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单元3 网络计划
3.2 双代号网络图
3.1 网络计划概述
网络计划
3.2 双代号网络图
3.3单代号网络图
3.4 双代号时标网络图
3.5 网络计划应用实例
3.2 双代号网络图
【学习目标】掌握双代号网络图的基本要素、表达方式、绘图原则、绘制方法，培养综合运用理论知识解决实际问题的能力。
【能力要求】能够根据工作之间的逻辑关系正确绘制双代号网络图，并计算时间参数。
【内容导入】目前，在我国的工程施工中，经常用以表示工程进度计划的网络图是双代号网络图。双代号网络图是由若干表示工作的箭线和节点组成的，其中每一项工作都用一根箭线和两个节点来表示，工作名称标注在箭线的上方，持续时间标注在箭线的下方，而且节点内要编号，用箭尾节点编号和箭头节点编号作为这项工作的代号，如图3-7所示。
3.2 双代号网络图
图3-7 双代号表示方法
由于各工作均用两个代号表示，故称为双代号表示方法。用这种表示方法将一项计划中的全部工作按先后顺序和相互关系，从左到右绘制成的网状图形称为双代号网络图，用这种网络图表示的计划称为双代号网络计划。
3.2 双代号网络图
一、双代号网络图的基本要素
双代号网络图是由箭线、节点和线路三个基本要素组成。现将其含义和特性叙述如下：
1.箭线
在双代号网络图中，箭线分为实箭线和虚箭线，二者表示的内容和含义不同，如图3-8所示。
(a) 实箭线; (b)虚箭线
图3-8 箭线
3.2 双代号网络图
（1）实箭线
①一根实箭线表示一项工作（又称工序），箭线表示的工作可大可小，既可以表示一个分项工程，如支模板、绑钢筋、浇混凝土，也可以把上述三项工作综合为一项工作叫混凝土工程，甚至可以表示一项单位工程，如土建、设备安装等。
②一般情况下，每根实箭线表示的工作都要消耗一定的时间和资源（如劳动力、材料、机械设备等），有时只消耗时间不消耗资源，如混凝土自然养护、砂浆找平层干燥等技术间歇，如果单独考虑，也可作为一项工作来对待，用实箭线来表示。
【提示】在双代号网络图中，凡是占用一定时间的工作，都应用实箭线来表示。
③箭线的方向表示工作的进行方向和前进路线，箭尾表示工作的开始，箭头表示工作的结束。
④箭线的长短一般与工作的持续时间无关（时标网络计划例外）。
⑤按照网络图中工作之间的相互关系，可将工作分为以下三种类型，如图3-9所示。
3.2 双代号网络图
图图3-9 工作的分类
A．紧前工作，也叫紧前工序。紧靠在本工作前面的工作称为本工作的紧前工作。
B．紧后工作，也叫紧后工序。紧靠在本工作后面的工作称为本工作的紧后工作。
【提示】本工作与其紧后工作之间有时也需要通过虚箭线来联系。
C．平行工作，也叫平行工序。可与本工作同时进行的工作称为本工作的平行工作。
（2）虚箭线
双代号网络计划中，只表示前后相邻工作之间的逻辑关系，既不占用时间，也不消耗资源的虚拟工作称为虚工作，虚工作用虚箭线表示。
在双代号网络图中，虚箭线起联系、断路、区分三个作用。
联系作用：联系作用是指应用虚箭线正确表达工作之间相互依存的关系。如图3-10 所示，用虚工作将A、D工作联系起来。
图3-10虚工作的联系作用
3.2 双代号网络图
区分作用:区分作用是指双代号网络图中，一项工作应只有唯一的一条箭线和相应的一对节点编号表示，若两项工作的代号相同时，应使用虚工作加以区分，如图3-11所示。
(a)错误 (b)正确 (c)正确
图3-11 虚工作的区分作用
3.2 双代号网络图
断路作用：断路作用是用虚箭线断掉多余的联系，即在网络图中把无联系的工作连接上时，应加以虚工作将其断开，如图3-12中，支模2与浇砼1、支模3与浇砼2两处，把并无联系的工作连接上了，出现了逻辑关系错误。
3.2 双代号网络图
图3-12 逻辑关系错误的网络图
为了正确表达工作间的逻辑关系，在逻辑关系错误的节点之间增设新节点，用虚工作切断毫无关系的工作之间的联系，如图3-13所示。
