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2024年四川省广元市利州区九年级二模数学试题
说 明: 1. 全卷满分 150 分，考试时间 120分钟．
2. 本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共三个大题 26 个小题．
第Ⅰ卷 选择题(共30 分)
一、选择题(下列每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的.每小题3 分，共30分)
1. 的绝对值是（ ）
A. B. C. D. 2024
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查绝对值，根据绝对值的性质求解即可．
【详解】解：的绝对值是，
故选：A．
2. 下面四个图标中，属于中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
3. 若关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数c 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据方程有两个不相等的实数根，求解即可；
【详解】关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
解得：，
故选：．
4. 为贯彻落实《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某班组织学生到校园农场开展锄地、除草、剪枝、捉虫、施肥、浇水六项实践活动，已知六个项目的参与人数分别是：12，11，9，13，10，13，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A. 13，11 B. 13，12 C. 12，9 D. 13，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了众数，中位数，掌握一组数据中出现次数最多的数据为众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数是解题的关键．
根据一组数据中出现次数最多的数据为众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数即可得出答案．
【详解】解：将这组数据由小到大排列为：9，10，11，12，13，13，
众数为13，中位数为．
故选：D．
5. 如图，是的直径，C，D是圆上的两点，连接若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识，连接，根据是的直径得到，利用内接四边形的性质得到，最后利用直角三角形两锐角互余，求出即可．
【详解】解：连接，
∵是的直径，
∴，
∵四边形是的内接四边形，，
∴，
∴，
故选：A．
6. 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某公司计划购进A，B两种型号的新能源汽车共3台，据了解，2辆A型和1辆B型汽车的进价共计55万元，2辆 B型和1辆A型汽车的进价共计50万元，若设每辆A型汽车的价格为x万元，每辆B型汽车的价格为y万元，则可列二元一次方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组是解题的关键；根据题目中的等量关系列方程组即可；
【详解】解：由题意得：，
故选：A．
7. 如图，正方形的面积为64，它的对角线与双曲线相交于点D，且，则k的值为（ ）
A. 18 B. 36 C. 24 D. 48
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，相似三角形的判定和性质以及矩形的性质，理解反比例函数系数的几何意义，掌握相似三角形的判定和性质是正确解答的关键．
根据正方形的性质可得，再利用相似三角形的判定和性质可得出，进而求出，再由反比例函数系数的几何意义求出的值即可．
【详解】过点作于E，
∵四边形是正方形，
又
；
故选：B．
8. 如图，在梯形 中，，，， ，点 ，分别为对角线 和边 上的动点，连接 点 在 上以每秒 个单位长度的速度从点 运动到点，在这个过程中始终保持 设的面积为，则与点 的运动时间 的函数关系图象大致可以表示为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，相似三角形的性质与判定，勾股定理，根据已知条件求得，进而证明，根据相似三角形的性质求得，结合函数图象，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作，交的延长线于点，
则四边形是矩形，
∵
∴，，
∵，
∴
在中，，
∴
∵点 在 上以每秒 个单位长度的速度从点 运动到点，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
当时，
观察函数图象，只有D选项符合题意，
故选：D．
9. 如图，阴影部分是由直径为的半圆、扇形、两腰长为4的等腰直角围成的，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了扇形的面积，求不规则图形的面积，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线，分割法求阴影部分的面积是解题的关键；根据阴影部分的面积求解即可；
【详解】连接点B和与圆的交点D，
是直径，
，
是等腰直角三角形，
，，
阴影部分的面积，
故选：．
10. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当时，；②若且，则 ；③若，则④若，连接，点 P 在抛物线的对称轴上，且，则．
