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中兴中学2024年学业水平第一次模拟考试
数学 试卷
考生须知：
1.全卷共三大题，满分为120分，考试时间为120分钟．
2.全卷分为卷Ⅰ（选择题）和卷Ⅱ（非选择题）两部分，请在答题卡规定区域作答，在试卷上作答或超出答题卡的规定区域无效．
3.本次考试不得使用计算器．
卷Ⅰ
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．的倒数是（　 　）
A． B． C． D．
2．在比例尺为的宁波地图上，量得杭州湾大桥在地图上的距离为厘米，则桥实际长度用科学记数法可表示为（ ）米
A． B． C． D．
3．下列运算，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．校标是一个学校的标志，也是一个学校的门面，包含着自豪与归属感，下列是镇海区其中四所学校的校标，属于中心对称的图形是（ ）
A． B． C． D．
5．把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（ ）
A． B．
C． D．
6．在创建“文明校园”的活动中，班级决定从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两名同学担任本周的值周长，那么抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点在上，，连接并延长，交于点，连接，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，四边形中，沿着折叠，则点恰好落在的点上处，若，，则（ ）
A． B． C． D．
9．设二次函数（为实数）的图象过点，设，下列结论正确的是（ ）
A．若，且，则 B．若，且，则
C．若，且，则 D．若，且，则
10．如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，连结，作于点于点于点K，交于点L．若正方形与正方形的面积之比为5，则的值等于（ ）
A． B．4 C． D．
卷Ⅱ
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分，第16题每空2分）
11．分解因式： ．
12．学校组织科技知识大赛，8名参赛同学的得分（单位：分）如下：91，89，92，94，92，96，95，92，这组数据的众数是 分．
13．若半径为的扇形弧长为，则该扇形的圆心角度数为 ．
14．《算学启蒙》中记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行10天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则列出方程为 ．
15．如图，4个小正方形拼成“L”型模具，其中两个顶点在y轴正坐标轴上，一个顶点在x轴负半轴上，顶点D在反比例函数的图象上，若，则

16．如图1，是一种购物小拉车，底部两侧装有轴承三角轮，可以在平路及楼梯上推拉物品，拉杆固定在轴上，可以绕连接点旋转，拉杆，置物板，脚架形状保持不变．图2，图3为购物车侧面示意图，拉杆，的半径均为，O为三角轮的中心，．如图2，当轮子及点G都放置在水平地面时，D恰好与的最高点重合．此时，D的高度为，则 ；如图3，拉动，使轮子在楼梯表面滚动，当，且B，O，D三点共线时，点G与B的垂直高度差为 ．
三、解答题（第17－19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题10分，第24题12分，共66分）
17．（1）．
（2）先化简，再求值：，其中．
18．如图的网格中，的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1．仅用无刻度的直尺在给定的网格图中分别按下列要求画图．（保留画图痕迹，画图过程中辅助线用虚线，画图结果用实线、实心点表示）

(1)请在图1中画出的高，计算得__________．
(2)请在图2中在线段上找一点E，使．
19．如图，在中，分别是边上的点，已知且．
(1)求证：是的角平分线；
(2)若，，求的度数．
20．学校为加强学生垃圾分类方面的知识普及，开设了垃圾分类臻善德育小课培训学．为了解培训效果，学校对七年级544名学生在学习前和培训后各进行一次垃圾分类知晓情况检测，两次检测项目相同，政教处依据同一标准进行问卷评估，分成“合格”、“良好”、“优秀”3个等级，依次记为2分、6分、8分（比如，某同学检测等级为“优秀”，即得8分）．学校随机抽取32名学生的2次检测等级作为样本，绘制成如图的条形统计图：
(1)这32名学生在培训前得分的中位数对应等级应为__________；（填“合格”、“良好”或“优秀”）
(2)求这32名学生培训后比培训前的平均分提高了多少？
(3)利用样本估计该校七年级学生中，培训后检测等级为“良好”与“优秀”的学生人数之和是多少？
21．低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台1000元，乙型自行车进货价格为每台1200元．该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利1100元，销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利700元．
(1)该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？
(2)在销售中发现，甲型自行车按（1）中获利定价时，每天可售出20台．在原有基础上，每降价5元，可多售出1台，要使甲型自行车每天销售利润不低于3360元，求优惠幅度的范围．
22．根据以下素材，探索完成任务．
机场监控问题的思考
