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首先要突出说明的是选题的现实价值，每一个研究的目的都是为了指导现实生活，一定要讲清本选题的研究有什么实际作用、解决什么问题；其次再写课题的理论和学术价值。
7.2.1 万有引力定律
第七章 万有引力与宇宙航天
行星绕太阳的运动可以看做匀速圆周运动，行星做匀速圆周运动时，受到一个指向圆心（太阳）的引力，正是这个力提供了匀速圆周运动所需的向心力，由此可推知太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线。
太阳与行星间的引力
1、太阳对行星的引力（行星所受向心力的方向）
设行星的质量为m，速度为v，行星与太阳间的距离为r，则行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力为
天文观测难以直接得到行星的速度 v，但可以得到行星的公转周期 T
F
行星
太阳
M
m
Ｖ
r
消去v
消去T
讨论
即太阳对不同行星的引力，与行星的质量m成正比，与r2成反比。
F
行星
太阳
F′
类比法
行星对太阳的引力跟太阳的质量成正比，与行星到太阳的距离的二次方成反比。
太阳对行星的引力跟受力星体的质量成正比，与行星到太阳的距离的二次方成反比。
2.行星对太阳的引力
3.太阳与行星间的引力F
类比法
牛 三
F 和F ′是一对作用力和反作用力，那么可以得出F大小跟太阳质量M、行星质量m的关系式有什么关系？
牛三
G为比例系数，与太阳、行星无关。
方向：沿着太阳与行星间的连线。
说 明
（1）公式表明，太阳与行星间的引力大小，与太阳的质量、行星的质量乘积成正比，与两者距离的二次方成反比。
（2）式中G是比例系数，与太阳、行星都没有关系。
（3）太阳与行星间引力的方向沿着两者的连线方向。
我们沿着牛顿的足迹，一直是在已有的观测结果（开普勒行星运动定律）和理论引导（牛顿运动定律）下进行推测和分析，观测结果仅对“行星绕太阳运动”成立，这还不是万有引力定律。
想一想：怎样证明结论不但适用于行星与太阳之间的作用力，而且对其他天体之间的作用力也适用？
目的：
验证地球对地面上苹果的引力
地球对月球的引力
遵循
思 路：
1.假定猜想成立，理论推导
2. 实际测量、计算。
理论分析与测算结果一致则假设成立；不一致则假设就不成立
R
r
地球对苹果的引力:
1. 先假定猜想成立 ─ 理论推导
月─ 地检验
F
r
O
F
r
O
地球对月球的引力:
月球绕地球公转的加速度：
苹果下落的加速度:
（r地=6.4×106m）
在牛顿的时代，已能比较精确测定：
月球与地球的距离 3.8×108 m
月球公转周期 T = 27.3天
地球的自由落体加速度 g = 9.8 m/s2
求月球公转的向心加速度
即月球公转轨道半径
r = 3.8×108 m
2. 实际测量
F
r
O
即
结果一致！
解：
验证结论
太阳对行星的引力
地球对月球的引力
地球对地面上苹果的引力
是同一种性质的力，
遵从相同规律
“天上”的力
“人间”的力
是同种性质
G在数值上等于两个质量都是1kg的物体相距1m时的相互作用力．
1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小F与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们的距离r的二次方成反比.
2.公式：
m1,m2 ---两物体的质量
r ---两物体间的距离
G ---比例系数，叫引力常量，适用于任何物体，G的国际单位：
N·m2/kg2
m1
m2
F
F’
r
3.万有引力的理解
(1)普遍性：任何两个物体之间都存在引力（大到天体小到微观粒子），万有引力是自然界中物体间的基本相互作用之一。
(2)相互性：任何两物体间的相互引力，都是一对作用力和反作用力，符合牛顿第三定律。万有引力也是力的一种，具有相互性，符合牛顿第三定律。
