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第四章 数列第4.1.2讲 数列的递推公式与前n项和
1.递推公式是数列的一种表示方法，能够根据递推公式写出数列的前几项.　
2.掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式的方法.　
3.了解数列的前n项和Sn的含义，能根据前n项和Sn求数列的通项公式.
1、由递推公式求数列中的项
2、由递推公式求数列的通项
3、数列的前n项和及应用
知识点一　数列的递推公式
1.定义：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
2.用递推公式给出一个数列，必须具备两个条件：
（1）“基础”——数列{an}的第1项(或前几项)；
（2）递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an－1(n≥2)(或前几项)间的关系用公式表示.
知识点二　数列的前n项和
1.数列{an}的前n项和：把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.
2.数列{an}的通项an与前n项和Sn之间的关系为an＝.
题型1、由递推公式求数列中的项
1．数列满足，（），则（ ）
A．3 B．5 C．11 D．13
2．在数列中，，，则的值为（ ）
A．30 B．31 C．32 D．33
3．数列满足，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知数列满足，，则（ ）
A．64 B．32 C．16 D．8
5．观察下列各式：，，，，，…，则（ ）
A．47 B．76 C．121 D．123
题型2、由递推公式求数列的通项
6．若无穷数列的前n项和为，且满足，则数列的通项公式（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列满足，，则数列的通项公式是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
9．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数，，，，…构成的数列的第项，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知，，则数列的通项公式是（ ）
A． B． C． D．n
题型3、数列的前n项和及应用
11．已知数列的前项和为，且，则的值为（ ）
A．16 B．4 C．12 D．不确定
12．设数列的前项和，则的值为（ ）
A．13 B．16 C．29 D．32
13．设为数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
14．若数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
15．已知数列的前n项和为，对任意的都有，则的值为（ ）
A．2 B．-1 C．1 D．0
一、单选题
16．数列，，，，…的递推公式可以是（ ）
A． B．
C． D．
17．已知数列的首项，且，则这个数列的第2项是（ ）
A． B．3
C． D．6
18．在数列中，，，，记数列的前项和为，则（ ）
A． B． C．0 D．3
19．已知数列，，，则等于（ ）
A．3027 B．3028 C．3034 D．3035
20．记正整数的最大公约数为，例如，．已知数列的前项和为，且，则（ ）
A．50 B．75 C．100 D．1275
21．如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程.九连环把玩时按照一定的程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上.将第个圆环解下最少需要移动的次数记为，已知，，按规则有，则解下第5个圆环最少需要移动的次数为（ ）

A．15 B．21 C．27 D．31
22．“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现，该数列满足递推关系：，．已知数列为“斐波那契”数列，为数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
23．若数列满足，则（ ）
A．2 B． C． D．
二、多选题
24．数列的前n项和为，且满足，，则下列说法正确的有（ ）
A． B．是周期数列 C． D．
25．若数列满足，，则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”．记以为边长的正方形中的扇形面积为，数列的前项和为．下列结论正确的是（ ）

A． B．是奇数
C． D．
三、填空题
26．已知数列满足，且，则 .
27．已知数列的前项和，则 .
四、解答题
28．根据下列条件，写出数列的前5项：，（）.
29．已知数列{an}中，，.
(1)写出数列的前5项；
(2)猜想数列的通项公式；
(3)画出数列的图象．
30．试分别根据下列条件，写出数列的前5项：
(1)，，，其中；
(2)，，其中．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】由递推关系逐项求解即得.
【详解】因为，（），
所以，
.
故选：D.
2．B
【分析】由已知条件利用数列的递推公式，依次令，3，4，5，结合递推思想能求出结果．
【详解】在数列中，，，
，
，
，
．
故选：B．
3．C
【分析】根据题设递推式可得数列具有周期性，周期为4，进而求解即可.
【详解】由，
因为，所以，，
，，，
所以数列具有周期性，周期为4，
所以．
故选：C.
4．B
【分析】先求出，再由递推关系证明当时，由此可求.
【详解】∵数列满足,
∴，解得.
当时,，即，
所以，
所以，故，
故选：B.
5．A
【分析】根据题目信息可得，数列呈现出从第三项起，后一项等于前两项的和的规律，逐项计算即可得.
【详解】根据题目各式规律可知，从第三项开始后一项等于前两项的和，
所以可得；
；
，即可得.
故选：A
6．D
【分析】根据求解即可.
【详解】由题意，所以当时，，当时，，不符合上式，所以.
