资源简介

第五章 一元函数的导数及其应用
第5.2.2讲 导数的四则运算法则
1．能利用导数的四则运算法则，求简单函数的导数．　
2．进一步理解导数的运算与几何意义的综合应用．
1、利用运算法则求函数的导数
2、导数四则运算法则的应用
3、导数四则运算的实际应用
知识点　导数的四则运算法则
设两个函数f(x)，g(x)可导，则
和(或差)的导数 [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)
积的导数 [f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．特别地，当g(x)＝c(c为常数)时，[cf(x)]′＝cf′(x)
商的导数 (g(x)≠0)
（1）函数和、差的导数可以推广到n个函数
设f1(x)，f2(x)，…，fn(x)在x处可导，则[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]′＝f′1(x)±f′2(x)±…±f′n(x)．
（2）积的导数公式，中间用“加号”，前导后不导＋前不导后导；商的导数公式，分母平方，分子用“减号”．
题型1、利用运算法则求函数的导数
1．已知函数（是的导函数），则（ ）
A． B． C． D．
2．若函数，则（ ）
A． B．
C． D．
3．函数的导数为（ ）
A． B． C． D．
4．函数的导数为（ ）
A． B．
C． D．
5．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型2、导数四则运算法则的应用
6．曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A． B．1 C． D．4
7．函数的导数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．若，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
9．已知，为的导函数，则的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型3、导数四则运算的实际应用
11．吹气球时，气球的半径（单位：dm）与体积（单位：L）之间的关系是．当时，气球的瞬时膨胀率为（ ）
A． B． C． D．
12．2023年3月5日，于西班牙博伊陶尔进行的2023年滑雪登山世锦赛落下帷幕，19岁中国小将玉珍拉姆获得女子组短距离项目冠军.在一次练习中，玉珍拉姆在运动过程中的重心相对于水平面的高度h（单位：）与开始时间t（单位：）存在函数关系，则此次练习中，玉珍拉姆在时的瞬时速度为（ ）
A．35 B．17 C． D．
13．已知某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为.则当时，该运动员的滑雪速度为（ ）
A． B． C． D．
14．新型冠状病毒肺炎（COVID﹣19）严重影响了人类正常的经济与社会发展．我国政府对此给予了高度重视，采取了各种防范与控制措施，举国上下团结一心，疫情得到了有效控制．人类与病毒的斗争将是长期的，有必要研究它们的传播规律，做到有效预防与控制，防患于未然．已知某地区爆发某种传染病，当地卫生部门于4月20日起开始监控每日感染人数，若该传染病在当地的传播模型为（表示自4月20日开始（单位：天）时刻累计感染人数，的导数表示时刻的新增病例数），则下列命题正确的是（　　）
A．4月20号累计感染人数为2500
B．4月20号新增病例数为25
C．4月20号新增病例数为45
D．新增病例数自4月20号起逐渐减少
15．日常生活中的饮用水是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）约为，则净化到纯净度为98%左右时净化费用的变化率，大约是净化到纯净度为92%左右时净化费用变化率的（ ）
A．16倍 B．20倍 C．25倍 D．32倍
一、单选题
16．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
17．若函数的导函数为，则下列4个描述中，其中不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
18．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
19．已知函数，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
20．节日里，人们常用放气球的形式庆祝，已知气球的体积（单位：与半径（单位：）的关系为，则时体积关于半径的瞬时变化率为（ ）
A． B． C． D．
21．点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的范围是（ ）
A． B． C． D．
22．已知函数为的导函数，则的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
23．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称，为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心．若函数，则（ ）
A．8082 B． C．8084 D．
二、多选题
24．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
25．经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数．若函数图象的对称点为，则（ ）
A． B．
C．过点的切线方程为 D．过点的切线方程为
三、填空题
26．已知直线是曲线在点处的切线方程，则
27．设函数在上的导函数为，已知，，则不等式的解集是 ．
四、解答题
28．求下列函数的导数
(1)；
(2)
29．（1）已知函数，求；
（2）已知曲线，求曲线在处的切线方程.
30．已知函数，.
(1)求函数的图象在点处的切线方程；
(2)令，求.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】对于原函数和导函数，分别取，代入运算求解即可.
【详解】因为，则，
又因为，
当时，，解得，
所以.
故选：D.
2．D
【分析】根据题意，由导数的四则运算法则，即可得到结果.
【详解】因为函数，则.
故选：D
3．C
【分析】根据基本函数的求导公式以及求导法则即可求解.
【详解】
故选：C.
4．D
【分析】利用导数乘法运算规则即可求得函数的导数.
【详解】由，可得
故选：D
5．C
【分析】根据导数公式表以及导数的运算法则运算可得答案.
【详解】，故A不正确；
，故B不正确；
，故C正确；
，故D不正确.
故选：C
6．A
【分析】求出函数的导数，在点处的切线的斜率即为处的导数.
【详解】令，，
故在点处的切线的斜率为.
故选：A
7．D
【分析】根据已知，利用函数的求导公式以及函数的奇偶性、函数值进行排除.
【详解】因为，所以，
令，，则，
所以函数是奇函数，故A，C错误；
又，故B错误.
故选：D.
