线如下图所示．
若该地这段时间的新冠肺炎每日的确诊人数按日期先后顺序构成数列，的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．数列是递增数列 B．数列不是递增数列
C．数列的最大项为 D．数列的最大项为
三、填空题
26．数列 的一个通项公式为 .
27．对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，第四层比第三层多5个，以此类推，则第20层货物的个数为 .
四、问答题
28．求下列数列的一个通项公式：
(1)，2，，4，…
(2)，，，，…
29．一个正方形被等分成九个相等的小正方形，将最中间的一个正方形挖掉，得图①；再将剩下的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将其最中间的一个正方形挖掉，得图②；如此继续下去……

(1)图③中共挖掉了多少个正方形？
(2)求每次挖掉的正方形个数所构成的数列的一个递推公式．
30．已知数列的通项公式是，画出该数列的图象．并根据图象，判断从第几项起，这个数列是递增的．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据数列的知识确定正确答案.
【详解】数列对应点为，
所以图象是直线上孤立的点.
故选：B
2．A
【分析】
根据递增数列的定义即可判断出答案.
【详解】由题意可知，
即从第二项起数列的每一项比它的前一项大，所以数列是递增数列；
故选：A
3．A
【分析】
利用数列的定义判断A；举例说明判断BC；写出数列通项公式判断D作答.
【详解】对于A，由数列定义知，A正确；
对于B，数列只有5项，该数列项数有限，B错误；
对于C，数列的通项公式可以为，
也可以为，该数列通项公式不唯一，C错误；
对于D，该数列的通项公式可以为，D错误.
故选：A
4．C
【分析】由无穷数列的概念，数列的单调性利用排除法判断．
【详解】A，B都是递减数列，D是有穷数列，只有C符合题意．
故选：C．
5．D
【分析】
运用数列的定义、数列及项的表示方法、由通项写出数列的项可判断各个选项.
【详解】对于A项，数列与是不同的，表示数列，而表示数列中的第项，故A项错误；
对于B项，是一个集合，故B项错误；
对于C项，两个数列中的数虽然相同，但顺序不同，不是相同的数列，故C项错误；
对于D项，，故D项正确.
故选：D.
6．B
【分析】根据题意求出数列的通项公式，结合通项公式分析求解.
【详解】数列可化为 ，
所以，
令，解得，
所以是这个数列的第项，
故选：B．
7．C
【分析】
由，，，可推测，以上式子累加，结合等差数列的求和公式可得答案．
【详解】
，，，，，，，，
等式两边同时累加得，即，也符合该式，
所以第个图形中小正方形的个数是．
故选：C
8．B
【分析】
根据题意，两边取倒数，然后累加即可得到结果.
【详解】，则，，，…，，以上各式相加可得，，.
故选：B
9．D
【分析】在数列递推式中依次取，得到个等式，累加后求出数列的通项公式，即可求出答案.
【详解】由，
得，，
，，，
累加得，
，
当时，上式成立，
则，
所以.
故选：D
10．B
【分析】
由，可得，然后利用累乘法可求得结果
【详解】由，得，
所以，，，……，，，（），
所以，
所以，
因为，所以，
因为满足上式，所以，
故选：B
11．A
【分析】作差即可判断A项；代入检验，即可判断B项；根据常数列以及数列的概念，即可判断C、D.
【详解】对于A项，设，
则对恒成立，
所以，数列是递增数列.故A正确；
对于B项，当时，与第一项为0不符.故B项错误；
对于C项，数列中的项并不完全相同.故C项错误；
对于D项，根据数列的概念，数列与顺序有关.
所以，数列2，4，6，8与数列8，6，4，2不是相同的数列.故D项错误.
故选：A.
12．A
【分析】根据给定的通项公式，直接计算即可.
【详解】依题意，.
故选：A
13．A
【分析】代入即可结合选项逐一排除.
【详解】当时，对于B中，
当时，对于C中，对于D中，
四个选项中只有同时满足，，.
故选：A
14．C
【分析】求出的值，归纳它们的值与序号的关系，即可得答案.
【详解】由题意数列的通项公式，
则，，
，
可看出分子上的值为相应项的序号加2，分母为相应序号加1后的2倍，
故归纳出的表达式是，
故选：C
15．C
【分析】根据递推关系化简后，由累乘法直接求.