素材1 如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点P）始终以的速度在离地面高的上空匀速向右飞行．
素材2 2号试飞机（看成点Q）一直保持在1号机P的正下方从原点O处沿角爬升，到高的A处便立刻转为水平飞行，再过到达B处开始沿直线降落，要求后到达处．
问题解决
任务1 求解析式和速度 求出段h关于s的函数解析式，直接写出2号机的爬升速度；
任务2 求解析式和坐标 求出段h关于s的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标．
任务3 计算时长 通过计算说明两机距离不超过的时长是多少．
23．综合与实践
【问题情境】
如图1，小华将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线上，点B的对应点记为，折痕与边，分别交于点E，F．
【活动猜想】
（1）如图2，当点与点D重合时，四边形是哪种特殊的四边形？并给予证明．
【问题解决】
（2）如图1，当，，时，连接，则的长为______．
【深入探究】
（3）如图3，请直接写出与满足什么关系时，始终有与对角线平行？
24．已知：是的外接圆，连接并延长交于点．
图1 图2 备用图
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点是弧上一点，连接，于点，且，求的值；
(3)在（2）的条件下，若，，求线段的长．
参考答案与解析
1．D
【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，根据乘积为1的两个数互为倒数进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴的倒数是，
故选：D．
2．B
【分析】本题考查科学记数法，按照定义，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可得到答案，确定与的值是解决问题的关键．
【详解】解：由题意可知, 桥实际长度为厘米米，的3后面有4个位数，根据科学记数法要求表示为，
故选：B．
3．A
【分析】本题考查了合并同类项，幂的乘方，同底数的幂相除，二次根式的性质与化简，掌握相关的法则是解题的关键．
根据相关的运算法则计算后判定即可．
【详解】A． ，正确，该选项符合题意；
B． ，错误，该选项不符合题意；
C． ，错误，该选项不符合题意；
D． ，错误，该选项不符合题意；
故选：A．
4．D
【分析】本题考查了中心对称图形的概念，判断中心对称图形要找对称中心，旋转180°与原图重合．
一个图形绕某点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念对各选项分别进行判断即可得．
【详解】A.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D.
5．C
【分析】先解不等式组求出解集，再在数轴上表示出来即可．
【详解】
解①得，
解②得，
不等式组的解集为，在数轴上表示为：
，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组及在数轴上表示解集，熟练掌握知识点是解题的关键．
6．D
【分析】本题主要考查运用画树状图法求随机事件的概率，掌握其运用是解题的关键．
运用画树状图法将所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解．
【详解】解：两名男生表示为男，男，两名女生表示为女，女，抽取过程如图所示，
共有种等可能结果，其中抽到一男一女的结果有种，
∴抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是．
故选：D．
7．C
【分析】先由两直线平行内错角相等、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质及三角形内角和得到、，从而确定，再由圆周角定理求解即可得到答案．
【详解】解：连接，如图所示：
，
，
，
，
在中，由三角形内角和定理得，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查圆中求角度，涉及圆的性质、平行线性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握圆中求角度的方法及基础知识是解决问题的关键．
8．B
【分析】过作于，如图所示，由折叠性质及等腰三角形性质求出，再由等腰直角三角形的判定与性质得到，在中，由勾股定理求出，数形结合，根据，代值求解即可得到答案．
【详解】解：过作于，如图所示：
将沿着折叠，点恰好落在的点上处，
由折叠性质得到，，
，
，
，
由等腰三角形三线合一可得是的角平分线、是线段的中垂线，
，，
，
，
在中，，则，即是等腰直角三角形，
，
在中，，，则由勾股定理可得，
，
故选：B．
【点睛】本题考查求线段长，涉及折叠性质、等腰三角形性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠性质及等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键．
9．D
【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及解不等式组，用表示、，再根据条件求的范围即可得出答案，解题的关键是用的代数式表示、．
【详解】解：二次函数（为实数）的图象过点，，，，
代入变形可得，，，，
，，
，，
A、若，且，则①，且②，
由①得，由②得，
，故A不符合题意；
B、若，且，则③，且④，
由③得，由④得，
，故B不符合题意；
C、若，且，则⑤，且⑥，
由⑤得或，由⑥得，
，故C不符合题意；
D、若，且，则⑦，且⑧，
由⑦得或，由⑧得，
