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中考复习：一次函数与方程、不等式结合专题
【知识点一】要点一、一次函数与一元一次方程的关系
一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.
　　从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值.
要点二、一次函数与二元一次方程组
每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.
要点诠释：
　　1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解.
【知识点二】要点一、一次函数与一元一次不等式
　　由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.
要点诠释：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.
要点二、一元一次方程与一元一次不等式
我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解.
要点三、如何确定两个不等式的大小关系
（≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围．
一、单选题
1．如图，一次函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．方程的解是 D．随的增大而减小
2．如图，直线经过点，，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，一次函数y=kx+b的图象经过点(-3，0)，则（ ）．
A．b<0 B．方程kx+b=0的解是x=-3 C．k<0 D．y随x的减小而增大
4．如图，一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则下列说法正确的有（ ）
①y随x的增大而减小：②；③关于x的方程的解为；④当时，．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图所示，已知点A(﹣1，2)是一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象上的一点，则下列判断中正确的是（　　）
A．y随x的增大而减小 B．k＞0，b＜0
C．当x＜0时，y＜0 D．方程kx+b＝2的解是x＝﹣1
6．如图，直线与相交于点P，点P的横坐标为，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，直线y=kx+b(k≠0)经过点(-2，4)，(-6，0)，则不等式kx+b>4的解集为（ ）
A．x>-6 B．x<-6 C．x>-2 D．x<-2
8．一次函数与的图象如图所示，则以下结论：①；②；③；④；⑤当时，，正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于的不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，一次函数与一次函数的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
11．一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的方程kx+b＝0的解为_____．
12．一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，则下列结论：①k0；②a0；③关于x的方程kx﹣x＝a﹣b的解是x＝3；④当x3时，y1y2中．则正确的序号有_____．
13．如图，直线y＝2x－4和直线y＝－3x＋1交于点(1，－2)，则方程组的解是_________．
14．如图，已知直线y＝ax+b和直线y＝kx交于点P，若二元一次方程组的解为x、y，则关于x+y＝__．
15．已知方程组的解为，则一次函数y＝2x＋3与y＝ax＋c的图象的交点坐标是_____________．
16．直线与轴交点坐标为__________．
17．一次函数（k、b为常数，且k≠0）的图象如图所示．根据图象信息可求得关于的方程的解为 ________．
18．如图是直线、b为常数且的图象，则关于x的一元一次方程的解为____________．
四、解答题
19．如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）过B点作直线BP与x轴相交于P，且使AP=2OA，求ΔBOP的面积．
20．如图，直线l是一次函数的图象．
（1）求出这个一次函数的解析式．
（2）根据函数图象，直接写出时x的取值范围．
21．如图，过点A的一次函数的图象与正比例函数y＝2x图象相交于点B．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）如果点C(m，－2)在该一次函数的图象上，请求m的值；
（3）若该一次函数的图象与x轴交于D点，求△BOD的面积．
参考答案
1．C
【分析】
利用函数的图象结合一次函数的性质进行解答即可．
【详解】
解：∵图象过第一、二、三象限，
∴k＞0，b＞0，y随x的增大而而增大，故ABD错误；
又∵图象与x轴交于（ 2，0），
∴kx＋b＝0的解为x＝ 2，故C正确；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是正确从函数图象中获取信息，掌握一次函数的性质．
2．D