8．C
【分析】求出函数的定义域与导函数，再解不等式即可.
【详解】函数的定义域为，且，
由，则，解得，所以的解集为.
故选：C
9．A
【分析】求出导函数，根据奇偶性可得BD不正确；根据可得C不正确；
【详解】因为，所以，
因为，所以为奇函数，其图象关于原点对称，故BD不正确；
因为，故C不正确；
故选：A
10．A
【分析】由的几何意义，得函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1，即函数的导数大于1在内恒成立，可得在内恒成立，利用二次函数的性质可求.
【详解】因为的几何意义，表示点与点连线斜率，
∵实数，在区间内，不等式恒成立，
∴函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1，
故函数的导数大于1在内恒成立，∴在内恒成立，
由函数的定义域知，，所以在内恒成立，
由于二次函数在上是单调递减函数，
故，∴，
∴．
故选：A.
11．A
【分析】求导，再代入求解出即为答案.
【详解】，
故
故选：A
12．C
【分析】利用导数的几何意义即可得解.
【详解】因为，所以，
所以，即玉珍拉姆在时的瞬时速度为.
故选：C.
13．B
【分析】根据导数的几何意义，对求导，再将代入求解即可.
【详解】因为，所以，
故，
所以该运动员的滑雪速度为.
故选：B.
14．C
【分析】由题对求导，再对照选项判断即可得出答案．
【详解】对求导得：，
当时，，故4月20号累计感染人数为，A选项错误；
当时，，故4月20号新增感染人数为，所以B错，C正确；
根据基本不等式：，
当，即当时取等号，
于是，
结合C选项可知，在4月20日新增人数的人，既然会某时刻达到新增人，说明不会越来越少，故D错误．
故选：C
15．A
【分析】先求出，再求出的值即得解.
【详解】解：由题意可知，净化所需费用的瞬时变化率为，
，，
，
即净化到纯净度为左右时净化费用的变化率，大约是净化到纯净度为左右时净化费用变化率的16倍，
故选：A．
16．C
【分析】求出和，利用导函数几何意义求出切线方程.
【详解】，，故，
所以在点处的切线方程为，
即.
故选：C
17．D
【分析】结合函数的求导公式和求导法则，逐项判断，即可得到本题答案.
【详解】因为，
所以，项正确，D项错误.
故选：D
18．B
【分析】根据导数运算求得正确答案.
【详解】A选项，，所以A选项错误.
B选项，，所以B选项正确.
C选项，，所以C选项错误.
D选项，，所以D选项错误.
故选：B
19．C
【分析】根据导数的求导法则，求导代入即可求解.
【详解】对求导可得，
所以，所以，
故选：C
20．B
【分析】根据瞬时变化率的定义结合导数的运算求解即可.
【详解】由，求导得，
所以时体积关于半径的瞬时变化率为.
故选：B.
21．C
【分析】求导，求出导函数的值域，再根据导数的几何意义即可得解.
【详解】，
所以点处切线的斜率的取值范围为，即，
又，所以角的范围是.
故选：C.
22．B
【分析】求出，判断奇偶性，并结合特殊值验证，即可判断出答案.
【详解】由可知，
则，即为奇函数，故A，D错误；
又，故C错误，B正确，
故选：B
23．A
【分析】按定义求得拐点，即为函数的图像的对称中心，利用对称性化简求值即可.
【详解】，令得，，即函数的图像的对称中心为，则，
故
故选：A
24．BC
【分析】由基本初等函数的导数公式和导数的运算法则计算判断.
【详解】为常数，，A错误；
，，B正确；
，C正确；
，D错误.
故选：BC
25．AC
【分析】求导，由，，解得，故，利用导数的几何意义计算即可判断出结果.
【详解】由题意可得，
因为，所以，
所以，
解得，故.
，所以过点的切线方程为，即，即C正确，
故选：AC.
26．e
【分析】利用导数的几何意义求切线方程，并写出的形式确定参数，即可得结果.
【详解】由题设，且，则，
所以，切线方程为，即，
所以，故.
故答案为：
27．
【分析】利用求导法则构造新函数，解出代入不等式，运算即可得解.
【详解】解：由题意得，
∴，令，
则，
∵，∴
∴，
∴，
则有，解得，
所以，所求解集为.
【点睛】本题考查函数的导数的应用和一元二次不等式的解法，关键在于恰当构造函数.构造函数的主要思路有：
（1）条件中出现和时，适当转换后考虑根据商的求导法则令；
（2）条件中出现和时，适当转换后考虑根据积的求导法则令.
28．(1)
(2)
【分析】（1）（2）利用求导法则可求得.
【详解】（1）解：因为，则.
（2）解：因为，则.
29．（1）；（2）.
【分析】（1）等式两边求导，然后令，可求得的值；
（2）求出、的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程.
【详解】解：（1）因为，
等式两边求导可得，
所以，，即，解得；
（2）因为，则，
所以，，，
所以，曲线在处的切线方程为，即.
30．(1)
(2)
【分析】（1）利用导数几何意义求切线方程；
（2）应用基本函数的导数公式及加减法法则求导即可.
【详解】（1）由题设，且，则，
所以在点处的切线方程为，即.
（2）由，
所以.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