图3-13虚工作的断路作用
2.节点
（1）节点的含义： 双代号网络图中，节点表示紧前工作结束或紧后工作开始的瞬间，既不消耗时间也不消耗资源。
（2）节点的类型：根据节点在网络图中的位置不同，可将节点分为以下三种类型。如图3-14所示。
3.2 双代号网络图
图3-14 节点的类型
①起点节点。网络图中的第一个节点称为起点节点，它意味着一项工程或任务的开始。
②终点节点。网络图中的最后一个节点称为终点节点，它意味着一项工程或
任务的完成。
③中间节点。网络图中除起点节点和终点节点以外的其他节点称为中间节点，它既表示紧前工作结束的瞬间，又表示紧后工作开始的瞬间。
【提示】单目标双代号网络计划图中起点节点只有一个，终点节点也只有一个。
（3）节点的编号
为了使网络图便于检查和计算，所有节点都应统一编号，节点编号的要求和原则为：从左到右，由小到大，箭尾节点编号小于箭头节点编号，即i3.2 双代号网络图
3.线路
（1）线路的含义
网络图中从起点节点开始，沿箭线方向连续通过一系列箭线和节点，最后到达终点节点的若干条通路称为线路。通常情况下，一个网络图可以有多条线路，线路上各工作的持续时间之和为线路时间，它表示完成该线路上所有工作所需要的时间。如图3-15所示中有四条线路，各条线路的总持续时间见表3-1。
3.2 双代号网络图
图3-15 双代号网络图
3.2 双代号网络图
表3-1 路线的总持续时间
（2）关键线路和关键工作
线路上总的工作持续时间最长的线路称为关键线路，其余线路为非关键线路。如图3-11所示，线路①→②→③→④→⑥→⑦总的工作持续时间最长，即为关键线路。位于关键线路上的工作称为关键工作，关键工作完成快慢直接影响全部计划工期的实现。
一般来说，一个网络图中至少有一条关键线路，而且关键线路也不是一成不变的，在一定条件下，关键线路和非关键线路会互相转化。例如，当采取技术组织措施，缩短关键工作的持续时间，或者延长非关键工作的持续时间时，就可能使关键线路发生转移。关键线路在网络图上应用粗箭线、双箭线或彩色箭线绘制。
【提示】网络图较为简单时，例如只有几条线路，通过计算哪条线路的总持续时间最长即可很快找出关键线路，但当网络图较为复杂时，例如有十几条线路，采用以上方法找关键线路就如走迷宫一样了，这时用计算时间参数找关键线路的方法既快捷又不易出错，详细讲解见本节后面“三、双代号网络计划时间参数的计算”。
3.2 双代号网络图
二、双代号网络图的绘制方法
正确绘制双代号网络图是网络计划技术应用的关键。因此，绘制网络图时必须做到以下两点：首先，要正确地表示工作之间的逻辑关系；其次，必须遵循双代号网络图的绘图规则。否则，就不能正确反映工程的工作流程。
1.网络图的逻辑关系及正确表示
（1）网络图中的逻辑关系
网络图中的逻辑关系是指网络计划中所表示的各个工作之间客观上或主观上安排的先后顺序。这种顺序关系分为两类：一类是施工工艺关系，称为工艺逻辑关系；另一类是施工组织关系，称为组织逻辑关系。
3.2 双代号网络图
工艺逻辑关系是由工艺过程或工作程序决定的各个工艺之间客观存在的先后施工顺序。这个顺序是由施工过程的自身规律所决定的。例如，建筑工程施工时，先做基础，后做主体；先做结构，后做装修。工艺关系是不能随意改变的。如图3-16所示，槽1→垫1→基1→填1为工艺逻辑关系。
组织逻辑关系是在不违反工艺逻辑关系的前提下，人为安排工作的先后顺序关系。它是施工管理人员根据具体情况采取的组织措施的具体化。如图3-16所示，槽1→槽2、垫1→垫2等为组织关系。
3.2 双代号网络图
1
2
4
3
6
5
7
8
槽1
3
槽2
3
垫1
2
垫2
2
基1
3
基2
3
填1
2
填2
2
图3-16 逻辑关系
⑵逻辑关系的正确表示
在绘制双代号网络计划时，必须正确反映各工作间的逻辑关系，其表示方法见表3-2。
3.2 双代号网络图
