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浙江省2024年中考数学模拟考试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.数1，0，，中最大的是　　
A．1 B．0 C． D．
2.计算的正确结果是　　
A． B． C． D．
3.根据调查显示，温州市去年中考报名人数约87300人，87300用科学记数法可以表示为　　
A． B． C． D．
4.由四个相同小立方体拼成的几何体如图所示，当光线由上向下垂直照射时，该几何体在水平投影面上的正投影是　　
A． B．
C． D．
5.如图，半圆的半径为6，将三角板的角顶点放在半圆上，这个角的两边分别与半圆相交于点，，则的长度为　　
A．3 B．12 C． D．6
6.已知点，，都在抛物线上，点在点左侧，下列选项正确的是　　
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7.如图，为了测量某一垂直于地面的树高，小明站在离树4米的点处，用测倾仪测得树顶端的仰角为．若测倾仪离地面高为1.5米，则树高可表示为　　
A．米 B．米
C．米 D．米
8.如图，过点的一次函数的图象与轴负半轴，轴分别交于点，，交线段于点，已知，则该一次函数表达式为　　
A． B． C． D．
9.如图，点在函数的图象上，轴于点，轴于点，分别以，为边在矩形的外侧构造矩形，，直线分别交轴，轴于点，，且．若图中阴影部分的面积为5，则的值为　　
A． B． C． D．
10.如图，在矩形中，为中点，以为边作正方形，边交于点，在边上取点使，作交于点，交于点，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了，现以点为圆心，为半径作圆弧交线段于点，连接，记的面积为，图中阴影部分的面积为．若点，，在同一直线上，则的值为　　
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.分解因式：　　．
12.若A（x1，y1），B（x2，y2）分别是一次函数y＝﹣4x+5图象上两个不相同的点，记W＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），则W　　0．（请用“＞”，“＝”或“＜”填写）
13.直线与轴，轴分别交于点，，将这条直线向左平移与轴，轴分别交于点，．若，则点的坐标是 　　．
14.如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为10cm，底面圆半径为4cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于 　　cm2（结果精确到个位）．
15.如图，在菱形中，，，点为线段上一动点，过点作交于点，沿将折叠，点的对称点为点，连接、、，当为等腰三角形时，的长为______．
16.如图，将两块三角板OAB（∠OAB＝45°）和三角板OCD（∠OCD＝30°）放置在矩形BCEF中，直角顶点O重合，点A，D在EF边上，AB＝12．
（1）若点O到BC的距离为2，则点O到EF的距离为 　 　．
（2）若BC＝3AD，则△OCD外接圆的半径为 　 　．
三、解答题（第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共66分）
17.（1）计算：．
（2）化简：．
18.如图，在的方格纸中画格点三角形与格点四边形（三角形与四边形顶点在格点上）．
（1）图1中画一个格点，使各边为无理数的直角三角形．
（2）图2中画一个格点四边形，使四边形的各边为互不相等的无理数且对角线互相垂直．
19.如图，在四边形中，是的中点，，．
（1）求证：．
（2）当时，求的长．
20.为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉字的意识，某校举办了首届“汉字听写大赛”，学生经选拔后进入决赛，测试时听写100个汉字，每正确听写出一个汉字得1分，本次决赛学生成绩为（分，且学生决赛成绩的范围是，将其按分数段分为五组，绘制成以下不完整表格：
组别 成绩（分 频数（人数） 频率
一 2 0.04
二 10 0.2
三 14
四 0.32
五 8 0.16
请根据表格提供的信息，解答以下问题：
(1)求本次决赛共有多少名学生参加；
(2)直接写出表中　　，　　；
(3)请补全相应的频数分布直方图；
(4)若决赛成绩不低于80分为优秀，求本次大赛的优秀率．
21.已知抛物线经过点．
（1）求抛物线的表达式和顶点坐标．
（2）直线交抛物线于点，，若直线下方（包含，的这段抛物线上函数的最小值为1，求的值．
22.某旅行团32人在景区游玩，他们由成人、少年和儿童组成．已知儿童10人，成人比少年多12人．
（1）求该旅行团中成人与少年分别是多少人？
（2）因时间充裕，该团准备让成人和少年（至少各1名）带领10名儿童去另一景区游玩．景区的门票价格为100元张，成人全票，少年8折，儿童6折，一名成人可以免费携带一名儿童．
①若由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是多少元？
