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数学竞赛试题
一、选择题（每题4分，共48分）
1．在实数 ， ，0， ， ，﹣1.414114111…中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，数轴上，两点对应的实数分别是和．若，则表示的实数为（　　）
A． B． C． D．
第3题图 第6题图 第7题图
4．已知点P（x，y）在第二象限，且点P到x轴、y轴的距离分别为3，5，则点P的坐标（　　）
A．（﹣5，3） B．（5，﹣3） C．（﹣3，5） D．（3，﹣5）
5．下列命题正确的是（　　）
A. 同位角相等
B. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C. 如果，则与互为邻补角
D. 同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
6．实数、在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是( )
A. B. C. D.
7．已知直线 ，将一块含 角的直角三角板 按如图所示方式放置，若 ，则 等于（　　）
A． B． C． D．
8．如图，，，平分，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
第8题图 第9题图
9．如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示-1的点重合，将该圆沿数轴滚动1周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是（　　）
A．π-1 B．-π-1
C．-π+1 D．π-1或-π-1
10．如图，第二象限有两点，将线段AB平移，使点A，B分别落在两条坐标轴上，则平移后点B的对应点的坐标是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
11．根据表中的信息判断，下列语句正确的是（　　）
n 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56
16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6
A． B．
C．只有3个正整数n满足 D．
12．如图，动点在平面直角坐标系中第一次运动到，第二次运动到，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，第六次运动到，第七次运动到，，按这样的运动规律，经过第次运动后，点的坐标是( )
A. B.
C. D.
二、填空题（每题4分，共24分）
13． 的平方根是　 　，-64立方根是　 　.
14．如图，计划把河水引到水池A中，先作，垂足为B，然后沿开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是　 　．
15．如图，线段AB两端点的坐标分别为A（-1，0），B（1，1），把线段AB平移到CD位置，若线段CD两端点的坐标分别为C（1，a），D（b，4），则a+b的值为　 　
第14题图 第15题图 第18题图
16．如果一个正数的两个平方根为a-4，2a+1，则a＝　 　．
17．已知2x+7y+1的算术平方根是6，8x+3y的立方根是5，则x+y的平方根为 　 　．
18．如图，在平面直角坐标系中，一个质点P从点出发，运动到点，运动到点，运动到点，运动到点，运动到点……按照上述规律运动下去，则点的坐标为　 　．
三、解答题（共78分）
19．计算（10分）
（1） （2）
20.计算（10分）
（1）25（x-2）2＝49 （2）
21.（12分）三角形与三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示：
（1）分别写出下列各点的坐标：　 　，　 　；
（2）若点是三角形内部一点，则三角形内部的对应点的坐标　 　．
（3）三角形是由三角形经过怎样的平移得到的？
（4）求三角形ABC的面积
（10分）已知：如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
(1)求的值：
(2)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根．
23．（12分）如图，已知，分别是射线，上的点．连接，平分，平分，．
(1)试说明；
(2)若，求的度数．
24．（12分）阅读下面的文字，解答问题：大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 -1来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理，因为 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分。
又例如：∵ < < ，即2< <3，
∴ 的整数部分为2，小数部分为( -2)．
请解答：（1） 的整数部分是　 　，小数部分是　 　。
（2）如果 的小数部分为a， 的整数部分为b，求a+b- 的值；
（3）已知：10+ =x+y，其中x是整数，且025.（12分）
阅读下面材料：
小亮同学遇到这样一个问题：
已知：如图甲，AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．
求证：∠BED＝∠B+∠D．
（1）小亮写出了该问题的证明，请你帮他把证明过程补充完整．
证明：过点E作EF∥AB，
则有∠BEF＝　 　．
∵AB∥CD，
∴　 　∥　 　，
∴∠FED＝　 　．
∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．
（2）请你参考小亮思考问题的方法，解决问题：如图乙，
已知：直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直线交于点E．
①如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，求∠BED的度数；
②如图2，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BED的度数（用含有α，β的式子表示）．
21.（12分）
22.（10分）
23．（12分）
24.（12分） （1）　 　，　 　。
（2） （3）
（12分）
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