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第三单元 长方体和正方体
（易错点归纳+易错题集锦）
1、长方体的6个面有时不都是长方形。
2、长方体的长发生变化，这个长方体的左面和右面的大小不变。
3、在实际生活中，并不是所有的长方体形状的物体都有6个面，如长方体形状的鱼缸、游泳池等只有5个面，长方体形状的烟囱、通风管等只有4个面。
4、长方形的长宽高是相对的，把正方体摆正，一般情况下把前面横着的棱叫长，左右面横着的棱叫宽，竖着的棱叫高。
5、长方体和正方体的展开图不止一种，但是表面积是固定的。
6、求正方体的表面积只需要计算出一个面的面积就可以求出总面积。
7、解决比较负责的表面积增减变化的问题，通常要先假设棱长为1或者长为1，再通过计算比较，得出正方体或长方体表面积的增减变化规律。
8、物体的体积与所占空间的大小有关，与物体的形状没有关系。
9、并不是只有棱长是1厘米的正方体的体积才是1立方厘米，一个长、宽、高的积是1立方厘米的长方体，体积也是1立方厘米。
10、如果一个正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的体积就扩大到原来的n3倍。
11、体积和表面积不是同类量，二者之间不能比较。
12、在计算a3时，不要把a3看作3×a，a3应是a×a×a。
13、只有相邻的两个体积单位间的进率才是1000，判断和互化时首先要看这两个单位是不是相邻的。
14、用小正方体摆大正方体时，要注意长、宽、高的数量都相同。
15、物体的容积并不是物体的体积，体积是指物体自身所占空间的大小，容积是指物体所能容纳物体的体积。
16、计量长方体容器的容积要从里面量长、宽、高，计算的结果比体积小。
17、用排水法求形状不规则的物体的体积时，将物体放入水中后（物体完全浸没在水中），明确水上升的高度才是解题的关键。
一、选择题
1．一个长方体挖掉一个小方块（如图），下面说法正确的是（ ）。
A．表面积、体积都减少 B．体积减少，表面积增加
C．表面积、体积都不变 D．体积减少，表面积不变
2．一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，那么它的表面积扩大到原来的（ ）倍，体积扩大到原来的（ ）倍。
A．2；4 B．4；8 C．6；4 D．8；4
3．如图，将一个正方体分成3个相同的长方体，3个长方体的表面积之和比原正方体的表面积多了96平方厘米，原正方体的表面积为（ ）平方厘米。
A．96 B．108 C．144 D．192
4．在下面的图形中，不是正方体展开图的是（ ）。
A．B．
C． D．
5．一个长方体，如果高h减少3cm，长和宽不变，形成的新长方体的体积比原来减少了（ ）cm3。
A．33 B．abh－33 C．ab（h－3） D．3ab
6．有一根铁丝，恰好可以围成长6厘米、宽3厘米、高3厘米的长方体框架，这根铁丝恰好也可以围成一个正方体框架，则围成的正方体框架的棱长是（ ）厘米。
A．1 B．4 C．8 D．16
7．一个长方体油箱，从里面量长5分米，宽4分米，高4分米。如果每升汽油的价格为6.2元，加满这个油箱一共要用（ ）元。
A．469 B．496 C．498
8．一种牛奶的外包装是长方体，量得外包装盒的尺寸如图（单位：厘米）。根据图中数据判断，牛奶的实际含量可能是（ ）毫升。

A．520 B．540 C．500 D．600
二、填空题
9．把一个实心球完全浸没在一个盛满水的量杯里，有水溢出。把实心球取出来，量杯里的水减少了15毫升。实心球的体积是( )立方厘米。
10．一根方钢体积是4.8立方米，横截面的面积是0.8平方米，它的长是( )米。
11．如图，骰子相对的两个面上的数字之和都是7，骰子从图中所示的位置出发，不重复地滚遍5个方格，最后骰子朝上的面的数字是( )。
12．在一个长6米、宽3.5米的长方形客厅的地面上铺2厘米厚的木地板，至少需要( )立方米的木地板。铺好后要在地板上涂上油漆，涂油漆的面积是( )平方米。
13．把两个长、宽、高分别是10厘米、8厘米、2厘米的相同长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最少是( )平方厘米。
14．一个长方体玻璃容器，从里面量长、宽均为20厘米，向容器中倒入6升水，再把一个苹果放入水中，当苹果完全淹没在水中时，量得容器内的水深是17厘米。这个苹果的体积是( )立方厘米。
15．一个长方体的玻璃缸，长7分米、宽4分米、高5分米，水深3分米。如果投入棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水( )溢出。（填“会”或“不会”）