表3-2 逻辑关系在双代号网络图中的表示方法
3.2 双代号网络图
3.2 双代号网络图
2.双代号网络图的绘制规则
双代号网络图在绘制过程中，除正确反映工作间的逻辑关系外，还必须遵循以下绘图规则：
（1）双代号网络图中，严禁出现循环回路，如图3-17所示。
(a)错误 (b)正确
图3-17 循环线路示意图
【提示】循环回路是指从一个节点出发，顺着箭线方向又回到原出发点的循环线路。
3.2 双代号网络图
（2）双代号网络图中，在节点之间严禁出现带双向箭头或无箭头的连线，如图3-18所示。
(a)有双向箭头的箭线 (b)无箭头的箭线
图3-18 双向箭头和无箭头的箭线
3.2 双代号网络图
（3）双代号网络图中，严禁出现没有箭头节点或没有箭尾节点的箭线，如图3-19所示。
(a)没有箭头节点的箭线 (b)没有箭尾节点的箭线
图3-19 没有箭头和箭尾节点的箭线
3.2 双代号网络图
（4）双代号网络图中，不允许出现节点编号相同的工作，如图3-20所示。
(a)错误 (b)正确
图3-20 重复编号示意图
（5）双代号网络图中，不允许出现一个代号表示一项工作，如图3-21所示。
(a)错误 (b)正确
图3-21 网络图的表达
3.2 双代号网络图
（6）双代号网络图中应只有一个起点节点；在不分期完成任务的网络图中，应只有一个终点节点，而其它所有节点均应是中间节点，如图3-22出现了两个起点节点，出现了两个终点节点。
(a)错误 (b)正确
图3-22 网络图的表达
（7）当双代号网络图的某些节点有多条外向箭线或多条内向箭线时，可使用母线法绘制，如图3-23所示
(a) (b)
图3-23 母线画法
【提示】外向箭线：从某节点引出的箭线称为该节点的外向箭线；内向箭线：指向某个节点的箭线称为该节点的内向箭线。
3.2 双代号网络图
（8）绘制网络图时，箭线不宜交叉；当交叉不可避免时，可用过桥法或指向法，如图3-24所示。
(a)过桥法 (b)指向法
图3-24 交叉箭线绘制方法
3.2 双代号网络图
3.双代号网络图绘制步骤和要求
（1）绘制步骤
①绘制网络图前，首先收集、整理有关资料，如划分施工过程或施工段等。
②根据绘图规则和各工作间的逻辑关系，绘制草图。
③检查网络图的绘制是否符合绘图规则，各工作之间的逻辑关系是否正确。
④整理、完善网络图，使其条理清楚、层次分明。
⑤对网络图各节点进行编号。
（2）绘制要求
①网络图的箭线应以水平线为主，竖线和斜线为辅，避免画成曲线。
②在网络图中，箭线应保持自左向右的方向，尽量避免“反向箭线”。
③在网络图中应正确应用虚箭线，力求减少不必要的虚箭线。
【提示】需指出的是，当给定工作间的逻辑关系后，绘制网络图时，既可以根据紧前工作关系来绘制，也可以根据紧后工作关系来绘制。一般来说，双代号网络图根据紧前工作关系来绘制方便，单代号网络图根据紧后工作关系来绘制较为简单。
3.2 双代号网络图
【实训案例解析3-1】 某工程各施工过程的逻辑关系见表3-3。
问题：（1）绘制本工程双代号网络图。
（2）指出本工程网络计划的线路、关键线路、关键工作。
表3-3 某工程各施工过程逻辑关系
工序代号 A B C D E F
持续时间 1 1 2 4 3 4
紧前工序 — A A B B、C D、E
紧后工序 B、C D、E E F F —
3.2 双代号网络图
【实训案例解析3-1】 某工程各施工过程的逻辑关系见表3-3。
问题：（1）绘制本工程双代号网络图。
（2）指出本工程网络计划的线路、关键线路、关键工作。
分析：绘制给定逻辑关系的双代号网络图之前，首先分析作为紧前工序的各工作特质，然后根据以下绘图方法和技巧绘制草图。具体的方法和技巧如下：
（1）如果某工作只单独作为其他工作的紧前工作，则从该工作的结束节点直接引出箭线表达其他工作。本题中，A工作单独作B、C的紧前工作，则从A的结束节点直接引出箭线表达B工作和C工作。如图3-25所示。
