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平行线与相交线
教学课题 平行线与相交线 课时计划 第（3）次课
授课教师 学科 数学 授课日期和时段
上课学生 年级 上课形式
阶段 基础（ ） 提高（√ ） 强化（ ）
教学目标 1.互余和互补 2对顶角 3.同位角、内错角、同旁内角（三线八角）
重点、难点 重点：两直线平行的条件：1.同位角相等；2.内错角相等；3.同旁内角互补。 难点：用尺规作一个角等于已知角。
(
“
凡事预则立，不预则废
”
。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。
我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。
)
一、学习与应用
(
Ⅰ
、知识梳理
认真阅读、理解教材，带着自己预习的疑惑认真听课学习，
复习与本次课程相关的重点知识与公式及规律
，认真听老师
讲解本次课程基本知识要点
。课堂笔记或者其它补充填在右栏。
)
知识点一： 互余和互补
1.如果两个角的和是直角,那么称这两个角互为余角；
2.如果两个角的和是平角,那么称这两个角互为补角；
3.余角、补角的性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等。
注意：(1)互余、互补都是指两个角之间的关系。当∠1+∠2+∠3=90°时,不能说∠1、
∠2、 ∠3互余；当∠1+∠2+∠3=180°时,也不能说∠1、∠2、∠3互补。
(2)互余的两个角都是锐角,而互补的两个角可能是一个锐角一个钝角或都是直角。
(3)互余和互补都是反映两个角的数量关系,而不是位置关系。
(4)同角或等角的余角相等,即若∠1与∠2互余,∠1与∠3互余,则∠2=∠3；若∠1与
∠2互余,∠3与∠4互余,∠1=∠3,则∠2=∠4。
同角或等角的补角相等。即若∠1与∠2互补,∠1与∠3互补,则∠2=∠3；若∠1与
∠2互补,∠3与∠4=补,∠1=∠3,则∠2=∠4。
知识点二：对顶角
如果两个角有公共顶点，且它们的两边互为反向延长线，那么这样的两个角叫做对顶角。
对顶角的性质：对顶角相等。
注意：(1)对顶角总是成对出现的,它们是具有特殊位置关系的两个角,在相交的两条直
线所成的角中,有两对对顶角。
要判断两个角是不是对顶角,首先要看这两个角是不是两条直线相交得到的,再
看这两个角是不是有公共顶点而没有公共边,符合这两个条件时,才能确定这两
个角是对顶角。
知识点三：同位角、内错角、同旁内角（三线八角）
基本图形 角的名称 位置特征 图形结构特征
同位角 在两条被截直线的同旁，在截线的同侧 “F型”
内错角 在两条被截直线之间， 在截线的两侧 “Z型”
同旁内角 在两条被截直线之间， 在截线的同侧 “U型”
注意:辨认各种类型的角,关键是找准截线(要判断的两角的公共边所在的直线)和被截线
(要判断的两角的另两边),再由它们的位置来确定。
知识点四：
如右图，用规范的几何语言是：
∵∠1=∠2,∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行)；
∵∠3=∠6,∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行)；
∵∠2+∠3=180°,∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行)。
注意：同位角、内错角、同旁内角仅仅反映两个角之间的位置关系,
它们没有确定的数量关系,如右图所示,∠1与∠2是同位角,但它们不相等
只有在“两条平行直线被第三条直线所截”的前提下,同位角才相等。
同样也只有在这个前提下,内错角才相等,同旁内角才互补。
知识点五：平行线的性质
平行线的性质是指在两直线平行的条件下,同位角、内错角、同旁内角的关系,共有三个
方面的内容:
(1)两直线平行,同位角相等。用几何语言表述如下(如右图所示):
因为a∥b,所以∠1=∠2(两直线平行,同位角相等)。
(2)两直线平行,内错角相等。用几何语言表述如下(如右图所示):
因为a∥b,所以∠2=∠3(两直线平行,内错角相等)。
(3)两直线平行,同旁内角互补。 用几何语言表述如下(如右图所示):
因为a∥b,所以∠2+∠4=18O°(两直线平行,同旁内角互补)。
注意:(1)由平行线的性质,我们可以体会到,只有在两直线平行的条件下,才会有同位角
相等、内错角相等、同旁内角互补,要注意不要将条件和结论割裂开来,并不是所有的同
位角都相等、内错角都相等,也不是所有的同旁内角都互补。
如右图,∵∠1与∠2是同位角,∴∠1=∠2。
这是错误的结论,也是常犯的错误。
平行线的性质和判定中的条件和结论恰好相反,在“两条直线被第三条直线所
截”的前提下,从同位角相等,内错角相等或是同旁内角互补,推出两条直线平行,
这是平行线的判定；而从两直线平行推出同位角相等,内错角相等,同旁内角互补,
这是平行线的性质。由此可知平行线判定的三个条件与平行线的三条性质是互逆的。
