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第五章 一元函数的导数及其应用
第5.2.1讲 基本初等函数的导数
班级_______ 姓名_______ 组号_______
1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数.
2. 能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.
1、利用导数公式求函数的导数
2、利用导数公式研究切线问题
3、导数公式的实际应用
知识点一　几个常用函数的导数
f(x)＝c f′(x)＝0
f(x)＝x f′(x)＝1
f(x)＝x2 f′(x)＝2x
f(x)＝x3 f′(x)＝
f(x)＝ f′(x)＝
f(x)＝ f′(x)＝
知识点二　基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)
f(x)＝sin x cosx
f(x)＝cos x f′(x)＝－sinx
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln_a(a>0，且a≠1)
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ (a>0，且a≠1)
f(x)＝ln x f′(x)＝
（1）三角函数的导数公式中，一要注意名称的改变，二要注意符号的变换.（2）利用导数公式求导时，一定要看清原函数的形式.只有当函数符合上述形式时，才能用导数公式表求导.
题型1、利用导数公式求函数的导数
1．设，若，则（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
2．下列求导数运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列各式中正确的是 （　　）
A． B．
C． D．
4．下列求导运算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
题型2、利用导数公式研究切线问题
6．已知过点的直线与曲线的相切于点，则切点坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．已知曲线在点处的切线为，则实数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
9．“以直代曲”是重要的数学思想．具体做法是：在函数图像某个切点附近用切线代替曲线来近似计算.比如要求的近似值，我们可以先构造函数，由于0.05与0比较接近，所以求出处的切线方程为，再把代入切线方程，故有，类比上述方式，则（ ）
A．1.001 B．1.005 C．1.015 D．1.025
10．已知函数的图像在点处的切线方程是，若，则
A． B． C． D．
题型3、导数公式的实际应用
11．已知直线l是曲线的切线，切点横坐标为，直线l与x轴和y轴分别相交于A、B两点，则面积为（ ）
A． B．1 C． D．
12．已知直线与曲线相切，切点为，与曲线也相切，切点是则的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
13．定义：如果函数在区间上存在，满足，，则称函数是在区间上的一个双中值函数．已知函数是区间上的双中值函数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
14．已知对任意实数都有，，若恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
16．函数的导函数（ ）
A． B． C．e D．x
17．若，则（ ）
A． B． C．1 D．0
18．下列导数运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
19．若函数，则（ ）
A．0 B． C． D．
20．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
21．设函数的导函数为，且，则（ ）
A． B． C． D．
22．“以直代曲”是重要的数学思想．具体做法是：在函数图像某个切点附近用切线代替曲线来近似计算．比如要求的近似值，我们可以先构造函数，由于0.05与0比较接近，所以求出处的切线方程为，再把代入切线方程，故有，类比上述方式．则（ ）
A．1.001 B．1.005 C．1.015 D．1.025
23．定义：如果函数在区间上存在，满足，，则称函数是在区间上的一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
二、多选题
24．下列结论中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
25．下列结论正确的为（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
三、填空题
26．曲线在点处的切线方程是 ．
27．拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，内容为：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”为 ．
四、解答题
28．（1）求函数在点处的导数；
（2）求函数在点处的导数．
29．已知函数，点在曲线上.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求曲线过点的切线方程.
30．已知在时有极值0.
(1)求常数的值；
(2)求函数在区间上的值域.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】求出导函数，将代入导函数，即可求出
【详解】.
故选：D
2．D
【分析】根据初等函数的导数公式即可判断.
【详解】对A，，故A错误；
对B，，故B错误；
对C，，故C错误；
对D，，故D正确；
故选：D.
3．D
【分析】根据基本初等函数的导数公式判断即可.
【详解】对于A、B：，故A、B错误；
对于C、D：，故C错误，D正确；
故选：D
4．C
【分析】根据基本函数的导数公式进行求解即可.
【详解】根据导数公式可知选项A、B、D是正确的；
对于C，，故C错误.
故选：C.
5．A
【分析】根据函数的导数公式求解.
【详解】因为，所以，
令，则有，解得，
所以，
所以，
故选：A.
6．A
【分析】
设切点坐标，利用导数求出过切点的切线方程，代入已知点求出，即可求出切点的坐标.
【详解】
设切点坐标为，由，得，则过切点的切线方程为，
把点代入切线方程得，，即，
又，所以，则，
则切点坐标为.
故选：A
7．D
【分析】利用导数的几何意义计算即可.
【详解】，所以，又曲线在点处的切线为，所以.
故选：D.
8．A
【分析】求导，根据导数的几何意义得出切线斜率，然后根据点斜式写出切线方程.
【详解】设，则，所以，即为切线斜率，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
故选：A
9．A
【分析】求出函数在点处的切线方程，再代入求出结果.
【详解】设，可得，，，
由于与0比较接近，所以求出曲线在点处的切线为，
在切点附近用切线代替曲线进行近似计算，．
故选：A.
10．C
【分析】根据切线方程计算，，再计算的导数，将2代入得到答案.
【详解】函数的图像在点处的切线方程是
故答案选C
【点睛】本题考查了切线方程，求函数的导数，意在考查学生的计算能力.
11．C
【分析】由已知可得切点坐标，利用导函数求出切线l的斜率，根据点斜式得到切线方程，进而得到A、B两点的坐标，即可求出的面积.