②若剩余经费只有1200元可用于购票，在不超额的前提下，最多可以安排成人和少年共多少人带队？求所有满足条件的方案，并指出哪种方案购票费用最少．
23.定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的“好角”．
(1)如图1，∠E是中∠A的“好角”，若，则______；（用含的代数式表示）
(2)如图2，四边形ABCD内接于，点D是优弧ACB的中点，直径弦AC，BF、CD的延长线于点G，延长BC到点E．求证：∠BGC是中∠BAC的“好角”．
(3)如图3，内接于，∠BGC是中∠A的“好角”，BG过圆心O交于点F，的直径为8，，求FG．
24.如图所示，已知BC是⊙O的直径，A、D是⊙O上的两点．
（1）若∠ACB＝56°，求∠ADC的度数；
（2）当时，连接CD、AD，其中AD与直径BC相交于点E，求证：2CD2＝CE BC；
（3）在（2）的条件下，若∠COD＝45°，CB，求的值．浙江省2024年中考数学模拟考试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.数1，0，，中最大的是　　
A．1 B．0 C． D．
【答案】
【分析】根据正数大于0和负数，0大于负数比较．
【详解】，
所以最大的是1．
故选：．
【点睛】 本题考查了有理数大小比较，要明确正数、负数、0的大小关系．
2.计算的正确结果是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出答案。
【详解】，
故选：．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关键。
3.根据调查显示，温州市去年中考报名人数约87300人，87300用科学记数法可以表示为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】科学计数法的表示形式为的形式，其中，n为整数。确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同。当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数。
【详解】数字87300科学记数法可表示为．
故选：．
【点睛】此题考查科学计数法的表示方法。科学计数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键。
4.由四个相同小立方体拼成的几何体如图所示，当光线由上向下垂直照射时，该几何体在水平投影面上的正投影是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据平行投影的定义进行判定即可得出答案。
【详解】根据题意可得，
当光线由上向下垂直照射时，该几何体在水平投影面上的正投影有4个小正方形组成，如图
故选：．
【点睛】本题主要考查了平行投影，熟练掌握平行投影的应用进行求解是解决本题的关键。
5.如图，半圆的半径为6，将三角板的角顶点放在半圆上，这个角的两边分别与半圆相交于点，，则的长度为　　
A．3 B．12 C． D．6
【答案】
【分析】连接，，根据圆周角定理得出，根据等边三角形的判定得出是等边三角形，再根据等边三角形的性质得出即可。
【详解】连接，，
由圆周角定理得：，
，
，
，
是等边三角形，
，
的半径为6，
，
故选：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质等知识点，能根据圆周角定理得出是解此题的关键。
6.已知点，，都在抛物线上，点在点左侧，下列选项正确的是　　
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】
【分析】根据题目中的抛物线和二次函数的性质，可以判断当时，的大小关系或当时，的大小关系。
【详解】抛物线，
该抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
点，，都在抛物线上，点在点左侧，
若，则，故选项、均不符合题意；
若，则，故选项不符合题意，选项符合题意；
故选：．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答。
7.如图，为了测量某一垂直于地面的树高，小明站在离树4米的点处，用测倾仪测得树顶端的仰角为．若测倾仪离地面高为1.5米，则树高可表示为　　
A．米 B．米
C．米 D．米
【答案】
【分析】在中，先用a的正切和表示出，根据线段的和差关系可得结论。
【详解】由题意可知，四边形是矩形，
米，米．
在中，
，
（米．
米．
故选：．
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解决本题的关键。
8.如图，过点的一次函数的图象与轴负半轴，轴分别交于点，，交线段于点，已知，则该一次函数表达式为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据，易证，可得，过点作轴于点，易证，可得，可得点B的坐标，再用待定系数法求解析式即可。
【详解】，
，
又，
，
，
，
，
，