知识点六： 用尺规作一个角等于已知角
尺规作图一般有以下三步:
(1)已知:当作图是用文字语言叙述时,要根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；
(2)求作:根据题目写出要求作的图形及此图形应满足的条件；
(3)作法:根据作图的过程写出每一步的操作过程,当不要求写作法时,要保留作图痕迹。
已知:如下图,∠AOB,求作:∠A′O′B′,使∠A′0′B′=∠AOB。
作法:①作射线O′A′；
②以点0为圆心,以任意长为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D；
③以点O′为圆心,以0C长为半径画弧,交 O′A′于点C′；
④以点C′为圆心,以CD长为半径画弧,交前面的弧于点D′；
⑤过点D′作射线O′B′,则∠A′O′B′就是所求作的角。
注意:我们一般作图要求不写作法,但一定要保留作图痕迹。
(
Ⅲ
、
经典例题-自主学习
认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三
。若有其它补充可填在右栏空白处。
)
类型一：互余和互补
【典型例题】（1）一个锐角的补角正好是它的余角的4倍，请求出这个锐角的度数？
（2）填空：∵∠A+∠B=90 ，∠B+∠C=90
∴∠A ∠C( )
∵∠1+∠3=90 ，∠2+∠4=90 且∠1=∠2
∴∠3 ∠4 ( )
【对应练习】
1、若互为余角的两个角之差为40°，则较大的角为( )
A.40° B.50° C.65° D.75°
2、如果两个角互补,那么这两个角可能是( )
①均为钝角；②一个为锐角,一个为钝角；③均为直角；④以上三者都有可能。
A.①②③④ B.①② C.②③ D.④
3、如右图,是由两块直角三角板拼成的图形,
在直角顶点处构成了三个锐角,其中互余的
角是 , 相等的是 ,
相等的理由是 。
类型二：对顶角
【典型例题】 (
1
2
1
2
1
2
1
2
A
B
C
D
)下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
【对应练习】
1、下列选项中,∠1和∠2是对顶角的是（ ）
2、如右图所示,AB与 CD相交于点O,∠AOD+∠BOC=280°,则∠AOC为 。
类型三：同位角、内错角、同旁内角（三线八角）
【典型例题】（1）如右图，①是 角；
它们是由直线 和直线 ，被直线 所截得的；
②是 角；它们是由直线 和直线 ，被直线 所截得的；
③∠3与∠5是 角；它们是由直线 和直线 ，被直线 所截得的。
【对应练习】
1、如右图,其中是同位角关系的是( )
A.∠2与∠4 B.∠1与∠4 C.∠3与∠4 D.不存在
2、如右图,∠1、∠2、∠3、∠4这4个角中,
同位角有 ,内错角有 ,
同旁内角有 。
类型四：两直平行的条件
【典型例题】下列说法正确的是（ ）
A.内错角相等 B.两直线被第三条直线所截,同旁内角互补
C.两直线平行,同旁内角相等 D.“两直线平行,同旁内角互补”是平行线的特征
【对应练习】
1、如右图所示,点E在AC的延长线上,下列条件中能判断AB∥CD的是( )
A.∠3=∠4 B.∠1=∠2 C.∠D=∠DCE D.∠D+∠ACD=180°
2、已知同一平面内的直线l1、l2、l3,如果l1⊥l2, l2⊥l3,那么l1与l3的位置关系是( )
A.平行 B.相交 C.垂直 D.以上都不对
3、两条平行直线被第三条直线所截,下列命题正确的是( )
A.同位角相等,但内错角不相等 B.同位角不相等,但同旁内角互补
C.内错角相等,但同旁内角不互补 D.同位角相等,且同旁内角互补
4、在同一平面内有三条直线,如果其中有且只有两条直线平行,那么它们有且只有 个交点。
（第5题图） （第6题图）
5、如右图所示,填空:
(1)由∠1=∠2可知 ∥ ；理由( )
(2)由∠1=∠3可知 ∥ ；理由( )
6、如右图,点D、E、F分别在AB、BC、AC上,
(1)若∠2= ,则DE∥AC；理由 。
(2)若∠2= ,则DF∥BC；理由 。
7、阅读下列推理过程,在括号内填上推理的依据。
如右图,∠1+∠2=180°,∠2+∠4=180°(已知),
所以∠1=∠4( )
所以a∥c( )
又因为∠2+∠3=180°(已知),
∠3=∠6( )
所以∠2+∠6=18O°(等量代换)
所以a∥b( )
从而b∥c( )
类型五：平行线的性质
（第1题图） （第2题图） （第3题图）
1、如右图,已知AB∥CD,且被EF所截。若∠2=70°,则下列结论不正确的是( )
A.∠1=70° B.∠3=110° C.∠4=70° D.∠5=70°
2、如右图,若AB∥CD,则图中与∠1互补的角共有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
3、如右图,DH∥EG∥BC,且DC∥EF,那么,图中与∠1相等的角的个数是( )
A.2 B.4 C.5 D.6
（第4题图） （第5题图） （第6题图）
