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第四章 数列
第4.4讲 数列求和综合应用
1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.
2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常用方法．
1、分组求和与并项求和
2、错位相减法求和
3、裂项相消法求和
数列求和的几种常用方法
1．公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．
（1）等差数列的前n项和公式：
Sn＝＝na1＋d.
（2）等比数列的前n项和公式：
Sn＝.
2．分组求和法与并项求和法
（1）分组求和法
若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
（2）并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
3．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．
4．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
常见的裂项技巧
（1）.
（2）
（3）.
（4）
（5）
常用结论
常用求和公式
（1）1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
（2）1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2.
（3）12＋22＋32＋…＋n2＝.
（4）13＋23＋33＋…＋n3＝.
题型1、分组求和与并项求和
1．已知数列的前项和为，，等比数列的公比为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前10项和．
2．在等差数列中，.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
3．已知数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列，求数列的前项和．
题型2、错位相减法求和
4．已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)求的前项和．
5．已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：．
6．设公差不为0的等差数列中，，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和满足：，求数列的前项和.
题型3、裂项相消法求和
7．已知等差数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
8．记为数列的前项和，若，.
(1)求；
(2)若，求数列的前项和.
9．已知数列是首项为2，公比为2的等比数列，为数列的前n项和，若为数列的前n项和，且
(1)求数列的通项公式；
(2)求.
一、单选题
10．已知数列为等差数列，首项为，公差为，数列为等比数列，首项为，公比为，设，为数列的前项和，则当时，的最大值为（ ）
A． B． C． D．
11．数列中，，，则（ ）
A．77 B．78 C．79 D．80
12．设数列的前n项和为，则（　　）
A．
B．
C．
D．
13．已知数列的前项和为，则（ ）
A．1012 B． C．2023 D．
14．高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．小学进行的求和运算时，他这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法．已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据以上提示探求：若，则（ ）
A．2023 B．4046 C．2022 D．4044
15．已知函数，数列满足，则（ ）
A．2022 B．2023 C．4044 D．4046
16．根据预测，某地第个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：辆），其中，，则该地第4个月底的共享单车的保有量为（ ）
A．421 B．451 C．439 D．935
17．已知数列前项和为，满足（为常数），且，设函数，记 ，则数列的前17项和为（　　）
A． B． C．11 D．17
二、解答题
18．设数列是公差为的等差数列．
（1）推导的前项和公式；
（2）证明数列是等差数列．
19．记数列的前n项和为，对任意正整数n，有.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和为.
20．已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若，求的最小值.
21．已知数列，若存在正整数，对一切，都有，则称数列为周期数列，是它的一个周期．
（1）已知，，求数列的前项和；
（2）数列，，，，…的最小正周期是多少？并求这个数列的前项和．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．(1)，
(2)
【分析】（1）当时求出，可得通项与，由求数列的通项公式；
（2）利用分组求和法求数列的前10项和.
【详解】（1）当时，，，，
等比数列的公比为，则有，
由，可得．
当时，．
经检验，当时，满足上式，
所以．
（2），
设的前10项和为，
．
2．(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解，
（2）根据等差数列以及等比求和公式，结合分组求和即可求解，或者分奇偶，又等差求和公式以及并项求和求解.
【详解】（1）设的公差为，则
解得
所以.
（2）（方法一）
.
（方法二）当为偶数时，
当为奇数时，
.
综上，
3．(1)
(2)
【分析】(1)由递推关系求解数列的通项即可；
(2)利用分组求和即可.
【详解】（1）因为，
当时，，
当时，，
则，
当时，不成立，所以.
（2）由（1）可得，
所以
4．(1)
(2)
【分析】（1）利用作差法即可得解；
（2）利用错位相减法即可得解.
【详解】（1）因为，
当时，得，
当时，，
两式相减得：，则，
检验：满足上式，故；
（2）由（1）知，
则，
故，
两式相减可得：
，
故．
5．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据求出；
（2）错位相减法求和得到，结合，得到.