故选：D
7．A
【分析】由题意可得数列为首项为3的常数列，从而可得出答案.
【详解】由题意得，即
所以数列是以首项为的常数列，
则，得.
故选：A
8．D
【分析】利用与的关系即得.
【详解】①，
当时，
②，
则①－②得，，
故．
当时，，也符合.
故选：D．
9．B
【分析】根据杨辉三角可得数列的递推公式，结合累加法可得数列的通项公式与.
【详解】由已知可得数列的递推公式为，且，且，
故，
，
，
，
，
等式左右两边分别相加得，
，
故选：B.
10．D
【分析】根据题意可得，再利用累乘法计算可得；
【详解】由，得，
即，
则，，，…，，
由累乘法可得，所以，
又，符合上式，所以.
故选：D．
11．C
【分析】根据求出，进而利用求出答案.
【详解】由题意得，化简得，
故
.
故选：C
12．B
【分析】根据公式计算得到答案.
【详解】.
故选：B
13．A
【分析】根据公式，即可求解.
【详解】当时，，
当时，，
验证，当时，，
所以.
故选：A
14．D
【分析】利用与的关系，可得答案.
【详解】当时，，
当时，，
经检验，可得.
故选：D.
15．C
【分析】由条件令得到，再令可得答案.
【详解】在中，令可得，，即
所以，令，可得
故选：C
16．C
【分析】观察数列，数列从第二项起，可知每一项是前一项的，由此可以得到递推公式，得出结果.
【详解】数列从第2项起，后一项是前一项的，故递推公式为．
故选：C
17．B
【分析】直接根据递推公式即可得解.
【详解】因为，且，
所以.
故选：B.
18．B
【分析】列出数列的前几项，即可得到数列的周期性，从而求解.
【详解】因为，，，
所以，，，，，，，
所以是以为周期的周期数列，且，
，，，
所以.
故选：B
19．C
【分析】
根据题意利用并项求和法运算求解.
【详解】因为，，
所以.
故选：C.
20．B
【分析】根据的定义求得正确答案.
【详解】依题意，，
以此类推……，可知当时：
当为奇数时，当为偶数时，，
所以.
故选：B
21．D
【分析】根据递归公式计算即可.
【详解】由题意可知，，.
故选：D
22．D
【分析】利用递推关系找到通项即可.
【详解】，以此类推，．
故选：D
23．C
【分析】
根据递推关系推出数列的周期性即可.
【详解】因为，所以，
，
，
所以是周期为的数列，故.
故选：C
24．ABC
【分析】依次取即可验证A项和B项的正确与否，再根据周期性可判断C项是否正确，最后根据周期性和分组求和法可判断D项是否正确.
【详解】由题意，数列满足，，
当n=1时，；当n=2时，；
当n=3时，；当n=4时，；
当n=5时，；当n=6时，，，
归纳可得数列构成以4为周期的周期数列，所以A正确，B正确；
又由，所以C正确；
因为，所以，所以D错误．
故选：ABC．
25．ABD
【分析】
根据数列递推关系以及特征，即可判断选项AB，利用累加法即可判断选项C，利用定义直接求解，表示出，即可判断选项D.
【详解】
该数列为，所以，A正确；
由斐波那契数列得每三个数中，前两个为奇数后一个为偶数，
且是奇数，B正确；
由，得：，
，，
累加得，C错；
由，
得：
，
所以，
，D对.
故选：ABD
26．21
【分析】根据递推公式可得为常数列，进而求解通项公式，进而可得.
【详解】因为数列满足，故为常数列，故，则，故.
故答案为：21
27．
【分析】根据与的关系运算求解.
【详解】由题意可得：，
所以.
故答案为：.
28．
【分析】根据递推公式逐项求解即可.
【详解】因为，，
所以，，
，
，
，
所以，数列的前5项为：.
29．(1)1，，，，
(2)
(3)图见解析
【分析】（1）直接代入计算即可；
（2）根据前5项猜想；
（3）画出点集即可.
【详解】（1），，
，，.
（2）猜想：.
下面证明其通项为，，显然，则，
则，
累乘得，所以对也适合，则.
（3）图象如图所示：
30．(1)1，2，4，8，16
(2)2，，，，．
【分析】（1）根据递推公式，对依次赋值求解；
（2）根据递推公式，对依次赋值求解.
【详解】（1）因为，，，其中，
所以，，
．
因此，数列的前5项依次为1，2，4，8，16．
（2）因为，，其中，
所以，，
，．
因此，数列的前5项依次为2，，，，．
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