4、如右图所示,下列说法中正确的是( )
A.因为AD∥BC,所以∠2=∠4 B.因为AD∥BC,所以∠BAD+∠D=180°
C.因为AD∥BC,所以∠1=∠3 D.因为AB∥CD,所以∠BAD+∠B=180°
5、如右图,D是BC延长线上一点,过C作CE∥AB,若∠A=54°,∠ACD=127°,则∠B= 。
6、如右图,AB∥CD,EF⊥AB,∠1=36°,则∠2= 。
7、如右图所示,已知DF∥AC,∠C=∠D,你能否推断BD∥CE 试说明理由。
类型六：用尺规作一个角等于已知角
【典型例题】如下图,已知∠α,∠β,求作∠AOB,使∠AOB=∠α+2∠β。
【对应练习】
1、如右图所示，AD= 。（用a,b,c表示）
2、已知∠AOB=22.5°,分别以射线OA,OB为一边,在∠AOB的外部作∠AOC=∠AOB,
∠BOD=2∠AOB,则0C与OD的位置关系是 。
3、如右图所示,已知∠α,∠β,(1)求作∠A0B,使∠AOB=∠α+∠β。
(2)求作∠AOB,使∠AOB=2∠α-∠β。(不写作法,保留作图痕迹)
(
Ⅲ
、综合练习
-
融会贯通
将各种类型的题目融合在一起，请大家认真分析、解答下列练习，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三
。若有其它补充可填在右栏空白处。
)
1、如果∠α=40°,那么∠α的补角是( )
A.50° B.60° C.140° D.160°
2、如果∠A与∠B互补,∠B与∠C互余,则∠A与∠C的关系是( )
A.∠A+∠C=90° B.∠A+∠C=180° C.∠A-∠C=90° D.∠A-∠C=180°
3、下列说明两角相等,错误的是( )
A.对顶角相等 B.两直线平行,同位角相等
C.因为∠1=∠2,∠2=∠3,所以∠1=∠3 D.两条直线被第三条直线所截,内错角相等
4、在同一平面内，如果直线a⊥b,b∥c,则a、c的关系是( )
A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.不能确定
5、若互余的两个角有一条公共边,则这两个角的平分线所组成的角( )
A.等于45° B.大于45° C.小于或等于45° D.大于或等于45°
（第6题图） （第7题图） （第9题图）
6、如右图所示,a∥b,∠2是∠1的3倍,则∠2等于( )
A.45° B.90 C.135° D.150°
将一长方形纸片按右图方式折叠,BC,BD为折痕,折叠后A′B与E′B在同一条直线上,
则∠CBD的度数( )
A.大于90° B.等于90° C.小于90° D.不能确定
8、停在湖面上点A处的一只小帆船被东南风吹走了一段距离后到达点B处,则点B在点A的( )
A.东南方向 B.东北方向 C.西南方向 D.西北方向
9、如右图,一条公路修到湖边时,需拐弯绕道而过,如果第一次拐的角∠A=120°,第二次拐的角∠B
是150°,第三次拐的角是∠C,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行,则∠C是( )
A.120° B.130° C.140° D.150°
10、一个角与它的补角的比是1：5,则这个角的度数是 。
11、如右图,将三个相同的三角尺不重叠不留空隙地拼在一起,观察图形,在线段AB,AC,AE,ED,EC,
BD中,相互平行的线段有( )
A.4组 B.3组 C.2组 D.1组
（第10题图）
（第12题图） （第13题图） （第15题图） （第16题图）
12、如右图，要使a∥b,需要添加一个条件,这个条件可以是 。
13、如右图,小明为了知道牙刷与杯子底面的夹角∠1的度数,他测得∠2=135°,那么∠1= 度。
14、已知两个角互为余角,若其中一个角比另一个角大32°,那么这两个角分别是 。
15、如右图，AB∥EF∥CD,∠A=72°,∠D=18°, 则AE与DE的位置关系是 。
16、如右图,已知∠B+∠C=180°,则∠1与∠2的大小关系为∠1 ∠2(填＜,＞,=)。
（第17题图） （第18题图）
17、如右图,一把矩形直尺沿直线断开并错位,点E、D、B、F在同一直线上,若∠ADE=125°,
则∠DBC度数为 。
如右图,一艘轮船在A处看见巡逻艇M在其北偏东62°的方向上,此时一艘客船在 B处看见
巡逻艇M在其北偏东13°的方向上,求此时从巡逻艇上看这两艘船的视角∠AMB的度数为 。
课后测评
1、如右图，已知∠1=∠2,∠5=∠6,∠3=∠4,试说明AE∥BD,AD∥BC。请完成下列证明过程。
证明:
∵∠5=∠6,
∴AB∥____( )
∴∠3=______( )
∵∠3=∠4,
∴∠4=∠BDC( )
∴____∥BD( )
∴∠2= ,
∵∠1=∠2,
∴∠1= ,
∴AD∥BC( )
2、如右图,小红走在一条笔直的小路AB上,小明站在
小路外的一点C上,你能帮小明设计一条路线,
使这条路线与小红所走的路线平行吗 (不保留作图痕迹)

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