资源简介

第五章 一元函数的导数及其应用
第5.1.1讲 变化率问题
班级_______ 姓名_______ 组号_______
1．理解平均速度和瞬时速度的关系，并能求解平均速度和瞬时速度．
2.体会抛物线上割线与切线的关系，能求解抛物线上某点处的切线斜率．
1、求物体运动的平均速度
2、求物体运动的瞬时速度
3、求曲线在某点处切线的斜率或方程
知识点一　平均速度与瞬时速度
1．平均速度
若物体运动的位移与时间的关系是s＝f(t)，函数f(t)在t0与t0＋Δt之间的平均速度是＝＝.
2．瞬时速度
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0与t0＋Δt之间的平均＝＝趋近于常数v，则常数v叫做物体在t0时刻的瞬时速度．
则v＝＝.
知识点二　抛物线的切线的斜率
1．设P0(x0，f(x0))，P(x，f(x))是曲线y＝f(x)上任意不同两点，则平均变化率＝为割线P0P的斜率．
2．当P点沿着曲线逐渐靠近P0点，即当Δx→0时，割线P0P的斜率极限值是y＝f(x)在x0处的切线的斜率，则k＝．
题型1、求物体运动的平均速度
1．函数从到的平均变化率为（ ）
A． B．
C． D．
2．函数，当自变量由改变到时，的变化为（ ）
A． B．
C． D．
3．函数，则自变量从变到时函数值的增量为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
5．若一射线从处开始，绕点匀速逆时针旋转（到处为止），所扫过的图形内部的面积是时间的函数，的图象如图所示，则下列图形中，符合要求的是（ ）

A． B．
C． D．
题型2、求物体运动的瞬时速度
6．质点M按规律s＝2t2＋3t做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在t＝2 s时的瞬时速度是（ ）
A．2 m/s B．6 m/s
C．4 m/s D．11 m/s
7．函数在处的瞬时变化率为（ ）
A． B． C． D．
8．有一机器人的运动方程为，是时间，是位移，则该机器人在时刻时的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
9．设某质点的位移（单位：）与时间（单位：）的关系是，则质点在第时的瞬时速度等于（ ）
A． B． C． D．
10．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．

给出下列四个结论：
①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都已达标；
④甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④
题型3、求曲线在某点处切线的斜率或方程
11．若函数，则（ ）
A． B．
C． D．
12．若，则（ ）
A． B． C． D．
13．已知函数，则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
14．已知是定义在上的可导函数，若，则（ ）
A．0 B． C．1 D．
15．已知函数，，，，它们在平面直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
一、单选题
16．某物体做直线运动，若它所经过的位移s与时间t的函数关系为，则这个物体在时间段内的平均速度为（ ）
A．2 B． C．3 D．
17．设函数，当自变量x由改变到时，函数的改变量为（ ）
A． B． C． D．都不对
18．下列四个函数中，在区间上的平均变化率最大的为（ ）
A． B．
C． D．
19．定义在上的函数在区间内的平均变化率为，其中，则函数在处的导数（ ）
A． B． C． D．
20．已知的值是（ ）
A．3 B．1 C．2 D．
21．已知函数，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
22．若是函数的导数，且，则（ ）
A． B． C． D．0
23．已知点在函数的图象上，若函数在上的平均变化率为，则下面叙述正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为 B．直线的倾斜角为
C．直线的斜率为 D．直线的斜率为
二、多选题
24．设函数，当自变量由变化到时，下列说法正确的是（ ）
A．可以是正数也可以是负数，但不能为0
B．函数值的改变量为
C．函数在上的平均变化率为
D．函数在上的平均变化率
25．若当，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．曲线上点处的切线斜率为
D．曲线上点处的切线斜率为
三、填空题
26．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．

给出下列三个结论：
①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
③甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是 ．
27．某高台跳水运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与跳起后的时间（单位：）存在函数关系，的图象如图所示，已知曲线在处的切线平行于轴，根据图象，给出下列四个结论：

