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2024年江苏省连云港市海州区新海实验中学中考数学一模试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的倒数是( )
A. B. C. D.
2.据中国国家统计局发布：年第一季度，全国居民人均可支配收入元数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
4.在数学活动课上，小明同学将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，菱形的对角线与相交于点，为边的中点，连结若，，则( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，为等边三角形，点，分别在边，上，若，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，正方形的边长为，点、分别在边、上，且，平分，连接，分别交、于点，，是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接有下列四个结论：垂直平分；的最小值为；；其中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.在函数中，自变量的取值范围是______．
10.因式分解：______．
11.如图，在中，点在边上，过点作，交于点若，，则的值是______．
12.为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了个充电桩，第三个月新建了个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，请列出方程______．
13.若一个圆锥的底面圆的半径是，侧面展开图的圆心角的度数是，则该圆锥的母线长为 ．
14.若是关的方程的解，则的值为______．
15.如图，在中，按以下步骤作图：分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；作直线交边于点若，，，则的长为______．
16.如图，分别经过原点和点的直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是______．
三、解答题：本题共11小题，共102分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：．
18.本小题分
解不等式组：，并写出所有整数解．
19.本小题分
先化简，再求值：，其中．
20.本小题分
某校计划成立学生体育社团，为了解学生对不同体育项目的喜爱情况，学校随机抽取了部分学生进行“我最喜爱的一个体育项目”问卷调查，规定每人必须并且只能在“篮球”“足球”“乒乓球”“健美操”“跑步”五个项目中选择一项，并根据统计结果绘制了两幅不完整的统计图．
请解答下列问题：
在这次调查中，该校一共抽样调查了______名学生，扇形统计图中“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数是______；
请补全条形统计图；
若该校共有名学生，试估计该校学生中最喜爱“篮球”项目的人数．
21.本小题分
扬州是个好地方，有着丰富的旅游资源某天甲、乙两人来扬州旅游，两人分别从、、三个景点中随机选择一个景点游览．
甲选择景点的概率为______；
请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择景点的概率．
22.本小题分
如图，在 中，平分，交于点，交的延长线于点．
求证：；
若，，，求的长和的面积．
23.本小题分
中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智慧结晶孙子算经、周髀算经是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣某书店的孙子算经单价是周髀算经单价的，用元购买孙子算经比购买周髀算经多买本．
求两种图书的单价分别为多少元？
为等备“数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共本，且购买的周髀算经数量不少于孙子算经数量的一半由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少？
24.本小题分
每年的月日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图，架在消防车上的云梯可伸缩最长可伸至，且可绕点转动，其底部离地面的距离为，当云梯顶端在建筑物所在直线上时，底部到的距离为．
若，求此时云梯的长．
如图，若在建筑物底部的正上方处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．
参考数据：，，
25.本小题分
如图，在中，，，点在上，以为圆心，为半径的半圆分别交，，于点，，，且点是弧的中点．
求证：是的切线；
若，求图中阴影部分的面积结果保留．
26.本小题分
【问题呈现】
如图，和都是等边三角形，连接，求证：．
【类比探究】
如图，和都是等腰直角三角形，连接，请直接写出的值．
【拓展提升】
如图，和都是直角三角形，，且连接，．
求的值；
延长交于点，交于点求的值．
27.本小题分
抛物线与直线交于原点和点，与轴交于另一点，顶点为．
直接写出点和点的坐标；
如图，连接，为轴上的动点，当时，求点的坐标；
如图，是点关于抛物线对称轴的对称点，是抛物线上的动点，它的横坐标为，连接，，与直线交于点设和的面积分别为和，求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
的倒数是，
故选：．
根据互为倒数的两个数乘积为即可求解．
本题考查的是倒数，解题的关键是掌握互为倒数的两个数乘积为．
2.【答案】
【解析】解：，
故选：．
利用科学记数法表示较大的数．
本题考查了科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的表达形式．
3.【答案】
【解析】解：、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则、合并同类项法则分别进行判断即可．
