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第六章 平面向量及其应用
第6.2.3讲 向量的数乘运算
1．通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义．
2．了解向量线性运算的性质及其几何意义．
3．通过实例，用向量解决一些几何问题，培养数学知识的运用，体会向量的工具性，培养数学运算、直观想象的学科素养．
1、向量的线性运算
2、用已知向量表示未知向量
3、向量共线
1．向量数乘的定义
一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘（multiplication of vector by scalar），记作λa，它的长度与方向规定如下：
（1）|λa|＝|λ||a|；
（2）当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．
由（1）可知，当λ＝0时，λa＝0．
由（1）（2）可知，（－1）a＝－a.
2．向量数乘的运算律
设λ，μ为实数，那么
（1）λ（μa）＝（λμ）a；
（2）（λ＋μ）a＝λa＋μa；
（3）λ（a＋b）＝λa＋λb．
特别地，我们有
（－λ）a＝－（λa）＝λ（－a），λ（a－b）＝λa－λb.
3．向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1a±μ2b）＝λμ1a±λμ2b．
4．向量的共线定理
向量a（a≠0）与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa．
[独立思考]
1．设λ为实数，a为向量，λ＋a，λ－a有意义吗？
提示：无意义．
2．对于非零向量a，当λ＝时，λa表示什么意义？
提示：表示a方向上的单位向量．
3．设非零向量a位于直线l上，那么对于直线l上的任意一个向量b，如何用a表示？
提示：存在唯一的一个实数λ，使b＝λa.
题型1、向量的线性运算
1．如图，在矩形中，为中点，那么向量等于（ ）
A． B． C． D．
2．化简为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在平行四边形中，（ ）
A． B． C． D．
4．在中，已知是边上一点，若，则（ ）
A．2 B．１
C．-2 D．－1
5．已知是内一点，满足，则（ ）
A． B． C． D．
题型2、用已知向量表示未知向量
6．在平行四边形ABCD中，，，G为EF的中点，则（ ）

A． B． C． D．
7．在中，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．中，是的中点，点在边上，且满足，交于点，则=（ ）
A． B． C． D．
9．设为所在平面内一点，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
10．衡量钻石价值的4C标准之一是切工．理想切工是一种高雅且杰出的切工，它使钻石几乎反射了所有进入钻石的光线．现有一理想切工的钻石，其横截面如图所示，其中为等腰直角三角形，四边形BCDE为等腰梯形，且，，，则（ ）
A． B．
C． D．
题型3、向量共线
11．已知点是所在平面上的一点，的三边为，若，则点是的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
12．已知是平面上的4个定点，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
13．已知点在所在的平面内，满足，则动点的轨迹一定通过的（ ）
A．内心 B．垂心 C．外心 D．重心
14．已知，是平面内两个不共线的向量，，，，且A，C，D三点共线，则（ ）
A． B．2 C．4 D．
15．在中，，，是所在平面内一点，，则等于（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
16．在中，点为边的中点，记，则（ ）
A． B． C． D．
17．若正方形的边长为2，则（ ）
A． B． C． D．
18．若是内一点，，则是的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
19．已知点在线段上，且，若向量，则（ ）
A．2 B． C． D．
20．如图，在中，，则（ ）
A． B． C． D．
21．已知不共线的向量，且，，，则一定共线的三点是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
22．已知平面内四个不同的点满足，则（ ）
A． B． C．2 D．3
23．已知向量，不共线，且向量与方向相同，则实数的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或
二、多选题
24．下列命题正确的的有（ ）
A．
B．
C．若，则共线
D．，则共线
25．如图在中，AD BE CF分别是边BC CA AB上的中线，且相交于点G，则下列结论正确的是（ ）

A． B．
C． D．
三、填空题
26．在中，D为CB上一点，E为AD的中点，若，则 ．
27．三国时期东吴的数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一张勾股圆方图（也称赵爽弦图），弦图作为可分解的一种图模型在代数与几何，以及复杂统计量的分解和参数估计都有着极大的作用.现有一弦图，为正方形，，过作的垂线交于点，线段上存在一点，使得，则 .

四、解答题
28．如图，在中，M，N分别是OA，OB的中点．设，，试用，表示，，并比较与的长度和方向．

29．如图，中，AB边的中点为P，重心为G．在外任取一点O，作向量，，，，．

(1)试用，表示．
(2)试用，，表示．
30．已知两个非零向量，不共线．
(1)若，，，求证：A，B，D三点共线；
(2)若与共线，求实数k的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】根据平面向量的线性运算，结合图形可得.
【详解】因为四边形为矩形，为中点，
所以，
所以.
故选：B
2．D
【分析】
利用平面向量的数乘及加减运算即可求得结果.
【详解】根据向量的四则运算可知，
.
故选：D
3．D
【分析】根据平面向量的线性运算法则计算出结果.
【详解】.
故选：D
4．C
【分析】由可得为线段的三等分点中靠近的点，由向量的加(减)法及数乘运算可得，即可求得.
【详解】解：如图所示：
因为，
所以为线段的三等分点中靠近的点，
所以=,
所以，
所以.
故选：C.
5．A
【分析】根据向量的加法和减法运算由条件，可得出，然后即可得到是的重心，从而可得出答案.
【详解】，
所以是的重心，所以.
故选：A.
6．D
【分析】利用向量的加减法的几何意义将转化为、即可.
【详解】
.
故选：D.