过点作轴于点，如图所示：
则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
将，点坐标代入，
得，
解得，
一次函数解析式：，
故选：．
【点睛】本题考查了一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，涉及相似三角形的判定和性质等，根据相似三角形的性质求出点B坐标是解题的关键。
9.如图，点在函数的图象上，轴于点，轴于点，分别以，为边在矩形的外侧构造矩形，，直线分别交轴，轴于点，，且．若图中阴影部分的面积为5，则的值为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】通过，得出和，设，，利用矩形，，得到代入解析式即可求解。
【详解】，
，，
设，，则
，，，，
矩形，，
，，，
，
阴影部分的面积为5，
，
，
点在函数的图象上，
，
．
故选：．
【点睛】本题考查反比例函数图形及性质和相似三角形，解题关键是利用线段成比例表示出关键量代入求解。
10.如图，在矩形中，为中点，以为边作正方形，边交于点，在边上取点使，作交于点，交于点，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了，现以点为圆心，为半径作圆弧交线段于点，连接，记的面积为，图中阴影部分的面积为．若点，，在同一直线上，则的值为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】如图，连接，，．利用相似三角形的性质求出a和b的关系，再求出面积比即可。
【详解】如图，连接，，．
由题意：，，
点，，在同一直线上，，
，
，
，
整理得，
，
故选：．
【点睛】本题源于欧几里得《几何原本》中对于的探究记载，图形简单，结合了教材中平方差证明的图形进行编制，巧妙之处在于构造的三角形一边与矩形的一边等长，解题的关键是利用相似三角形的性质求出a和b的关系，进而解决问题。
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.分解因式：　　．
【答案】
【分析】先提取公因式，再用完全平方公式分解因式即可。
【详解】原式
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了提公因式法的综合运用，掌握完全平方公式是解题的关键。
12.若A（x1，y1），B（x2，y2）分别是一次函数y＝﹣4x+5图象上两个不相同的点，记W＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），则W　＜　0．（请用“＞”，“＝”或“＜”填写）
【答案】＜．
【分析】根据一次函数y＝﹣4x+5中，k＝﹣4＜0，y随着x增大而减小，可知（x1﹣x2）与（y1﹣y2）异号，进一步可知W的符号．
【解答】解：一次函数y＝﹣4x+5中，k＝﹣4＜0，
∴y随着x增大而减小，
∵A（x1，y1），B（x2，y2）分别是一次函数y＝﹣4x+5图象上两个不相同的点，
∴（x1﹣x2）与（y1﹣y2）异号，
∴W＝（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，
故答案为：＜．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数性质与系数的关系是解题的关键．
13.直线与轴，轴分别交于点，，将这条直线向左平移与轴，轴分别交于点，．若，则点的坐标是 　　．
【答案】
【分析】先由直线的解析式求出两点坐标，再根据勾股定理得出，进而得到点D的坐标，利用直线平移时k的值不变，只有b发生变化得出直线的解析式，进而求出点C的坐标。
【详解】直线与轴、轴分别交于点，，
，，
，，
将这条直线向左平移与轴、轴分别交于点，，，
，
点的坐标为，
平移后的直线与原直线平行，
直线的函数解析式为：，
点的坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，求出直线CD的解析式是解题的关键。
14.如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为10cm，底面圆半径为4cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于 　126　cm2（结果精确到个位）．
【答案】126．
【分析】根据圆的周长公式求出圆锥底面圆的周长，得到圆锥侧面展开图扇形的弧长，根据扇形面积公式计算，得到答案．
【解答】解：∵底面圆的半径为4cm，
∴底面圆的周长为8πcm，即圆锥侧面展开图扇形的弧长为8πcm，
∴这个冰淇淋外壳的侧面积10×8π＝40π＝126（cm2），
故答案为：126π．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
15.如图，在菱形中，，，点为线段上一动点，过点作交于点，沿将折叠，点的对称点为点，连接、、，当为等腰三角形时，的长为______．
【答案】或或或或
【分析】分类讨论：如图 ，当 时，如图 ，当 时，如图 中，当 时，分别求出即可．