①在时高度关于时间的瞬时变化率为；
②曲线在附近比在附近下降得慢；
③曲线在附近比在附近上升得快；
④设在和时该运动员的瞬时速度分别为和，则．
其中所有正确结论的序号是 ．
四、解答题
28．投石入水，水面会产生圆形波纹区，且圆的面积随着波纹的传播半径的增大而增大（如图）．计算：

(1)半径从增加到时，圆面积S相对于的平均变化率；
(2)半径时，圆面积S相对于的瞬时变化率．
29．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是（位移：m，时间：s）.
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在时的瞬时速度；
(3)求到时的平均速度.
30．有一个长方体的容器（如图），它的宽为10cm，高为100cm．右侧面为一活塞，容器中装有1000mL的水．活塞的初始位置（距左侧面）为，水面高度为100cm．当活塞位于距左侧面xcm的位置时，水面高度为ycm．
(1)写出y关于x的函数解析式
，
；
(2)活塞的位置x从1cm变为2cm，水面高度y改变了多少？活塞的位置x从8cm变为10cm，水面高度y改变了多少？以上哪个过程水面高度的变化较快？
(3)试估计当
时，水面高度y的瞬时变化率．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】根据平均变化率的求法求得正确答案.
【详解】当时，；当时，.
所以平均变化率为.
故选：B
2．D
【分析】
根据的变化求得正确答案.
【详解】依题意，的变化为.
故选：D
3．C
【分析】根据变量的增量的定义进行计算．
【详解】
因为 ，所以，故C项正确.
故选：C.
4．C
【分析】画出函数的图象，观察与连线的斜率即得.
【详解】作出函数的图象，如图所示.