【详解】（1）由题知，当时，，则．
又．①
当时，，②
①-②得，
所以．
当时，也适合．
综上，数列的通项公式为．
（2）因为．
所以，①
，②
①-②得，
整理得，
因为．所以
6．(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的通项公式进行求解即可；
（2）利用错位相减法进行求解即可.
【详解】（1）设数列的公差为，
，
，
，
；
（2）当，
当时，，
，
，
①，
②，
由①-②得，，
，
.
7．(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列的通项公式和性质求解即可；
（2）利用裂项相消法求和即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
因为，所以，
即，即①，
又由，得，即②，
由①②得：，所以．
（2）由（1）得，所以，
所以．
8．(1)；
(2).
【分析】（1）由题设及关系得，构造新数列并结合等差数列定义写出通项公式，进而可得；
（2）应用裂项相消法求前n项和.
【详解】（1）由题设，则，
又，故是首项为3，公差为2的等差数列，
所以，则.
（2）由（1）得，
所以.
9．(1)；
(2).
【分析】（1）根据等比数列前n项和公式求得，结合已知可得，应用关系求的通项公式；
（2）应用裂项相消法求和即可.
【详解】（1）由题设，则，
当时，故，
当，也满足上式，
所以.
（2）由（1）知：，
所以.
10．B
【分析】利用等差和等比的通项公式，求出，然后利用分组求和求出，即可得出结果.
【详解】依题意得：，，
，
则数列为递增数列，
其前项和
，
当时，，
当时，，
所以的最大值为.
故选：B
11．D
【分析】
利用裂项求和法求得正确答案.
【详解】依题意，，
所以，
由，解得.
故选：D
12．A
【分析】根据题意，得到，利用裂项相消法求数列的前项和公式，得出前100项的和，结合选项，即可求解.
【详解】由，
所以，
所以，
故选：A.
13．D
【分析】根据数列的通项公式，可求得，依此类推，即可求解.
【详解】∵，
故
故
.
故选：D.
14．B
【分析】
根据倒序相加法，结合等比数列的下标性质进行求解即可.
【详解】根据等比数列的下标性质由，
∵函数，∴，
令，则，
∴，∴．
故选：B
15．A
【分析】先求得，然后利用倒序相加法求得正确答案.
【详解】∵，
∴．
∵，
∴．令，
则，两式相加得，
∴．
故选:A
16．D
【分析】根据题意求出前四个月的共享单车投放量，减去前四个月的损失量，即为第四个月底的共享单车的保有量.
【详解】由题意可得该地第4个月底的共享单车的保有量为
故选：D.
17．D
【分析】化简函数的解析式，利用数列的和，求出通项公式，判断数列是等差数列，然后求解数列的和即可．
【详解】因为，
由，得，
数列为等差数列；
，
.
则数列的前17项和为.
故选D．
【点睛】本题考查数列与函数相结合，三角函数的化简以及数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．
18．（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）由等差数列的性质，利用倒序相加即可得出；
（2）由（1）可得，利用递推关系、等差数列的定义即可证明．
【详解】解：（1）因为，，
所以①，
②，
①②得，
．
（2）证明：，
当时，，
当时，，
数列是以为首项，为公差的等差数列．
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据求出的通项公式；
（2）求出，利用错位相减法求和.
【详解】（1）当时，，故，
①，当时，②，
两式相减得，
故，
又当时，，满足要求，
综上，；
（2），
，
，
两式相减得，
，
故
20．(1)
(2)8
【分析】
（1）根据的关系即可求解，
（2）根据裂项相消法求解和，即可列不等式求解.
【详解】（1）当时，由，得；
当时，，符合上式.
综上所述，.
（2），
所以.
由，得，解得，又，所以的最小值为8.
21．（1）；（2）最小正周期为；．
【分析】（1）根据特殊角的正弦函数值写出数列的通项公式，结合数列的周期性进行求解即可；
（2）根据周期数列的定义，分类讨论求解即可.
【详解】解：（1），
故
（2）由周期数列的定义可知该数列的最小正周期为；
当为正奇数时，，
当为正偶数时，，
因此当为正整数时，.
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