【详解】解：如图 ，当 时，点 与 重合或在点 处．
当 与 重合时， 与 也重合，此时 ；
在菱形 中， ，
作 于 ，
在 中， ， ， ，
；
如图 ，当 时，点 与 重合或在 处，
点 与 重合， 是 的垂直平分线，
，
当 在 处时，过 作 于 ，
则可得 ，
则，
；
如图 中，当 时，
，
．
综上所述：当 为等腰三角形时， 的长为 或 或 或 或 ．
故答案为 或 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，分类讨论是解题关键．
16.如图，将两块三角板OAB（∠OAB＝45°）和三角板OCD（∠OCD＝30°）放置在矩形BCEF中，直角顶点O重合，点A，D在EF边上，AB＝12．
（1）若点O到BC的距离为2，则点O到EF的距离为 　4　．
（2）若BC＝3AD，则△OCD外接圆的半径为 　2　．
【答案】（1）4；（2）2．
【分析】（1）根据题意可得∠AOB＝∠DOC＝90°，AO＝BO，CD＝2DO，过点O作OG⊥BC于点G，延长GO交EF于点H，证明△OAH≌△BOG（AAS），可得OH＝BG，AH＝OG＝2，然后根据勾股定理即可解决问题；
（2）根据题意证明△HOD∽△GCO，可得，由tan∠OCD＝tan30°，设BG＝OH＝x，可得CGx，设HD＝k，可得OGk，根据BC＝3AD可得，kx，然后利用勾股定理可得DO＝2，进而可以解决问题．
【解答】解：（1）∵两块三角板OAB（∠OAB＝45°）和三角板OCD（∠OCD＝30°）放置在矩形BCEF中，
∴∠AOB＝∠DOC＝90°，AO＝BO，CD＝2DO，
如图，过点O作OG⊥BC于点G，延长GO交EF于点H，
∵四边形BCEF是矩形，
∴BC∥EF，
∴OH⊥EF，
∴∠OHA＝∠AOB＝90°，
∴∠AOH+∠OAH＝∠AOH+∠BOG＝90°，
∴∠OAH＝∠BOG，
在△OAH和△BOG中，
，
∴△OAH≌△BOG（AAS），
∴OH＝BG，AH＝OG＝2，
∵AB＝12．
∴AO＝BOAB＝6，
∴BG4，
∴OH＝4，
则点O到EF的距离为4，
故答案为：4；
（2）∵∠OGC＝∠DHO＝∠DOC＝90°，
∴∠HOD+∠COG＝∠GCO+∠COG＝90°，
∴∠HOD＝∠GCO，
∴△HOD∽△GCO，
∴，
∵∠OCD＝30°，
∴tan∠OCD＝tan30°，
∴，
由（1）知：OH＝BG，AH＝OG，
设BG＝OH＝x，
∴CGx，
设HD＝k，
∴OGk，
∴AH＝OGk，
∴AD＝AH+DH＝（1）k，
∵BC＝3AD，BC＝BG+CG＝OH+CG＝（1）x，
∴（1）x＝3（1）k，
∴kx，
∴AH＝OGkx，
在Rt△AHO中，根据勾股定理得：
OH2+AH2＝AO2，
∴x2+（x）2＝（6）2，
解得x＝3，
∴HD＝kx，BG＝OH＝x＝3，
在Rt△DHO中，根据勾股定理得：
DH2+OH2＝DO2，
∴（）2+（3）2＝DO2，
∴DO＝2，
∴△OCD外接圆的半径为2．
故答案为：2．
【点评】本题属于几何综合题，是中考填空题的压轴题，考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，三角形外接圆与外心，矩形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
三、解答题（第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共66分）
17.（1）计算：．
（2）化简：．
【答案】见解析
【分析】（1）先计算零指数幂、开方、绝对值的运算，再合并即可；
（2）根据分式的加减运算法则计算即可。
【详解】（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】此题考查的是分式的加减法及实数的运算，掌握分式的运算法则是解决此题关键。
18.如图，在的方格纸中画格点三角形与格点四边形（三角形与四边形顶点在格点上）．
（1）图1中画一个格点，使各边为无理数的直角三角形．
（2）图2中画一个格点四边形，使四边形的各边为互不相等的无理数且对角线互相垂直．
【答案】见解析
【分析】（1）根据直角三角形的定义，利用数形结合的思想画出图形即可；
（2）根据要求，利用数形结合的思想画出图形即可。
【详解】（1）如图1中，即为所求（答案不唯一）．
（2）如图2中，四边形即为所求（答案不唯一）．
【点睛】本题考查作图--应用与设计作图，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用属性结合思想解决问题。
19.如图，在四边形中，是的中点，，．
（1）求证：．
（2）当时，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）3
【分析】（1）利用即可证明；
（2）首先证明四边形是平行四边形，推出即可解决问题。
【详解】（1）证明：，
，
是中点，
，
，
．
（2）解：，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题。
