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5.最小公倍数
第四单元 分数的意义和性质
学习目标
重点
掌握求两个数的最小公倍数的方法。
难点
能够求两个数的最小公倍数。
1.理解公倍数、最小公倍数的意义。
2.掌握求两个数的最小公倍数的方法，会求两个数的最小公倍数。
1.什么是倍数？
在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数。
复习引入
2.一个数的倍数有哪些特征？
一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数，
一个数倍数的个数是无限的。
公倍数和最小公倍数的意义
4和6公有的倍数是哪几个？公有的最小倍数是多少？
想一想，怎么求4和6公有的倍数呢？
可以先分别找出4和6的倍数。
1
6，12，18，24，30，36，42 ...
4的倍数有：
6的倍数有：
4，8，12，16，20，24，28，32，36, 40 ...
4和6公有的倍数有：
12，24，36
...
其中，公有的最小倍数是：
12。
4和6的公倍数
4和6的最小公倍数
想一想：4和6有最大公倍数吗？
试着用集合图表示4、6的公倍数。
6的倍数
4的倍数
6，18，30，42，…
4，8，16，
20，28，32，40，…
12，24，36，…
4和6的公倍数
4和6的最小公倍数
还可以这样表示！
想一想：两个数有没有最大的公倍数？
因为两个数的公倍数的个数是无限的，所以没有最大的公倍数，只有最小的公倍数。
做一做
把3和4倍数、公倍数填在相应的位置，并圈出它们的最小公倍数。
3和4的倍数
3的倍数
4的倍数
3、6、9、15、18、21、27、30
4、8、16、20、28
12
24
怎样求6和8的公倍数和最小公倍数？
6的倍数：6，12，18，24，30，36，42，48， …
8的倍数：8，16，24，32，40，48， …
6和8的公倍数有：24，48， …
最小公倍数是：24。
你能想到哪些方法？
你还有其他方法吗？
方法一：列举法
2
8的倍数：8，16，24，32，40，48， …
6和8的公倍数有：24，48， …
最小公倍数是：24。
再从8的倍数中
圈出6的倍数
方法二：筛选法
怎样求6和8的公倍数及最小公倍数？
6 ＝ 2×3
8 ＝ 2×2×2
2
2
公有的质因数
6和8的最小公倍数是2×3×2×2＝24。
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
方法三：
分解质因数法
因此，6和8的最小公倍数是24。
6 8
2
3 4
……同时除以质因数2
……除到两数的商只有公因
数1为止
2×3×4＝24
是除法的计算方法，但省略了竖式除法逐层计算的过程，比长除法短，所以叫做短除法。
方法四：
短除法
我们再找其他的数验证一下吧。
48÷24=2，两个数的公倍数都是最小公倍数的倍数吧？
72 ÷24 ＝3
96 ÷24 ＝4
……
输入标题
9的倍数有哪些？6的倍数有哪些？
9的倍数：9,18,27,36,45,54,63,72,81…
6的倍数：6,12,18,24,30,36,42,48,54,60…
9和6有公有的倍数吗？
输入标题
9的倍数：9,18,27,36,45,54,63,81…
倍数：6,12,18,24,30,36,42,48,54…
9和6公有的倍数：18,36,54…
9和6公有的倍数有无数个。
找一找，9和6公有的倍数。
输入标题
我们还可以用集合圈来表示。
9的倍数
6的倍数
9,27,45,63,81…
6,12,24,30, 42,48…
18,36,54…
公倍数
找出下列每组数的最小公倍数。你发现了什么？
3和6 2和8 5和6 4和9 3和9 5和10
3和6的最小公倍数是6.
2和8的最小公倍数是8.
5和6的最小公倍数是30.
4和9的最小公倍数是36.
3和9的最小公倍数是9.
5和10的最小公倍数是10.
发现一个数是另一个数的倍数，这个数就是这两个数的最小公倍数;两个数互质，那么它们的公倍数就是两个数的乘积.
你知道吗？
我们也可以利用分解质因数的方法，比较简便地求出两个数的最小公倍数。例如：
60 =2×2×3×5
42 =2×3×7
60和42的最小公倍数：
2×3×2×5×7 = 420
60
42
2
30
21
3
10
7
…用公有的质因数2除
…用公有的质因数3除
…除到两个商只有公因
数1为止
60和42的最小公倍数：
2×3×10×7 = 420
为了简便，通常写成右侧的形式。
可记作：[60，42]=420
一种长方形地砖长 3 dm，宽 2 dm。如果用这种地砖铺一个正方形 (用的地砖必须都是整块),正方形的边长可以是多少分米 最小是多少分米
3
请仔细看看装修的要求，你获得了哪些有价值的信息？
①要用这种长是3dm，宽是2dm的墙砖铺一个正方形。
②使用的墙砖必须都是整块的，不能切割开用半块的。
③问题是铺好的正方形的边长可以是多少分米，最小是多少分米？
用长3cm,宽2cm的长方形学具卡片代替墙砖，拼一拼，看一看能拼出边长是多少的正方形？
2×3＝6（dm）
3×2＝6(dm)
方法一：
方法二
2×6＝12（dm）
3×4＝12(dm)
请同学仔细观察各个正方形的边长与每一块砖的长和宽之间有什么关系。
认为铺成正方形的边长有多少种情况 最小是多少分米
正方形的边长是长与宽的公倍数,也就是3与2的公倍数。
只要找出 2 和 3 的公倍数和最小公倍数，就能知道所铺的正方形的边长以及最小边长是多少分米。
2和3的公倍数：3、6、9、12、15、18......
