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第十五章 三铰拱
知识目标：
了解拱的受力特点
掌握三铰拱的内力计算方法
了解合理拱轴线的概念及几种常见的合理拱轴线
能熟练计算三铰拱的内力并选择合理拱轴线
能力目标：
第十五章
三铰拱的支座反力和内力计算
第二节
三铰拱的受力特点
第一节
三铰拱压力线及合理拱轴线
第三节
第一节
三铰拱的受力特点
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第一节 三铰拱的受力特点
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　　在竖向荷载作用下，会产生水平反力的曲杆结构称为拱。拱是一种重要的结构形式，在房屋建筑、桥涵建筑、水工建筑中应用比较广泛。拱根据支承和连接形式的不同，可以分为三种，如图15-1所示。其中，无铰拱和两铰拱属于超静定拱，三铰拱则属于静定拱。本章只讨论三铰拱。
图15-1
第一节 三铰拱的受力特点
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　　拱和梁的主要区别是拱在竖向荷载作用下会产生水平反力。这种水平反力指向内侧，故又称为推力。由于推力的存在，拱的弯矩与跨度、荷载相同的梁相比较要小的多，且主要承受压力，因此更能发挥材料的作用，并能利用抗拉性能较差而抗压性能较强的材料如砖、石、混凝土等来建造，这是拱的主要优点。而拱的主要缺点也正在于支座要承受水平推力，因而要求比梁要具有更为坚固的基础或支承结构（墙、柱、墩、台等）。可见，推力的存在与否是区别拱与梁的主要标志。
第一节 三铰拱的受力特点
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　　如图15-4所示为三铰拱。拱身各横截面形心的连线称为拱轴线；拱的两端支座处称为拱趾；两拱趾间的水平距离称为拱的跨度；两拱趾的连线称为起拱线；拱顶至起拱线之间的竖直距离称为拱高；
拱高与跨度之比称为高跨比
或矢跨比；拱轴上距起拱线
最远的一点称为拱顶。三铰
拱通常在拱顶处设置铰。两
拱趾在同一水平线上的拱称
为平拱，不在同一水平线上
的拱称为斜拱。
图15-4
第二节
三铰拱的支座反力和内力的计算
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一、支座反力的计算
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　　三铰拱是由两根曲杆与地基之间按三刚片规则组成的静定结构，其未知反力计算方法与三铰刚架相似，除了取全拱为隔离体可建立三个平衡方程外，还必须取左半拱（或右半拱）为隔离体，并以中间铰C为矩心，根据平衡条件（　　　　）建立一个平衡方程，从而求出所有的反力。如图15-5所示 , 三铰拱与同跨度、同荷载的相应简支梁的支座反力关系为：
（15-1）
一、支座反力的计算
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　　由式（15-1）可知，推力FH等于相应简支梁截面C的弯矩MC0除以拱高 f 。当荷载和跨度 l 一定时，MC0即为定值，当拱高f亦给定时，FH值即可确定。这表明三铰拱的反力与荷载及三个铰的位置有关，而与各铰间的拱轴线形状无关。当荷载与拱跨 l 不变时，推力FH与拱高 f 成反比，f 愈大即拱愈陡时FH愈小；反之，f 愈小即拱愈平时FH愈大，f0=0则FH=0，此时三个铰在同一直线上，是瞬变体系。
一、支座反力的计算
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图15-5
二、内力的计算
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　　三铰拱的内力计算方法仍然采用截面法。要注意的是，由于拱轴线是曲线，所取截面应与拱轴线相垂直。如图15-6（a）所示，任一横截面K的位置取决于该截面形心的坐标n、t以及该截面与n坐标轴的倾角φK。这三个坐标由拱轴方程t= f(n)确定。任一截面K的内力可分解为弯矩MK、剪力FSK和轴力FNK，其中FSK沿着截面，FNK垂直于截面。下面我们研究任一横截面K的内力计算方法。
　　1.弯矩的计算
　　弯矩的正负号规定是以使拱内侧纤维受拉为正，反之为负。
　　即拱内任一截面的弯矩等于相应简支梁对应截面的弯矩减去由于拱的水平推力所引起的弯矩。所以，由于水平推力FN的存在，三铰拱的任一截面弯矩MK总是小于对应简支梁的弯矩MK0。
二、内力的计算
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图15-6
二、内力的计算
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　　2.剪力的计算
　　剪力的正负号规定是以使隔离体顺时针转动为正，反之为负。
　　3.轴力的计算
　　因拱的轴力通常为压力，所以轴力正负号规定为受压为正，受拉为负。
　　三铰拱的内力值不但与荷载及三个铰的位置有关，而且与各铰间拱轴线的形状有关。需要指出的是，式中φK的正负号在图示坐标中左半拱取正，右半拱取负。
即
即
三、内力图的绘制
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　　绘制内力图的一般步骤为：
　　（1）求反力：同简支梁反力的求解。
　　（2）分段：凡外力不连续点均应作为分段点；同时，为了绘制内力图将拱轴线沿水平方向等分。
　　（3）定点：将分段点各截面上的内力值用截面法求出，并在内力图上用竖标绘出。
　　（4）连线：根据各段的内力图形状，将其控制点以直线或曲线相连绘出内力图。
三、内力图的绘制
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　　【例15-1】已知拱轴线为抛物
线，其方程为y=4fx(l－x)/l2，试
绘制图15-7所示三铰拱的内力图。
　　解：（1）求支座反力
　　根据公式（15-1）可得
　　（2）绘制内力图
