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巧用梅涅劳斯定理求解向量的线性相关系数
河南平顶山市第三高级中学 金小欣 467000
梅涅劳斯（Menelaus）定理简介：
如果一直线顺次与三角形ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于M、N、K三点，则：
。
证明： 过顶点B作AC的平行线与截线交于E，
则有：
， ，
∴
对该定理的几点说明：①证明的方法：过其中一个顶点作其对边的平行线与截线相交，利用“平行线截线段成比例定理”或相似Δ性质，将其中的两个比例式等价转化。②定理的实质：三个比例式的乘积等于1，每一个比例式的三个字母是共线的两个顶点和一个分点；其结构特征为： ，呈现“首尾相接”；整体看，从某一个顶点出发，最后又回到该顶点。③该定理常与“塞瓦定理”结合使用。
梅涅劳斯定理的一个应用例子
题目：在△OAB的边OA、OB上分别取点M、N，使||∶||=1∶3，||∶||=1∶4，设线段AN与BM交于点P，记= ，=，用 ，表示向量.
先给出高中常规解法（待定系数法）如下：
解法一：∵ B、P、M共线∴ 记=s
∴ --------①
同理，记 ，得： =--------②
∵ ,不共线∴ 由①、②得解之得：∴
上述解法的基本思想是：先设法求出点P分AN、BM的比，理论依据：一个是教材例题的结论（可作为定理直接使用），一个就是平面向量基本定理。利用该定理中两个系数的唯一性，得到关于s，t的方程。
由于梅涅劳斯定理、塞瓦定理与比例线段、定比分点有着密切联系，故尝试本题能否用这两个定理来解决。
解法二：
ΔOAN被直线MPB所截，由梅涅劳斯定理，得：
即 ，
∴ ∴
或者，ΔOBM被直线NPA所截，得：
∴
可见，只要选对了被截的三角形，用梅涅劳斯定理只列一个式子就可以了，非常便利。
三、 用梅涅劳斯定理求解向量线性相关系数的要点总结
以上例为例，经认真思考和实验，其规律性体现为：欲求P分之比，则考察 为一边的三角形被直线所截。若去掉线段AB，则截线显然为
四、 变式练习
（1） 题目条件不变，若延长OP与AB交于点D，求向量与的线性关系。
分析：由“塞瓦定理”得： ，即：
,∴ ,下面只要求出P分OD的比即可。
由三之要点，考察POD所在ΔOAD被直线所截，由梅氏定理，
得： ，即： ，
∴ .
从而，
（2）题目条件不变，求用的表示式。
（ 答案： ）
可见，用梅涅劳斯定理可快速得到向量线性相关的相关系数，尤其对于选择、填空题，极大提高了解题速度和质量。

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