16．一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，已如长方体的长是厘米，宽是厘米，高厘米，那么正方体的棱长是( )，表面积是( )，体积是( )。
三、判断题
17．2个棱长1cm的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是10cm2。( )
18．做一个长2米，横截面是一个边长为3分米的正方形的通风管，需要铁皮258平方分米。( )
19．把3个棱长为1厘米的正方体拼成1个长方体，表面积减少了3平方厘米。( )
20．如图：拿走一个涂色正方体后，图形的表面积增加了2个面。( )
四、计算题
21．求下面图形的表面积和体积。（单位：分米）

五、作图题
22．在如图的长方体展开图上找出相对的面，并用下、后、左、右在余下的四个面中标出。
六、解答题
23．如图，一个长方体，如果长增加3厘米，宽和高都不变，体积增加6立方厘米；如果宽增加4厘米，长和高都不变，体积增加32立方厘米；如果高增加5厘米，长和宽都不变，体积增加20立方厘米。求这个长方体的表面积是多少平方厘米？
24．一个装满水的长方体玻璃容器，长是10厘米，宽是8厘米，高是6厘米，然后把两个长4厘米、宽3厘米、高8厘米的铁块立着放入容器中，容器溢出的水的体积是多少？
25．高铝砖是一种新型材料烧制成的建筑材料，具有耐高温的优点，经常用于高温窑炉内衬和作为装饰材料等。下面是某公司生产的一种高铝砖的样式图。这样一块高铝砖的体积是多少立方厘米？
26．一根横截面是正方形的长方体木料，表面积为1290平方厘米。从一端锯下一个最大的正方体后，其表面积减少了100平方厘米，这根木料最多能锯多少个这样的正方体？（损耗忽略不计）
27．如图是全运会济南赛区奥体中心游泳馆的主游泳池，它长50米、宽25米、深2米。
（1）建造奥体中心游泳池至少需要挖土多少立方米？
（2）如果要给这个游泳池注1.8米深的水，已知每小时能注水150立方米。需要几小时注完？
28．如图所示，用0.2分米厚的木板做成一个无盖的长方体木箱，从外面量木箱长8分米，宽6分米，高5分米。这个木箱的容积是多少？
29．如下图，一个长、宽、高分别为30厘米、16厘米、21厘米的长方体容器中水位高度是10厘米，如果将另一个长方体（长、宽、高分别为16厘米、10厘米、36厘米的铁块竖直）放入左边的容器中（贴底面齐平），那么这个容器中的水会溢出吗？如果不溢出，那么容器中水位将上升至多少高度？如果溢出，那会溢出多少立方厘米的水量？
参考答案
1．D
【分析】从图中可知，长方体的右上角被挖掉一个小方块，那么体积就减少这一个小方块的体积。
在长方体右上角挖掉一个小方块，表面积减少了3个面的面积，又露出来3个与原来相同的面，所以表面积没有变化。
【详解】一个长方体如图中挖掉一个小方块，体积减少了这个小方块的体积，表面积不变。
故答案为：D
2．B
【分析】假设出原来长方体的长、宽、高，根据“长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”求出原来长方体的表面积和现在长方体的表面积，再用除法求出长方体的表面积扩大的倍数，然后根据“长方体的体积＝长×宽×高”求出原来长方体的体积和现在长方体的体积，最后求出长方体的体积扩大的倍数，据此解答。
【详解】假设原来长方体的长为2厘米，宽为1厘米，高为3厘米，则现在长方体的长为4厘米，宽为2厘米，高为6厘米。
原来的表面积：（2×1＋2×3＋1×3）×2
＝（2＋6＋3）×2
＝11×2
＝22（平方厘米）
现在的表面积：（4×2＋4×6＋2×6）×2
＝（8＋24＋12）×2
＝（32＋12）×2
＝44×2
＝88（平方厘米）
88÷22＝4
原来的体积：2×1×3
＝2×3
＝6（立方厘米）
现在的体积：4×2×6
＝8×6
＝48（立方厘米）
48÷6＝8
所以，长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，它的表面积扩大4倍，体积扩大8倍。
故答案为：B
3．C
【分析】3个长方体的表面积之和比原正方体的表面积多了96平方厘米就是多了4个面的面积，所以一个面的面积是24平方厘米，再乘6就是正方体表面积。
【详解】
（平方厘米）
原正方体的表面积为144平方厘米。
故答案为：C
【分析】本题考查正方体分割成长方体后表面积的变化问题。
4．A