由图可知曲线上各点与坐标原点的连线的斜率随着的增大而减小.
由，得，即.
故选：C.
5．D
【分析】逐个分析扫过部分的面积增速的快慢即得.
【详解】因为OP是匀速旋转，
选项A，OP扫过的圆内阴影部分面积在开始时段缓慢增加，中间增速最快，后面时段相对增速越来越慢，不合题意；
选项B，OP扫过的圆内阴影部分面积是匀速变化的，不合题意；
选项C，OP扫过正方形的阴影部分，是开始时段缓慢增加，中间增速最快，后面时段相对增速越来越慢，不合题意；
选项D， OP扫过的三角形内阴影部分面积在开始时段的增速和最后时段的增速比中间时段快，选项D符合
故选：D
6．D
【分析】
本题首先分析题意，运用物理知识，进行数学结合.
【详解】
质点M在t＝2 s时位移的平均变化率为＝＝11＋2Δt，
当Δt无限趋近于0时，无限趋近于11 m/s.
故选：D.
7．C
【分析】
利用瞬时变化率的定义可求得结果.
【详解】因为，
所以，函数在处的瞬时变化率为
.
故选：C.
8．A
【分析】
利用瞬时速度定义即可求得该机器人在时刻时的瞬时速度.
【详解】
该机器人在时刻时的瞬时速度为
故选：A
9．D
【分析】
利用导数的定义可求得质点在第时的瞬时速度.
【详解】质点在第时的瞬时速度为.
故选：D.
10．C
【分析】在理解的基础上结合图象来判断.
【详解】①：表示区间端点连线斜率，污水治理能力与斜率的相反数成正比，在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确；
②：在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确；
③：在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，所以都已达标；正确；
④：甲企业在，，这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．错误；
故选：C．
11．B
【分析】根据函数在某一点的导数的定义，由此可得结果.
【详解】因为，
则.
故选: B
12．C
【分析】根据导数的概念转化求解即可.
【详解】因为，
所以.
故选：C.
13．C
【分析】利用导数的定义求解.
【详解】解：因为函数，
所以，
故选：C
14．B
【分析】对条件变形，利用导数的定义求解出到数值.
【详解】因为，所以，
故
故选：B
15．A
【分析】根据导数的几何意义，画出各个函数图象在处的切线，根据切线的斜率来判断即可．
【详解】依次作出，，，在的切线，如图所示：
根据图形中切线的斜率可知．
故选：A．
16．B
【分析】根据平均速度的公式计算.
【详解】.
故选：B.
17．C
【分析】
由函数增量的定义写出的表达式即可.
【详解】由题意知：.
故选：C
18．B
【分析】
根据平均变化率的计算即可比较大小求解.
【详解】对于A，在上的平均变化率为，
对于B，在上的平均变化率为，
对于C, 在上的平均变化率为，
对于D，在上的平均变化率为，
由于，故在上的平均变化率最大，
故选：B
19．B
【分析】利用导数的定义可求得的值.
【详解】由导数的定义可得，
故选：B.
20．C
【分析】
根据导数值的定义计算即可.
【详解】根据导数值的定义：.
故选：C
21．B
【分析】根据题意，利用导数的定义，求得，列出方程，即可求解.
【详解】由函数，
则，
所以，解得.
故选：B.
22．A
【分析】根据导数值的定义，将待求表达式转化成和有关的形式后计算.
【详解】根据导数值的定义，
.
故选：A
23．A
【分析】函数在区间上的平均变化率的几何意义是曲线上两点，所在直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求出直线的倾斜角.
【详解】在上的平均变化率为，，
在上的平均变化率就是直线的斜率，所以，
故直线的倾斜角为，
故选：A
24．ABD
【分析】
利用平均变化率的概念一一判定即可.
【详解】由平均变化率的定义可知自变量的改变量不能为零，可以为正数或负数，
函数值的改变量为，平均变化率为函数值的改变量比自变量的改变量，即A、B、D正确；
故选：ABD
25．AD
【分析】根据导数的定义和几何意义依次判断各个选项即可.
【详解】由得：，即，
曲线上点处的切线斜率为，C错误；D正确；
，A正确；B错误.
故选：AD.
26．①②
【分析】根据图形及两点的斜率公式即可求解.
【详解】表示两点，连线斜率的相反数，
因此斜率越大，污水治理能力越弱．
由题图可知甲企业的污水排放量在时刻高于乙企业，而在时刻甲、乙两企业的污水排放量相同，故在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故①正确；
在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量，故都已达标，②正确；
甲企业在，，这三段时间中，在时对应的两点连线的斜率最小，因此在的污水治理能力最强，故③错误．
故答案为：①②.
27．①③④
【分析】对于①，因为曲线在处的切线平行于轴，所以切线的斜率为0，即；对于②，比较大小即可；对于③，比较大小即可；对于④，，，比较大小即可.
【详解】因为，所以.
对于①，因为曲线在处的切线平行于轴，所以切线的斜率为0，即，所以在时高度关于时间的瞬时变化率为，故①正确；
对于②，由题意知，所以，即曲线在附近比在附近下降得快，故②错误；
对于③，由题意知，所以，即曲线在附近比在附近上升得快，故③正确；
对于④，由题意知且，所以，
，
所以，
所以.
即，故④正确；
故答案为：①③④.
28．(1)
(2)．
【分析】（1）根据平均变化率的定义进行求解；
（2）在（1）的基础上，结合瞬时变化率的定义得到答案.
【详解】（1）圆面积S相对于半径的平均变化率为
．
（2）在表达式中，让d趋近于0，得到圆面积S相对于的瞬时变化率为，
恰为此时圆的周长．
29．(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）根据初速度的定义求解即可，
（2）根据瞬时速度的定义求解即可，
（3）根据平均速度的定义求解即可.
【详解】（1）初速度
（2）
，
所以此物体在时的瞬时速度为，方向与初速度方向相反，
（3），
所以到时的平均速度为
30．(1)
(2),，前一个过程变化快
(3)
【分析】（1）根据题意，由水的体积恒定不变，列出方程即可；
（2）根据题意，分别求出活塞位置为1cm、2cm和7cm、8cm时的水面高度，计算可得答案；
（3）根据瞬时变化率的公式，求导计算可得答案.
【详解】（1）水的体积恒定不变，那么就有
，
（2）活塞位置为1cm时，
活塞位置为2cm时，
水面高度改变为
活塞位置为8cm时，
活塞位置为10cm时，
水面高度改变为
可见，前一个过程变化快
（3）瞬时变化率：如果当时，有极限，我们就说函数在点处的导数（即瞬时变化率，简称变化率），记作，，当时，瞬时变化率为此时，的值为，即时，瞬时变化率为
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