（2）如果某工作除单独作其他工作的紧前工作，还与另外工作联合作其他工作的紧前工作，则从该工作向外引出虚箭线。本题中，B工作单独作D工作的紧前工作，还与C工作联合作E工作的紧前工作，则从B向外引出虚箭线。如图3-26所示。
图3-25 图3-26
3.2 双代号网络图
【实训案例解析3-1】 某工程各施工过程的逻辑关系见表3-3。
问题：（1）绘制本工程双代号网络图。
（2）指出本工程网络计划的线路、关键线路、关键工作。
（3）若多个工作共同作为其他工作的紧前工作，则在符合双代号表示方法的前提下，可将多个工作的结束节点合为一个。本题中，D、E两个工作共同作为F工作的紧前工作，又符合双代号表示方法，所以将D、E的结束节点合为一个。如图3-27所示。
（4）绘制完草图后，对草图进行检查，主要检查该网络图是否符合网络图绘制规则，该网络图表达的逻辑关系是否正确。检查无误后，按网络图的绘制要求，绘制正式网络图如图3-28所示。
图3-27 图3-28
3.2 双代号网络图
解：（1）绘制本工程双代号网络图如图3-28所示。
（2）本工程网络计划线路有：
①→②→④→⑤→⑥（10天）
①→②→③→⑤→⑥（10天）
①→②→③→④→⑤→⑥（9天）
其中，总持续时间最长的线路为关键线路，即①→②→④→⑤→⑥和①→②→③→⑤→⑥；关键工作为A、B、C、D、E、F工作。
3.2 双代号网络图
【实训案例解析3-2】某施工项目分部工程中各施工过程的逻辑关系见表3-4。
问题：试绘制本项目分部工程双代号网络图。
表3-4 某工程各施工过程逻辑关系
工序代号 A B C D E
紧前工序 — — A B A、B
紧后工序 C、E D、E — — —
3.2 双代号网络图
【实训案例解析3-2】某施工项目分部工程中各施工过程的逻辑关系见表3-4。
问题：试绘制本项目分部工程双代号网络图。
分析：根据双代号网络图的绘制规则和绘制步骤绘制草图，如图3-29所示。然后检查所绘草图的逻辑关系是否有错漏等情况并修正，按绘图规则完善网络图编号。
图3-29
解：本项目分部工程双代号网络图，如图3-30所示。
图3-30
3.2 双代号网络图
【实训案例解析3-3】已知某基础工程，主要施工过程是挖沟槽（A）、垫层（B）、砖基础（C）、回填土（D）。施工平面上划分为三个施工段。
问题：试绘制双代号网络图。
分析：根据双代号网络图的绘制规则和绘制步骤，绘制双代号网络图。
（1）根据已知条件，该基础工程四个施工过程，划分为三个施工段，按每一段组织施工，应组合成12项工作，分别是A1、A2、A3，B1、B2、B3，C1、C2、C3，D1、D2、D3。
（2）确定各施工过程的逻辑关系，见表3-5所示。
表3-5 某基础工程各施工过程逻辑关系
施工过程 紧前工作 施工过程 紧前工作 施工过程 紧前工作
A1 — A2 A1 A3 A2
B1 A1 B2 A2、B1 B3 A3、B2
C1 B1 C2 B2、C1 C3 B3、C2
D1 C1 D2 C2、D1 D3 C3、D2
3.2 双代号网络图
【实训案例解析3-3】已知某基础工程，主要施工过程是挖沟槽（A）、垫层（B）、砖基础（C）、回填土（D）。施工平面上划分为三个施工段。
问题：试绘制双代号网络图。
（3）绘制草图，如图3-31所示
图3-31
3.2 双代号网络图
【实训案例解析3-3】已知某基础工程，主要施工过程是挖沟槽（A）、垫层（B）、砖基础（C）、回填土（D）。施工平面上划分为三个施工段。
问题：试绘制双代号网络图。
解：绘制本工程双代号网络图，如图3-32所示
图3-32
3.2 双代号网络图
【实训案例解析3-4】某现浇混凝土设备基础工程项目各工作持续时间及逻辑关系见表3-6。
表3-6 某现浇混凝土设备基础工作逻辑关系表
本工作 挖土 垫层 材料准备 预埋件 加工 工作面 准备 支模、绑 扎钢筋 浇混凝土
工作代号 A B C D E F G