本题考查了合并同类项法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则，熟练掌握这些法则是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：如图，三角板与直尺分别交于点、．
，
．
又，
．
故选：．
利用平行线的性质即可求解．
本题考查平行线的性质，比较简单．
5.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，，
，，
，
为边的中点，
．
故选：．
由菱形的性质得到，，，由勾股定理求出的长，由直角三角形斜边中线的性质，即可求出的长．
本题考查菱形的性质，直角三角形斜边的中线，勾股定理，关键是由菱形的性质求出，的长，由勾股定理求出的长，由直角三角形斜边的中线的性质即可求出的长．
6.【答案】
【解析】解：连接，，，
点是的内心，
平分，
，
，
点是外接圆的圆心，
，
，
，
故选：．
连接，，，根据点是的内心，得到平分，根据角平分线的定义得到，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，角平分线的定义，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：是等边三角形，
，，
，
．
，
，
∽，
，
，
设，
则，
，
，
，
故选：．
先证，再根据，得出∽，根据相似三角形的性质即可求出的长．
本题考查了三角形相似的判定与性质，等边三角形的性质，掌握有两个角相等的两个三角形相似是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
又为公共边，
≌，
，
又，
垂直平分，
故正确；
如图，连接与交于点，交于点，连接，
四边形是正方形，
，
即，
垂直平分，
，
当点与点重合时，的值最小，此时，即的最小值是的长，
正方形的边长为，
，
，
即的最小值为，
故错误；
垂直平分，
，
，
，
又，
∽，
，
即，
由知，
，
故正确；
垂直平分，
，
又，
，
故正确；
综上，正确的是：，
故选：．
先根据正方形的性质证得和全等，再利用证得和全等，即可得出垂直平分；
连接与交于点，交于点，连接，根据题意当点与点重合时，的值最小，即的最小值是的长，根据正方形的性质求出的长，从而得出，即的最小值；
先证∽，再根据相似三角形的性质及，即可判断；
先求出的长，再根据三角形面积公式计算即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形全等的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，最短路径问题等知识点，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为．
根据分式有意义的条件是分母不为；分析函数解析式可得关系式，解得答案．
本题考查求解析法表示的函数的自变量取值范围，注意当函数表达式是分式时，要注意考虑分式的分母不能为．
10.【答案】
【解析】解：，
，
．
此题应先提公因式，再利用平方差公式继续分解．平方差公式：．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
11.【答案】
【解析】解：，
∽，
，
，，
．
故答案为：．
根据，得到∽，得到，结合，计算即可．
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握判定定理是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，
依题意得：．
故答案为：．
设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据第一个月新建了个充电桩，第三个月新建了个充电桩，即可得出关于的一元二次方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
该圆锥的母线长为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到，然后解方程即可．
【解答】
解：设该圆锥的母线长为，
根据题意得，
解得，
即该圆锥的母线长为．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：把代入方程得：，即，
则原式．
故答案为：．
把代入方程求出的值，代入原式计算即可求出值．
此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了作一条线段的垂直平分线、线段垂直平分线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及线段的和差．
设交于点，连接，由作图可知是线段的垂直平分线，即得
，由等腰三角形的性质可得，从而根据三角形的外角性质求得，进而在中由勾股定理可求得，最后根据线段的和差即可求得的长．
【解答】
解：如图，设交于点，连接．
由作图可知：是线段的垂直平分线，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
．
16.【答案】
【解析】解：如图，作的外接圆，连接，，，取的中点，连接．
，，
是等边三角形，
，
，
，，
，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，
当与相切时，的值最大，此时的值最大，
是等边三角形，，
，
，
是切线，是半径，
，
，
过点作于点，于点，于点．
，
，
，
∽，
，
设，，则有，，
，，
解得，，，
，
．
故答案为：．
作的外接圆，连接，，，取的中点，连接证明，推出点在以为圆心，为半径的圆上运动，当与相切时，的值最大，此时的值最大．
本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，三角形的外接圆，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
17.【答案】解：
．
【解析】根据实数的运算进行计算．
本题主要考查了实数的运算的知识、锐角三角函数的知识、绝对值的知识、负整数指数幂的知识，难度不大．
18.【答案】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
原不等式组的解集是，
所有整数解为，．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】解：原式
，
当时，
原式．