其中正确的有（ ）
A. ①③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的性质等等，由抛物线开口向下，对称轴为直线，得到当时，，据此可判断①；根据题意可得直线和直线关于对称轴对称，则，据此可判断②；先由对称轴公式得到，再由，得到，点B的坐标为，把代入抛物线解析式中求出，则点B的坐标为，据此可判断③；先求出，设，利用勾股定理得到，则，解得，据此可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，，
∴当时，，即，故①正确；
当且时，则直线和直线关于对称轴对称，
∴，故②错误；
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点B的坐标为，
把代入抛物线解析式中得，
∴，
∴，
∴点B的坐标为，
∴，故③正确；
∵，
∴，
设，
∴，，
，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，故④正确；
故选：A．
第Ⅱ卷 非选择题(共 120 分)
二、填空题(每小题4分，共 24分)
11. 年 1 月 1 日，我国自主三代核电“华龙一号”福清6号机组首次并网成功，每台“华龙一号”机组装机容量万千瓦，年发电能力相当于每年减少二氧化碳排放 吨．数据用科学记数法表示为_________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
科学记数法的表示形式为的形式，先确定的值，再找出的值，就可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 若 在实数范围内有意义，则 x的取值范围是__________．
【答案】且
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于，分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
∴且，
故答案为：且．
13. 一个不透明的布袋里装有 10个只有颜色不同的球，其中5个白球，3个红球，2个黄球，从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根据概率公式求概率，掌握概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键；直接由概率公式求解即可
【详解】由题意知，所有等可能的情况共有10种，其中摸到红球的情况有3种，
从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率是；
故答案为：．
14. 如图，在 中，，，且，将 绕边所在的直线旋转一周形成圆锥甲，再将绕边所在的直线旋转一周形成圆锥乙，记两个圆锥的全面积分别为，，则 ， 的大小关系为_________．(选填“”“”或“”)
【答案】>
【解析】
【分析】本题考查了求圆锥的侧面积，解题的关键是圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长；根据扇形的面积公式，分别求出甲乙的全面积，再由作差法比较大小即可比较出大小．
【详解】解：在中，，
，
，
，
故答案为：．
15. 如图，A，B是反比例函数 的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是1和4，点C是x轴负半轴上一点，且其横坐标是方程的一个根，则的面积是_________．
【答案】21
【解析】
【分析】本题考查了反比例与几何的综合．解一元二次方程求得，求得点C的坐标为，利用，列式计算即可求解．
【详解】解：作轴，轴，垂足分别，如图，
解方程，得或，
∵点C是x轴负半轴上一点，∴点C的坐标为，
当时，；当时，；
∴，，，，，∴
．
故答案为：21．
16. 如图，在正方形 中，E，H 分别为边，上的点，连接 ，，，在 的延长线上取一点F，连接 ，是以点E 为直角顶点的等腰直角三角形，则下列结论:；；；当时，．其中正确结论的序号是________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，恰当添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
将绕点B逆时针旋转，得到，证明，即可得出，可判断正确；过点F作，交延长线于M，证明，得，，从而可证明是等腰直角三角形，得，则，可判断正确；由勾股定理得，可判断正确；求得，得出，可判断正确．
【详解】解：正方形，
，，
将绕点B逆时针旋转，得到，如图：
由旋转可得：，，，，
，
P、A、E三点共线，即，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
故正确；
过点F作，交延长线与M，如图：
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，即，
，
是等腰直角三角形，
，
，
故正确；
是等腰直角三角形，
，
由勾股定理得：，
故正确；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故正确；
故答案为：．
三、解答题(要求写出必要的解答步骤或证明过程，共 96分)
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，实数的运算，先计算特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再根据实数的运算法则求解即可．
【详解】解：
．
18. 先化简再求值： ，其 中 x，y 满 足
【答案】，