【详解】解：当时，，
而，，
所以切线l：，即，
当时，，即；当时，，即，
所以，
故选：C.
12．D
【分析】根据导数求出切线的斜率，得到切线方程，根据两切线相同列出等式即可得解.
【详解】设直线与曲线相切于，又，∴直线的斜率为，
∴处的切线方程为，即；
直线与曲线相切于，，
可得切线方程为，
即.
因为直线与两条曲线都相切，所以两条切线相同，
则且，
则，即
可得，解得，
故选：D.
13．B
【分析】由，，
即在有两解，解不等式即可得解.
【详解】求导可得，
由，
所以有两解，
即在有两解，
令
所以
解得：.
故选：B
14．D
【解析】由导数的运算求出，然后用分离参数法得出时，，时，，再设，求出在时最小值，在时的最大值，从而可得的范围．
【详解】因为，所以，即，所以（为常数），
，由，，
不等式为，时，不等式为，成立，
时，，时，，
设，则，
当或时，，当或时，，
所以在和上是减函数，在和上是增函数，
时，在时取得极小值也最小值，由恒成立得，
时，在时取得极大值也是最大值，由恒成立得，
综上有．
故选：D．
【点睛】本题考查导数的运算，考查用导数研究不等式恒成立问题，用分离参数法转化为求函数的最值是解题关键，解题时注意分类讨论思想的应用．
15．D
【分析】构造函数 根据的符号判断函数单调性，结合函数单调性的特点，得当时，f（x）<0, 当时，f（x）>0,再解不等式即可.
【详解】构造函数则 ，
已知当时，，所以在x>0时，<0，即g（x）在（0，+）上是减函数，
因为y=lnx在（0，+）上是增函数，所以f（x）在（0，+）上是减函数
已知是奇函数，所以f（x）在（-，0）上也是减函数，f（0）=0，
故当时，f（x）<0, 当时，f（x）>0,
由得 ，解得x<-2或0故选D.
【点睛】本题考查了函数的导数与函数的单调性的关系，考查了奇函数，以及不等式的解法，关键是构造函数，根据函数单调性分析f（x）＞0与f（x）＜0的解集.
16．A
【分析】根据基本初等函数的求导公式，即可求得答案.
【详解】由可得，
故选：A
17．D
【分析】根据基本初等函数的导数公式可判断.
【详解】由，所以函数是常函数，
.
故选：D.
18．B
【分析】根据基本初等函数的求导公式即可结合选项求解.
【详解】对于A, ,故A错误，
对于B，，故B正确，
对于C，，故C错误，
对于D, ,故D错误，
故选：B
19．A
【分析】利用初等函数求导公式求出导函数，从而可得答案.
【详解】因为函数，
所以，
则．
故选：A.
20．A
【分析】根据函数的导数公式求解.
【详解】因为，所以，
令，则有，解得，
所以，
所以，
故选：A.
21．A
【分析】
对求导后，将代入先求出，然后求出即可.
【详解】由，求导可得，，
取得到，解得，
此时，则.
故选：A
22．B
【分析】由题意可设，根据导数的几何意义求得在处的切线方程，根据在函数图像某个切点附近用切线代替曲线来近似计算，即可求得答案.
【详解】设，则，
则，故在处的切线方程为，设为，
故由题意得，
故选：B
23．A
【详解】，
∵函数是区间上的双中值函数，
∴区间上存在 ，
满足
∴方程在区间有两个不相等的解，
令，
则，
解得
∴实数的取值范围是.
故选:A．
24．ACD
【分析】利用基本初等函数的导数公式对各函数求导即可判断正误.
【详解】A：，对；
B：，错；
C：，对；
D：，则，对.
故选：ACD
25．BCD
【分析】根据基本初等函数的导数运算规则逐项验证答案即可.
【详解】常函数的导函数为0，选项A错误；
根据幂函数的求导规则，，选项B正确；
由指数函数的求导规则可知，选项C正确；
由对数函数的求导规则可知，选项D正确.
故选：BCD.
26．
【分析】根据导数的几何意义求解即可.
【详解】由题意，的导函数，故曲线在点处的切线斜率为，则切线方程.
故答案为：
27．##
【分析】求出函数的导数，令为函数在上的“拉格朗日中值点”，列方程求解即可.
【详解】由可得，
令为函数在上的“拉格朗日中值点”，
则，解得.
故答案为：
28．(1)，（2）
【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得.
【详解】（1）， ，
∴；
（2）∵，，
∴.
29．(1)；
(2)或.
【分析】（1）应用导数几何意义求曲线上一点处的切线方程即可；
（2）令所求切线在曲线上的切点为，由导数几何意义写出切线方程，结合点在切线上求参数，即可得切线方程.
【详解】（1）由题意，故，
所以，而，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）令所求切线在曲线上的切点为，则，
所以切线方程为，
又在切线上，故或，
所以切线方程为或.
30．(1)
(2)
【分析】（1）求出导函数，再由在时有极值0，可得解方程组即可求出的值；
（2）求出导函数，再由函数的单调性以及导数的正负列出表格，即可解得函数在和递增，递减，从而可得值域.
【详解】（1），可得，
由题时有极值0.可得：即
解得：或，
当时，单调，不会有极值，故舍去.
经验证成立；
（2）由（1）可知，
，，
增 减 增
所以函数在和递增，递减.
且，，，，
可得值域为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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