【分析】
看在x轴上方的函数图象所对应的自变量的取值即可．
【详解】
解：∵直线y=kx+b交x轴于A（-2，0），
结合函数图形可知不等式kx+b＞0解集对应直线在x轴上方部分图象上点的横坐标的集合；
∴不等式kx+b＞0的解集是x＞-2，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查一次函数与一元一次不等式解集的关系；理解函数值大于0的解集是x轴上方的函数图象所对应的自变量的取值是解决本题的关键．
3．B
【分析】
根据一次函数y=kx+b的图象与坐标轴的交点、所经过的象限、增减性逐项进行判断，即可求解．
【详解】
一次函数y=kx+b的图象与y轴交于正半轴，则b＞0，故A错误；
一次函数y=kx+b的图象经过点(-3，0)，则方程kx+b=0 的解是x=-3，故B正确；
一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，则k＞0，故C错误；
一次函数y=kx+b中k＞0，则y随x的增大而增大，故D错误；
故答案为：B．
【点睛】
本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数图像的性质，从而完成求解．
4．B
【分析】
根据一次函数的性质，一次函数与一元一次方程的关系对各个小项分析判断即可得解
【详解】
解：①由图可得：y随x的增大而增大，故错误
②由图可得：，故错误
③一次函数的图象与x轴的交点坐标为，即 ，故正确
④由图可得：当时，，故正确
故选：B
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次方程，同时考查了数形结合的思想，熟练运用一次函数的性质、一次函数与一元一次方程的关系是解本题关键．
5．D
【分析】
根据一次函数的性质判断即可．
【详解】
由图象可得：
A、y随x的增大而增大；
B、k＞0，b＞0；
C、当x＜0时，y＞0或y＜0；
D、方程kx+b＝2的解是x＝﹣1，
故选：D．
【点睛】
考查了一次函数与一元一次方程的关系，一次函数图象与系数的关系，正确的识别图象是解题的关键．
6．A
【分析】
观察函数图象得到当x＞-1时，函数y=x+b的图象都在y=kx-1的图象上方，所以不等式x+b＞kx-1的解集为x＞-1，然后根据用数轴表示不等式解集的方法对各选项进行判断．
【详解】
解：当x＞-1时，x+b＞kx-1，
即不等式x+b＞kx-1的解集为x＞-1．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了在数轴上表示不等式的解集．
7．C
【分析】
求不等式kx+b＞4的解集就是求函数值大于4时，自变量的取值范围，观察图象即可得．
【详解】
解：由图象可以看出，直线y=4上方函数图象所对应自变量的取值为x>-2，
∴不等式kx+b＞4的解集是x>-2，
故选：C．
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次不等式；观察函数图象，比较函数图象的高低（即比较函数值的大小），确定对应的自变量的取值范围．也考查了数形结合的思想．
8．C
【分析】
结合函数图象，利用一次函数的性质对①②③④进行判断；利用函数图象得到x＞2时，一次函数y1=kx+b的图象在y2=mx+n的图象上方，则可对⑤进行判断．
【详解】
解：∵一次函数y1=kx+b的图象经过第一、三象限，
∴k＞0，所以①正确；
∵一次函数y1=kx+b的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴b＜0，所以②错误；
∵一次函数y2=mx+n的图象经过第二、四象限，
∴m＜0，所以③错误；
∵一次函数y2=mx+n的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴n＞0，所以④正确；
∵x＞2时，y1＞y2，
∴当x=3时：y1＞y2．所以⑤正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：通过两个一次函数图象的位置关系去比较两函数值的大小．也考查了一次函数的性质．
9．C
【分析】
先求出直线y＝﹣x+3与x轴的交点坐标，然后根据函数特征，写出在x轴上，直线y＝2x+m在直线y＝﹣x+3上方所对应的自变量的范围．
【详解】
解：直线y＝﹣x+3与x轴的交点坐标为（3，0），
所以不等式组的解集为﹣2＜x＜3．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
10．D
【分析】
结合函数图象，写出一次函数y1＝x＋b图象在一次函数y2＝kx＋4的图象上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】
解：∵一次函数y1＝x＋b与一次函数y2＝kx＋4的图象相交于点P（2， 2），
∴当x＞2时，x＋b＞kx＋4，
即关于x的不等式x＋b＞kx＋4的解集是x＞2．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx＋b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标．
11．x＝﹣2
【分析】
根据图象得出一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标，即可得出方程的解．
【详解】
解：∵从图象可知：一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标是（﹣2，0），
∴关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2，