20.为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉字的意识，某校举办了首届“汉字听写大赛”，学生经选拔后进入决赛，测试时听写100个汉字，每正确听写出一个汉字得1分，本次决赛学生成绩为（分，且学生决赛成绩的范围是，将其按分数段分为五组，绘制成以下不完整表格：
组别 成绩（分 频数（人数） 频率
一 2 0.04
二 10 0.2
三 14
四 0.32
五 8 0.16
请根据表格提供的信息，解答以下问题：
(1)求本次决赛共有多少名学生参加；
(2)直接写出表中　　，　　；
(3)请补全相应的频数分布直方图；
(4)若决赛成绩不低于80分为优秀，求本次大赛的优秀率．
【答案】（1）50名；（2）16，28；（3）见解析；（4）
【分析】（1）根据频数、频率、总数之间的关系可求出参赛选手总数；
（2）根据频数、频率、总数之间的关系可求出、的值；
（3）求出“第四组”的频数的值，即可补全频数分布直方图；
（4）求出“第四组”“第五组”的频率之和即可．
【详解】（1）解：（名，答：本次决赛共有50名学生参加；
（2）解：，，故答案为：16，28；
（3）补全频数分布直方图如下：
（4）解：．答：本次大赛的优秀率为．
【点睛】本题主要考查了频数、频率、总数之间的关系及直方图的画法，理解并掌握频数、频率、总数之间的关系是做出本题的关键．
21.已知抛物线经过点．
（1）求抛物线的表达式和顶点坐标．
（2）直线交抛物线于点，，若直线下方（包含，的这段抛物线上函数的最小值为1，求的值．
【答案】（1）抛物线的表达式为：，顶点坐标为；（2）或
【分析】（1）将点代入解析式求出b，再将解析式配方成顶点式，得出顶点坐标；
（2）根据函数最小值为﹣1可知两点不能再对称轴两侧，再分类讨论，同再对称轴右侧，同在对称轴左侧，根据已知条件来求解。
【详解】（1）将点代入解析式得：
，
解得：．
解析式为：，
配方得：，
顶点坐标为．
（2）、点在抛物线上，
，．
抛物线的开口向上，对称轴为直线，函数最小值，
，两点不能在对称轴两侧．
①，在对称轴右侧时，即时，
当，随增大而增大，
，
，
解得：或（舍去）．
②，在对称轴左侧时，即时，即时，
当，随增大而减小，
，
，
解得：或（舍去）．
综上，或．
【点睛】本题考查二次函数解析式求法，顶点坐标求法，二次函数的增减性，解题关键是熟知二次函数的相关概念，并能结合图像来分析问题。
22.某旅行团32人在景区游玩，他们由成人、少年和儿童组成．已知儿童10人，成人比少年多12人．
（1）求该旅行团中成人与少年分别是多少人？
（2）因时间充裕，该团准备让成人和少年（至少各1名）带领10名儿童去另一景区游玩．景区的门票价格为100元张，成人全票，少年8折，儿童6折，一名成人可以免费携带一名儿童．
①若由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是多少元？
②若剩余经费只有1200元可用于购票，在不超额的前提下，最多可以安排成人和少年共多少人带队？求所有满足条件的方案，并指出哪种方案购票费用最少．
【答案】（1）该旅行团中成人与少年分别是17人、5人；（2）①由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是1320元；②最多安排成人和少年12人带队，有三个方案：成人10人，少年2人；成人11人，少年1人；成人9人，少年3人；其中成人10人，少年2人时购票费用最少
【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，本题得以解决；
①根据题意可以求得由成人8人和少年5人带队，所需门票的总费用；
②利用分类讨论的方法可以求得相应的方案以及花费，再比较花费多少即可解答本题。
【详解】（1）设成人有人，少年人，
，
解得，，
答：该旅行团中成人与少年分别是17人、5人；
（2）①由题意可得，
由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是：（元，
答：由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是1320元；
②设可以安排成人人，少年人带队，则，，
当时，
若，则费用为，得，
的最大值是2，此时，费用为1160元；
若，则费用为，得，
的最大值是1，此时，费用为1180元；
若，，即成人门票至少是1200元，不合题意，舍去；
当时，
若，则费用为，得，
的最大值是3，，费用为1200元；
若，则费用为，得，
的最大值是3，，不合题意，舍去；
同理，当时，，不合题意，舍去；
综上所述，最多安排成人和少年12人带队，有三个方案：成人10人，少年2人；成人11人，少年1人；成人9人，少年3人；其中成人10人，少年2人时购票费用最少．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用方程和不等式的知识解答。
23.定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的“好角”．
(1)如图1，∠E是中∠A的“好角”，若，则______；（用含的代数式表示）
(2)如图2，四边形ABCD内接于，点D是优弧ACB的中点，直径弦AC，BF、CD的延长线于点G，延长BC到点E．求证：∠BGC是中∠BAC的“好角”．