【分析】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即第一种：“1 4 1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个，此种结构有6种展开图；第二种：“2 2 2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3 3”结构，即每一行放3个正方形，此种结构只有一种展开图；第四种：“1 3 2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形，此种结构有3种展开图。
【详解】A．不属于正方体展开图，不能折叠成一个正方体；
B．属于正方体展开图的“3 3”型，能折叠成一个正方体；
C．属于正方体展开图的“1 4 1”型，能折叠成一个正方体；
D．属于正方体展开图的“1 4 1”型，能折叠成一个正方体。
所以不是正方体的展开图。
故答案为：A
5．D
【分析】根据题意，如果高减少3cm，减少后的高是（h－3）cm，根据长方体的体积公式：体积＝长×宽×高，分别求出原来长方体的体积和高减少3cm后的长方体体积，再用原来长方体的体积减去高减少3cm后的体积，即可解答。
【详解】高减少3cm后，高是（h－3）cm。
a×b×h－a×b×（h－3）
＝abh－abh＋3ab
＝3ab（cm3）
一个长方体，如果高h减少3cm，长和宽不变，形成的新长方体的体积比原来减少了3abcm3。
故答案为：D
6．B
【分析】根据长方体的总棱长公式：L＝（a＋b＋h）×4，据此求出铁丝的长度，铁丝的长度也是正方体框架的总棱长，再根据正方体的总棱长公式：L＝12a，用铁丝的长度除以12即可求出正方体框架的棱长。
【详解】（6＋3＋3）×4
＝12×4
＝48（厘米）
48÷12＝4（厘米）
则围成的正方体框架的棱长是4厘米。
故答案为：B
7．B
【分析】根据长方体容积公式：容积＝长×宽×高，代入数据，求出这个长方体油箱的容积，1立方分米＝1升，把立方分米换算成升，再乘6.2，即可解答。
【详解】5×4×4
＝20×4
＝80（立方分米）
80立方分米＝80升
80×6.2＝496（元）
一个长方体油箱，从里面量长5分米，宽4分米，高4分米。如果每升汽油的价格为6.2元，加满这个油箱一共要用496元。
故答案为：B
8．C
【分析】长方体的体积＝长×宽×高，把长8厘米、宽5厘米、高13厘米代入公式即可计算出包装盒的体积。长方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同，但要从容器里面量长、宽、高，所以牛奶的实际含量小于包装盒的体积。据此选择即可。
【详解】8×5×13
＝40×13
＝520（立方厘米）
520立方厘米＝520毫升
500＜520＜540＜600
因为牛奶的实际含量小于包装盒的体积，所以牛奶的实际含量可能是500毫升。
故答案为：C
【分析】计算长方体容器的体积要从外面量长、宽、高，而计算它的容积则要从里面量长、宽、高。同一个长方体容器，体积比容积大。
9．15
【分析】
根据题意，把一个实心球从盛满水的量杯里取出来，量杯里的水减少了15毫升，水减少的体积就是实心球的体积；根据进率“1毫升＝1立方厘米”换算单位即可。
【详解】15毫升＝15立方厘米
实心球的体积是15立方厘米。
10．6
【分析】长方体的体积＝底面积×高，这根方钢的横截面的面积相当于长方体的底面积，长相当于长方体的高，所以用体积除以横截面的面积即可。
【详解】4.8÷0.8＝6（米）
即它的长是6米。
11．2
【分析】不重复地滚遍5个方格，则滚的方式只有一种，骰子相对的两个面上的数字之和都是7，则3的对面是4，2的对面是5，1的对面是6。按照顺序，朝上的数字依次是1、4、5、6、4、2。
【详解】
朝上的数字依次是1、4、5、6、4、2。
12． 0.42 21
【分析】根据“长方体的体积＝长×宽×高”即可求出木地板的体积；涂油漆的面积等于客厅的地面面积，根据“长方形的面积＝长×宽”解答即可。
【详解】2厘米＝0.02米
6×3.5×0.02
＝21×0.02
＝0.42（立方米）
6×3.5＝21（平方米）
即至少需要0.42立方米的木地板，涂油漆的面积是21平方米。
13．304
【分析】根据长方体表面积的意义，把两个完全一样的小长方体拼成一个大长方体，要使表面积最小也就是把两个小长方体的最大面重合在一起，拼成一个长10厘米，宽8厘米，高（2×2）厘米的长方体，根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把数据代入公式解答。
【详解】2×2＝4（厘米）
（10×8＋10×4＋8×4）×2
＝（80＋40＋32）×2
＝152×2
＝304（平方厘米）
则这个大长方体的表面积最少是304平方厘米。
14．800
【分析】长方体容器中水的形状可以看作是长方体，长方体的体积＝长×宽×高，据此把容器的长、宽和水深相乘，即可求出水和这个苹果的体积之和，再减去水的体积，即可求出这个苹果的体积。