【解析】
【分析】题目主要考查整式的化简求值及绝对值及平方的非负性，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
先去括号，然后合并同类项即可；再由绝对值及平方的非负性确定，，代入求解即可．
【详解】解：
=
=，
∵，且，，
∴，
∴，，
原式=．
19. 如图，在中， 是 的中点，延长 到点 ，使 ，过点 作 于点 ，连接 ，．
（1）求证∶ ；
（2）若 求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，解直角三角形，等边三角形的性质与判定；
（1）根据四边形是平行四边形，得，，根据F是AD的中点，，判定四边形是平行四边形，即可证明；
（2）根据已知得出，根据已知条件得出，进而根据，得出，可得是等边三角形，即可求解．
【小问1详解】
四边形是平行四边形，
，，
又是的中点，
，
，则
，
又，
四边形是平行四边形，
∴．
【小问2详解】
∵四边形平行四边形
∴，
∵
∴，
∵
∴
又∵, ，
∴
∴
∵，
∴
∵，
∴
∴
∴是等边三角形，
∴．
20. 如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于，B两点， 过点 B 作 轴于点 D， ，过点 A 作轴于点C．
（1）求b的值及点B 的坐标；
（2）观察图象，当反比例函数的值小于一次函数的值时，直接写出x的取值范围；
（3）点 P 在线段 上，连接，，若 ，求点 P 的坐标．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合问题，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键．
（1）根据已知条件把代入一次函数和反比例函数中，即可得出b和m 的值，再根据题意得出B点的横坐标代入反比例函数中即可得解；
（2）根据反比例函数的值小于一次函数的值，得出反比例函数的图象应在一次函数的图象下方，观察图象即可得x的取值范围；
（3）根据题意和（1）得出的长，设 ，求出和，再根据，得出关于t的方程，解出t的值，代入即可得出答案．
【小问1详解】
解：一次函数 与反比例函数 的图象交于，
把代入一次函数和反比例函数中，得，，
一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，
过点 B 作 轴于点 D， ，
点B的横坐标，代入中，得：，
；
【小问2详解】
解：反比例函数的值小于一次函数的值，
反比例函数的图象应在一次函数的图象下方，
观察图象可得x的取值范围为；
【小问3详解】
解：轴于点C，轴于点 D，，，
，，
，
P是线段上的一点，
设，
，
，
，
，
，
，
，
．
21. 为落实“双减提质增效”，某县拟开展“双减”背景下的课外体育活动的情况调查．现随机抽取若干名七年级学生，对他们所参加的课外体育活动进行调查(假设每名学生只参加一项课外体育活动)，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
A：篮球B：羽毛球C：乒乓球D：跳绳E：足球
根据以上信息，解答下列问题：
（1）参与此次抽样调查的学生共 人，补全统计图1(要求在条形图上方注明人数)；
（2）若参加课外体育活动的七年级学生共有600人，估计其中“跳绳”项目的学生有多少人；
（3）计划在A，B，C，D，E五项活动中随机选取两项作为全县的推荐项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中B，E这两项活动的概率．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查扇形统计图、条形统计图，列表法或树状图法求简单随机事件的概率，理解条形统计图、扇形统计图中数量之间的关系以及列举出所有可能出现的结果是正确解答的前提．
（1）从两个统计图中可得样本中选择“C”的有36人，占调查人数的，选择“”的有人，根据频率=频数即可求出答案，进而补全条形统计图；
（2）求出样本中参与“D、跳绳”所占的百分比，进而估计总体中“D、跳绳”的百分比，求出相应人数即可；
（3）用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率即可．
【小问1详解】
解：调查学生总数为(人)，
选择“C”的有(人)，
选择“”的有(人)，
故答案为：120，补全统计图如下：
【小问2详解】
(人)，
答：参加成果展示活动的600名学生中，其中“跳绳”项目的学生大约有30人；
小问3详解】
在五项活动中随机选取两项，所有可能出现的结果如下：
A B C D E
A
B
C
D
E
共有20种可能出现的结果，其中恰好选中这两项活动的有2种，
所以恰好选中这两项活动的概率为．
22. 某老师布置了测量某雕塑(示意图如图所示)高度的数学活动.某学生先在点 C 处用测角仪测得其顶端 A 的仰角为，再由C向底座走m到点E处，测得顶端A的仰角为 ，已知 B，E，C 三点在同一水平直线上，测角仪离地面的高度 ，求该雕塑的高．(结果保留一位小数)(参考数据：)
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的应用，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
如图，延长交于M，由题意可得： 所以四边形四边形，四边形，四边形都为矩形；设，再表示，再利用锐角的正切建立方程，解方程即可．
【详解】解：如图，延长交于M，由题意可得：
所以四边形，四边形，四边形都为矩形；
设，而，
由
解得：，
所以
答：城徽的高AB约为米．
23. 如图，以 的边为直径作，交 BC于点D，过点 D作的切线，交于点F，且 ，延长交于点E，连接．
（1）求证:
（2）若 ，求的半径.
