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求几何最值，看转化策略
韩子荣
转化是一种重要的数学思想，本文结合实例就几何最值问题的常见几种转化策略进行归纳，供读者参考。
1. 用对称，化曲为直
例1 如图1，BC为圆O的直径，作半径，连结AB、AC，E为AB上一点，，在AO上有一点P，使最小，则的最小值是多少？
图1
分析：由已知可得为等腰三角形，作E点关于OA的对称点，则点在AC上，且，连结，交AO于P，则P点就是所求作的点。
在中，易得
所以
2. 挖条件，化隐为显
例2 不等边两边的高分别为4和12，且第三边上的高是整数，那么此高的最大值可能是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
分析：设三边为a、b、c，对应高为4、12、h，则，由的三边关系可知：
，所以，即，所以的最大值为5，选B。
3. 看图形，化一般为特殊
例3 已知AB是圆O中一条长为4的弦，P是圆O上一动点，且，求的面积的最大值？
图2
分析：显然当P点运动到优弧的中点C时，最大，如图2所示。
此时
因为
所以
故
4. 引参数，化为方程（组）
例4 已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，若，则四边形ABCD的面积的最小值为（ ）
A. 21 B. 25 C. 26 D. 36
图3
分析：若设，则问题就转化为求的最小值。设，再求出的值，就可构造以S1、S2为两实数根的一元二次方程，根据可求出的取值范围，进而求出的最小值。
因为，所以
即S1、S2是方程的两实数根
所以，即
，又，所以
因此，，即
的最小值为25
此时，故选B
例5 如图4，中，，点D、E分别在AB、AC上，且，设的周长分别为，的周长为，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
图4
分析：要求的最小值，即求的最大值，设，的三边长分别为。
由可知：
由，得
，得
由，得：
于是
即
由，得
所以的最小值为，故选D。
5. 联想图形，化复杂为简单
例6 如图5，在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点A、B，试在x轴的正半轴（坐标原点除外）上求点C，使取得最大值。
图5
分析：初看此题，似无法解决。若设C为x轴的正半轴上的点，且使为最大，点D为x轴的正半轴上异于C的一动点，则有。由此图形联想到“圆外角度数定理”的图形，可知点C就是过A、B的圆与x轴相切的切点。不妨设，因为，所以即为所求。
解题过程通过巧妙联想，显得简洁明快，让人愉悦。
6. 设变量，化为函数的最值
例7 如图6所示，，，。当两三角形沿直线FC移动时，求图中阴影部分的面积的最大值。
图6
分析：设，则
由已知，得：
则
根据二次函数的最值知识可得
当时，取得最大值。

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