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第十八章　平行四边形
18.2.1　矩形
第2课时 矩形的判定
一、选择题
1.检查一个门框是否为矩形，下列方法正确的是( )
A.测量两条对角线是否相等 B.测量两条对角线是否互相平分
C.测量两条对角线是否互相垂直 D.测量门框的三个角是否都是直角
2.在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是（　　）
A.AB∥CD B.AD＝BC
C.∠A＝∠B D.∠A＝∠D
3.依据图中所标数据，下列一定为矩形的是（　　）
A.①② B.①③
C.②③ D.③
4．如图，在平行四边形ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是( )
A．OM＝AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND
5．(2023·台湾)如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，过P点作AD的垂线交AD于F点，则EF的长度最小为多少( )
A． B． C．5 D．7
6.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点（P不与点B，C重合），PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF的中点，则AM的取值范围是（　　）
A.≤AM＜4 B.6≤AM＜8
C.≤AM＜8 D.3≤AM＜4
二、填空题
7.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，若再补充一个条件，如∠A＝ 　　 度时，就能推出四边形ABCD是矩形.
8.如图，在四边形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩形，条件是 　 　 （写出一种情况即可）.
9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF的中点，则AM的最小值是　 　.
10.如图，M是矩形ABCD的边AD的中点，P为BC上一点，PE⊥MB，PF⊥MC，当AB，BC满足条件 时，四边形PEMF为矩形．
三、解答题
11. ABCD的对角线AC和BD相交于点O，△OAB是等边三角形.求证： ABCD是矩形.
12.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形.求证：四边形ADBE是矩形.
13.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.
求证：四边形ADCE为矩形.
14.如图，点M在 ABCD的边AD上，BM＝CM，现有以下三个选项：①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4.请从中选择一个合适的选项作为已知条件，使 ABCD为矩形.
（1）你添加的条件是 　　 （填序号）；
（2）添加条件后，请证明 ABCD为矩形.
15.如图，AD和BC相交于点O，∠ABO＝∠DCO＝90°，OB＝OC，E，F分别是AO，DO的中点.
(1)求证：OE＝OF；
(2)当∠A＝30°时，求证：四边形BECF是矩形.
16.已知：如图，BE，BF分别是∠ABC与它的邻补角∠ABD的平分线，AE⊥BE，垂足为E，AF⊥BF，垂足为F，EF分别交边AB，AC于点M和点N.
求证：（1）四边形AFBE是矩形；
（2）MN∥BC.
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参考答案
一、选择题
1.检查一个门框是否为矩形，下列方法正确的是( D )
A.测量两条对角线是否相等 B.测量两条对角线是否互相平分
C.测量两条对角线是否互相垂直 D.测量门框的三个角是否都是直角
2.在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是（　C　）
A.AB∥CD B.AD＝BC
C.∠A＝∠B D.∠A＝∠D
3.依据图中所标数据，下列一定为矩形的是（　C　）
A.①② B.①③
C.②③ D.③
4．如图，在平行四边形ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是( A )
A．OM＝AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND
5．(2023·台湾)如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，过P点作AD的垂线交AD于F点，则EF的长度最小为多少( B )
A． B． C．5 D．7
6.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点（P不与点B，C重合），PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF的中点，则AM的取值范围是（　A　）
A.≤AM＜4 B.6≤AM＜8
C.≤AM＜8 D.3≤AM＜4
二、填空题
7.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，若再补充一个条件，如∠A＝ 　　 度时，就能推出四边形ABCD是矩形.
【答案】90
8.如图，在四边形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩形，条件是 　 　 （写出一种情况即可）.
【答案】∠A＝90°（答案不唯一）
9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF的中点，则AM的最小值是　 　.
【答案】2.4
10.如图，M是矩形ABCD的边AD的中点，P为BC上一点，PE⊥MB，PF⊥MC，当AB，BC满足条件 时，四边形PEMF为矩形．
【答案】BC＝2AB
三、解答题
11. ABCD的对角线AC和BD相交于点O，△OAB是等边三角形.求证： ABCD是矩形.
证明：∵△AOB为等边三角形，
∴OA＝OB.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD.∴OA＝OD.∴AC＝BD.
∴平行四边形ABCD为矩形.
12.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形.求证：四边形ADBE是矩形.
证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC.
∴∠ADB＝90°.
又∵四边形ADBE是平行四边形，
∴四边形ADBE是矩形.
13.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.
求证：四边形ADCE为矩形.
证明：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD.
∴∠ADC＝90°.
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN＝∠CAN.∴∠DAE＝90°.
∵CE⊥AN，∴∠AEC＝90°.∴四边形ADCE为矩形.
14.如图，点M在 ABCD的边AD上，BM＝CM，现有以下三个选项：①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4.请从中选择一个合适的选项作为已知条件，使 ABCD为矩形.
（1）你添加的条件是 　　 （填序号）；
【答案】①
（2）添加条件后，请证明 ABCD为矩形.
解：（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC.
∴∠A＋∠D＝180°.
在△ABM和△DCM中，
AB＝DC，∠1＝∠2，BM＝CM，
∴△ABM≌△DCM（SAS）.∴∠A＝∠D.
∴∠A＝∠D＝90°.
∴ ABCD为矩形.（答案不唯一）
15.如图，AD和BC相交于点O，∠ABO＝∠DCO＝90°，OB＝OC，E，F分别是AO，DO的中点.
(1)求证：OE＝OF；
(2)当∠A＝30°时，求证：四边形BECF是矩形.
证明：(1)证明略.
(2)∵OB＝OC，OE＝OF，
∴四边形BECF是平行四边形.
∵∠A＝30°，∴OB＝＝OE，
∴BC＝EF，
∴平行四边形BECF是矩形.
16.已知：如图，BE，BF分别是∠ABC与它的邻补角∠ABD的平分线，AE⊥BE，垂足为E，AF⊥BF，垂足为F，EF分别交边AB，AC于点M和点N.
求证：（1）四边形AFBE是矩形；
（2）MN∥BC.
证明：（1）∵BE，BF分别是∠ABC
与它的邻补角∠ABD的平分线，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，
∴∠2＋∠3＝90°.即∠EBF＝90°.
∵AE⊥BE，AF⊥BF，
∴∠AFB＝∠AEB＝90°.
∴四边形AFBE为矩形.
证明：（2）∵四边形AFBE为矩形，
∴BM＝MA＝ME.
∴∠2＝∠5.
∵∠2＝∠1，∴∠1∠5.
∴ME∥BC.
即MN∥BC.

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