故答案为：x＝﹣2．
【点睛】
本题题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，关键是正确利用kx+b=0解答．
12．①③④
【分析】
根据y1＝kx+b和y2＝x+a的图象可知：k＜0，a＜0，所以当x＞3时，相应的x的值，y1图象均低于y2的图象．
【详解】
解：根据图示及数据可知：
①k＜0正确；
②a＜0，原来的说法错误；
③方程kx+b＝x+a的解是x＝3，正确；
④当x＞3时，y1＜y2正确．
故答案为：①③④．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的图象性质，准确分析是解题的关键．
13．
【分析】
根据两条直线的交点坐标应该是联立两个一次函数解析式所组方程组的解即可直接得到答案．
【详解】
解：∵直线y＝2x－4和直线y＝－3x＋1交于点(1，－2)
∴方程组的解是
故答案为：
【点睛】
本题考查了一次函数与二元一次方程组，关键是掌握一次函数与方程组的关系．
14．3
【分析】
直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得到答案．
【详解】
∵直线y＝ax+b和直线y＝kx交点P的坐标为（1，2），
∴二元一次方程组的解为，
∴x+y＝1+2＝3．
故答案为：3．
【点睛】
此题考查一次函数与二元一次方程（组），解题关键在于理解两直线交点与两解析式组成的方程组之间的联系．
15．
【分析】
函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，据此即可求解．
【详解】
解：∵关于x，y的二元一次方程组的解为，
∴一次函数y＝2x＋3与y＝ax＋c的图象的交点坐标为（-1，1）．
故答案为：（-1，1）．
【点睛】
本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
16．
【分析】
利用一次函数图象上点的坐标特征，令y=0，求x，即为直线与x轴的交点坐标．
【详解】
解：当y=0时，，解得：
∴直线与轴交点坐标为
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合思想解题是关键．
17．；
【分析】
直接结合图象求解出一次函数的解析式，再列出一元一次方程即可求解出值．
【详解】
∵一次函数过点，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为：，
列方程，解得．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次方程的应用，能结合图象确定一次函数解析式，再列方程是解答本题的关键．
18．x=3．
【分析】
由一次函数的图象可知，一次函数经过点(3，0)，一元一次方程可以看作是一次函数的y值为0时，求x得值即可求解．
【详解】
解：由图象可知：一次函数经过点(3，0)，
即当y=0时，x=3，
所以一元一次方程的解为：x=3．
故答案为：x=3．
【点睛】
本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，利用数形结合的思想是解答本题的关键．
19．（1）A(，0)，B(0，3)；（2）的面积是或．
【分析】
（1）把x=0，y=0分别代入y=2x+3，即可求出A、B两点的坐标；
（2）先求出AP=3，得到点P坐标，分类讨论求面积即可．
【详解】
解：（1）把x=0代入y=2x+3得y=3，
∴B(0，3)，
把y=0代入y=2x+3得2x+3=0，解得，
∴A(，0)；
（2）∵A(，0)，
∴OA=，
∵AP=2OA，
∴AP=3，
∴点P坐标为(，0)或(，0)，
当点P坐标为(，0)时，，
当点P坐标为 (，0)时，，
∴的面积是或．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，求出点的坐标是解题的关键，做题时注意分类讨论．
220．（1）y=x+1；（2）x＜-2
【分析】
（1）根据图形确定出一次函数图象上两点坐标，代入解析式求出k与b的值，即可求出解析式；
（2）根据图象确定出x的范围即可．
【详解】
解：（1）根据题意得：点（-2，0）和点（2，2）在一次函数图象上，
把（-2，0）与（2，2）代入y=kx+b得：
，
解得：，
则一次函数解析式为y=x+1；
（2）根据图象得：当y＜0时，x＜-2．
【点睛】
此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
21．（1）；（2）m=5；（3）S△BOD＝3．
【分析】
（1）首先求得B的坐标，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）把C的坐标代入一次函数的解析式即可求出m的值；
（3）首先求得D的坐标，然后利用三角形的面积公式求解．
【详解】
解：（1）在y＝2x中，令x＝1，解得y＝2，则B的坐标是（1，2），
设一次函数的解析式是y＝kx+b，根据题意，得：
，解得：．
所以一次函数的解析式是y＝﹣x+3；
（2）当y＝﹣2时，﹣m+3=﹣2，解得：m=5；
（3）一次函数的解析式y＝﹣x+3中令y＝0，解得：x＝3，则D的坐标是（3，0）．
∴S△BOD＝OD×2＝×3×2＝3．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、利用待定系数法求一次函数的解析式以及求一次函数与坐标轴的交点等知识，属于基本题型，熟练掌握一次函数的基本知识是解题的关键．

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