(3)宏观性：通常情况下万有引力非常小，只有在质量巨大的天体间或天体与物体间它的存在才有宏观的物理意义。在微观世界中，粒子的质量都非常小，粒子间的万有引力很不显著，万有引力可以忽略不计。在分析地球表面物体受力时，也不考虑其他物体对它的万有引力
(4)独立性：万有引力的大小只与它们的质量和距离有关，与其他的因素均无关。不管它们之间是否还有其他作用力。
(1) 理想情况：仅适用于两个质点间引力大小的计算
4.万有引力公式的适用条件
(2) 实际情况：
①若两个物体间的距离远大于物体本身大小时，两个物体可近似看成质点。
如：太阳与行星间
地球与月球间
r 为两质点间的距离
r
F
m2
m1
F
F
r
M
m
F
r 为两天体中心的距离
②质量分布均匀的两个球体，可视为质量集中于球心。
r
F
F
r 为两球心间的距离
③质点与质量分布均匀的球体，r 为质点到球心的距离。
r
F
m2
m1
F
④对于地面上（或地球表面附近）的物体，可近似视为质点
F
r
O
r 为地球的球半径（或物体到地心的距离）
（1）当r 0时,万有引力公式已不再适用，而不是引力F趋于无穷大。
（2）当r ∞时,F 0，但仍有引力，只是很小。
揭示了地面上物体运动的规律和天体上物体的运动遵从同一规律，让人们认识到天体上物体的运动规律也是可以认识的,解放了人们的思想,给人们探索自然的奥秘建立了极大信心, 对后来的物理学、天文学的发展具有深远的影响。
5.注意：
6.万有引力的意义:
引力常量 g 的测量实验
1686年牛顿发现万有引力定律后，曾经设想过几种测定引力常量的方法，却没有成功.其间又有一些科学家进行引力常量的测量也没有成功.
1686年牛顿发现万有引力定律后，却无法算出两个天体间的引力大小。
100多年以后，1789年英国物理学家卡文迪什利用扭秤装置，第一次在实验室里对两个铅球间的引力大小 F 做了精确测量和计算，比较准确地测出了引力常量 G 的数值。
扭称装置的巧妙之处
1.扭秤装置把微小力通过杠杆旋转(力矩)明显反映出来（一次放大）；
2.扭转角度（微小形变）通过光标的移动来反映（二次放大），从而确定物体间的万有引力。
3.标准值：G＝6.67259×10－11N·m2/kg2，
通常取G＝6.67×10－11N·m2/kg2 。
实验原理:
力矩平衡，即引力矩=扭转力矩
测定引力常量的意义
1．证明了万有引力的存在；
2．“开创了测量弱力的新时代” （英国物理学家玻印廷语）；
3．使得万有引力定律有了真正的实用价值，可测定远离地球的一些天体的质量、平均密度等。如：根据地球表面的重力加速度可以测定地球的质量。（卡文迪许被称为能称出地球质量的人）
卡文迪什实验室
太阳与行星间的引力:
万有引力的猜想：
万有引力的检验：
推 广：
万有引力定律的检验：
万有引力定律的得出:
“天上”的力与“人间”的力是同一种力
月 ─ 地检验
宇宙中一切物体间都有引力
引力常量 G 的测量实验
1．在科学的发展历程中，许多科学家做出了杰出的贡献。下列符合物理学史实的是（ ）
A．开普勒以行星运动定律为基础总结出万有引力定律
B．伽利略在前人的基础上通过观察总结得到行星运动三定律
C．牛顿提出了万有引力定律，并通过实验测出了万有引力常量
D．哥白尼提出了“日心说”
D
2．对于万有引力定律的表达式，下列说法正确的是（　　）
A．G是引力常量，是人为规定的
B．当r等于零时，万有引力为无穷大
C．两物体受到的引力总是大小相等，与两物体质量是否相等无关
D．r是两物体间最近的距离
C
1.纬度对重力的影响
　　如图所示,设地球的质量为M,半径为R,A处物体的质量为m,物体受到地球的万有引力为F引,方向指向地心O。由万有引力定律公式可得F引=G 。F向提供物体随地球自转需要的向心力,方向垂直于地轴;mg就是物体的重力G,产生使物体压地面的效果。
专题一：万有引力与重力
(1)赤道上：重力和向心力在一条直线上F引＝Fn＋mg，即G ＝mRω2＋mg，所以mg＝G －mRω2。
O
FN
