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2024年陕西省职业学校对口升学高考模拟试题
数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、是非选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，对每小题的命题作出判断，对的选A，错的选B）
1．( A B )
【答案】A
【解析】.
2.的角是周角的，的角是周角的( A B )
【答案】A
【解析】的角是周角的，的角是周角的，故正确；
3．若集合，则的子集个数为8个( A B )
【答案】A
【解析】因为，所以的子集个数为8个
4．函数的定义域是( A B )
【答案】B
【解析】由，解得且，使用函数的定义域是：，
5．若且，则是第二象限角( A B )
【答案】A
【解析】因为，所以为第一象限角或第二象限角.因为，所以为第二象限角或第三象限角.故是第二象限角.
6．对于两直线，，有( A B )
【答案】B
【解析】若，则可能其中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0或两条直线的斜率乘积为.
7．不等式的解集是( A B )
【答案】A
【解析】不等式可化为，
解得，则不等式的解集是.所以本题答案为.
8．双曲线与 的渐近线相同( A B )
【答案】B
【解析】两双曲线的渐近线不一定相同，
焦点在轴上的渐近线方程为，焦点在y轴上的渐近线方程为
9．若长方体的相邻三个面的面积分别为，则长方体的体积是( A B )
【答案】A
【解析】设长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a、b、c，则有，，，所以．则长方体的体积．
10．直线与椭圆的位置关系是相交( A B )
【答案】A
【解析】直线过点且斜率存在，所以直线与椭圆的位置关系是相交．
二、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
11．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
所以，故选：B.
12．“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若，则.若，则，不一定等于.
故“”是“”的充分不必要条件.故选：B
13．在中，，且的面积为，则（ ）
A． B．3 C．2 D．
【答案】A
【解析】因为，所以，解得，
即，故选：A.
14．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，
．故选：D．
15．已知抛物线C：，则C的准线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】抛物线方程，，所以准线方程是.故选：C
16．已知两条不同的直线，及三个不同的平面，，，则下列推理正确的是（ ）
A．，， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】A选项：由面面垂直的性质定理可知，缺少条件“”的情况下，与的位置关系不确定，平行，相交或在内都有可能，故A选项错误；
B选项：根据线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两直线平行，故B选项正确；
C选项：若，，则与可能平行或相交，故C选项错误；
D选项：，，则或者，故D错误；
故选：B．
17．已知向量，，则向量，的夹角为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由，，可知，
所以，，且，
设，的夹角为，则，
又因为，所以，故选：B.
18．为了传承和弘扬雷锋精神，凝聚榜样力量．3月5日学雷锋纪念日来临之际，凉山州某中学举办了主题为“传承雷锋精神，践行时代力量”的征文比赛．此次征文共5个题目，每位参赛学生从中随机选取一个题目准备作文，则甲、乙，丙三位同学选到互不相同题目的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】甲同学可以选择一个题目共有5种选法，同理，乙、丙也有5种选法，
由分步乘法计数原理，3人到四个社区参加志愿服务共有种选法；
若甲、乙，丙三位同学选到互不相同题目，共有种选法；
则甲、乙，丙三位同学选到互不相同题目的概率为.
故选：D.
三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
19．
【答案】1
【解析】.
20．已知平面向量，，且，则 .
【答案】
【解析】由可得，解得.
21．展开式中的系数为 .
【答案】15
【解析】二项式展开式的通项为（且），
所以展开式中的系数为．
22．已知奇函数，已知时，，则 的值 ．
【答案】
【解析】因为函数是奇函数，所以，所以.
23．如果等边圆柱（即底面直径与母线相等的圆柱）的体积是，那么它的侧面积等于 .
【答案】
【解析】设圆柱的底面圆的半径为，则高为，
故，解得，
所以圆柱的侧面积为.
24.已知双曲线的渐近线方程为，则其离心率为 ；
【答案】
【解析】因为双曲线的渐近线方程为，
所以，所以离心率.
四、解答题（本大题共6小题，25~28小题每小题8分，29~30小题每小题9分，共50分.解答应写出过程或步骤）
25.（本小题满分8分）已知在等差数列中，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和，则当为何值时取得最大，并求出此最大值．
【解】（1）设等差数列的公差为，则，
故，
所以.
（2）由，且，
所以，
故时取得最大，最大值为.