【详解】20×20×17＝6800（立方厘米）
6升＝6000立方厘米
6800－6000＝800（立方厘米）
则这个苹果的体积是800立方厘米。
15．会
【分析】
根据题意，用水的体积加上铁块的体积，如果结果大于玻璃缸的容积，则缸里的水会溢出；如果结果小于玻璃缸的容积，则水不会溢出。长方体的体积＝长×宽×高，据此求出玻璃缸的容积、缸里水的体积；正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此求出正方体铁块的体积。
【详解】7×4×5＝140（立方分米）
7×4×3＝84（立方分米）
4×4×4＝64（立方分米）
84＋64＝148（立方分米）
148立方分米＞140立方分米
则缸里的水会溢出。
16． 5厘米/5cm 150平方厘米/150cm2 125立方厘米/125cm3
【分析】根据长方体的棱长总和公式：，正方体的棱长总和公式：，据此求出长方体的总棱长，也就是正方体的总棱长，进而求出正方体的棱长；再根据正方体的表面积公式：，正方体的体积公式：，据此代入数值进行计算即可。
【详解】长方体的棱长总和：
（厘米）
正方体的棱长：（厘米）
正方体的表面积：
（平方厘米）
正方体的体积：
（立方厘米）
即正方体的棱长是5厘米，表面积150平方厘米，体积是125立方厘米。
17．√
【分析】2个棱长1cm的正方体拼成一个长方体，长方体的长是1×2＝2（cm），宽和高都是1cm，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算，求出这个长方体的表面积再进行判断。
【详解】1×2＝2（cm）
（2×1＋2×1＋1×1）×2
＝（2＋2＋1）×2
＝5×2
＝10（cm2）
则长方体的表面积是10cm2。原题说法正确。
故答案为：√
18．×
【分析】根据题意，通风管无上下底，求出这个长方体的侧面积，就是这个通分管需要铁皮的面积，根据长方体侧面积公式：侧面积＝底面周长×高，代入数据，求出需要铁皮的面积，再进行比较，即可解答；注意单位名数的统一。
【详解】2米＝20分米
3×4×20
＝12×20
＝240（平方分米）
做一个长2米，横截面是一个边长为3分米的正方形的通风管，需要铁皮240平方分米。
原题干说法错误。
故答案为：×
19．×
【分析】如图所示，把2个正方体拼成1个长方体后，表面积减少2个正方形的面积，把3个正方体拼成1个长方体后，表面积减少4个正方形的面积，求出正方体一个面的面积，再乘减少正方形的数量，据此解答。
【详解】
1×1＝1（平方厘米）
1×2×2＝4（平方厘米）
所以，表面积减少了4平方厘米。
故答案为：×
【分析】本题主要考查立体图形的切拼，明确减少正方形的数量是解答题目的关键。
20．√
【分析】观察图形可知，拿走一个涂色正方体，表面积比原来增加了2个小正方形面，每个正方形的边长相当于涂色正方体的棱长。据此解答。
【详解】根据分析可知，拿走一个涂色正方体后，图形的表面积增加了2个面。原题干说法正确。
故答案为：√
【分析】本题考查了正方体的表面积公式的灵活应用，注意挖去之后表面积发生的变化。
21．304平方分米；328立方分米
【分析】长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，组合体的表面积＝大长方体的表面积＋小正方体4个侧面的面积；长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，组合体的体积＝大长方体的体积＋小正方体的体积，据此解答。
【详解】（8×5＋8×8＋5×8）×2＋2×2×4
＝（40＋64＋40）×2＋2×2×4
＝144×2＋2×2×4
＝288＋16
＝304（平方分米）
8×5×8＋2×2×2
＝320＋8
＝328（立方分米）
所以，图形的表面积是304平方分米，图形的体积是328立方分米。
22．见详解
【分析】
如图，根据长方体展开图的特征，属于“2－3－1”型，折成长方体后，数字“1”与数字“2”相对，“前”与数字“3”这个面相对，“上”与数字“4”这个面相对，据此可在图上标出长方体的下、后、左、右。
【详解】如图所示：
【分析】此题主要是考查长方体展开图的特征，长方体展开图比正方体展开图复杂的多，要充分发挥自己的空间想象力。
23．28平方厘米
【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，长增加3厘米，即增加部分的长方体长是3厘米，体积是6立方厘米，6÷3＝2平方厘米，即宽乘高是2平方厘米；宽增加4厘米，即增加部分的长方体宽是4厘米，体积是32立方厘米，32÷4＝8平方厘米，即长乘高是8平方厘米；高增加5厘米，即增加部分的长方体高是5厘米，体积是20立方厘米，20÷5＝4平方厘米，即长乘宽是4平方厘米；根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求解即可。
