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一元函数的导数及其应用
第5.1.2讲导数的概念及其几何意义
1．了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想．　
2.体会极限思想，会利用导数求函数在某点处的导数．　
3.借助函数的图象直观理解导数的几何意义．
1、求函数在某一点处的导数
2、已知某处的导数值求参数或自变量
3、导数几何意义的应用
知识点一　导数的概念
1．函数的平均变化率
对于函数y＝f（x），设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f（x0）变化到f（x0＋Δx），这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）．比值＝叫做函数y＝f（x）从x0到x0＋Δx的平均变化率．
2．函数f（x）在x＝x0处的导数
如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f（x）在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f（x）在x＝x0的导数（也称为瞬时变化率），记作f′（x0）或y′，即f′（x0）＝＝_．
（1）函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在．（2）导数是一个局部概念，与Δx无关，导数的实质是一个极限值．
知识点二　导数的几何意义
1．切线的定义
如图所示，在曲线y＝f（x）上任取一点P（x，f（x）），如果当点P（x，f（x））沿着曲线y＝f（x）无限趋近于点P0（x0，f（x0））时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f（x）在点P0处的切线．
2．导数的几何意义
函数y＝f（x）在x＝x0处的导数f′（x0）就是切线P0T的斜率k0，则k0＝＝f′（x0）．
（1）曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0）．
（2）切线斜率的绝对值的大小反映了曲线在相应点附近上升或下降的快慢．
对于函数y＝f（x），当x＝x0时，f′（x0）是一个唯一确定的数，则当x变化时，f′（x）就是x的函数，我们称它为函数y＝f（x）的导函数（简称导数），即f′（x）＝y′＝．
（1）f′（x0）是具体的值，是数值．
（2）f′（x）是函数f（x）在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数．
题型1、求函数在某一点处的导数
1．若曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A． B．
C． D．不存在
2．曲线在点处的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知曲线在处的切线方程是，则与分别为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，在点处的切线方程为，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，函数的图象在点处的切线是，则（ ）
A． B． C．2 D．1
题型2、已知某处的导数值求参数或自变量
6．若曲线与y=2x+1相切，则实数a=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．设，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）
A． B．1 C．2 D．0
9．已知函数与的图象在处有相同的切线，则（ ）
A．0 B． C．1 D．或1
10．如图所示，函数的图像在点处的切线方程是，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．2
题型3、导数几何意义的应用
11．已知曲线在处的切线过点，其中，则直线方程为（ ）
A． B． C． D．
12．函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列大小关系正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．
13．我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率，求出了精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一.借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图像的切线代替在切点附近的曲线来近似计算，例如：求，我们先求得在处的切线方程为，再把代入切线方程，即得，类比上述方式，则（ ）
A．1.0005 B．1.0001 C．1.005 D．1.001
14．过原点的直线与分别与曲线，相切，则直线斜率的乘积为（ ）
A．-1 B．1 C． D．
15．若过点可作曲线的三条切线，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
16．若曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A． B．
C． D．不存在
17．曲线在点处的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
18．已知曲线在处的切线方程是，则与分别为（ ）
A． B． C． D．
19．已知函数，在点处的切线方程为，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
20．如图，函数的图象在点处的切线是，则（ ）
A． B． C．2 D．1
21．已知直线与曲线相切，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．1
22．已知函数，若的图像与轴有3个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
23．若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
24．已知函数的图象如图所示，若为的导函数，则下列关系正确的是（ ）

A． B．
C． D．
25．已知函数图象上任一点处的切线方程为，那么下列结论正确的有（ ）
A．
B．在处的切线平行或重合于x轴
C．切线斜率的最小值为1
D．
三、填空题
26．若函数在点处的导数是，那么过点A的切线方程是 ．
27．设函数，且为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 ．
四、解答题
28．已知曲线：
(1)求的值；
(2)求曲线在点处的切线方程.
29．已知函数的图象经过点．
(1)求曲线在点A处的切线方程．
(2)曲线是否存在过坐标原点的切线？若存在，求切点的坐标；若不存在，请说明理由．
30．已知函数.
(1)求曲线与直线垂直的切线方程；
(2)若过点的直线与曲线相切，求直线的斜率.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】由切线方程知，即可判断的正负.
【详解】由切线方程可以看出其斜率是2，又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数，
即
故选：A
2．A
【分析】求得函数的导数，将代入可得切线方程的斜率，再用点斜式即可得出答案.
【详解】因为，所以，
又因为曲线过点，
由点斜式可得，化简可得，
所以切线方程是，
故选：A.
3．D
【分析】根据切点坐标和导数的几何意义即可得出答案.
【详解】在切线上，故，又切线斜率为，根据导数的几何意义可得.
故选：D
4．A
【分析】求导，根据导数的几何意义求得参数值.
【详解】由，得，
又在点处的切线方程为，
则，
解得，
故选：A.
5．D
【分析】根据已知求出切线方程，由导数的几何意义得，由切线方程得，从而可得结论．
【详解】由题可得函数的图象在点处的切线与轴交于点，与轴交于点，则切线，即.
所以，，，.
故选：D．
6．A
【分析】根据导数求切线方程的即可.
【详解】设切点坐标为，由，则，且，将代入得，故a=1.
故选：A
7．B
【分析】求导，然后直接解方程可得.
【详解】
由，解得.
故选：B
8．C
【分析】利用切线斜率和切点坐标直接求解
【详解】由题意可知，将代入切线方程，得，所以．
故选：C
9．C
【分析】求出两函数的导函数，利用求解即可.
【详解】点在两函数图象上，
，，
根据题意可得，
即.
故选：C
10．C
【分析】由切线方程可得切点坐标和切线斜率，进而可得结果.
【详解】切线方程为：，当，
则，
故选：C
【点睛】本题考查了导数得几何意义，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于基础题目.
11．B
【分析】利用导数的几何意义，利用斜率建立方程，求解，即可求切线方程.
【详解】，，，
所以，解得：，
即，
所以直线的方程为，即.
故选：B
12．B
【分析】
由函数图象及导函数几何意义得到，得到答案.
【详解】
由图象可知在上单调递增，，