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据已知可得，则，又，等量代换得出，即可证明；
（2）过点作于，设，证明四边形为矩形，在中，，列方程并解方程，即可求解．
【小问1详解】
证明：连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：过点作于，设，
过圆心，
，
，，
，
四边形为矩形，
，
在中，，
即
，
．
∴，
即的半径为5.
【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定，矩形的判定与性质及勾股定理应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．
24. 某商场销售一种商品的进价为 30 元/件，连续销售 90 天后，统计发现：在这90 天内，该商品每天的销售价格x(元/件)与时间 t(第t天)之间满足如图所示的函数关系，该商品的日销售量y(件)与时间t(第t天)之间满足一次函数
（1）求 x与t 之间的函数解析式；
（2）设销售该商品的日利润为 w(元)，求在这90天内哪天的日利润最大，最大日利润是多少元．
【答案】（1）
（2）第60 天的日利润最大，最大利润为 6300 元
【解析】
【分析】本题考查一次函数解决销售利润问题，二次函数解决销售利润问题；
（1）根据函数图像利用待定系数法可直接得到答案；
（2）根据利润利润单价数量，写出函数关系式，再根据函数的性质可直接得到答案．
【小问1详解】
解：当时，设函数解析式为：，
由图像可得，函数经过，，将点代入解析式得，
，
解得：，
∴，
当时，此时，
∴；
【小问2详解】
解：由题意可得，
①当时，
，
∵，，
∴当时，w最大，
，
②当时，
，
∵，
∴y随x增大而减小，
∴当时，w最大，
∴，
综上所述：当时，w最大，；
答：第60天的日利润最大，最大利润为6300 元．
25. 【问题提出】
小明、小强、小东三人兴趣小组在研究等边三角形时，小明提出了一个猜想：等边三角形内一点到三角形三个顶点的长度确定时，这点与三顶点连线构成的角的度数也就随之确定．
【问题解决】
（1）如图1，点 P 是等边 内的一点， 小强将绕点B逆时针旋转，得到，连接，从而求出的度数．请你写出小强的求解过程．
【问题延伸】
（2）在研究中，小东又提出一个猜想：当点在等边三角形外与三顶点距离确定时，这点与三顶点连线构成的角的度数也会随之确定．如图2， 求 的度数．
【拓展应用】
（3）如图 3，在正方形 内有一点P， 求 的度数．
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
【分析】（1）由题意得，，，，则为等边三角形，得到，，利用勾股定理判定为直角三角形，，结合即可．
（2）将绕点B逆时针旋转得到，则，，，，判定为等边三角形，且，，判定为直角三角形，，结合即可．
（3）将绕点B逆时针旋转得到，则，，，，判定为等腰直角三角形，则，，利用勾股定理求得，进一步判定为直角三角形，，结合．
【详解】解：（1）绕点B逆时针旋转得到，
∴，，，，
∴为等边三角形，
∴，，
又∵，，，
∴，，
∵，
∴为直角三角形，，
∴．
（2）将绕点B逆时针旋转得到，如图，
则，，，，
∴为等边三角形，
∴，，
又∵，，，
∴，，
∵，
∴为直角三角形，，
∴．
（3）将绕点B逆时针旋转得到，如图，
则，，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∵
∴
又∵
∴，，
∵，
∴为直角三角形，，
∴．
【点睛】本题主要考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理以及等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是根据已知找到旋转的角度以及数量掌握旋转的性质．
26. 如图1，二次函数的图象与x轴交于点．，与y轴交于点
（1）求二次函数的解析式．
（2）点P为抛物线上一动点．
①如图2，连接，若点P在直线下方的抛物线上，连接，与交于点E，求的最小值；
②如图3，过点C作x轴的平行线与抛物线交于另一点D，连接，当时，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）；或
【解析】
【分析】本题考查二次函数综合问题，主要有待定系数法求解析式，动点围成三角形面积问题及线段问题，解题的关键是根据题意列出函数根据函数性质求解．
（1）将，代入解析式即可得到答案；
（2）①过点作轴平行线与交于点，设点则点根据平行得到，表示出，利用函数的性质即可得到答案．
②根据得到点到直线的距离是点到直线距离的3倍，求出直线的解析式，过点作的平行线与轴交于点，设直线的解析式为：，根据点坐标求出点，直线解出的解析式，根据平移规律即可得到答案；
【小问1详解】
解：的图象与轴交于点，与轴交于点
解得
故：