【详解】6÷3＝2（平方厘米）
32÷4＝8（平方厘米）
20÷5＝4（平方厘米）
（2＋8＋4）×2
＝14×2
＝28（平方厘米）
答：这个长方体的表面积是28平方厘米。
24．144立方米
【分析】铁块的长×宽×玻璃容器的高＝一个铁块让容器溢出的水的体积，一个铁块让容器溢出的水的体积×2＝容器溢出的水的体积。
【详解】4×3×6×2
＝12×6×2
＝72×2
＝144（立方米）
答：容器溢出的水的体积是144立方米。
25．156250立方厘米
【分析】
观察图形可知，高铝砖的体积＝长为（25＋25＋25）厘米、宽为50厘米、高50厘米的长方体的体积－长为25厘米、宽为50厘米、高为（50－25）厘米的长方体的体积，根据长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算求解。
【详解】（25＋25＋25）×50×50－（50－25）×25×50
＝75×50×50－25×25×50
＝187500－31250
＝156250（立方厘米）
答：这样一块高铝砖的体积是156250立方厘米。
26．12个
【分析】锯下一个最大的正方体，这个正方体的棱长等于原来长方体的底面边长，从一端锯下一个最大的正方体后，其表面积减少了100平方厘米，实际上是减少的4个面的面积，由此可以求出锯下的正方体的一个面的面积（也就是原来长方体的底面积），进而求出正方体的棱长，用原来长方体的表面积，减去两个底面的面积，进一步求出原来长方体的4个侧面的面积；用侧面积除以4可以求出原来长方体的每个侧面的面积，再除以底面的边长即可求出木料的长；最后用木料的长除以每锯一次会损耗木料的长（也就是底面的边长），根据有余数的除法取值即可。
【详解】正方体一个面的面积：100÷4＝25（平方厘米）
25＝5×5，即正方体的棱长为5厘米，
（1290－25×2）÷4÷5
＝（1290－50）÷4÷5
＝1240÷4÷5
＝310÷5
＝62（厘米）
62÷5＝12（个）……2（厘米）
答：这根木料最多能锯12个这样的正方体。
27．（1）2500立方米
（2）15小时
【分析】（1）要求建造奥体中心游泳池至少需要挖土多少立方米，把这个中心游泳池看作一个无盖的长方体，相当于求这个长方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数值计算即可解答。
（2）根据长方体的体积公式，求出注入的水的总体积，再除以150，所得结果即为需要几小时注完。
【详解】（1）50×25×2＝2500（立方米）
答：建造奥体中心游泳池至少需要挖土2500立方米。
（2）50×25×1.8÷150
＝2250÷150
＝15（小时）
答：需要15小时注完。
28．204.288立方分米
【分析】
由题意可知，从里面量长方体的长是（8－0.2×2）分米，宽是（6－0.2×2）分米，高是（5－0.2）分米，然后根据长方体的容积公式：V＝abh，据此解答即可。
【详解】
里面的长：8－0.2×2
＝8－0.4
＝7.6（分米）
宽：6－0.2×2
＝6－0.4
＝5.6（分米）
高：5－0.2＝4.8（分米）
7.6×5.6×4.8
＝33.6×4.8
＝204.288（立方分米）
答：这个木箱的容积是204.288立方分米。
29．不会溢出；15厘米
【分析】根据题意可知，长方体容器中水是一个长30厘米、宽16厘米、高10厘米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出水的体积；
放入铁块后，水面会上升，底面积由（30×16）平方厘米变成了（30×16－16×10）平方厘米，水的体积不变，根据长方体的高＝体积÷底面积，求出此时容器内水的高度；
用此时容器内水的高度与长方体容器的高度进行比较，如果小于或等于容器的高度，则水不会溢出；反之，水的高度大于容器的高度，水会溢出，进而求出溢出水的体积。
【详解】容器内水的体积：
30×16×10
＝480×10
＝4800（立方厘米）
放入铁块后水深：
4800÷（30×16－16×10）
＝4800÷（480－160）
＝4800÷320
＝15（厘米）
15＜21
答：这个容器中的水不会溢出，容器中水位将上升至15厘米。
【分析】本题考查长方体体积公式的灵活运用，抓住水的体积不变是解题的关键，掌握放入的物体没有完全浸没时，水上升高度的求法。

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