紧后工作 B E、F D F G G —
持续时间 3 2 3 4 5 9 3
问题：（1）绘制本工程的双代号网络计划图。
（2）指出本工程网络计划的线路、关键线路、关键工作和计划工期。
3.2 双代号网络图
分析：由一条箭线与前后两个节点来表示一项工作的网络图称为双代号网络图。绘制双代号网络图时，首先进行逻辑关系分析，再分析工艺关系和组织关系；绘图顺序是，确定排列方式，决定网络图布局，从起点节点开始自左而右根据分析的逻辑关系绘制网络图，检查所绘网络图的逻辑关系是否有错、漏等情况并修正，按绘图规则完善网络图、编号。
解：（1）本工程的双代号网络计划图见图3-33。
图3-33 双代号网络图
（2）本工程网络计划线路有：
①→②→④→⑥→⑦（3+2+5+3=13）
①→②→④→⑤→⑥→⑦（3+2+9+3=17）
①→③→⑤→⑥→⑦（3+4+9+3=19）
其中总持续时间最长的线路为关键线路，即①→③→⑤→⑥→⑦；关键工作为C、D、F、G工作；工期为19天。
3.2 双代号网络图
【技能实训3-1】1．设某一施工过程包括A、B、C、D、E、F六项工作。各项工作的相互关系为：（1）A完成后，B、C可同时开始；（2）B完成后，D才能开始；（3）E在C后开始；（4）F开始前，E和D都必须完成，试绘制其双代号网络计划。如果E工作改为须待B、C都结束后才能开始，其余相同，试绘制其双代号网络图。
2．根据表3-7所示的工作逻辑关系绘制双代号网络图。
表3-7 工作逻辑关系
工作名称 A B C D E F G I
紧前工作 无 无 A，B C C E E D,G
3．根据表3-8所示的工作逻辑关系绘制双代号网络图。
表3-8 工作逻辑关系
工作名称 A B C D E F G H I J K
紧前工作 无 无 B，E A,C,H 无 B,E E F,G F,G A,C,I,H F,G
3.2 双代号网络图
4．某基础工程有挖土、垫层、砌砖基、回填土四个施工过程，划分为三个施工段进行施工，各个施工过程在各个施工段上的持续时间分别为10天、3 天、14 天、5 天。试绘制双代号网络图。
三、双代号网络计划时间参数的计算
在掌握网络图绘制以后，就要对网络计划中的时间参数进行计算。计算时间参数的目的在于通过计算网络图上各项工作的时间参数，确定关键线路及总工期，为网络计划的调整、优化、执行和控制提供明确的时间概念，使网络计划具有实际应用价值。
1.双代号网络计划时间参数及其符号
（1）工作持续时间
工作持续时间是指一项工作从开始到完成的时间，用 表示。
（2）工期
工期是指完成一项工作所需要的时间，一般有以下三种：
①计算工期：根据时间参数计算所得的工期，用 表示。
②要求工期：任务委托人提出的指令性工期（即合同工期），用 表示；
③计划工期：指根据要求工期和计算工期确定的作为实施目标的工期，用 表示。
【提示】当规定了要求工期时， ；当未规定要求工期时， 。
3.2 双代号网络图
3.2 双代号网络图
（3）工作的时间参数
双代号网络计划中，工作的时间参数有六个：工作最早开始时间、工作最早完成时间、工作最迟完成时间、工作最迟开始时间、工作的总时差、工作的自由时差。现设有线路 h→i→j→k 。
①工作最早开始时间
工作最早开始时间是指所有紧前工作全部完成后，本工作有可能开始的最早时刻。计算工作最早时间一般有以下三种情况：
当工作以起点节点为开始节点时，其最早开始时间为零（或规定时间），即
（3-1）
当工作只有一项紧前工作时，该工作的最早开始时间应为
（3-2）
或
（3-3）
3.2 双代号网络图
当工作有多个紧前工作时，该工作的最早开始时间应为
（3-4）
或 （3-5）
式中 —工作 的各项紧前工作 的最早开始时间；
—工作 的各项紧前工作 的持续时间。
【提示】工作最早开始时间计算顺箭头方向相加，箭头相碰取大值。
②工作最早完成时间