【小问2详解】
①如图1，过点作轴的平行线与交于点，
，
故直线所在的直线方程为
设点则点
轴，
∵点在直线下方的抛物线上，
∴当时，最小，最小为，
②
∴点到直线的距离是点到直线距离的3倍，
如图2，过点作的平行线与轴交于点．
∵直线的解析式为
∴设直线的解析式为
轴，
．
∵点在直线上，
．
∴直线的解析式为
∴直线可以看作是将直线向下平移2个单位长度得到的，将直线向上平移6个单位长度得到直线，则它与抛物线的交点就是满足条件的点
解得
∴点的坐标为或2024年四川省广元市利州区九年级二模数学试题
说 明: 1. 全卷满分 150 分，考试时间 120分钟．
2. 本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共三个大题 26 个小题．
第Ⅰ卷 选择题(共30 分)
一、选择题(下列每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的.每小题3 分，共30分)
1. 的绝对值是（ ）
A. B. C. D. 2024
2. 下面四个图标中，属于中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 若关于 x 一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数c 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
4. 为贯彻落实《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某班组织学生到校园农场开展锄地、除草、剪枝、捉虫、施肥、浇水六项实践活动，已知六个项目的参与人数分别是：12，11，9，13，10，13，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A. 13，11 B. 13，12 C. 12，9 D. 13，
5. 如图，是的直径，C，D是圆上的两点，连接若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
6. 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某公司计划购进A，B两种型号的新能源汽车共3台，据了解，2辆A型和1辆B型汽车的进价共计55万元，2辆 B型和1辆A型汽车的进价共计50万元，若设每辆A型汽车的价格为x万元，每辆B型汽车的价格为y万元，则可列二元一次方程组为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，正方形的面积为64，它的对角线与双曲线相交于点D，且，则k的值为（ ）
A. 18 B. 36 C. 24 D. 48
8. 如图，在梯形 中，，，， ，点 ，分别为对角线 和边 上的动点，连接 点 在 上以每秒 个单位长度的速度从点 运动到点，在这个过程中始终保持 设的面积为，则与点 的运动时间 的函数关系图象大致可以表示为( )
A. B. C. D.
9. 如图，阴影部分是由直径为半圆、扇形、两腰长为4的等腰直角围成的，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当时，；②若且，则 ；③若，则④若，连接，点 P 在抛物线的对称轴上，且，则．
其中正确的有（ ）
A. ①③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④
第Ⅱ卷 非选择题(共 120 分)
二、填空题(每小题4分，共 24分)
11. 年 1 月 1 日，我国自主三代核电“华龙一号”福清6号机组首次并网成功，每台“华龙一号”机组装机容量万千瓦，年发电能力相当于每年减少二氧化碳排放 吨．数据用科学记数法表示为_________．
12. 若 在实数范围内有意义，则 x的取值范围是__________．
13. 一个不透明的布袋里装有 10个只有颜色不同的球，其中5个白球，3个红球，2个黄球，从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率是__________．
14. 如图，在 中，，，且，将 绕边所在的直线旋转一周形成圆锥甲，再将绕边所在的直线旋转一周形成圆锥乙，记两个圆锥的全面积分别为，，则 ， 的大小关系为_________．(选填“”“”或“”)
15. 如图，A，B是反比例函数 的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是1和4，点C是x轴负半轴上一点，且其横坐标是方程的一个根，则的面积是_________．
16. 如图，在正方形 中，E，H 分别为边，上的点，连接 ，，，在 的延长线上取一点F，连接 ，是以点E 为直角顶点的等腰直角三角形，则下列结论:；；；当时，．其中正确结论的序号是________.