【详解】，
，
即，
可得，
.
故选：C.
16．D
【分析】由具体数列判断通项公式问题，最简单的方法即是赋值代入检验判断即可.
【详解】对于选项A，当时，，故A项错误；
对于B选项，当时，，故B项错误；
对于C选项，当时，，故C项错误；
对于D项，因数列可以写成 ，故其通项公式可以写成，故D项正确.
故选：D.
17．B
【分析】根据数列的知识确定正确答案.
【详解】数列对应点为，
所以图象是直线上孤立的点.
故选：B
18．C
【分析】根据规律求得数列的一个通项公式，从而确定正确答案.
【详解】数列，
即，
所以数列的通项公式可以为.
故选：C
19．B
【分析】由数列的通项直接计算得出答案.
【详解】由，令，得，
故选：B.
20．C
【分析】
通过递推式计算出前几项，找到数列的周期，利用周期性求解即可.
【详解】
因为，（），所以，，
，，而，所以数列是以4为周期的周期数列，
所以的前2022项和.
故选：C
21．B
【分析】利用函数方法依次判断每个选项数列的增减性得到答案.
【详解】对选项A：为递增数列；
对选项B：为递减数列；
对选项C：，先增后减数列；
对选项D：，先减后增数列.
故选：B.
22．C
【分析】
利用差比较法确定正确答案.
【详解】；；，，
当时，，所以，
所以数列中的最大项的项数或.
故选：C
23．C
【分析】根据题意整理可得对一切正整数恒成立，根据恒成立问题分析求解.
【详解】因为满足对一切正整数均有且恒成立，
即恒成立，化为，
可知对一切正整数恒成立，所以，
故选：C.
24．ABD
【分析】根据数列的概念求得正确答案.
【详解】A选项，数列和数列，
前者是有限项，后者是无限项，所以两个数列不一样，A选项错误.
B选项，数列与数列的项的顺序不相同，
所以不是相同数列，B选项错误.
C选项，，所以数列的第项为1＋，C选项正确.
D选项，数列可记为，所以D选项错误.
故选：ABD
25．BC
【分析】由每日确诊病例变化曲线可判断每日病例的增减情况，可知的项的变化情况，判断A，C；由变化曲线可知月日没有确诊病例，可知，判断B；根据病例的增加情况判断D.
【详解】解：由每日确诊病例变化曲线图可知：数列一开始是先递增到，再递减至，
即数列不是递增数列，故A选项错误，
因为年月日没有确诊病例，所以，数列不是递增数列，B选项正确．
由每日确诊病例变化曲线图可知：数列的最大项是第项，即是最大项，故C选项正确．
由每日确诊病例变化曲线图可知：第天以后，每天还是有确诊病例，故数列的最大项不是．
故选：BC．
26．
【分析】观察其分子，分母与项之间的关系即可求.
【详解】可化为，
所以分子部分为，
分母部分为，
奇数项为正，偶数项为负，则，
则.
故答案为：
27．230
【分析】由题意可得，，利用累加法即可求.
【详解】解：由题意可知，，，，，累加可得.
故答案为：230
28．(1)
(2)
【分析】直接依据所给数列的项的特征和项与项之间的规律求解即可．
【详解】（1）1，2，3，4，…，的一个通项为，所以，2，，4，…的一个通项为
（2）1，4，9，16，…，可用表示，
而2，5，10，17，…可用，故
29．(1)73
(2)
【分析】（1）观察图中每次挖掉的正方形个数，是前一次挖掉的个数乘以8，再加上前两次挖的个数可得总数；
（2）观察图形可得规律，每次挖掉的正方形个数是前一次的8倍，由此可得递推公式.
【详解】（1）因为第一次挖掉1个正方形，第二次挖掉8个，第三次挖掉 个，
所以图③中共挖掉 个正方形.
（2）由（1）知，第一次挖 个正方形，第二次挖掉 个，第三次挖掉 个，
以此类推，第n次挖掉，故 ，
则递推公式为 .
30．见解析
【分析】利用描点法画图，结合图象分析单调性即可.
【详解】列表如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 ……
-30 -30 -28 -24 -18 -10 0 12 ……
作图如下：

如图所示，易知数列首项与第二项相同，从第二项开始每一项都大于前一项，即从第二项开始递增.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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