(3)如图3，内接于，∠BGC是中∠A的“好角”，BG过圆心O交于点F，的直径为8，，求FG．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）FG＝4
【分析】（1）根据角平分线的性质以及三角形外角定理，可知∠A=∠ACD-∠ABC，∠E=∠ECD-∠EBC=-，由此可知∠E==α；
（2）根据圆内接四边形的性质可知∠DCB＋∠BAD＝180°，可知∠BAD＝∠DCE，根据圆周角的定理可知∠ACD＝∠DCE，进而证得∠ABF＝∠CBF，根据“好角”的定义即可得出结论；
（3）连接CF，根据“好角”的定义可知∠G＝∠A，即∠G＝∠BFC，由外角定理可知∠G＝∠GCF，可知FG＝CF，利用三角函数求得CF即可求得结果．
【详解】（1）解：由题意得，∠ABE=∠CBE=，∠ACE=∠ECD=，
∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD=∠E+∠EBC，
∴∠A=∠ACD-∠ABC，∠E=∠ECD-∠EBC=-，
∴∠E==α；
（2）如图，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠DCB＋∠BAD＝180°，
又∵∠DCB＋∠DCE＝180°，
∴∠BAD＝∠DCE，
∵点D是优弧ACB的中点，
∴，
∴∠ACD＝∠BAD，
∴∠ACD＝∠DCE，
∴CG是△ABC的外角平分线，
∵直径BF⊥弦AC，
∴，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴BG是∠ABC的平分线，
∴∠BGC是△ABC中∠BAC的“好角”；
（3）如图3，连接CF，
∵∠A＝45° ，
∴∠BFC＝45°．
∵BG过圆心O ，
∴∠BCF＝90°．
∵∠BGC是△ABC中∠A的“好角” ，
∴∠G＝∠A，
∵ ∠A＝∠BFC；
∴∠G＝∠BFC，
∴∠G＝∠GCF ，
∴FG＝CF，
∵cos∠BFC＝，
∴CF＝cos45°×BF＝×8＝4，
∴FG＝4．
【点睛】本题考查的是圆的有关知识、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握圆周角定理、三角形外角性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24.如图所示，已知BC是⊙O的直径，A、D是⊙O上的两点．
（1）若∠ACB＝56°，求∠ADC的度数；
（2）当时，连接CD、AD，其中AD与直径BC相交于点E，求证：2CD2＝CE BC；
（3）在（2）的条件下，若∠COD＝45°，CB，求的值．
【答案】（1）34°；（2）见解答过程；（3）2．
【分析】（1）由圆周角定理得出∠BAC＝90°，由直角三角形的性质结合∠ACB＝56°，得出∠ABC＝34°，由圆周角定理即可求出∠ADC＝∠ABC＝34°；
（2）先证明△ECD∽△DCO，得出CD2＝CE CO，进而得出2CD2＝2CE CO，由BC＝2CO，即可证明2CD2＝CE BC；
（3）过点E作EF⊥AC于点F，由∠COD＝45°，，得出△BAC是等腰直角三角形，由CB，得出AB＝AC＝1，OC，由角平分线的性质得出EO＝EF，设EC＝x，则OE＝EFx，由sin∠FCE得出方程，x，解方程求出x的值，得出EC1，代入计算即可求出的值．
【解答】（1）解：如图1，
∵BC是直径，
∴∠BAC＝90°，
∵∠ACB＝56°，
∴∠ABC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣56°＝34°，
∴∠ADC＝∠ABC＝34°；
（2）证明：如图2，
∵，
∴∠ADC＝∠COD，
∵∠ECD＝∠DCO，
∴△ECD∽△DCO，
∴，
∴CD2＝CE CO，
∴2CD2＝2CE CO，
∵BC＝2CO，
∴2CD2＝CE BC；
（3）解：如图3，过点E作EF⊥AC于点F，
∵∠COD＝45°，，
∴∠AOC＝2∠COD＝90°，
∴∠AOB＝∠AOC＝90°，
∴AB＝AC，
∵BC是直径，
∴△BAC是等腰直角三角形，
∴∠FCE＝45°，
∵CB，
∴AB＝AC＝1，OC，
∵，
∴，
∴AD平分∠OAC，
∵∠AOC＝90°，EF⊥AC，
∴EO＝EF，
设EC＝x，则OE＝EFx，
∵sin∠FCE，
∴EC，即x，
解得：x1，
EC1，
∴2．
【点评】本题考查了圆的综合应用，掌握圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识是解决问题的关键．浙江省2024年中考数学模拟考试卷
答题卡
第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂)
第Ⅱ卷
小频数（人）
08642086420
14
10
8
2
5060708090100
成绩（分）
G
E
A
F
A
分
◆
D
0
B
B
B
C
D
C
E
C
E
图1
图2
图3
A
E
B
C
0
D
。
、.八3
B

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