，故D符合题意，
故选：D．
10．C
【分析】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是用含m的代数式表示相关线段的长度．
设交于P，过C作于N，设正方形边长为m，，证明可得，根据勾股定理可求得，，由得，，通过，进而求两个正方形的面积的比．
【详解】设交于P，过C作于N，如图：
设正方形边长为m，
∴正方形面积为，
∵正方形与正方形的面积之比为5，
∴正方形的面积为，
∴，
由已知可得：，，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得或（舍去），
∴，，
AP=，
∴，即P为中点，
∵，
∴
∵，，
∴，
即
∴，，
∴
，
∴
故选：C．
11．
【分析】本题考查提公因式法与公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解决问题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
12．92
【分析】本题主要考查众数的定义，熟练掌握众数的定义是解题的关键．根据众数的定义即可得到答案．
【详解】解：众数是出现次数最多的一个数据，
故答案为：．
13．##45度
【分析】本题主要考查了弧长公式．
设该扇形的圆心角度数为，根据弧长公式建立方程即可求解．
【详解】解：设设该扇形的圆心角度数为，
根据弧长公式得：，解得，即圆心角度数为．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
设快马x天可追上慢马，则慢马行的时间为天，根据路程相等建立方程即可．
【详解】解：设快马x天可追上慢马，
由题意得：．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形性质是解答本题的关键．
先根据三角形面积求出小正方形的边长，再利用两次相似求出点D的坐标，最后把D的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出k值．
【详解】∵，
∴
∴，
∴小正方形边长为2，
∴，，，
如图， 作轴，垂足为点E，

∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，，
同理，
，
即，
∴，
∴
∴，
∵点D在反比例函数图象上，
∴．
故答案为：．
16． 8
【分析】本题主要考查了切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，如图2所示，连接，延长交于J，作于Q，则，，设，则，再证明，，即可得到，则，解得，即；如图2所示，过点F作于S，则，则；如图3所示，如图所示，过点B作，过点G作，连接，由图2得，，，证明，则，即点G与B的垂直高度差为．
【详解】解：如图2所示，连接，延长交于J，作于Q，
∵的半径均为，
∴，
∵D的高度为，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵O为三角轮的中心，，
∴，，
∴，
∴，
∴，即；
如图2所示，过点F作于S，则，
∴；
如图3所示，如图所示，过点B作，过点G作，连接，
由图2得，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点G与B的垂直高度差为，
故答案为：．
17．（1）；（2），
【分析】本题考查的是分式的化简求值、实数的运算和特殊角的三角函数值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
（1）先算绝对值、立方根、负整指数幂、特殊角的三角函数值，再算加减法即可；
（2）先算乘法，再算加减，得到化简结果，再把代入计算即可．
【详解】（1）
；
（2）
当时，原式
18．(1)作图见解析，
(2)见解析
【分析】本题考查了作图-格点作图，平移的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，解题的关键是掌握网格的特征，作出符合条件的图形．
（1）格点向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，到点P，连接，交于点；
（2）线段向左平移2个单位长度，得到线段，线段交于点．
【详解】（1）就是所求作的高，如图所示，

∵，，，
∴，
∴
故答案为：
（2）如图所示，点E就是求作的点，

19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据等腰三角形性质及平行线性质，等量代换得到，再由角平分线定义求证即可得到答案；
（2）由三角形内角和定理得到，由（1）得到，在中，再根据三角形内角和定理求解即可得到．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，即是的角平分线；
（2）解：在中，，，则，
由（1）知，则，
在中，．
【点睛】本题考查等腰三角形性质、平行线性质、角平分线定义、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关几何性质，灵活运用是解决问题的关键．
20．(1)合格
(2)2.5
(3)408
【分析】本题考查的是条形统计图，利用样本估计总体，求平均数，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键．
（1）由32个数据排在最中间是第16个，第17个，这两个数据的平均数即为中位数，从而可得答案；
（2）分别计算培训前与培训后的平均成绩，再求差即可；
（3）根据总人数乘以良好与优秀所占的百分比即可得到答案．
【详解】（1）32个数据排在最中间是第16个，第17个，这两个数据的平均数即为中位数，
∴这32名学生在培训前得分的中位数对应等级应为合格；
故答案为：合格．