三、解答题(要求写出必要的解答步骤或证明过程，共 96分)
17. 计算：．
18. 先化简再求值： ，其 中 x，y 满 足
19. 如图，在中， 是 中点，延长 到点 ，使 ，过点 作 于点 ，连接 ，．
（1）求证∶ ；
（2）若 求 的长．
20. 如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于，B两点， 过点 B 作 轴于点 D， ，过点 A 作轴于点C．
（1）求b的值及点B 的坐标；
（2）观察图象，当反比例函数的值小于一次函数的值时，直接写出x的取值范围；
（3）点 P 在线段 上，连接，，若 ，求点 P 的坐标．
21. 为落实“双减提质增效”，某县拟开展“双减”背景下的课外体育活动的情况调查．现随机抽取若干名七年级学生，对他们所参加的课外体育活动进行调查(假设每名学生只参加一项课外体育活动)，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
A：篮球B：羽毛球C：乒乓球D：跳绳E：足球
根据以上信息，解答下列问题：
（1）参与此次抽样调查的学生共 人，补全统计图1(要求在条形图上方注明人数)；
（2）若参加课外体育活动的七年级学生共有600人，估计其中“跳绳”项目的学生有多少人；
（3）计划在A，B，C，D，E五项活动中随机选取两项作为全县的推荐项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中B，E这两项活动的概率．
22. 某老师布置了测量某雕塑(示意图如图所示)高度的数学活动.某学生先在点 C 处用测角仪测得其顶端 A 的仰角为，再由C向底座走m到点E处，测得顶端A的仰角为 ，已知 B，E，C 三点在同一水平直线上，测角仪离地面的高度 ，求该雕塑的高．(结果保留一位小数)(参考数据：)
23. 如图，以 的边为直径作，交 BC于点D，过点 D作的切线，交于点F，且 ，延长交于点E，连接．
（1）求证:
（2）若 ，求的半径.
24. 某商场销售的一种商品的进价为 30 元/件，连续销售 90 天后，统计发现：在这90 天内，该商品每天的销售价格x(元/件)与时间 t(第t天)之间满足如图所示的函数关系，该商品的日销售量y(件)与时间t(第t天)之间满足一次函数
（1）求 x与t 之间的函数解析式；
（2）设销售该商品的日利润为 w(元)，求在这90天内哪天的日利润最大，最大日利润是多少元．
25. 【问题提出】
小明、小强、小东三人兴趣小组在研究等边三角形时，小明提出了一个猜想：等边三角形内一点到三角形三个顶点的长度确定时，这点与三顶点连线构成的角的度数也就随之确定．
【问题解决】
（1）如图1，点 P 是等边 内一点， 小强将绕点B逆时针旋转，得到，连接，从而求出的度数．请你写出小强的求解过程．
【问题延伸】
（2）在研究中，小东又提出一个猜想：当点在等边三角形外与三顶点距离确定时，这点与三顶点连线构成的角的度数也会随之确定．如图2， 求 的度数．
【拓展应用】
（3）如图 3，在正方形 内有一点P， 求 的度数．
26. 如图1，二次函数的图象与x轴交于点．，与y轴交于点
（1）求二次函数的解析式．
（2）点P为抛物线上一动点．
①如图2，连接，若点P在直线下方的抛物线上，连接，与交于点E，求的最小值；
②如图3，过点C作x轴平行线与抛物线交于另一点D，连接，当时，求点P的坐标．

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