Fn
F引
mg
·
O
FN
F引
mg
·
(2)地球两极处：向心力为零，
所以mg＝F＝G 。
(3)其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg(4)结论：随着纬度的升高,物体随地球自转的向心加速度逐渐减小,重力逐渐增大。
2.高度对重力的影响(不考虑地球自转)
(1)在地球表面:mg=G →地球表面的重力加速度g= （黄金代换） 。
(2)在距地面高h处:mgh=G →离地面高h处的重力加速度gh= ,高度h越大,重力加速度gh越小。
(3)g和gh的关系: = 。
例1、地球赤道上的物体，由于地球自转产生的向心加速度a＝3.37×10－2 m/s－2，赤道上的重力加速度g＝9.77 m/s2，试问：
(1)质量为m的物体在地球赤道上所受地球的万有引力为多大？
(2)要使在赤道上的物体由于地球的自转而“飘”起来(完全失重)，地球自转的角速度应加快到实际角速度的多少倍？
专题二： “填补法”求解万有引力
　　计算一些不完整球形物体(含球穴)间的万有引力时,常采用“填补法”。所谓填补法,就是对于非对称的物体,通过填补后构成对称物体,然后再利用对称物体所满足的物理规律进行求解的方法。利用“填补法”求解物体间的万有引力的具体步骤为:
(1)把从均匀球体上挖去的部分补上;
(2)计算完整球体所受的万有引力;
(3)计算补上部分所受的万有引力;
(4)两者之差即所求球体剩余部分所受的万有引力。
【例 2】质量为 M 的均匀实心球体半径为 R，球心为 O 点，在球的右侧挖去一个半径为—的小球，将该小球置于OO′连线上距 O 为 L 的 P 点，O′为挖去小球后空腔部分的中心，如图所示，则大球剩余部分对 P 点小球的引力为多大？
R
2
例3.有一半径为2R，密度为ρ的均匀球体A，现在A中挖去一半径为R的球体B，如图所示，放置在距离球心O为5R的地方，剩下部分A对B的万有引力为F1，若将挖空的地方注满密度为ρ/2的某种液体，被注满液体的球体A对B的万有引力为F2，则F1/F2为（ ）
A、6/7
B、14/15
C、206/231
D、208/233
C
专题三：万有引力定律两个重要推论
推论一:在匀质球壳内的任意位置处,质点受到球壳万有引力的合力为零。
质点处于球壳的中心
质点不处于球壳的中心
推论二:在匀质球体内部距离球心r处,质点受到的引力就等于半径为r的球体对质点的引力。
h
R
M0
M
如图，地球内部距离表面为h处的物体受到的万有引力是由内部半径为R－h的球体（红色部分）施加的。外部（蓝色部分）整体对物体的引力的合力为零。
A
例4.假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（ ）
A.

B.

C.


D.

练1.关于地球表面上万有引力与重力的关系，考虑地球的自转，把地球看作
质量均匀分布的球体，下列说法正确的是( )
B
A.在任何地方重力都等于万有引力，方向都指向地心
B.地球两极处物体的万有引力等于重力，即
C.在地球除两极的其他位置，重力是万有引力的一个分力，重力的大
小
D.赤道上物体的万有引力等于物体的向心力，即
练2.[河北邯郸2023高一下检测] 2020珠峰高程测量登山队于北京时间5月
27日上午11时整，成功登顶珠峰，人类首次在珠峰峰顶开展重力测量.如果
忽略地球自转的影响，测得一个物体在峰底的重力为 ，在峰顶的重力
为 ，峰底离地心的距离为 ，则峰顶的高度为( )
B
B.
C. D.
解析 如果忽略地球自转的影响，在峰底时满足 ，在峰顶时满足 ，联立
解得 ，B正确.
练3.假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，不考虑地球自转的影响，距离地球球心为r处的重力加速度大小可能为如下图像中的哪一个
A
B
C
D
A

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