工作最早完成时间是指所有紧前工作全部完成后，本工作有可能完成的最早时刻。计算公式为：
（3-6）
【提示】工作最早完成时间计算自起点节点开始，顺着箭线方向，用累加的方法计算到终点节点。
3.2 双代号网络图
③工作最迟完成时间
工作最迟完成时间是指在不影响整个任务按期完成的前提下，本工作必须完成的最迟时刻。也就是说，工作最迟完成时间的计算受到网络计划工期的限制。计算工作最迟完成时间一般有以下三种情况：
当工作的完成节点为终点节点时，其最迟完成时间为网络计划的计划工期，即
（3-7）
当工作只有一项紧后工作时，该工作的最迟完成时间应为
（3-8）
或
（3-9）
当工作有多项紧后工作时，该工作的最迟完成时间应为
（3-10）
或
（3-11）
【提示】工作最迟完成时间计算逆箭头方向相减，箭尾相碰取小值。
3.2 双代号网络图
④工作最迟开始时间
工作最迟开始时间是指在不影响整个任务按期完成的前提下，本工作必须开始的最迟时刻。
（3-12）
【提示】工作最迟开始时间计算自终点节点开始，逆着箭线方向，用累减的方法计算到起点节点。
⑤工作的总时差
工作的总时差是指在不影响总工期的前提下，本工作可以利用的机动时间（富余时间）。如图3-34所示，在不影响总工期的前提下， A工作可以利用的时间范围是从该工作最早开始时间到最迟完成时间，即该工作从最早开始时间或最迟开始时间开始，均不会影响总工期，而本工作实际需要的持续时间是 Di-j，扣去Di-j后，余下的一段时间就是该工作可以利用的机动时间，即为总时差。因此，工作的总时差等于工作最迟开始时间减去工作最早开始时间，或最迟完成时间减去最早完成时间，即
（3-13）
或
（3-14）
3.2 双代号网络图
图3-34 总时差计算
3.2 双代号网络图
⑥工作的自由时差
工作的自由时差是指在不影响其紧后工作最早开始时间的前提下，本工作可以利用的机动时间（富余时间）。如图3-35所示，在不影响其紧后工作最早开始时间的前提下，一项工作可以利用的时间范围是从该工作最早开始时间至其紧后工作最早开始时间，而本工作实际需要的持续时间是Di-j，扣去Di-j后，余下一段时间就是该工作可以利用的机动时间，即自由时差。其计算公式如下：
当该工作有紧后工作时，该工作的自由时差等于紧后工作的最早开始时间减本工作最早完成时间，即
（3-15）
式中
——工作
的紧后工作
的最早开始时间。
当以终点节点（ ）为箭头节点的工作，其自由时差应按网络计划的计划工期确定，即
（3-16）
3.2 双代号网络图
图3-35 自由时差计算
工作的自由时差是在其最早开始时间到其紧后工作最早开始时间范围内的机动时间，由图3-30和图3-31可看出，自由时差是总时差的一部分。
【提示】工作的自由时差总是小于等于其总时差。在计算时，总时差为零的工作，其自由时差必然为零，可不必计算。但自由时差为零，总时差不一定为零。
3.2 双代号网络图
（4）节点的时间参数
双代号网络计划中，节点的时间参数有节点最早时间 和节点最迟时间 。
①节点最早时间（ ）
节点最早时间是指以该节点为开始节点的各项工作的最早开始时间。也就是说，节点最早时间就等于该节点后面工作的最早开始时间，即
（3-17）
由前面工作的时间参数可知，计算工作最早开始时间有三种情况，则节点最早时
间的计算同样也分三种情况，计算公式如下：
当起点节点未规定最早时间，其值应等于零，即
（3-18）
当节点只有一条内向箭线时，其最早时间应为
（3-19）
当节点有多条内向箭线时，其最早时间应为
（3-20）
【提示】节点最早时间计算自起点节点开始，顺着箭线方向，用累加的方法计算到终点节点。
3.2 双代号网络图
②节点最迟时间
节点最迟时间是指以该节点为完成节点的各项工作的最迟完成时间。也就是说，节点最迟时间就等于该节点前面工作的最迟完成时间，即
（3-21）
由前面工作的时间参数可知，计算工作最迟完成时间有三种情况，则节点最迟时间的计算同样也分三种情况，计算公式如下：
