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专题9.3 解题技巧专题：一元一次不等式(组)中含参数问题之六大考点
目录
【典型例题】 1
【考点一 根据一元一次不等式的定义求参数的值】 1
【考点二 根据一元一次不等式的解集求参数】 2
【考点三 利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围】 4
【考点四 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围】 7
【考点五 整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题】 11
【考点六 整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题】 12
【典型例题】
【考点一 根据一元一次不等式的定义求参数的值】
例题：（23-24七年级下·全国·课后作业）当 时，不等式是关于x的一元一次不等式．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·山东枣庄·阶段练习）已知关于x的不等式是一元一次不等式，那么m的值是 .
2．（22-23八年级下·陕西西安·阶段练习）若是关于的一元一次不等式．则的值为（ ）
A． B． C． D．或
【考点二 根据一元一次不等式的解集求参数】
例题：（2023上·湖南岳阳·八年级校考阶段练习）若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是 ．
【变式训练】
1.（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考三模）已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围为 ．
2．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 ．
3．（23-24八年级下·贵州黔东南·阶段练习）若不等式与不等式有相同的解集，则m的值为 ．
4．（2023·黑龙江大庆·统考三模）若关于x的一元一次不等式有且只有5个正整数解，则n的取值范围是 ．
【考点三 利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围】
例题：（2023下·四川巴中·七年级统考期末）关于的不等式组仅有4个整数解，则的取值范围为 ．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如果关于的的不等式组有且仅有5个整数解，则的取值范围是 ．
2．（2023·山东泰安·一模）已知关于x的不等式组仅有三个整数解，则a的取值范围是 ．
3．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）若关于的不等式组，有且只有3个整数解，则所有满足条件的整数的值之和为
【考点四 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围】
例题：（2023·四川宜宾·模拟预测）若关于x的不等式组无解，则实数m的取值范围是 ．
【变式训练】
1．（2024·江苏宿迁·一模）若不等式组有解，则a的取值范围是 ．
2．（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是 ．
【考点五 整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题】
例题：（23-24七年级上·重庆北碚·期末）已知关于的方程组的解满足，则的取值范围是 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）方程组的解满足，则的取值范围是 ．
2．（23-24八年级上·浙江·阶段练习）若关于的一元一次方程的解是负数，则的取值范围是 ．
【考点六 整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题】
例题：（23-24八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和为 ．
【变式训练】
1．若整数a使关于x的不等式组至少有4个整数解，且使关于x、y的方程组的解为整数，那么满足条件的整数a的值为 ．
2．若整数使关于的不等式组至少有4个整数解，且使关于的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的整数的和是 ．
3．已知方程组的解满足x为非正数，y不大于0．
(1)求m的取值范围；
(2)在m的取值范围内，求当m为何整数时，不等式的解为；
(3)若，求p的最大值与最小值．
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专题9.3 解题技巧专题：一元一次不等式(组)中含参数问题之六大考点
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【典型例题】 1
【考点一 根据一元一次不等式的定义求参数的值】 1
【考点二 根据一元一次不等式的解集求参数】 2
【考点三 利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围】 4
【考点四 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围】 7
【考点五 整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题】 11
【考点六 整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题】 12
【典型例题】
【考点一 根据一元一次不等式的定义求参数的值】
例题：（23-24七年级下·全国·课后作业）当 时，不等式是关于x的一元一次不等式．
【答案】
【分析】
本题考查了一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，不等号的左右两边都是整式，并且未知数的次数都是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式．根据未知数的次数等于1且系数不鞥与0列式求解即可．
【详解】解：∵不等式是关于x的一元一次不等式
∴且，
∴．
故答案为：．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·山东枣庄·阶段练习）已知关于x的不等式是一元一次不等式，那么m的值是 .