【解析】根据分式的运算法则进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
20.【答案】
【解析】解：名，
在扇形统计图中，“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数是，
故答案为：，；
选择足球的学生有：人，
补全的条形统计图如图所示：
名，
答：估计该校学生中最喜爱“篮球”项目的有名．
根据选择乒乓球的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，根据条形统计图中的数据，可以计算出在扇形统计图中，“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数；
根据中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出选择足球的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
用乘以“篮球”项目的百分比即可．
本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21.【答案】；
根据题意画树状图如下：
共有种等可能的情况，其中甲、乙两人中至少有一人选择景点的情况有种，
甲、乙两人中至少有一人选择景点的概率是．
【解析】解：甲选择景点的概率为，
故答案为：；
见答案．
由概率公式直接可得答案；
先画出树状图，共有种等可能的情况，再根据概率公式，计算即可得出结果．
本题考查了用树状图求概率，解本题的关键在于根据树状图找出所有等可能的情况数．概率等于所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】证明：在 中，，
，
平分，
，
，
，
解：，，
；
过作交的延长线于，
，
，
，
，
，
的面积．
【解析】根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据等腰三角形的判定定理即可得到，
根据线段的和差得到；过作交的延长线于，根据直角三角形的性质得到，，根据三角形的面积公式即可得到的面积．
本题考查了平行四边形的性质，三角形面积的计算，等腰三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：设周髀算经的单价是元，则孙子算经的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：孙子算经的单价是元，周髀算经的单价是元；
设购买本孙子算经，则购买本周髀算经，
根据题意得：，
解得：．
设购买这两种图书共花费元，则，
，
，
随的增大而减小，
又，且为正整数，
当时，取得最小值，此时．
答：当购买本孙子算经、本周髀算经时，总费用最少．
【解析】设周髀算经的单价是元，则孙子算经的单价是元，利用数量总价单价，结合用元购买孙子算经比购买周髀算经多买本，可得出关于的分式方程，解之经检验后，可得出周髀算经的单价，再将其代入中，即可求出孙子算经的单价；
设购买本孙子算经，则购买本周髀算经，根据购买的周髀算经数量不少于孙子算经数量的一半，可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设购买这两种图书共花费元，利用总费用单价数量，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24.【答案】解：在中，，，
，
此时云梯的长为；
在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，
理由：由题意得：
，
，
，
在中，，
，
，
在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处．
【解析】在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；
根据题意可得，从而求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行比较即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
25.【答案】证明：连接、，如图：
，，
，
，
，
，
点是弧的中点．
，
，
，
是半径，
是的切线，
解：，，
是等腰三角形，
设，则，
，
，
，
解得，
．
【解析】连接、，证出，即可得出结论；
根据，分别求出和扇形的面积即可．
本题是圆的综合题，考查了切线的判定定理，扇形的面积，等腰直角三角形的性质，熟练掌握定理是解题关键．
26.【答案】【问题呈现】证明：和都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中
≌，
；
【类比探究】解：；
【拓展提升】解：，，
∽，
，，
，
∽，
；
由得：∽，
，
，
，
．
【解析】【问题呈现】证明≌，从而得出结论；
【类比探究】证明∽，进而得出结果；
解：；
证明过程如下：
和都是等腰直角三角形，
，，
，
，
∽，
；
【拓展提升】先证明∽，再证得∽，进而得出结果；
在的基础上得出，进而，进一步得出结果．
本题考查了等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．
27.【答案】解：；顶点．
过点作轴于点，
，，
，
，
，
当点在线段的右侧时，轴，如图，
；
当点在线段左侧时，设直线与轴交于点，则是等腰三角形，
，
设，则，，
在中，，
解得，
，
直线的解析式为：，
令，则，
解得：，
．
综上，点的坐标为或；
点与点关于对称轴对称，
．
如图，分别过点，作轴的平行线，交直线于点，，
直线的解析式是，
，，
点横坐标为，
，，
．
，，
，
，
当时，的最大值为．
【解析】令，求出的值即可得出点的坐标，将函数化作顶点式可得出点的坐标；
过点作轴于点，易得，因为，所以，分两种情况进行讨论，当点在线段的右侧时，轴，当点在线段左侧时，设直线与轴交于点，则是等腰三角形，分别求出点的坐标即可；
分别过点，作轴的平行线，交直线于点，，则，，由点的横坐标为，可表达，再利用二次函数的性质可得出结论．
令，
解得或，
；
，
顶点．
本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，二次函数上的坐标特征，三角形的面积，解题的关键正确表达两个三角形面积的比．
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