终点节点的最迟时间应等于网络计划的计划工期，即
（3-22）
当节点只有一条外向箭线时，其最迟时间应为
（3-23）
当节点有多条外向箭线时，其最迟时间应为
（3-24）
【提示】节点最迟时间计算自终点节点开始，逆着箭线方向，用累减的方法计算到起点节点。
3.2 双代号网络图
2.双代号网络计划时间参数的计算
双代号网络计划时间参数的计算方法有许多，如工作计算法、节点计算法、图上计算法和表上计算法等，《工程网络计划技术规程》中用工作计算法和节点计算法两种，一般在图上直接进行计算。不管采用哪种方法，必须是在熟练掌握公式的基础上才能进行的。
（1）工作计算法
按工作计算法计算时间参数应在确定了各项工作的持续时间之后进行。虚工作可视同工作进行计算，其持续时间为零。时间参数的计算结果应标注在箭线之上，如图3-36所示。
图3-36 工作时间参数标注形式
3.2 双代号网络图
【实训案例解析3-5】 已知某工程双代号网络图如图3-37所示，
图3-37 某工程双代号网络图
问题：（1）试按工作计算法计算该双代号网络图的时间参数，将其标注在网络图上。
（2）判断本工程网络计划的关键线路，并说明原因。
（3）指出本工程网络计划的计划工期。
3.2 双代号网络图
分析：第一步，首先计算工作最早开始时间（ ）和工作最早完成时间（ ）。计算规则是：“顺线累加，逢圈取大”。计算结果见图3-38。
图3-38 工作最早开始时间和工作最早完成时间计算图
3.2 双代号网络图
第二步，确定网络计划工期
当网络计划规定了要求工期时，网络计划的计划工期应小于等于要求工期，即， 当网络计划未规定要求工期时，网络计划的计划工期应等于计算工期，即以网络计划的终点节点为完成节点的各项工作的最早完成时间的最大值，如网络计划的终点节点编号为n ，则计划工期为：
根据已知条件，该工程网络计划并没有规定要求工期，则
第三步，计算工作最迟完成时间和工作最迟开始时间 。
计算规则是：“逆线累减，逢圈取小”。 计算结果见图3-39。
图3-39 工作最迟完成时间和工作最迟开始时间计算图
3.2 双代号网络图
第四步，计算各工作的总时差
根据公式，计算结果见图3-40。
图3-40 工作总时差计算图
第五步，计算各工作的自由时差 。根据公式且总时差为零的工作不必计算，计算结果见图3-41。
图3-41 工作自由时差计算图
3.2 双代号网络图
第六步，确定关键工作和关键线路。由于该工程没有规定要求工期，我们在计算时认为计划工期等于计算工期，因此，持续时间最长的关键线路上的工作不存在任何机动时间，即总时差为零的工作为关键工作，由关键工作组成的线路称为关键线路。如果有要求工期，则网络计划中总时差最小的工作就是关键工作。在工程进度管理中，应把关键工作作为重点来抓，保证各项工作如期完成。
【提示】1、在双代号网络图中可以用三种方法确定关键线路：网络图中总工作持续时间最长的线路为关键线路；全部由总时差最小的工作组成的线路为关键线路；全部由关键工作组成的线路为关键线路。2、关键线路上的工作一定是关键工作，但关键工作不一定都在关键线路上。
3.2 双代号网络图
解：（1）工作法计算该双代号网络图的时间参数，如图3-42所示。
（2）本工程的关键线路为①→②→④→⑤→⑥。因为工作B、D、E、F的总时差均为0，是本工程的关键工作。将关键工作依次相连，所形成的通路就是关键线路。
（3）本工程网络计划的计划工期是10天。
图3-42 关键线路示意图
3.2 双代号网络图
【实训案例解析3-6】某基础工程施工分为三个施工段，每段施工包括挖土方、做灰土垫层、砌砖基础三个施工过程组织流水施工，项目分解结果、工作持续时间及施工顺序见表3-9。
表3-9 某工程工序逻辑关系及作业持续时间
工作名称 挖1 挖2 挖3 垫1 垫2 垫3 基1 基2 基3
工作代号 A1 A2 A3 B1 B2 B3 C1 C2 C3
持续时间（天） 4 5 3 2 2 3 4 2 6