【答案】
【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1且系数不为0，据此求解即可．
【详解】解：∵关于x的不等式是一元一次不等式，
∴且，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
2．（22-23八年级下·陕西西安·阶段练习）若是关于的一元一次不等式．则的值为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】根据一元一次不等式的未知数的次数等于，系数不等于即可得出答案．
【详解】解：∵是关于的一元一次不等式，
∴且，
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查一元一次不等式的定义．掌握一元一次不等式的未知数的次数等于且系数不等于是解题的关键．
【考点二 根据一元一次不等式的解集求参数】
例题：（2023上·湖南岳阳·八年级校考阶段练习）若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，在解不等式时要根据不等式的基本性质．首先解关于x的不等式，求得不等式的解集，然后根据不等式共有3个正整数解，即可得到一个关于m的不等式组解得m的范围．
【详解】解：解不等式得：，
根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
【变式训练】
1.（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考三模）已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据不等式的基本性质，由不等式的解集为，可得：，据此求出a的取值范围即可．
【详解】解：∵不等式的解集为
∴
∴a的取值范围为：
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了不等式的解集，不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质的应用是解题的关键．
2．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式的解集及解一元一次不等式；根据题意求得，且，把代入不等式中，即可求解．
【详解】解：由，得，
∵关于x的不等式的解集为，
∴，且，
∴，
整理得：，
∵，
∴，
把代入中，整理得：，
∴，
故答案为：．
3．（23-24八年级下·贵州黔东南·阶段练习）若不等式与不等式有相同的解集，则m的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查同解不等式，求出两个不等式的解，根据解相同，列出关于的方程，进行求解即可．
【详解】解：解得：，
解，得：，
∵两个不等式的解集相同，
∴，解得：；
故答案为：．
4．（2023·黑龙江大庆·统考三模）若关于x的一元一次不等式有且只有5个正整数解，则n的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先解不等式，从而可得，然后根据题意可得，从而进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵关于x的一元一次不等式有且只有5个正整数解，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
【考点三 利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围】
例题：（2023下·四川巴中·七年级统考期末）关于的不等式组仅有4个整数解，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取大，同小取小，小大大小中间找，大大小小解不了．首先解不等式组，即可确定不等式组的整数解，即可确定的范围．
【详解】解：，
由得：，
由得：．
不等式组有四个整数解，
不等式组的整数解是：，0，1，2．
则实数的取值范围是：．
故答案为：．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如果关于的的不等式组有且仅有5个整数解，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】解不等式组，可得该不等式组的解，根据该不等式组仅有5个整数解，可得答案．本题考查了一元一次不等式组，利用不等式的解得出关于a的不等式是解题关键．
【详解】解：解不等式组，得，
∵关于的的不等式组有且仅有5个整数解，即6，5，4，3，2，
∴
解得．
故答案为：
2．（2023·山东泰安·一模）已知关于x的不等式组仅有三个整数解，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式组，利用不等式的解得出关于a的不等式是解题关键．根据解不等式组，可得不等式组的解，根据不等式组的解是整数，可得答案．
【详解】解：解不等式组，得 ，
∵ 关于 x 的不等式组仅有三个整数解，即 0 ， ，，
∴ ，
解得：．
故答案为：．
3．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）若关于的不等式组，有且只有3个整数解，则所有满足条件的整数的值之和为
【答案】
【分析】本题考查根据一元一次不等式组解集的情况求参数，根据不等式组有且只有3个整数解，得到关于a的不等式组，求出a的取值范围，根据整数解，确定a的值，求和即可．
【详解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∵该不等式组有且只有3个整数解，
∴该不等式组的三个整数解为3，2，1，
∴，
解得，
∴所有满足条件的整数a的值之和为，
故答案为：．
【考点四 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围】
例题：（2023·四川宜宾·模拟预测）若关于x的不等式组无解，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法和步骤．
先分别求解两个不等式，再根据不等式组无解得出，即可解答．
【详解】解：，
由①可得：，
由②可得：，
∵原不等式组无解，
∴，
解得：，
故答案为：．
【变式训练】
