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第五章 一元函数的导数及其应用
第5.2.3讲 简单复合函数的导数
班级_______ 姓名_______ 组号_______
1．掌握复合函数的求导法则．　
2．能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数．
1、求复合函数的导数
2、复合函数与导数的运算法则的综合
3、复合函数的导数与应用
知识点一　复合函数
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
知识点二　复合函数的求导法则
一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构；(2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则；(3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导．
题型1、求复合函数的导数
1．设，则（ ）
A． B． C． D．
2．的导数是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，则的导数（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
题型2、复合函数与导数的运算法则的综合
6．在下列求导数的运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列计算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型3、复合函数的导数与应用
11．已知是自然对数的底数，则函数的图象在原点处的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知直线与曲线相切，则实数（ ）
A． B． C． D．
13．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ）
A． B． C． D．
14．已知点P是曲线上一动点，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．已知函数及其导函数的定义域均为，且是奇函数，记，若是奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
16．已知函数的导数为，则＝（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
17．曲线在处切线的斜率为（ ）
A．2 B． C．1 D．
18．下列求导正确的是（ ）
A． B．
C． D．
19．下列求导不正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
20．函数的图象在点处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
21．若，则曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A． B． C．2 D．
22．已知函数为的导函数，则（ ）
A．0 B．8 C．2022 D．2023
23．曲线在处的切线与坐标轴所围成的三角形面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
24．下列导数运算正确的有（ ）
A． B． C． D．
25．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．，则
C． D．
26．牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．具体做法如下：如图，设r是的根，首先选取作为r的初始近似值，在处作图象的切线，切线与x轴的交点横坐标记作，称是r的一次近似值，然后用替代重复上面的过程可得，称是r的二次近似值；一直继续下去，可得到一系列的数在一定精确度下，用四舍五入法取值，当近似值相等时，该值即作为函数的一个零点r，若使用牛顿法求方程的近似解，可构造函数，则下列说法正确的是（ ）

A．若初始近似值为1，则一次近似值为3
B．
C．对任意，
D．任意，
27．已知函数和分别为奇函数和偶函数，且，则（ ）
A．
B．在定义域上单调递增
C．的导函数
D．
三、填空题
28．函数的图象在处的切线方程为 .
29．已知函数，则= .
四、解答题
30．指出下列函数是怎样复合而成的．
(1)；
(2)；
(3).
31．已知一罐汽水放入冰箱后的温度x（单位：）与时间t（单位：h）满足函数关系．
(1)求，并解释其实际意义；
(2)已知摄氏度x与华氏度y（单位：）满足函数关系，求y关于t的导数，并解释其实际意义．
32．已知函数
(1)求的导数．
(2)求曲线在点处的切线方程．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】利用导数运算求得正确答案.
【详解】依题意，，
所以.
故选：C
2．A
【分析】直接利用复合函数的求导法法则求解即可
【详解】由，得，
故选：A
3．D
【分析】利用复合函数求导法则进行求解.
【详解】.
故选：D
4．D
【分析】根据已知条件，结合导数的求导法则，即可求解．
【详解】，
则．
故选：D
5．A
【分析】利用复合函数的求导法则即可求解.
【详解】因为函数，
所以，
，
故选：.
6．D
【分析】利用求导四则运算法则和简单复合函数求导法则计算，得到答案.
【详解】A选项，，A错误；
B选项，，B错误；
C选项，，C错误；
D选项，，D正确.
故选：D
7．D
【分析】根据求导法则逐个分析判断即可
【详解】对于A，，所以A错误，
对于B，，所以B错误，
对于C，，所以C错误，
对于D，，所以D正确，
故选：D.
8．C
【分析】根据导数的运算逐一判断即可.
【详解】：，A错误，
：，B错误，
：，C正确，
：，D错误，
故选：C．
9．B
【分析】根据导数的基本运算与复合导数的运算法则求解即可.
【详解】对A，，故A错误；
对B，，故B正确；
对C，，故C错误；
对D，，故D错误.
故选：B
10．A
【分析】根据求导法则逐个分析判断即可
【详解】对于A，，所以A错误，
对于B，，所以B正确，
对于C，，所以C正确，
对于D，，所以D正确，
故选：A
11．B
【分析】求导得，计算，，则得到切线方程.
【详解】因为，所以，
所以函数的图象在原点处的切线方程为，
故选：B.
12．C
【分析】先设出切点坐标，根据导数的几何意义建立方程组，求解方程组可得答案.
【详解】设切点坐标为，由求导，得,
所以，即解得．
故选：C．
13．D
【分析】设出两个切点坐标，根据导数的几何意义可得.将切点代入两条曲线，联立方程可分别求得,代入其中一条曲线即可求得的值，由此可求.