可以铺出边长是 6 dm，12 dm，18dm，··· 的正方形，最小的正方形边长是 6 dm。
在边长是6 dm的正方形上画一画，看我找的对不对。
回顾与反思
解决这个问题的关键是把铺砖问题转化成求公倍数的问题。
6 cm
2 cm
3 cm
在边长为 6 dm 的正方形上画一画，铺满这个正方形正好需要 6 块砖，如图。
如果这些学生的总数的总人数在40人以内，可能是多少人？
6=2x3
9=3x 3
所以6和9的最小公倍数是3x2x3=18
18x2=36
答:如果这些学生人数在40人以内，可能是18人或36人。
参加跳绳比赛的学生分组进行计数，可以6人一组，也可以9人一组，都正好分完。
按照从小到大的顺序，在100以内的数中找出6的倍数和10的倍数，再找出它们的公倍数和最小公倍数。
100以内6的倍数: 6、12、18、24、
30、36、42、48、54、60、66、72、
78、84、90、96;
100以内10的倍数: 10、20、30、40、
50、60、70、80、90、100;
它们的公倍数为30、60、90;
最小公倍数是30。
求下列每组数的最小公倍数。
8和10 6和15 6和9 4和15 1和7 4和10
8＝2×4
10＝2×5
最小公倍数 2×4×5＝40
6＝2×3
15＝5×3
最小公倍数 2×3×5＝30
6＝2×3
9＝3×3
最小公倍数 2×3×3＝18
4 和 15互质数
最小公倍数 4×15＝60
7÷1＝7
最小公倍数 7
4＝2×2
10＝2×5
最小公倍数 2×2×5＝50
下面每组数的公倍数中有没有36？有没有48？有没有84？
6和18 21和14 12和8 9和24
6和18
因为18是6的倍数，所以6和18的最小公倍数是18 ;
36是18的倍数，所以6和18的公倍数有36.
21和14 14=2x7 21=3x7
14和21的最小公倍数是: 2x7x3= 42;84是42的倍数，所以14和21的公倍数有84.
12和8
12=2x2x38
=2x2x2:
所以12和8的最小公倍数是2x2x2x3=24;
48是24的倍数，所以12和8的公倍数有48
9和24 9=3x3 24=2x2x2x3
9和24的最小公倍数是:2x2x2x3x3= 72;
因84不是72的倍数，所以9和24没有公倍数36、48、84
下面的说法正确吗 说一说你的理由。
(1)两个数的最小公倍数-定比这两个数都大。
(2)两个数的积-定是这两个数的公倍数。
(1)说法错误，因为如果一个数是另一个数的倍数，则两个数中较大的数是这两个数的最小公倍数;
(2)说法正确，因为任意两个整数(0除外)的积一定,是这两个数的公倍数。
每只蝴蝶只能落在是自己编号的倍数的花朵上。哪朵花上两只蝴蝶都能停留，就将这朱花涂上颜色。
李阿姨家的月季每4天浇一次水，君子兰每6天浇一次水。李阿姨5月1日给月季和君子兰同时浇了水，下一次再给这两种花同时浇水应是5月几日
4的倍数有: 4, 8, 12.....6的倍数有: 6，1.......4和6的最小公倍数是: 121+12=13(日)
答:下一次再给这两种花同时浇水应是5月13日.
写出每组分数的两个分母的最小倍数。
12
1
6
7
和
（ ）
8
3
3
2
和
（ ）
9
7
16
15
和
（ ）
12
24
18
这两路公共汽车同时发车后，过多少分钟两路车
第二 次同时发车？
6和8的最小公倍数是24，过24分钟两路车第二次同时发车。
3路:每6分钟发一次车
5路:每8分钟发一次车
3路和5路公共汽车的起点站相同。
爸爸、妈妈带着小红和弟弟一起跑步。爸爸每跑一圈用时3分钟，妈妈每跑一圈用时4分钟，小红每跑一圈用时6分钟。
（1）如果爸爸、妈妈同时起跑，至少多少分钟后两人在起点再次相遇？
3和4的最小公倍数是12，
至少12分钟后两人在起点再次相遇。
爸爸：12÷3＝4(圈)，妈妈：12÷4＝3(圈)
答：至少12分钟后两人在起点再次相遇。
此时爸爸、妈妈分别跑了4圈、3圈。
(2)你还能提出其他数学问题并解答吗
如果我、妈妈同时起跑，至少多少分钟后可以在起点再次相遇
4和6的最小公倍数是2x2x3=12
答：至少12分钟后可以再次相遇。
36可能是哪两个数的最小公倍数？你能找出几组？
1和36　 2和36　 3和36　 4和36 　6和36　
9和36　 12和36　18和36　4和18 　9和12
12和18　4和9　
能找出12组。
这节课你们都学会了哪些知识？
1. 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其
中最小的一个公倍数叫做这几个数的最小公倍数。
2.求两个数的最小公倍数的方法：（1）列举法。（2）筛选法。（3）分解质因数法。（4）短除法。
3.解决这类实际问题，要认真分析题意，关键是把实际问题转化成求公倍数和最小公倍数的问题。

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