　　为了绘制内力图，将拱轴线沿水平方向分为八等分，计算各等分点截面的内力值。
图15-7
三、内力图的绘制
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图15-7
　　现以距左支座2m的截面为例，说明计算步骤。
　　首先，将l=8m及f=4m代入拱轴方程，有
　　截面横坐标x=2m，代入以上二式可得
三、内力图的绘制
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由公式（15-2）可得
　　其它各截面的计算与上相同。为清楚起见，列表计算（表15-1）。
　　然后，根据表中结果绘出内力图，如图15-7所示。
三、内力图的绘制
截面几何参数 FS kN 弯矩(kN﹒m) 剪力(kN) 轴力(kN)
x(m) y(m) M0 -FNy M FS FN
0 0 1 0.707 0.707 35 0 0 0 28.7 -21.2 3.6 24.8 21.2 46
1 1.75 0.75 0.600 0.800 25 60 -52.5 7.5 20 -18 2 15 24 39
2 3.00 0.50 0.447 0.894 15 100 -90 10 13.4 -13.4 0 6.7 26.8 33.5
3 3.75 0.25 0.243 0.970 5 120 -112.5 7.5 4.9 -7.3 -2.5 1.2 29.1 30.3
4 4.00 0 0 1 -5 120 -120 0 -5 0 -5 0 30 30
5 3.75 -0.25 -0.243 0.970 -5 110 -112.5 -5 -4.9 7.3 2.5 1.2 29.1 30.3
-5 -4.5 9 2.25 29
6 3.00 -0.50 -0.447 0.894 100 -90 10 13.4 26.8
-25 -22.3 -9 11.2 38
7 1.75 -0.75 -0.600 0.800 -25 50 -52.5 -2.5 -20 18 -2 15 24 39
8 0 -1 -0.707 0.707 -25 0 0 0 -17.7 21.2 3.5 17.7 21.2 38.9
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表15-1 三铰拱的内力计算
第三节
三铰拱压力线及合理拱轴线
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一、压力线及合理拱轴线的概念
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　　1. 压力线的概念
　　由静力学可知，三铰拱任意截面上的三个内力分量MK、FSK、FNK可以合成为一个合力FRK。因为拱截面上的轴力通常为压力，所以合力FRK称为该截面的总压力。三铰拱各截面总压力作用点的连线，称为三铰拱的压力线。
一、压力线及合理拱轴线的概念
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　　2. 合理拱轴线的概念
　　对于三铰拱来说，当荷载及三个铰的位置确定时，三铰拱的反力就可以确定，而与各铰间拱轴线形状无关；三铰拱的内力则与拱轴线形状有关。在一般情况下，截面上同时有弯矩、剪力、轴力的作用。轴力使得截面上产生均匀的正应力，但弯矩则产生不均匀的正应力，于是截面处于偏心受压状态，截面上的正应力分布不均匀。截面上的弯矩越小，截面的受压状态越均匀。当拱上所有截面的弯矩都等于零而只有轴力时，截面上的正应力是均匀分布的，材料能得以最充分的利用。单从力学的观点看，在给定荷载作用下，可以选择一条适当的拱轴线，使拱上各截面只承受轴力，而弯矩为零。这样的拱轴线就称为合理拱轴线。
一、压力线及合理拱轴线的概念
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　　合理拱轴线可根据弯矩为零的条件来确定。
　　三铰拱在竖向荷载作用下合理拱轴线的一般方程为：
　　它表明，在竖向荷载作用下，三铰拱合理拱轴线的纵坐标y与相应简支梁弯矩图的竖坐标成正比。当荷载已知时，只需求出相应简支梁的弯矩方程，然后除以常数，便得到合理拱轴线方程。
（15-3）
二、几种常见的合理拱轴线
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　　1. 竖向均布荷载作用下三铰拱的合理拱轴线
　　如图15-8（a）所示的三铰拱，跨度为l，拱高为f，当受到满跨竖向均布荷载q的作用时其合理拱轴线为抛物线,其合理拱轴线方程为
　　由此可证明，三铰拱在竖向均布荷载作用下合理拱轴线为抛物线。
图15-8
二、几种常见的合理拱轴线
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　　2. 填料荷载作用下三铰拱的合理拱轴线
　　如图15-9所示荷载相当于拱上填料，所以称为填料荷载。设填料沿拱高方向的单位重为γ，拱顶处的荷载集度为qc，则拱上任意截面的竖向分布荷载集度为：q= qc+γ·y。
　　可以推断出三铰拱在
填料荷载作用下合理拱轴
线为悬链线，其合理拱轴
线方程为：
图15-9
二、几种常见的合理拱轴线
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　　3. 径向均布荷载作用下三铰拱的合理拱轴线
　　三铰拱在径向均布荷载作用下合理拱轴线为圆弧线，高压隧道、地下输送管道及拱坎中常采用圆弧线形拱。
本 章 小 结 ：
本章主要介绍了拱的受力特点、三铰拱的内力计算方法、合理拱轴线的概念及几种常见的合理拱轴线等内容。
1.在竖向荷载作用下，会产生水平反力的曲杆结构称为拱。
拱和曲梁的主要区别是拱在竖向荷载作用下会产生水平反力。
2.三铰拱的内力值不但与荷载及三个铰的位置有关，而且与各铰间拱轴线的形状有关。
3.在给定荷载作用下，选择一条适当的拱轴线，使拱上各截面只承受轴力，而弯矩为零。这样的拱轴线就称为合理拱轴线。
4.当受到满跨竖向均布荷载的作用时其合理拱轴线为抛物线。

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