【详解】直线是曲线的切线,也是曲线的切线,
则两个切点都在直线上,设两个切点分别为
则两个曲线的导数分别为,
由导数的几何意义可知,则
且切点在各自曲线上,所以
则将代入可得
可得
由可得
代入中可知
所以，
所以.
故选：D.
14．A
【分析】求出函数的导数，利用均值不等式求出切线斜率的取值范围即可计算作答.
【详解】函数的定义域是R，求导得：函数，而，
则曲线在点处的切线的斜率，
当且仅当，即，时取“=”，而，
于是得，又，因此，，
所以的取值范围是.
故选：A
15．B
【分析】根据 是奇函数，可得 ，两边求导推得，，再结合题意可得4是函数的一个周期，且，进而可求解．
【详解】因为 是奇函数，所以 ，
两边求导得 ，
即，
又，
所以 ，即，
令 ，可得 ，
因为是定义域为的奇函数，所以，即．
因为是奇函数，
所以 ，又，
所以，则，，
所以4是函数的一个周期，
所以．
故选：B．
16．D
【分析】先求出导函数，再代入求值即得.
【详解】则.
故选：D.
17．B
【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解.
【详解】，
当时，，
即曲线在处切线的斜率为.
故选：B.
18．C
【分析】
根据基本函数的求导公式，及导数的运算法则和复合函数的求导法则，进行运算即可判断选项.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，根据复合函数的求导法则，
，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：C.
19．B
【分析】
根据导数公式可依次判断各选项.
【详解】根据导数公式及求导运算法则，可判断A，C，D选项正确；对B选项，是常数，其导数是0，故B选项错误.
故选：B.
20．D
【分析】先求导数，得切线的斜率，再根据点斜式得切线方程.
【详解】因为，所以．因为，
所以切线方程为，即．
故选：D.
21．B
【分析】先利用复合函数的求导求得，
【详解】因为，
所以，
因为，
则，
所以在点处的切线的斜率为.
故选：B.
22．B
【分析】利用导数以及函数的奇偶性求得正确答案.
【详解】依题意，的定义域为，是偶函数.
令，是奇函数，
有，
则.
而，
所以.
故选：B
23．A
【分析】求导，得到切线方程的斜率，进而求出切线方程，求出与坐标轴围成的三角形面积.
【详解】由，可得，又，，
故在点处的切线方程为，即.
令得，令得，
所以切线与坐标轴所围成的三角形面积为.
故选：A.
24．ABD
【分析】根据导数的运算法则依次讨论各选项即可得答案.
【详解】对A，，故正确；
对B，，B正确；
对C，，C错误；
对D， ，D正确.
故选：ABD
25．BD
【分析】利用导数的运算法则和初等函数的导数对每一个选项逐一求导.
【详解】对于选项A： ，故A错误；
对于选项B：，故B正确；
对于选项C：，故C错误；
对于选项D：，故D正确；
故选：BD.
26．BD
【分析】
根据牛顿法，即可求切线方程，进而得横坐标，结合选项即可求解BD.
【详解】设，的零点就是的解．
，当时，，切线为，令，则，所以切线与x轴交点横坐标为，A错误；
在处的切线为，所以切线与x轴交点横坐标为，
所以，，，，
∴，B正确；
若，，由B得，C错误；
，D正确．
故选：BD
27．BD
【分析】根据函数的奇偶性可得，结合选项即可逐一求解,
【详解】由得，由于函数和分别为奇函数和偶函数，所以，因此，
对于A, ,故A错误，
对于B，由于函数在单调递增，在单调递减，所以在单调递增，故B正确，
对于C，当且仅当时取等号，
而，所以C错误，
对于D，，当且仅当时取等号，所以D正确，
故选：BD
28．
【分析】由函数的解析式，求得，根据导数求得，结合直线的点斜式，即可求解.
【详解】因为，
所以，
所以，，
所以在处的切线方程为，即.
故答案为：.
29．
【分析】
首先求函数的导数，并求，再根据函数的解析式，即可求解.
【详解】，
则，得，
所以，
故.
故答案为：
30．(1)；
(2)；
(3)
【分析】根据复合函数的定义分析即可.
【详解】（1）是由函数复合而成的．
（2）是由函数复合而成的．
（3）是由函数复合而成的．
31．(1)，实际意义见解析；
(2)，实际意义见解析.
【分析】（1）求出给定函数的导数，再求出对应函数值，并说明意义作答.
（2）求出y关于t的函数，再求出导数及说明意义作答.
【详解】（1）由，求导得，
所以，在第1时，汽水温度的瞬时变化率为，
说明在第1附近，汽水温度大约以的速率下降.
（2）依题意，，求导得，
所以y关于t的导数为，在第时，汽水温度的瞬时变化率为，
说明在第附近，汽水温度大约以的速率下降.
32．(1)
(2)
【分析】（1）根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则对原函数求导；
（2）由导数几何意义求处的切线方程.
【详解】（1）
.
（2），而，
所以切线方程为，即.
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