1．（2024·江苏宿迁·一模）若不等式组有解，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了求不等式的解集．根据同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解），可得答案．
【详解】解：解不等式组得：
，
∵不等式组有解，
∴，
故答案为：．
2．（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，求出第一个不等式的解集，根据口诀：“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解”即可确定m的范围．
【详解】解：不等式，得：，
不等式组，的解集是，
，
故答案为：．
【考点五 整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题】
例题：（23-24七年级上·重庆北碚·期末）已知关于的方程组的解满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，二元一次方程的解．先解方程组得到，，相加可得到，所以，然后解不等式得到的取值范围．
【详解】解：，
得，
将代入②，得，
解得，
∴
，
，
解得，
即的取值范围为．
故答案为：．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）方程组的解满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解一元一次不等式，将两方程相加得出，然后根据即可求解，正确理解题意、掌握题中特点是解题的关键．
【详解】解：，
得，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
2．（23-24八年级上·浙江·阶段练习）若关于的一元一次方程的解是负数，则的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了解一元一次方程，求一元一次不等式的解集，根据题意得出，解不等式，即可求解．
【详解】解：
解得：
∵关于的一元一次方程的解是负数，
∴，
解得：，
故答案为：．
【考点六 整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题】
例题：（23-24八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和为 ．
【答案】3
【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，再根据关于x的一元一次不等式组的解集是，可以求得k的取值范围，再求出关于y的方程的解，然后根据关于y的方程有正整数解，即可求出k的值，从而可以解答本题．
【详解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∵关于x的一元一次不等式组的解集是，
∴，
由方程可得，
∵关于y的方程有正整数解，
∴或或，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组、一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握一元一次不等式组的解集是解题的关键．
【变式训练】
1．若整数a使关于x的不等式组至少有4个整数解，且使关于x、y的方程组的解为整数，那么满足条件的整数a的值为 ．
【答案】或或
【分析】根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数得到或或，据此求解即可．
【详解】解：，
解不等式①得，
解不等式②得，，
不等式组至少有4个整数解，
∴，
∴，
解方程组，
得：，解得，
将代入②得：，解得
方程组的解为：，
∵，
∴，
关于的方程组的解为整数，
或或，
或或，
当时，，此时是整数，符合题意；
当时，，此时是整数，符合题意；
当时，，此时是整数，符合题意；
所有满足条件的整数的值为或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，解题的关键是根据不等式组以及二元一次方程组求出的取值范围，熟练掌握一元一次不等式组以及二元一次方程组的解法．
2．若整数使关于的不等式组至少有4个整数解，且使关于的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的整数的和是 ．
【答案】
【分析】根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为正整数得到或，从而即可得到所有满足条件的整数的和．
【详解】解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
，
，
，
不等式组至少有4个整数解，
，
解得：，
解方程组，
得：，
，
将代入②得：，
方程组的解为：，
关于的方程组的解为正整数，
或，
或，
所有满足条件的整数的和是：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，解题的关键是根据不等式组以及二元一次方程组求出的取值范围，熟练掌握一元一次不等式组以及二元一次方程组的解法．
3．已知方程组的解满足x为非正数，y不大于0．
(1)求m的取值范围；
(2)在m的取值范围内，求当m为何整数时，不等式的解为；
(3)若，求p的最大值与最小值．
【答案】(1)
(2)或
(3)p的最大值是5，最小值是
【分析】（1）首先对方程组进行化简，根据方程的解满足 为非正数， 不大于 0 ，就可以得出 的范围；
（2） 解不等式 ，再根据即可求解；
（3）分，，三种情况进行分类讨论；
【详解】（1）解原方程组得：，
因为 为非正数， 不大于 0 ，
所以可得：，
解得： ；
（2）解不等式 得： ，
因为 ，
所以 ，
解得: ，
所以 ，
所以整数 的值为 或 ；
（3）因为 ，
当 时，，
因为 ，
所以当 时， 有最大值是 5 ；
当 时， 有最小值是 ，
当 时，，
综上所述， 的最大值是 5 ， 最小值是；
【点睛】主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解；求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到 (无解)
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