26.（本小题满分8分）在中，角，，所对的边分别为，，，且，，．
(1)求的面积；
(2)求边长及的值．
【解】（1）由，且，
则，
所以．
（2）由，
则，
又，则．
27.（本小题满分8分）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．某学校统计了该校500名学生观看世界杯比赛直播的时长情况（单位：分钟），将所得到的数据分成7组：，，，，，，（观看时长均在内），并根据样本数据绘制如图所示的频率分布直方图．

(1)求的值；
(2)采用分层抽样的方法在观看时长在和的学生中抽取6人，现从这6人中随机抽取2人分享观看感想，求抽取的2人恰好观看时长在的概率．
【解】（1），
解得；
（2）和的频率之比为，
故选取的6人中观看时长在的人数为，设为，
观看时长在的人数为，设为，
则抽取的2人有以下情况，，
，
共15种情况，
其中抽取的2人恰好观看时长在的有，
共6种情况，
故抽取的2人恰好观看时长在的概率为.
28.（本小题满分8分）圆的圆心为，且过点.
(1)求圆的标准方程；
(2)直线与圆交两点，且，求.
【解】（1）设圆的半径为，则，
故圆的标准方程为：；
（2）设圆心到直线的距离为，
则，
由垂径定理得：，
即，解得：或.
29.（本小题满分9分）已知如图所示，是正方形外一点，平面为中点，.
(1)求证：平面；
(2)三棱锥的体积.
【解】（1）连接，交于点，连接，如图，
正方形中，是中点，是中点，
，
平面平面，
平面；
（2）平面为中点，，
到平面的距离，
三棱锥的体积.
30.（本小题满分9分）已知函数
(1)求的值；
(2)当方程有且仅有三个不同的解时，求实数的取值范围.
【解】（1）.
（2）方程有且仅有三个不同的解，即函数的图象与直线的图象仅有三个不同的交点.
作出函数的图象，如图.
由可得：当时，，图像顶点为，
故由图可知，当时，函数的图象与的图象有三个不同的交点，
此时函数有且仅有三个零点，方程有且仅有三个不同的解，实数的取值范围是.2024年陕西省职业学校对口升学高考模拟试题
数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、是非选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，对每小题的命题作出判断，对的选A，错的选B）
1．( A B )
2.的角是周角的，的角是周角的( A B )
3．若集合，则的子集个数为8个( A B )
4．函数的定义域是( A B )
5．若且，则是第二象限角( A B )
6．对于两直线，，有( A B )
7．不等式的解集是( A B )
8．双曲线与 的渐近线相同( A B )
9．若长方体的相邻三个面的面积分别为，则长方体的体积是( A B )
10．直线与椭圆的位置关系是相交( A B )
二、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
11．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
12．“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
13．在中，，且的面积为，则（ ）
A． B．3 C．2 D．
14．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
15．已知抛物线C：，则C的准线方程为（ ）
A． B．
C． D．
16．已知两条不同的直线，及三个不同的平面，，，则下列推理正确的是（ ）
A．，， B．，
C．， D．，
17．已知向量，，则向量，的夹角为（　　）
A． B．
C． D．
18．为了传承和弘扬雷锋精神，凝聚榜样力量．3月5日学雷锋纪念日来临之际，凉山州某中学举办了主题为“传承雷锋精神，践行时代力量”的征文比赛．此次征文共5个题目，每位参赛学生从中随机选取一个题目准备作文，则甲、乙，丙三位同学选到互不相同题目的概率为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
19．
20．已知平面向量，，且，则 .
21．展开式中的系数为 .
22．已知奇函数，已知时，，则 的值 ．
23．如果等边圆柱（即底面直径与母线相等的圆柱）的体积是，那么它的侧面积等于 .
24.已知双曲线的渐近线方程为，则其离心率为 ；
四、解答题（本大题共6小题，25~28小题每小题8分，29~30小题每小题9分，共50分.解答应写出过程或步骤）
25.（本小题满分8分）已知在等差数列中，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和，则当为何值时取得最大，并求出此最大值．
26.（本小题满分8分）在中，角，，所对的边分别为，，，且，，．
(1)求的面积；
(2)求边长及的值．
27.（本小题满分8分）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．某学校统计了该校500名学生观看世界杯比赛直播的时长情况（单位：分钟），将所得到的数据分成7组：，，，，，，（观看时长均在内），并根据样本数据绘制如图所示的频率分布直方图．
(1)求的值；
(2)采用分层抽样的方法在观看时长在和的学生中抽取6人，现从这6人中随机抽取2人分享观看感想，求抽取的2人恰好观看时长在的概率．
28.（本小题满分8分）圆的圆心为，且过点.
(1)求圆的标准方程；
(2)直线与圆交两点，且，求.
29.（本小题满分9分）已知如图所示，是正方形外一点，平面为中点，.
(1)求证：平面；
(2)三棱锥的体积.
30.（本小题满分9分）已知函数
(1)求的值；
(2)当方程有且仅有三个不同的解时，求实数的取值范围.

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