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第十七章　
静定结构的位移计算
知识目标：
理解虚功的概念
了解变形体系的虚功原理及位移计算的一般公式
掌握单位荷载法
熟练掌握图乘法
了解弹性结构的四个互等定理
能力目标：
能够建立虚拟状态
能够熟练运用单位荷载法计算静定结构在荷载作用下的位移
熟练掌握用图乘法计算梁和刚架在荷载作用下的位移
能够用单位荷载法计算静定结构在温度改变、制造误差、支座位移等因素作用下的位移
第十七章
虚功原理及虚功方程
第二节
结构位移概述
第一节
单位荷载法
第三节
温度改变、制造误差、支座位移引起的结构位移计算
第五节
弹性结构的互等定理
第六节
静定结构在荷载作用下的位移计算
第四节
第五节
温度改变、制造误差、支座位移
引起的结构位移计算
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一、温度改变引起的位移
　 　所谓温度改变是指相对于结构建造时期的施工温度所发生的温度改变量。
静定结构由于温度改变所引起的位移的计算公式为：
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（17-18）
若各杆沿其全长的温度变化相同且均为等截面杆，则有
（17-19）
在应用公式（17-18）和（17-19）时，要注意等式的右边是内力虚功，各项的正负号规定与功的正负号规定相同，即当虚拟状态的内力方向与实际状态的温度变形方向一致时内力虚功取正号，相反时取负号。在实际计算中，可采用比较实际状态和虚拟状态变形方向来确定正负号：若二者方向一致则取正号，相反则取负号。
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与承受荷载时的情况不同，在计算梁、刚架、拱由于温度改变所引起的位移时，不能略去轴向变形的影响，应采用公式（17-18）或（17-19），而桁架由于温度改变所引起的位移计算公式则可简化为
组合结构由于温度改变所引起的位移计算公式为
（17-20）
（17-21）
式中右边第一项只对组合结构中的二力杆（即链杆）求和，第二、三项只对组合结构中的梁式杆求和。
一、温度改变引起的位移
　　【例17-13】如图17-34（a）所示刚架施工时的温度为20℃，试计算冬季当外侧温度为-10℃、内侧温度为0℃时A点的水平位移ΔAH。已知l=4m，α=10-5，各杆均为矩形截面，截面高度h=400mm。
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解：结构外侧温度变化为t1=－10－20=－30℃，内则温度变化为t2=0－20=－20℃，故有
℃（降温）；
℃（外低内高）
在A点施加水平单位力，建立虚拟状态如图17-34（b）所示，分别画出其 图和 图如图17-34（c）、（d）所示。
AB段： ， ；
AC段： ， ；
将上述计算结果代入公式（17-19），并注意确定正负号，可得
（→）
一、温度改变引起的位移
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图17-34
（a）实际状态
（b）虚拟状态
（c） 图
（d） 图
一、温度改变引起的位移
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二、制造误差引起的位移
静定桁架由于制造误差引起的位移的计算公式为
（17-22）
【例17-14】 已知如图17-35（a）所示桁架结构中各杆制造误差如下表所示，求由此引起的桁架装配后结点F的水平位移ΔFH。
杆件名称 AB AE DE BE CE EF
制造误差（cm） 1 -0.6 -0.5 0.5 1 0.8
解：（1）建立虚拟状态如图17-35（b）所示。
（2）计算 ：
（3）代入式（17-22）计算指定位移：
图17-35
（a）
（b）
　　静定结构在发生支座位移时的位移计算公式为
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三、支座位移引起的结构位移
（17-23）
计算时注意“ ·c ”为反力虚功，当 与c方向一致时乘积取正号，方向相反时取负号。此外，公式（17-23）右边的总和号前面还有一个负号，系公式推导过程中移项所得，不可漏掉。
【例17-15】 如图17-36（a）所示的静定平面刚架发生了图中虚线所示的支座位移，已知a=1.0cm，b=1.5cm。试求C点的水平位移ΔCH、竖向位移ΔCV及其总位移ΔC。
解： （1）计算C点的水平位移
①建立虚拟状态（一）如图17-36（b）所示。
②画出图17-36（b）所示结构的受力图如图17-36（c）所示，利用静力平衡条件可求得其支座反力分别为
（→）， （↑）， （↓）；
③与各支座反力对应的支座位移为：cAH=1.0cm（→），cAV=1.5cm（↓），cBV=0
④代入公式（17-23）可得 ：
（←）
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（2） 计算C点的竖向位移
①建立虚拟状态（二）如图17-36（d）所示。
②画出图17-36（d）所示结构的受力图如图17-36（e）所示，利用静力平衡条件可求得其支座反力分别为
， （↓）， ；
③与各支座反力对应的支座位移为：
cAH=1.0cm（→），cAV=1.5cm（↓），cBV=0；
④代入公式（17-23）可得 ：
（↓）
（3）计算C点的总位移
如图17-36（a）所示C点的总位移，由勾股定理可得
（↙）
二、制造误差引起的位移
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　图17-36
（a） （b）虚拟状态（一） （c）
（ d）虚拟状态（二） （ e） （ f ）
二、制造误差引起的位移
第六节
弹性结构的互等定理
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一、功的互等定理
第一状态外力在第二状态相应位移上所做的虚功等于第二状态外力在第一状态相应位移上所做的虚功，我们称这个结论为功的互等定理。它适用于任何形式的弹性结构。如图17-38所示。
W12=W21 （17-26）
（a）第一状态 （b）第二状态
图17-38
二、位移互等定理
　　 第二状态单位力在第一状态单位力方向上所引起的位移等于第一状态单位力在第二状态单位力方向上所引起的位移，我们称这个结论为位移互等定理。如图17-39所示。
δ12=δ21 （17-27）
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（a）第一状态 （b）第二状态
图17-39
支座1由于支座2发生单位位移所引起的反力，数值上等于支座2由于支座1发生单位位移引起的反力，我们称这个结论为反力互等定理。如图17-41所示。
r12=r21 （17-28）
三、反力互等定理
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（a） （b）
图17-41
　　 由单位力作用所引起的结构某支座反力，在数值上等于该支座发生单位位移时所引起的单位力作用点沿单位力方向的位移，但正负号相反。我们称这个结论为反力与位移互等定理。如图17-43所示。
r12=－δ21 （17-29）
四、反力与位移互等定理
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（a） （b）
图17-43
本 章 小 结 ：
本章主要介绍了虚功的概念、变形体系的虚功原理及位移计算的一般公式、单位荷载法，重点介绍了图乘法，最后还介绍了弹性结构的四个互等定理。
1. 计算位移的目的主要是为了刚度计算和超静定结构计算。
2.在结构力学中，计算结构位移的理论基础是虚功原理。计算结构位移的方法是单位荷载法。
3.变形体系的虚功原理
变形体系处于平衡的充分和必要条件是：对于任意的虚位移，体系上所有外力所做的虚功总和恒等于体系各截面所有内力在微段变形上所做的虚功总和，即外力虚功等于内力虚功。
4.图乘法计算梁、刚架结构位移的公式为：
5.弹性结构的四个互等定理分别是功的互等定理以及由它推出的位移互等定理、反力互等定理及反力与位移互等定理。

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