7．B
【分析】把作为基底，然后根据已知条件结平面向量基本定理可求得结果.
【详解】
因为，
所以
，
故选：B
8．A
【分析】设设，，由、得、与的关系，结合求、，进而可得与的线性关系式.
【详解】由题设可得如下几何示意图，
设，，
∵，
∴，
∵，
∴，
由知：，
∴，得，
∴.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：令，，利用几何图形中各线段对应向量的线性关系求参数、，写出与的线性关系式.
9．A
【分析】利用向量的加减、数乘运算即可求得.
【详解】∵，所以三点共线且.如图所示：
∴，即.
故选：A.
10．C
【分析】如图，延长CD和BE交于点F，证明四边形ABFC为正方形，再利用平面向量的线性运算求解.
【详解】解：如图，延长CD和BE交于点F，由题得,
所以四边形ABFC为矩形，又,所以四边形ABFC为正方形，
又，所以分别是中点，
所以．
故选：C
11．B
【分析】
在，上分别取点，，使得，，以，为邻边作平行四边形，即可得到四边形是菱形，再根据平面向量线性运算法则及共线定理得到，，三点共线，即可得到在的平分线上，同理说明可得在其它两角的平分线上，即可判断.
【详解】在，上分别取点，，使得，，则．
以，为邻边作平行四边形，如图，

则四边形是菱形，且．
为的平分线．
，
即，
．
，，三点共线，即在的平分线上．
同理可得在其它两角的平分线上，
是的内心．
故选：B．
12．A
【分析】设边的中点为，则，进而结合题意得，再根据向量共线判断即可.
【详解】解：根据题意，设边的中点为，则，
因为点满足，其中
所以，，即，
所以，点的轨迹为的中线，
所以，点的轨迹一定经过的重心.
故选：A
13．D
【分析】由给定条件可得，由表示出即可判断作答.
【详解】令边BC上的高为h，则有，令边BC的中点为D，则，
因此，，即，
所以动点的轨迹一定通过的重心.
故选：D
14．D
【分析】根据已知求出.根据已知可得共线，进而得出，代入向量整理得出方程组，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，，.
因为A，C，D三点共线，所以共线，
则，使得，
即，
整理可得.
因为，不共线，
所以有，解得.
故选：D.
15．A
【分析】根据题意，得到，结合，化简得到，即可求解.
【详解】由，可得，
因为，可得，
所以，
又因为，所以.
故选：A.
16．C
【分析】利用平面向量的线性运算计算即可.
【详解】由题意可知，.
故选：C
17．A
【分析】根据平面向量的线性运算即可求解．
【详解】由正方形的边长为2，则，
所以．
故选：A．

18．D
【分析】
利用向量的加法法则，结合重心定义判断作答.
【详解】取线段的中点，连接，则，而，

因此，即三点共线，线段是的中线，且是靠近中点的三等分点，
所以是的重心.
故选：D
19．D
【分析】根据题意可知，结合向量的线性表示即可求得.
【详解】如图，由，可得，所以，即，
故选：D.
20．A
【分析】运用平面向量的三角形法则和数乘向量，直接求解．
【详解】在中，，
∴.
故选：A．
21．A
【分析】利用向量的共线定理一一判断即可.
【详解】对A，,
所以，则三点共线，A正确；
对B，,
则不存在任何，使得，所以不共线,B错误；
对C，,
则不存在任何，使得，所以不共线，C错误；
对D，,
则不存在任何，使得，所以不共线，D错误；
故选:A.
22．D
【分析】
将条件变形，得到的关系，进而可得的值.
【详解】,
,
即,
.
故选：D.
23．A
【分析】
利用向量共线定理求解即可
【详解】因为向量与方向相同，
所以存在唯一实数，使，
因为向量，不共线，
所以，解得或（舍去），
故选：A
24．ABC
【分析】
根据向量的数乘运算判断A，B；由共线向量的定义判断C，D.
【详解】解：对于A，，故正确；
对于B，，故正确；
对于C，因为，所以，所以共线，故正确；
对于D，因为恒成立，所以不一定共线，故错误.
故选：ABC.
25．BC
【分析】由条件可知为的重心，由重心的性质逐一判定即可.
【详解】由条件可知为的重心，
对于A，由重心的性质可得，所以，故A错误；
对于B，由重心的性质可得，所以，故B正确；
对于D，故D错误；
对于C，，，
，故C正确.
故选：BC.
26．##0.1
【分析】
由平面向量的线性运算和三点共线的充分必要条件得出结果.
【详解】
因为E为AD的中点，所以，
因为B，D，C三点共线，所以，
所以，解得．
故答案为：
27．
【分析】利用面积关系，结合向量共线，即可求解.
【详解】连接，
因为，所以，
所以，
所以，，故.

故答案为：
28．答案见解析
【分析】平面向量的加法运算和平面向量的数乘运算即可求解.
【详解】．
，
故与方向相同，且．
29．(1)
(2)
【分析】（1）根据平面向量线性运算的性质进行求解即可；
（2）根据平面向量线性运算的性质，结合三角形重心的性质进行求解即可.
【详解】（1）
．
（2）
．

30．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据条件，得到，再证明三点共线即可；
（2）由两向量共线，得到，列出方程组，求出答案.
【详解】（1）证明：根据条件可知，，所以，共线，
又因为，有公共点B，所以A，B，D三点共线．
（2）因为与共线，
所以存在，使得，
所以，解得或，
即．
答案第1页，共2页
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