紧前工作 — A1 A2 A1 A2 B1 A3 B2 B1 B2 C1 B3 C2
问题：（1）根据项目的施工顺序，绘制本工程双代号网络图。
（2）计算本工程的各工序的时间参数。
（3）判断本工程网络计划的关键线路，并说明原因。
3.2 双代号网络图
分析：双代号网络计划时间参数的计算包括：工作最早开始时间和工作最早完成时间,工作最迟完成时间和工作最迟开始时间，以及工作总时差和工作的自由时差的计算。通过工作总时差的计算，可以方便地找出网络图中的关键工作和关键线路。总时差为“0”者，意味着该工作没有机动时间，即为关键工作，由关键工作所构成的线路，就是关键线路。关键线路至少有一条，但不一定只有一条。
解：（1）本工程双代号网络计划如图3-43所示。
图3-43 某基础工程施工双代号网络图
（2）本工程的各工序时间参数的计算结果见图3-44。
图3-44 某基础工程施工时间参数计算结果
3.2 双代号网络图
（3）本工程的关键线路为①→②→③→⑧→⑨→⑩。因为工序A1、A2、A3、
B3、C3、的总时差均为0，是本工程的关键工作。将关键工作依次相连，所形成的通路就是关键线路。
3.2 双代号网络图
（2）节点计算法
按节点计算法计算时间参数，其计算结果应标注在节点之上，如图3-45所示。
i
ETi
LTi
j
工作名称
持续时间
ETj
LTj
图3-45节点时间参数标注形式
3.2 双代号网络图
【实训案例解析3-7】已知某工程双代号网络图如图3-46所示。
图3-46 某工程双代号网络图
问题：试按节点计算法计算该双代号网络图的时间参数，将其标注在网络图上，并用双箭线标出关键线路。
3.2 双代号网络图
分析：第一步，首先计算节点最早时间，计算规则是：“顺线累加，逢圈取大”。计算结果见图3-47。
图3-47 ET计算图
3.2 双代号网络图
第二步，确定网络计划工期。
根据已知条件，该工程网络计划没有规定要求工期，则
=11天
第三步，计算节点最迟时间。计算规则是：“逆线累减，逢圈取小”。 计算结果见图3-48。
11
图3-48 LT计算图
3.2 双代号网络图
第四步，确定关键工作和关键线路。凡满足下列三个条件的工作必为关键工作。
ETi=LTi
ETj=LTj (3-25)
LTj- LTi=Di-j
如图3-49所示，工作①→②、②→④、④→⑤、⑤→⑥满足公式(3-25)，即为关键工作，关键线路为①→②→④→⑤→⑥，如图3-49所示。
图3-49关键线路示意图
3.2 双代号网络图
2．根据表3-11所示的工作逻辑关系，画出其双代号网络图，并用工作计算法计算时间参数ES、LS、EF、LF、TF和FF，并确定出关键线路，用双箭线标出。
表3-11 工作逻辑关系
工作名称 A B C D E F G H I J
紧前工作 无 A A B B D F E，F C，E，F H，G
持续时间 8 6 5 1 4 7 3 5 12 9
3．某基础工程有挖土、垫层、砖基础、回填土四个施工过程，划分为三个施工段进行施工，各个施工过程在每个施工段上的持续时间分别为10天、3天、14天、5天。试绘制其双代号网络图，并计算其时间参数ES、LS、EF、LF、TF、和FF，确定出关键线路，用双箭线标出。
3.2 双代号网络图
【技能实训3-2】
1．根据表3-10所示工作逻辑关系，绘制双代号网络图，并用工作计算法计算时间参数ES、LS、EF、LF、TF和FF，找出关键线路，用双箭线标出。
表3-10 工作逻辑关系
工作名称 A B C D E F G H I J
紧前工作 无 无 A C A，B A，B D，E E，F G H，I
紧后工作 C，E，F E，F D G G，H H I J J 无
持续时间 4 2 1 2 5 3 2 3 3 7

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