故，即．
故选：B．
13．A
【分析】
根据题意，由 导数的几何意义，求得曲线在处的切线的方程为，结合题意，即可求解.
【详解】
设函数，可得，则，，
可得曲线在处的切线的方程为，
由于与0之间的距离比较小，“以直代曲”，
在切点附近用切线代替曲线进行近似计算，
可得.
故选：A
14．B
【分析】设的切点分别为，利用导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过原点解出即可求解.
【详解】设的切点分别为，
由题意可得，，
所以在处的切线为，在处的切线为，
又因为两条切线过原点，所以，解得，
所以直线斜率的乘积为，
故选：B
15．C
【分析】首先求函数在切点处的切线方程，在根据条件转化为函数与有3个交点，即可求参数的取值范围.
【详解】，设切点，
所以在点处的切线方程为，因为切线过点，
所以，整理为，
即，设，
，
当时，，当或时，，
所以函数在区间单调递减，在区间和单调递增，
所以函数的极大值是，函数的极小值是，若函数与有3个交点，则，即.
故选：C
16．A
【分析】由切线方程知，即可判断的正负.
【详解】由切线方程可以看出其斜率是2，又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数，
即
故选：A
17．A
【分析】求得函数的导数，将代入可得切线方程的斜率，再用点斜式即可得出答案.
【详解】因为，所以，
又因为曲线过点，
由点斜式可得，化简可得，
所以切线方程是，
故选：A.
18．D
【分析】根据切点坐标和导数的几何意义即可得出答案.
【详解】在切线上，故，又切线斜率为，根据导数的几何意义可得.
故选：D
19．A
【分析】求导，根据导数的几何意义求得参数值.
【详解】由，得，
又在点处的切线方程为，
则，
解得，
故选：A.
20．D
【分析】根据已知求出切线方程，由导数的几何意义得，由切线方程得，从而可得结论．
【详解】由题可得函数的图象在点处的切线与轴交于点，与轴交于点，则切线，即.
所以，，，.
故选：D．
21．D
【分析】设切点坐标为，求导，从而有斜率，再由点在曲线上求解.
【详解】解：设切点坐标为，
因为，所以，
所以切线的斜率，
又，即，解得，
所以由，得.
故选：D.
22．A
【分析】首先将题意等价于与有3个交点，分别画出和的图象，再利用导数的几何意义，即可得到答案.
【详解】的图像与轴有3个不同的交点，
等价于与有3个交点.
画出和的图象，如图所示：

因为过，
当与在相切时，
，设切点为，
，切线，即，
因为切线过，
所以，解得
此时，此时与有2个交点.
当时，，即，
当过时，，解得，
设，，
，，为增函数，所以，即
此时与有三个交点.
因为与有3个交点，
所以.
故选：A
23．B
【分析】设切点为，结合导数法有，则存在两条切线等价于方程有两个不同正解，结合判别式法及韦达定理列不等式组即可化简判断选项.
【详解】设切点为，则，∴，则，
化简得：①，则，
∵过点可以作曲线的两条切线，∴方程①有两个不同正解，∴，∴.
故选：B．
24．BD
【分析】根据导数的几何意义结合图象即可判断各选项.
【详解】对于AB，由图可知，，所以，A错B对；
对于CD，由图可知，，所以C错D对.
故选：BD
25．AB
【分析】由导数的概念对选项逐一判断
【详解】由题意函数图象上任一点处的切线方程为
，
可得，
对于A，，A正确;
对于B，当时，，故在处的切线平行或重合于x轴，B正确;
对于C，，最小值为，故C错误
对于D，，D错误
故选：AB
26．
【分析】由导数的几何意义求解即可.
【详解】∵切线的斜率为.
∴点处的切线方程为，
即.
故答案为：.
27．
【分析】首先根据函数是奇函数，确定函数的解析式，再利用导数的几何意义求解切线方程.
【详解】因为函数为奇函数，所以，即，
即，，
，，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
故答案为：
28．(1)
(2)
【分析】(1)利用导数公式求解；(2)根据切点处函数的导数等于切线的斜率以及切点在曲线上也在切线上的原理求解..
【详解】（1）由题得，所以.
（2）因为，
所以，切线方程为，
即.
29．(1)
(2)曲线存在过坐标原点的切线，且切点的坐标为或．
【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）设出过坐标原点的切线方程以及切点坐标，利用导数的几何意义以及切点既在切线上也在曲线上列出方程组求解即可.
【详解】（1）依题意可得，则,
∵，∴，
∴曲线在点（1，5）处的切线方程为，
即；
（2）设过原点的切线方程为，则切点为，
则,消去k，整理得，
解得或，
所以曲线存在过坐标原点的切线，且切点的坐标为或．
30．(1)
(2)或5
【分析】（1）求出切线的斜率，再写出切线方程；
（2）根据切线的斜率与直线的方程列方程组求解即可.
【详解】（1）因为斜率为，所以，
所以，又.
所以所求切线方程为，即.
（2），设切点的横坐标为，直线的斜率为，直线的方程：，
则
则，整理得，所以，
所以或5.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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