（2）32名学生在培训前的平均分为：（分），
32名学生在培训后的平均分为：（分），
这32名学生培训后比培训前的平均分提高了（分）；
（3）培训后检测等级为“良好”与“优秀”的学生人数之和是：
（人）．
21．(1)该公司销售一台甲型的利润为200元，一台乙型自行车的利润为250元
(2)优惠幅度的范围是15元至85元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，根据题意列出方程组和函数关系是解题的关键．
（1）根据“销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利1100元，销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利700元”建立方程组求解即可；
（2）设甲型自行车降价元，则可多售出台，甲型自行车每天销售利润为元，根据题意列出二次函数，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为、元，根据题意得，
，
解得：，
答：该公司销售一台甲型的利润为200元，一台乙型自行车的利润为250元；
（2）设甲型自行车降价元，则可多售出台，甲型自行车每天销售利润为元，根据题意得，
，
∵，二次函数的图象的开口向下，
当时，有，
解得：，
∵为整数，
∴，，
当时，，
∴
答：优惠幅度的范围是15元至85元．
22．任务一：，；任务二：，号机着陆点的坐标为；任务三：
【分析】本题考查一次函数的应用及待定系数法求一次函数解析式，正确从图象中获取信息是解题的关键．
（）先确定点的坐标，再用待定系数法求正比例函数的解析式，利用它们在段的飞行的时间和飞行的水平距离相同求速度；
（2）先确定点的坐标，再根据待定系数法求设的解析式，令，求得，即可得到结论；
（3）不超过，得到，把代入（）（）中的解析式得出的值，得出了两机距离不超过的飞行的水平距离，再除以号飞机的飞行速度，结论可得；
【详解】任务一：∵2号试飞机从原点O处沿角爬升，到高的A处，
∴，
设段h关于s的函数解析式为，
则，
解得：，
∴段h关于s的函数解析式为，
∵号试飞机一直保持在号机的正下方，
∴它们的飞行的时间和飞行的水平距离相同．
∵
∴号机爬升到A处时飞行的路程为，
∵号机的飞行速度为，
∴号机爬升到处时飞行的时间为，
所以号机的爬升速度为；
任务二：∵由处经过水平飞行到达处，
∴水平飞行距离为，
∴点的坐标为
∵从处沿直线降落后到达高度为的点处，
∴点的坐标为．
设的函数关系式为，将，两点坐标分别代入，
得，
解得，
∴的函数关系式为，
把代入，解得，
∴号机着陆点的坐标为；
任务三：两机距离不超过，
∴，
∵的函数关系式为，
∴，
∵的函数关系式为，
∴，
解得：，
∴两机距离不超过的时长是．
23．（1）当点与点重合时，四边形是菱形，证明见解析；（2）4；（3）当时，始终有与对角线平行
【分析】（1）由折叠可得：，，再证得，可得，利用菱形的判定定理即可得出答案；
（2）设与交于点，过点作于，利用勾股定理可得，再证明，可求得，进而可得，再由，可求得，，，运用勾股定理可得；
（3）设，则，利用折叠的性质和平行线性质可得：，再运用三角形内角和定理即可求得，利用解直角三角形即可求得答案．
【详解】解：（1）当点与点重合时，四边形是菱形，证明如下：
设与交于点，如图，
由折叠得：，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
四边形是菱形．
（2）四边形是矩形，，，，
，，，
，，
如图，设与交于点，过点作于，
由折叠得：，，，
，
，
，
，即，
，
，
，，
，
，即，
，，
，
；
（3）当时，始终有与对角线平行．
理由：如图，设、交于点，
四边形是矩形，
，，
，
设，则，
由折叠得：，，
，，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
；
∴当时，始终有与对角线平行．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，直角三角形性质，等腰三角形性质，平行线性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，涉及知识点多，综合性强，难度较大，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
24．(1)证明见解析
(2)1
(3)
【分析】（1）连接，根据三角形外角定理得，由圆心角是圆周角的一半得，再用外角定理得，两边加上等腰的两个相等底角得，即得；
（2）根据和的内角和，根据对顶角相等及第（1）问结论，转化成与，，相关的角，最后得到，即得；
（3）过作于，连接，如图所示，根据（1）（2）中结论，由垂径定理及等腰直角三角形的判定与性质确定，设，则，由三角形相似的判定与性质，根据相似比列方程求解得到的值，在中，由勾股定理求解即可得到答案．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
，，
，即，
，
，
，而，
，
，
，
，
，
；
（2）解：设与交于点，如图所示：
，且，
，
，
，
，
由（1）知，
，
，
，即，
，即，
，
；
（3）解：过作于，连接，如图所示：
由（1）知，由（2）知，
，
，
是等腰直角三角形，即，
设，则，
，，
，
，即，解得，
在等腰中，，
，
在中，由勾股定理可得．
【点睛】本题综合考查圆综合，涉及外角性质、圆周角与圆心角的关系、圆周角定理及其推理、等腰三角形的性质、对顶角相等、解直角三角形、垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点；其中角与辅助线的配合与等角的正切值相等得到边的比值关系起重要作用．

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